8-高考压轴题-不等式证明方法
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。
在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。
本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。
一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。
对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。
例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。
08年全国各地高考数学压轴题解析
08年全国高考压轴题1、（安徽理）（22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上22解 (1)由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QBλ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-， （1） 2221221y y y λλ-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。
且 PA PB AQ QB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 2241,11x yx y λλλλ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2、（上海文）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78(6)r r r r r =+++++++++++++++484r =+． ……2分∵48464r +=，∴4r =． ……4分 （2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n =时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分 ②假设n k =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+- ……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-． ……10分 （3）124m T m =-（1m ≥）．当121n m =+，122m +时，41n T m =+； 当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-； 当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+； 当1211n m =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数，∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m r m +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分 3、（重庆理）（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记12...(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.(22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故3423123824232,2.a a a a a a ---====由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n Sn n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且*123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ①123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故*121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得*2215111(2)(2)(2)()(N ).2232n n n x x x n ---=+---∈ ⑦由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而 即不等式22k +1＜22364112x x +--对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得S n =2－112n -(n ∈N*),所以b n =2Sn =22－112n -(n ∈N*)4、（广东理）21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==αβ∴+==p αβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得，+=⎧⎨=⎩s t p st q，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨=⎩s t pst q 的解记为1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα1()-∴-=-n nn x βαβα，即1--∴=-nnn x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以nα，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα∴数列{}n n xα是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n n x x n n n αααα∴=+n n n x n αα综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n nn n x n βααββααααβ（3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ 11()()22∴=+ n n n x n232311111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23111111()()2()3()...()22222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+5、（福建理）（22）（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切npc 的取值范围；（Ⅳ）求证：13132******** 1.n na a a a a a a a a a a a -+++-g g g g g g p g g g（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：（I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f ′(x)=11x +-1=1x x-+. 由f ′(x )>0得-1<x <0，f (x )的单调递增区间为（-1，0）； 由f ′(x )<0得x >0，f (x )的单调递增区间为（0，+∞）. (II)因为f (x )在[0,n]上是减函数，所以b n =f (n )=ln(1+n )-n , 则a n =ln(1+n )-b n =ln(1+n )-ln(1+n )+n =n .(i)==>1.=又1x ==,因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1]. （II ）由（i< 因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ ]23222133557(21)(21)11,2121246(2)n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜L所以135(21)246(2)n n -g g g L g g g g L g＜1∈N *),则113135(21)224246(2)n n -+++g g g g L g L g g g g L g ＜131321122242 1.n n na a a a a a a a a a a a -+-=+++即＜L L L L1(n ∈N *）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i-pn ∈N*恒成立.p n ∈N*恒成立.则2c n +p n ∈N*恒成立.设()2g n n =+ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立.考虑[)()21,.g x x x =+-∈+∞因为12211()1(2) (22)1121x g x x x x x -+=-++=--+′g p ＝0， 所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小，又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞→∞+=+==＝1.所以对一切*N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)<下面用数学归纳法证明不等式135(21)N ).246(2)n n n +-<∈g g g L g g g g L g①当n =1时，左边＝12，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立.即135(21)246(2)k k -<g g g L g g g g L g当n=k +1时，32122321222122212121)22(2642)12(12531++++=++=++++⋯+⋯∙∙∙∙∙∙k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（=,1)1(2132132148243824++=++++++∙k k k k k k k ＜即n ＝k ＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜成立.所以1212)2(642)12(531--+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜)2(642)12(531423121n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋯-⋯⋯+＋＋.112123513-+=-⋯n n ＋＝－＋－＜ 即*)N (1212421231423121∈-⋯⋯⋯+++-n a a a a a a a a a a a a a n nn ＜＋. 6、（湖北理）21.(本小题满分14分) 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和。
