四川省绵阳市2016届上学期高三年级第一次诊断性考试数学试卷(文科)

四川省绵阳市2016届上学期高三年级第一次诊断性考试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）．满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的．1．集合S={3，4, 5｝，T ＝｛4，7，8｝，则S U T ＝ (A){4} (B){3，5，7，8} (C) {3，4, 5，7，8} (D) {3，4, 4, 5, 7, 8} 2．命题“2000,23x N x x ∃∈+≥”的否定为(A) 2000,23x N x x ∃∈+< (B) 2,23x N x x ∀∈+< (C) 2000,23x N x x ∃∈+≤ (D) 2,23x N x x ∀∈+≤ 3．己知幂函数过点（2），则当x=8时的函数值是 （A ）±（B ）2 （C ）（D ）644.若,,a b c ∈R,且0abc ≠，己知P ：,,a b c 成等比数列；P 是Q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5.下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x ＝一512π对称的函数是 （A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=- （C ）sin(2)3y x π=-（D ）sin(2)3y x π=+6．在等差数列｛n a ｝中，若a 4＋a 9＋a l4＝36，则10112a a -＝ （A ）6 （B ）12 （C ）24 （D ）367．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c，若22,sin c b A B =+=， 则cosC ＝ （A（B（C（D8．若实数x ，y 满足不等式组024010x y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则x y +的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．设函数y ＝f （x ），x ∈R 满足f （x ＋l ）＝f （x 一l ），且当x ∈（－1，1］时，f （x ）＝1一x 2，函数g （x ）＝lg ||,01,0x x x ≠⎧⎨=⎩，则h （x ）＝f （x ）一g （x ）在区间［－6，9］内的零点个数是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）1510．直角△ABC 的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点M （12，12），则｜MA MB MC ++ ｜的最大值是（A l （B ＋2 （C ＋1 （D ＋2第II 卷（非选择题共100分）第II 卷共11小题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11、函数()f x =的定义域为12，式子0tan 20tan 40tan 20tan 40+的值是 ．13·已知函数266,2(),2x x x x f x a a x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩其中a ＞0，1a ≠，若对任意的1212,,x x R x x ∈≠，恒有1212[()()]()f x f x x x --＞0，则实数a 的取值范围 ．14.已知,a b 满足212log log 1a b -=，则(12)(1)a b ++的最小值为 ．1 5．设集合M 是实数集R 的一个子集，如果点0x ∈R 满足：对任意ε＞0，都存在x ∈M ， 使得0＜0||x x ε-<；，称x 0为集合M 的一个“聚点”．若有集合：①有理数集； ②无理数 ③sin|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭ ④|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭其中以0为“聚点”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,1sin ),(cos ,sin )()m n R ααααα=-=-∈（1)若m n ⊥，求角α的值；（2）若||m n -=cos2α的值．17、（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项a 1＝1，且a n+1＝2a n ＋1(*)n N ∈（1)证明数列{n a ＋1}是等比数列，并求数列{n a }的通项公式； (2)记1n n nb a =+，求数列{n b }的前n 项和Sn18．（本小题满分12分）某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐资奖学金共50万元妥该企业家计划 从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的 贫困大学生每年净增a 人。

·（l ）当a ＝10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过 0.8万元？请说明理由．（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？19．（本小题满分12分）已知如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝6，点D 、E 是斜边AB 上两点．（l ）当点D 是线段AB 靠近A 的一个三等分点时，求CD CA的值； （2）当点D 、E 在线段AB 上运动时，且∠DCE ＝30°，设∠ACD ＝θ，试用θ表示△DCE 的面积S ，并求S 的取值范围．20：（本小题满分13分）已知f （x ）＝3212ax bx +＋cx －1的导函数为'()f x ，且不等式'()f x ≥0的解集为 ｛x ｜一2≤x ≤1｝．（1）若函数f （x ）在x ＝2处的切线斜率是－3，求实数a 的值；·（2）当x ∈［－3，0］时，关于x 的方程f （x ）一m a ＋1＝0有唯一实数解，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）己知函数f （x ）＝ln （x ＋l ）一ax ＋1，其中a R ∈·（1）求f （x ）的单调区间；（2)当a ＝1时，斜率为k 的直线l 与函数f （x ）的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x <，证明：2111x k x <+<（3）是否存在k ∈Z ，使得f (x)＋a x 一2＞2(1)k x-对任意x ＞1恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分 （2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n-1． ………………………………………6分（2）∵nn nb 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ nn n S 2232221321++++=， 两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 12221212121+-+++=n n n n S12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n ， ∴n n n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11(n >1)， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD .………………………………………5分在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθcos )120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯=)2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab ，23-=a c，得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=， ∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数． 当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数． ∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a 1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t -<<-(1t >).令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t =+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0，∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．②综①②得11ln 1t t t-<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k，由k x -ln <0解得1<x <e k， 故)(x g 在(1，e k)上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k)=2k -e k．即讨论)(x g min =2k -e k>0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t，则t e x h -='2)(，当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2.∵ 1<ln2<2，∴ 0<2ln2-2<2．又∵h(1)=2-e<0，h(2)=4-e2<0，∴不存在整数k使2k-e k>0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k．………………………………………14分。