高考压轴题：导数题型及解题方法归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。
答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。
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关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因 2 不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法典型题例例1证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N *) 知识依托本题是一个与自然数n 有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使y x+≤a y x +(x >0,y >0)恒成立的a 的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目,所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a >0,b >0,且a +b =1 求证(a +a 1)(b +b 1)≥425 证法一 (分析综合法) 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法) 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法) 巩固练习 1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且y b x a +=1,x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ,且|a -d |<|b -c |,则ad 与bc 的大小关系是_________ 3 若m <n ,p <q ,且(p -m )(p -n )<0,(q -m )(q -n )<0,则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________ 4 已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1 求证(1)a 2+b 2+c 2≥31 (2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ,y ,z ∈R ,且x +y +z =1,x 2+y2+z 2=21,证明x ,y ,z ∈[0,32] 6 证明下列不等式 (1)若x ,y ,z∈R ,a ,b ,c ∈R +,则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ,y ,z ∈R +,且x +y +z =xyz ,则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++) 7 已知i ,m 、n 是正整数,且1<i ≤m <n(1)证明 n i A im <m i A in (2)证明 (1+m )n >(1+n )m8 若a >0,b >0,a 3+b 3=2,求证 a +b ≤2,ab ≤1不等式知识的综合应用典型题例例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米,盖子边长为a 米,(1)求a 关于h 的解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值(求解本题时,不计容器厚度)知识依托本题求得体积V 的关系式后,应用均值定理可求得最值例2已知a ,b ,c 是实数,函数f (x )=ax 2+bx +c ,g (x )=ax +b ,当-1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明|c |≤1;(2)证明当-1 ≤x ≤1时,|g (x )|≤2;(3)设a >0,有-1≤x ≤1时, g (x )的最大值为2,求f (x )知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性,绝对值不等式例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1、x 2满足0<x 1<x 2<a1 (1)当x ∈[0,x 1)时,证明x <f (x )<x 1;(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称,证明 x 0<21x 巩固练习1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ) ③f(a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a ) A ①③B ②④C ①④D ②③2 下列四个命题中①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ,y 都是正数,若y x 91+=1,则x +y 的最小值是12 ④若|x -2|<ε,|y -2|<ε,则|x -y |<2ε,其中所有真命题的序号是__________4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ,a >0),设方程f (x )=x 的两实数根为x 1,x 2(1)如果x 1<2<x 2<4,设函数f (x )的对称轴为x =x 0,求证x 0>-1; (2)如果|x 1|<2,|x 2-x 1|=2,求b 的取值范围6 设函数f (x )定义在R 上,对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n ),且当x >0时,0<f (x )<1(1)求证 f (0)=1,且当x <0时,f (x )>1;(2)求证 f (x )在R 上单调递减;(3)设集合A ={ (x ,y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)},集合B ={(x ,y )|f (ax -g +2)=1,a ∈R },若A ∩B =?,求a 的取值范围7 已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b <0)的值域是[1,3], (1)求b 、c 的值;(2)判断函数F (x )=lg f (x ),当x ∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;(3)若t ∈R ,求证 lg57≤F (|t -61|-|t +61|)≤lg 513 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数f(x)在定义域为D ,则当x ∈D 时,有f(x)≥M 恒成立?f(x)min ≥M ;f(x)≤M 恒成立?f(x)max ≤M ;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q >1,第17项的平方等于第24项,求使a 1+a 2+…+a n >1a 1+1a 2+…+1a n 恒成立的正整数n 的取值范围.【例2】(08·全国Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,an+1=S n +3n ,n ∈N*.(Ⅰ)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)若a n+1≥a n ,n∈N*,求a 的取值范围.【点评】一般地,如果求条件与前nABCDS项和相关的数列的通项公式,则可考虑S n 与a n 的关系求解题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S4=24.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设p 、q 都是正整数,且p ≠q ,证明:S p+q <12(S 2p +S 2q ).【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有:(1)因式分解;(2)化平方和的形式;(3)如果涉及分式,则利用通分;(4)如果涉及根式,则利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1=0,a n+1=ca n 3+1-c ,c∈N*,其中c 为实数.(Ⅰ)证明:a n ∈[0,1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0,1];(Ⅱ)设0<c <13,证明:a n ≥1-(3c)n -1,n ∈N*;(Ⅲ)设0<c <13,证明:a 12+a 22+…+a n 2>n +1-21-3c,n ∈N*.题型三求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:(1)建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;(2)首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值;(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(08·四川)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S5≤15,则a 4的最大值为______.【例6】等比数列{a n }的首项为a 1=2002,公比q =-12.(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积,求f(n)的表达式;(Ⅱ)当n取何值时,f(n)有最大值.题型四求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.【例7】已知{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =4.(Ⅰ)求证:数列{a n }是等比数列;(Ⅱ)是否存在正整数k ,使S k+1-2S k -2>2成立. 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”,这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】(08·湖北)已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=λ,a n+1=23a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{a n }不是等比数列;(Ⅱ)试判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设0<a <b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有a <S n <b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.数列与不等式命题新亮点例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设{}n a 是由正数构成的等比数列, 12n n n b a a++=+,3n n n c a a +=+,则( )A. nn b c > B. n n b c < C. n n b c ≥ D. n n b c ≤点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例3 若对(,1]x ∈-∞-,不等式21()2()12x x mm --<恒成立,则实数m 的取值范围( )A. (2,3)-B. (3,3)-C. (2,2)-D. (3,4)-例4四棱锥S-ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证: 131(2,)n nP P n n N ++=≥∈(3)求证: 2365>(2,)24n n P P P n n N -+++≥∈…例5 已知函数()2f x x x =+.(1)数列{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若11112ni ia =<+∑对任意的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围; (2)数列{}n b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,记11n nc b =+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的前k 项积,求证1710nk k k kT S T =<+∑. 例6 (1)证明: ()ln1(0)x x x +<> (2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --??=++≥ ???; ①证明: ()724n a n ≥≥ ②()21n a e n <≥ 【专题训练】1.已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列,则有( )A .a 4a 6<a 6a 8B .a 4a 6≤a 6a 8C .a 4a 6>a 6a 8D .a 4a 6≥a 6a 82.设{a n }是由正数构成的等比数列,b n =a n+1+a n+2,c n =a n +a n+3,则( ) A .b n >c nB .b n <c nC .b n ≥c nD .b n ≤c n3.已知{a n }为等差数列,{b n }为正项等比数列,公比q≠1,若a 1=b 1,a 11=b 11,则( )A .a 6=b 6B .a 6>b 6C .a 6<b 6D .a 6>b 6或a 6<b 6 4.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k =( ) A .9 B .8 C .7 D .6 5.已知等比数列{a n }的公比q >0,其前n 项的和为S n ,则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A .S 4a 5<S 5a 4B .S 4a 5>S 5a 4C .S 4a 5=S 5a 4D .不确定 6.设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N*,则函数f(n)=S n(n +32)S n+1的最大值为( )A .120B .130C .140D .1507.已知y 是x 的函数,且lg3,lg(sinx -12),lg(1-y)顺次成等差数列,则( )A .y 有最大值1,无最小值B .y 有最小值1112,无最大值C .y 有最小值1112,最大值1D .y 有最小值-1,最大值1 8.已知等比数列{a n }中a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)9.设3b 是1-a 和1+a 的等比中项,则a +3b 的最大值为( )A .1B .2C .3D .410.设等比数列{a n }的首相为a 1,公比为q ,则“a 1<0,且0<q <1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1>a n ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分比要条件D .既不充分又不必要条件11.{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最小值,那么当S n 取得最小正值时,n =( )A .11B .17C .19D .2112.设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数x 、y ∈R ,都有f(x)f(y)=f(x +y),若a 1=12,a n =f(n)(n ∈N*),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( ) A .[12,2)B .[12,2]C .[12,1)D .[12,1]13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立.则M 的最小值是__________.14.无穷等比数列{a n }中,a 1>1,|q|<1,且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半,则q 的取值范围是________. 15.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a +b)2cd的最小值是________.A.0B.1C.2D.416.等差数列{a n }的公差d 不为零,S n 是其前n 项和,给出下列四个命题:①A .若d <0,且S 3=S 8,则{S n }中,S 5和S 6都是{S n }中的最大项;②给定n ,对于一定k ∈N*(k <n),都有a n -k +a n+k =2a n ;③若d >0,则{S n }中一定有最小的项;④存在k ∈N*,使a k -a k+1和a k -a k -1同号其中真命题的序号是____________.17.已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5.(Ⅰ)求{a n }的通项na ;(Ⅱ)求{a n }前n 项和S n 的最大值.18.已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n}满足b 1=1,b n +1=b n+2a n ,求证:b n·b n +2<b 2n +1.19.设数列{a n }的首项a 1∈(0,1),a n =3-a n -12,n =2,3,4,…. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n 3-2a n ,证明b n <b n+1,其中n 为正整数. 20.已知数列{a n }中a 1=2,a n+1=(2-1)( a n+2),n =1,2,3,….(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{a n }中b 1=2,b n+1=3b n +42b n +3,n =1,2,3,….证明:2<b n ≤a 4n -3,n =1,2,3,… 21.已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f '(x)=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N*)均在函数y =f(x)的图像上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =1a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m22.数列{}n a 满足11a =,21()n n a n n a λ+=+-(12n = ,,),λ是常数.(Ⅰ)当21a =-时,求λ及3a 的值;(Ⅱ)数列{}n a 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅲ)求λ的取值范围,使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <.利用导数处理与不等式有关的问题一、利用导数证明不等式(一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式。
高考压轴题解法探究——数列不等式的证明
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４ 设 曲线 ，＝ （ 在 点 （ ，（ ） 处 的切线 与 ， ， ， ） ， ）
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（ 收稿 日期 ：０７ １・５ ２０ —１ ） ２
维普资讯
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【技巧题型】不等式题目的七种证明方法
【技巧题型】不等式题目的七种证明方法高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
今天，我就来总结一下不等式的证明方法。
1比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
2分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
3反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4）肯定原来命题的结论是正确的。
4放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
证明不等式的八大绝招
证明不等式的八大绝招高考数学的压轴题常以不等式为背景，而不等式的证明因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，本文给同学们介绍不等式证明中的八大绝招：“变形法、拆项法、添项法、放缩法、构造法、换元法、导数法、数形结合法”，希望对同学们的学习有所禅益。
一、变形法例1、已知121212101010,,,:a b c a b c R a b c bc ca ab+∈++≥++求证 证明：原不等式等价于：131313101010a b c a b c abc ++≥++()131313101010a b c abc a b c ⇔++≥++ （*）1313112211a b a b a b +≥+ ， 1313112211b c b c b c +≥+， 1313112211c a a c a c +≥+， ()()()()1313131122112211222a b c a b c b a c c a b ∴++≥+++++()1111111010102222a bc b ac c ab abc a b c ≥++=++。
从而()131313101010a b c abc a b c ++≥++；所以（*）式成立，故原不等式成立。
二、拆项法例2、已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ，求证：231.432ab c ≤证明：122333b b c c c a b c a =++=+++++ 66≥=232362316432ab c ⋅∴≤=。
三、添项法例3、【第36届IMO 试题】设,,a b c 为正数，满足1abc =，求证：()()()33311132a b c b a c c a b ++≥+++.证明：()()3114b c a b c bc a ++≥=+ , ()3114a c b a c ac b++≥=+,311()4a b c a b ab c++≥=+, ∴()()()33311111114b c a c a b a b c b a c c a b bc ac ab a b c+++⎛⎫+++++≥++ ⎪+++⎝⎭.从而()()()33311111111112a b c b a c c a b a b c a b c ⎛⎫++≥++-++ ⎪+++⎝⎭1111322a b c ⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭. 故∴原不等式成立. 四、放缩法 例4、【1998年全国高考试题】求证：())*111111114732n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。
高考数学专题复习-利用导数证明函数不等式
专题四 利用导数证明函数不等式（一）函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难．利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．模块1 整理方法 提升能力对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种．当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可． 当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反．当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与x 轴平行或重合．当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲．常用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e x 、ln x 有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与e x 、ln x 有关的常用不等式的生成． 生成一：利用曲线的切线进行放缩设e x y =上任一点P 的横坐标为m ，则过该点的切线方程为()e e m m y x m -=-，即()e 1e m m y x m =+-，由此可得与e x 有关的不等式：()e e 1e x m m x m ≥+-，其中x ∈R ，m ∈R ，等号当且仅当x m =时成立．特别地，当0m =时，有e 1x x ≥+；当1m =时，有e e x x ≥．设ln y x =上任一点Q 的横坐标为n ，则过该点的切线方程为()1ln y n x n n-=-，即11ln y x n n =-+，由此可得与ln x 有关的不等式：1ln 1ln x x n n≤-+，其中0x >，0n >，等号当且仅当x n =时成立．特别地，当1n =时，有ln 1x x ≤-；当e n =时，有1ln e x x ≤．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩由图1可得1ln x x x -≥；由图2可得1ln e x x≥-；由图3可得，()21ln 1x x x -≤+（01x <≤），()21ln 1x x x -≥+（1x ≥）；由图4可得，11ln 2x x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（01x <≤），11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭（1x ≥）．综合上述两种生成，我们可得到下列与e x 、ln x 有关的常用不等式： 与e x 有关的常用不等式： （1）e 1x x ≥+（x ∈R ）； （2）e e x x ≥（x ∈R ）． 与ln x 有关的常用不等式：（1）1ln 1x x x x -≤≤-（0x >）； （2）11ln e ex x x -≤≤（0x >）；（3）()21ln 1x x x -≤+（01x <≤），()21ln 1x x x -≥+（1x ≥）；（4）11ln 2x x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（01x <≤），11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭（1x ≥）．用1x +取代x 的位置，相应的可得到与()ln 1x +有关的常用不等式．例1设函数()1e e ln x xb f x a x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为()e 12y x =-+．（1）求a 、b ； （2）证明：()1f x >．【解析】（1）因为()1e f '=，()12f =，而()2e e e ln xa x bxb f x a x x +-'=+，所以()()1e e12f a f b '⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得1a =，2b =． 【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，()12e e ln x xf x x x-=+，于是()12e 1e ln 1x xf x x x->⇔+>．由于()f x 混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为21ln e e xx x +>． 令()2ln e g x x x =+，则()2212e 2e e x g x x x x -'=-=，由()0g x '>可得2e x >，由()0g x '<可得20ex <<，所以()g x 在20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增．而()1e xh x =递减，所以两个函数的凸性相同（都是下 凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线()1e t x x=，将两个函数进行隔离，从而实现证明．211ln ln 0e e e x x x x x +≥⇔+≥，令()1ln e k x x x =+，则()2211e 1e e x k x x x x -'=-=，由()0k x '>可得1e x >，由()0k x '<可得10e x <<，所以()k x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()min10e k x k ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，于是1ln 0e x x +≥． 11e e e e 0e ex x x x x x ≥⇔≥⇔-≥，令()e e x s x x =-，则()e e x s x '=-，由()0s x '>可得1x >，由()0s x '<可得01x <<，所以()s x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 10s x s ⎡⎤==⎣⎦，于是e e 0xx -≥．由于等号不能同时成立，所以21ln e e xx x +>． 法2：（寻找公切线隔离）由（1）知，()12e e ln x xf x x x-=+，于是()12e 1e ln 1x xf x x x ->⇔+>，将不等式改造为2ln e e x x x x +>．令()2ln e m x x x =+，则()1ln m x x '=+．由()0m x '>可得1ex >，由()0m x '<可得10e x <<，所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()min11e em x m ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭．令()e x x n x =， 则()1ex xn x -'=．由()0n x '<可得1x >，由()0n x '> 可得01x <<，所以()n x 在()0,1上递增，在()1,+∞ 上递减，所以()()max11en x n ⎡⎤==⎣⎦．两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线1ey =，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以2ln x x x x +>． 【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线()1e t x x=进行隔离，公切曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验．该放缩211ln e e e xx x x +≥≥与常用不等式e e x x ≥以及11ln e ex x x -≤≤有关，因此熟练掌握与e x 、ln x 有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与x 轴平行的公切线1ey =，实现隔离放缩． 如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与n x 、ln x 、e x 四则运算组合后的函数，如：（1）e x x 、2e x x 、3e x x 、…过原点，先减后增；（2）e x x、2e x x 、3e x x 、…过原点，先增后减；（3）e x x 、2e x x 、3e xx、…在(),0-∞上递减，在()0,+∞上先减后增；（4）ln x x 、2ln x x 、3ln x x 、…在()0,+∞上先减后增；（5）ln x x 、2ln x x 、3ln xx、…在()0,+∞上先增后减； （6）ln xx 、2ln x x 、3ln x x、…在()0,1上递减，在()1,+∞上先减后增．例2已知函数()21e xax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）求证：当1a ≥时，()e 0f x +>． 【解析】（1）()212exax a x f x -+-+'=，因为()0,1-在曲线()y f x =上，且()02f '=，所以切线方程为()()120y x --=-，即210x y --=．【证明】（2）法1：()2211e 0e 01e 0ex xax x f x ax x ++-+≥⇔+≥⇔+-+≥． 当1a ≥时，21211e 1e x x ax x x x +++-+≥+-+，令()211e x g x x x +=+-+，则()121e x g x x +'=++，()12e 0x g x +''=+>，于是()g x '在R 上递增．又因为()10g '-=，由()0g x '<可得1x <-，由()0g x '>可得1x >-，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，所以()()10g x g ≥-=．法2：()2211e 0e 01e 0ex xax x f x ax x ++-+≥⇔+≥⇔+-+≥． 当1a ≥时，21211e 1e x x ax x x x +++-+≥+-+，由常见不等式e 1x x ≥+（x ∈R ），可得1e 2x x +≥+，所以()()22121e 1210x x x x x x x ++-+≥+-++=+≥．法3：令()()21e e exax x F x f x +-=+=+，则()()2212e x ax a x F x -+-+'== ()()21e x x ax -+-，由()0F x '>可得12x a -<<，由()0F x '<可得1x a <-或2x >，所以()F x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在()2,+∞上递减．()F x 的极小值为11e e e e 0a F a ⎛⎫-=-+<-+≤ ⎪⎝⎭，由洛必达法则，可得21212lim e e lim e lim e e e e x x x x x x ax x ax a →+∞→+∞→+∞⎛⎫+-++=+=+= ⎪⎝⎭，所以()0F x ≥，即()e 0f x +>． 法4：()2211e 0e 01e 0e x xax x f x ax x ++-+≥⇔+≥⇔+-+≥．令()211e x G x ax x +=+-+，则()121e x G x ax +'=-+，()12e 0x G x a +''=+>，所以()G x '在R 上递增，又因为()00G '=，由()0G x '<可得0x <，由()0G x '>可得0x >，所以()G x 在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，所以()()00G x G ≥=．法5：()2211e 0e 01e 0ex xax x f x ax x ++-+≥⇔+≥⇔+-+≥．当0x =时，不等式成立，当0x ≠时，()1212e 11e 0x x x ax x a k x x ++--++-+≥⇔≥=．()()()()()121111433e 12e 12e 1e 2e 2x x x x x x x x x x x k x x x x +++++-----+----++-'===，由()0k x '>可得1x <-或02x <<，由()0k x '<可得10x -<<或2x >，所以()k x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,+∞上递减．因为()11k -=，()3e 124k +=-，所以()max1k x ⎡⎤=⎣⎦，而1a ≥，所以()a k x ≥，即()e 0f x +≥．法6：()2211e 0e 01e ex xax x f x ax x ++-+≥⇔+≥⇔+-≥-． 令()21m x ax x =+-，则()m x 是以12x a=-为对称轴，开口方向向上的抛物线．令()1e x n x +=-，则()n x 递 减．由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两 个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容 易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以选择在()1e x n x +=-上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明．由常见不等式e 1x x ≥+可得1e 2x x +≥+，容易想到隔离切线2y x =--，下面进行证明．()()222212210110ax x x ax x a x x +-≥--⇔++≥⇔-++≥，而12e x x +--≥-，命题获证．【点评】对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致．法3是直接证明()e 0f x +≥，法4是将不等式等价转化为211e0x ax x ++-+≥，法5是通过分离参数进而证明12e 1x x a x+--+≥，3种方法本质都是一平一曲状态．法6将不等式转化为211e x ax x ++-≥-，由于两个函数的凸性相反，因此我们可以寻找切线实现隔离放缩．对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低．例3已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞．法1：（分离参数法）①当1x =时，有()10f =，成立．②当1x >时，11ln 0ln x x a x a x ---≥⇔≤，令()1ln x h x x-=，则()21ln 1ln x x h x x-+'=，令()1ln 1k x x x =-+，则()210x k x x-'=>，所以()k x 在()1,+∞上递增，于是()()10k x k >=，所以()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上递增．由洛必达法则可得1111limlim 11ln x x x x x++→→-==，所以1a ≤．③当01x <<时，11ln 0ln x x a x a x ---≥⇔≥，令()1ln x h x x-=，仿照②可得()h x 在()0,1上递增．由洛必达法则可得1111lim lim 11ln x x x xx--→→-==，所以1a ≥． 综上所述，1a =．法2：（不猜想直接用最值法）()1a x af x x x-'=-=． ①当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上递增，而()10f =，于是()0f x ≥不成立．②当0a >时，由()0f x '>可得x a >，由()0f x '<可得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，而()10f =，所以1a =．法3：（通过猜想减少分类讨论）由11ln 2022f a ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭可得12ln 2a ≥．()1a f x x '=-，由()0f x '>可得x a >，由()0f x '<可得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，而()10f =，所以1a =．（2）当1a =时()1ln 0f x x x =--≥，即ln 1x x ≤-，则有()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时等号成立，所以11ln 122kk ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，*k ∈N ，于是2111ln 1ln 1ln 1222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111112222n n +++=-<，所以2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当3n =时，23111359135111222224864⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯=> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是m 的最小值为3． 112n ⎫⎛⎫+⎪⎪⎭⎝⎭较麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为ln ln 1⎛⎛+++ ⎝容易联想到与ln x 有关的常用不等式()ln 1x x +≤．模块2 练习巩固 整合提升练习1：已知函数()ln 1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-． 【解析】（1）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+． 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，所以()()11112f f ⎧=⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b ab =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =． 【证明】（2）由（1）知()ln 11x f x x x =++，所以()ln ln 1ln 111x x xf x x x x x >⇔+>-+- ()222ln 12110ln 0112x H x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⇔+>⇔=--> ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦．构造函数()11ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0x >），则()()22211111022x h x x x x -⎛⎫'=-+=-≤ ⎪⎝⎭，于是()h x 在()0,+∞上递减．当01x <<时，()h x 递减，所以()()10h x h >=，于是()()2101H x h x x =>-；当1x >时，()h x 递减，所以()()10h x h <=，于是()()2101H x h x x =>-． 综上所述，当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-．练习2：已知函数()()211ln 2ex bf x ax x ax bx =+--+（a 、b ∈R ）．（1）若12a b ==，求函数()()ln ex bF x f x ax x =--的单调区间；（2）若1a =，1b =-，求证：()221ln 12e 2f x ax bx x -++>--．【解析】（1）当12a b ==，()211ln 42F x x x x =--，()()()21111222x x F x x x x +-'=--=-．由()0F x '>可得01x <<，由()0F x '<可得1x >，所以()F x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞．【证明】（2）若1a =，1b =-，()222112ln 12e ln 12e ex f x ax bx x x x -++>--⇔->--．令()1ln e x G x x x =-，则()1ln 1e x G x x '=++，()11e e e x x xx G x x x -''=-=．设()e x h x x =-，则()e 10x h x '=->，所以()h x 在()0,+∞上递增，所以()()01h x h >=，所以()0G x ''>，所以()G x '在()0,+∞上递增．又因为1e 1e 0e G -⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，21e 21e 10e G -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()G x '恰有一个零点0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()0001ln 10e x G x x '=++=，且当00x x <<时，()0G x '<，当0x x >时，()0G x '>，所以()G x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()00000001ln ln ln 1ex G x G x x x x x x ≥=-=++．设()ln ln 1x x x x ϕ=++，211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()11ln 11e 0x x x ϕ'=++>-+>，所以()x ϕ在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以()02222211112ln ln 11e ee e e x ϕϕ⎛⎫>=++=-- ⎪⎝⎭．命题获证．练习3：已知函数()e e ln x f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）求证：()2e f x x ≥．【解析】（1）()()e e 1ln x f x x '=++，所以()12e f '=，又()1e f =，所以()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()e 2e 1y x -=-，即2e e y x =-．【证明】（2）法1：()2212e e e ln e e ln 0x x f x x x x x x x x -≥⇔+≥⇔+-≥，构造函数()12e ln x g x x x x -=+-，则()1e 1ln 2x g x x x -'=++-，()11e 2x g x x-''=+-，()121e x g x x -'''=-．因为()g x '''在()0,+∞上递增，且()10g '''=，所以当01x <<时，()0g x '''<，当1x >时，()0g x '''>，所以()g x ''在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ''''≥=，于是()g x '在()0,+∞上递增，又因为()10g '=，所以当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 递增，所以()()10g x g ≥=，命题获证．法2：()122e e e e ln e ln 0x xf x x x x x x x x -≥⇔+≥⇔+-≥，构造函数()1e ln x G x x x x-=+-，则()()()()()11122221e e 1e 111x x x x x x x x x G x x xx x -------+-'=+-==．令()1e x H x x -=-，则()1e 1x H x -'=-，由()0H x '>可得1x >，由()0H x '<可得01x <<，于是()H x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，于是()()10H x H ≥=．于是当01x <<时，()0G x '<，当1x >时，()0G x '>，所以()G x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，于是()()10G x G ≥=，命题获证．构造的不等式两端的函数凸性一致，且寻找隔离曲线的难度大，不容易证明．考虑到函数()12e ln x g x x x x -=+-的形式不算太复杂，可通过多次求导证明其在x 轴的上方（有且仅有一单的原因在于()G x 当中的ln x 比较“单纯”，求导一次就能消去ln x ．练习4：设函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明． 【解析】（1）()11f x x '=+，所以()1x g x x=+． 法1：（分离参数法）当0x =时，()()f x ag x ≥恒成立．当0x >时，()()f x ag x ≥在()0,+∞上恒成立()()()()()1ln 1f x x x a F x g x x ++⇔≤==在()0,+∞上恒成立．()()2ln 1x x F x x -+'=，令()()ln 1G x x x =-+，则()01x G x x'=>+，所以()G x 在()0,+∞上递增，于是()()00G x G >=，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞上递增．由洛必达法则，可得()()()001ln 11ln 1lim lim 11x x x x x x ++→→++++==，所以1a ≤，于是实数a 的取值范围为(],1-∞．法2：（不猜想直接用最值法）令()()()()ln 11ax h x f x ag x x x=-=+-+，则()()()()22111111a x ax x a h x x x x +--+'=-=+++，令()0h x '=，得1x a =-． ①当10a -≤，即1a ≤时，()0h x '≥在[)0,+∞上恒成立，所以()h x 在[)0,+∞上递增，所以()()00h x h >=，所以当1a ≤时，()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立．②当10a ->，即1a >时，()h x 在()0,1a -上递减，在()1,a -+∞上递增，所以当1x a =-时()h x 取到最小值，于是()()1ln 1h x h a a a ≥-=-+．设()ln 1a a a ϕ=-+，1a >，则()110a aϕ'=-<，所以函数()a ϕ在()1,+∞上递减，所以()()10a ϕϕ<=，即()10h a -<，所以()0h x ≥不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞．（2）设*n ∈N ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．（2）()()()1212231n g g g n n +++=++++，()()ln 1n f n n n -=-+，比较结果为：()()()()12g g g n n f n +++>-．证明如下．上述不等式等价于()111ln 1231n n +>++++．为证明该式子，我们首先证明11ln 1i i i +>+． 法1：在（1）中取1a =，可得()ln 11x x x +>+，令1x i =，可得11ln 1i i i +>+．令1,2,,i n =可得21ln 12>，31ln 23>，…，11ln 1n n n +>+，相加可得()111ln 1231n n +>++++，命题获证．法2：令1t i =，则()11ln ln 111i t t i i t +>⇔+>++，构造函数()()ln 11t F t t t=+-+，01t <<，则()()()22110111t F t t t t '=-=>+++，于是()F t 在()0,1上递增，所以()()00F t F >=，于是11ln 1i i i +>+． 下同法1． 练习5：已知函数()()1ln 2f x x a x x =-+（其中a ∈R ）． （1）若曲线()y f x =在点()()00,xf x 处的切线方程为12y x =，求a 的值； （2）若12e a <<e 是自然对数的底数），求证：()0f x >． 【解析】（1）()3ln 2a f x x x '=-+，依题意，有()00000000121ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解得011x a =⎧⎨=⎩或01x a a =⎧⎨=⎩，所以1a =． （2）法1：令()()g x f x '=，则()21a g x x x '=+，因为12ea <<()0g x '>，即()g x 在()0,+∞上递增．因为311ln ln 02222222a a a a g a ⎛⎫=-+=-<-= ⎪⎝⎭，()3111ln ln ln 0222e 2a g a a a a =-+=+>+=，所以()g x 在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点0x ．当00x x <<时，()0g x <，当0x x >时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取到最小值()()00001ln 2f x x a x x =-+．因为()0003ln 02ag x x x =-+=，所以003ln 2a x x =-，所以()()00003122a f x x a x x ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ ()()()2220000000051125222222a x a x ax a x a x a x x x --+=--+=---，因为0,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()00f x >，所以当12ea <<()0f x >． 法2：当x a =时，()02a f a =>． 当x a ≠时，()()()()1ln 0ln 022x f x x a x x x a x x a ⎡⎤=-+>⇔-+>⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．令()()ln 2x F x x x a =+-，则()()()()()()22222221252222x a x a a x ax a F x x x a x x a x x a ---+'=-==---，由()0F x '>可得02a x <<或2x a >，由()0F x '<可得2a x a <<或2a x a <<，所以()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在(),2a a 上递减，在()2,a +∞上递增．因为112ln ln ln 022222222aa a a F a a ⎛⎫=+=-<-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，()()21112ln 2ln 2ln 02222e 2a F a a a a a =+=+>+=-，所以当0x a <<时，()0F x <，所以()()()0f x x a F x =->，当x a >时，()0F x >，所以()()()0f x x a F x =->．。
高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题
高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．[典例]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[思路点拨]观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝f(x)x求解．[方法演示]法一：构造抽象函数求解设F(x)＝f(x)x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数求解设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案：A[解题师说]抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； ③对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； ⑤对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x； ⑦对于不等式f (x )＋f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑧对于不等式f (x )－f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑨对于不等式f ′(x )－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑩对于不等式f ′(x )＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．⑪(理)对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑫(理)对于不等式f ′(x )－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；[应用体验]1．定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )<12，则不等式f (lg x )>lg x ＋12的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x ＋12， 则g ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴g (x )在定义域上是减函数． 又g (1)＝f (1)－1＝0，∴原不等式可化为g (lg x )>g (1)， ∴lg x <1，解得0<x <10.∴原不等式的解集为{x |0<x <10}． 答案：(0,10)2．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2内的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则不等式f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x 的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x <0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内为减函数． 由f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x ， 得f (x )sin x <2f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6， 即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π6，∴π6<x <π2， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π6<x <π2.答案：⎝⎛⎭⎫π6，π2一、选择题1.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得－3<x <－2或2<x <3.2．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以x ＋1<x 2－1，解得x >2.3．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]．由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)，得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，所以x ∈(－1,0)∪(0,1)． 4．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D 设F (x )＝f (x )g (x )，当x <0时， ∵F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )， 故F (x )为R 上的奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数． 由g (－3)＝0，得F (－3)＝F (3)＝0.画出函数F (x )的大致图象如图所示， ∴F (x )<0的解集为{x |x <－3或0<x <3}．5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对于任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )解析：选C ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0. ∴f ′(x )≤－f (x )x ，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又0<a <b ，∴af (b )<bf (a )，当f (x )＝0时，符合题意，则af (b )＝bf (a )，故af (b )≤bf (a )．6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]， 当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2， 令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D.如果f (x )＝x 2＋0.1，已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不恒成立，故排除C ，选A.7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴函数m(x)在R上为单调递增函数．又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．8．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时必有()A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)解析：选C令函数h(x)＝f(x)－g(x)．因为f′(x)<g′(x)，故h′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)<0，即函数h(x)在区间[a，b]上单调递减．所以x∈(a，b)时必有h(b)<h(x)<h(a)，即f(b)－g(b)<f(x)－g(x)<f(a)－g(a)，移项整理得，f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，故选项C正确．9．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－2)＝0，且x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，则不等式xf(x)≥0的解集是()A．[－2,0]B．[0,2]C．[－2,2]D．[－2,0]∪[2，＋∞)解析：选D因为x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，故构造函数y＝xf(x)，则该函数在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，故y＝xf(x)为奇函数．结合f(－2)＝0，画出函数y＝xf(x)的大致图象如图所示．所以不等式xf(x)≥0的解集为[－2,0]∪[2，＋∞)．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (3)＝0，且x <0时，xf ′(x )<f (x )，则不等式f (x )≥0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．[－3,0]∪[3，＋∞)C ．[－3,3]D ．[0,3]解析：选B 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以F (x )为偶函数，当x <0时，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． 结合f (3)＝0，画出函数F (x )＝f (x )x 的大致图象如图所示．所以不等式f (x )≥0的解集为[－3,0]∪[3，＋∞)．11．函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且f (x )>f ′(x )对任意x ∈R 都成立，则下列不等式中成立的是( )A ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)B ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017)C ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)D ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017) 解析：选D 令函数g (x )＝f (x )e x .由f (x )>f ′(x )，得f ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x <0，即函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．所以f (2 018)e 2 018<f (2 017)e 2 017<f (0)e0，即有f (2 018)<e f (2 017)，f (2 018)<e 2 018f (0)．12．设定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1解析：选C 令g (x )＝f (x )－kx ＋1， 则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1. ∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0， ∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.二、填空题13．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)的解集为________．解析：令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )是R 上的增函数．又f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可等价转化为x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即g (x ＋1)>g (x 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>x 2－1，x －1≥0，解得1≤x <2，∴原不等式的解集为{x |1≤x <2}．答案：[1,2)14．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2·f (x ＋2 018)－4f (－2)>0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )． 结合条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2，将条件两边同时乘以x ， 得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上是减函数， 又g (－2)＝4f (－2)，∴由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)>0， 即g (x ＋2 018)>g (－2)，得x ＋2 018<－2，解得x <－2 020， ∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)． 答案：(－∞，－2 020)15．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且y ＝f (x ＋1)为偶函数．f (2)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为________．解析：令h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴h (x )在R 上是减函数，又y ＝f (x ＋1)是偶函数， ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝1.由f (x )<e x ，得f (x )e x <1，又h (0)＝f (0)e 0＝1，∴h (x )<h (0)，∴x >0，故原不等式的解集为{x |x >0}． 答案：(0，＋∞)16．设f (x )是R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，则不等式f (x )>0的解集为______．解析：令g (x )＝f (x )x 2＋1，则g ′(x )＝(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )(x 2＋1)2.因为当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，所以g ′(x )<0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减． 又f (x )＝g (x )(x 2＋1)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．又f(x)是R上的奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.当x>0时，f(x)>0＝f(1)⇒0<x<1；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)⇒x<－1.综上，可得不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案：(－∞，－1)∪(0,1)。
高考数学解题方法攻略不等式放缩理
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a na a a a a a n n n nn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ 例3 已知b a ,为正数，且111=+ba ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n nb a b a .（88年全国联赛题）简析 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++abb a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，令nn n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ，因为in ni n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ，而1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r r rn n n b a b aabba b aabb aΛΛ，则)(2n f =))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ⋅-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .例4 求证),1(221321N n n n C C C C n n nn n n ∈>⋅>++++-Λ.简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，原结论成立.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
第14讲 放缩法证明不等式(解析版)2023年新高考数学导数压轴题专题突破(尖子生专用
f (x)max
f (e) lne e e
0；
设函数 g(x) x2 lnx ， g(x) 2x 1 2x2 1 ， xx
当 x (0, 2 ) 时， g(x) 0 ，当 x ( 2 ， ) 时， g(x) 0 ，
2
2
g(x)min
g(
2 ) 1 1 ln 1 1 1 ln2 2 22222
h(x) f (x) (3x 1)h(0) 0 ，即 f (x)3x 1 ．
（3）证明：方法一：当 a b 1 时， g(x) x 1 lnx ．
由（1）知， g(x)min g （1） 0 ， g(x) x 1 lnx 0 ，即 x 1 lnx ． 当 x 1 时， (x 1)2 0 ， (x 1)2 esin x 0 ，则 (x 1)2 esin x 1 ln[(x 1)2 esin x ] ，
令 g(x) 0 ，得 x b ，则 g(x) 在 (0, b ) 上单调递增，在 (b , ) 上单调递减；
a
a
a
（2）证明：设函数
h(x)
f
(x)
(3x
1)
，则
h( x)
2 x 1
cos x
3．
x 0
，
x
2 (0, 2] 1
，
cos
x [1
，1] ，
则 h(x)0 ，从而 h(x) 在 [0 ， ) 上单调递减，
x
x
令 g(x) ex e 1 lnx 1 ，
x
x
g(x)
(x
1)(e x x2
1)
(x
0)
，
所以 g(x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，
不等式证明里的运算技巧
例 １ 设 ａꎬｂ > ０ꎬ求证:
ａ２
＋ ２
ｂ２
＋
ａ
＋ ２
ｂ≥ａａ２
＋ ＋
ｂ２ ｂ
＋
ａｂ.
探究 我们 知 道
ａ２
＋ ２
ｂ２
≤
ａ２ ａ
＋ ＋
ｂ２ ｂ
ꎬ
ａ
＋ ２
ｂ
≥
ａｂ是两个异向的不等式. 可是ꎬ将其两边分别相 加ꎬ选择一个不等号方向ꎬ意外地获得了一个待证 的新颖不等式.
证明 待证不等式
⇔
ａ２
＋ ｂ２ ２
－
ａｂ≥ａａ２
＋ ＋
ｂ２ ｂ
－
ａ
＋ ２
的解题思路. 关键词: 运算技巧ꎻ不等式ꎻ证明ꎻ加强 中图分类号:Ｏ１２２. ３ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００３ － ６４０７(２０１８)０９￣００３２￣０３
不等式是中学数学的重要内容ꎬ不等式的性质 是不等式的核心知识ꎬ诸如同向不等式相加、相乘 的性质等. 笔者思考的问题是:异向不等式相加、相 乘与同向不等式相减、相除ꎬ可以获得怎样的不等 式呢? 本文通过实际例子探究这个问题. １ 两个不等式相加
２０１８ 年第 ９ 期
中学教研( 数学)
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相减ꎬ获得的不等式是否正确需要论证. 若是正确
的ꎬ则获得了一个十分有用的局部不等式ꎬ这也为
一些不等式的证明提供了一种有效的可能通道.
不动点解决递推型数列不等式问题
“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。
尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。
一、知识方法1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。
对定义的理解：代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根；几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。
2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。
二次递推：()2f x ax bx c=++一次分式递推：()ax b f x cx d+=+根式递推：()f x d =+双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>>等等。
3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。
第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。
第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()10n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。
第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1）若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。
高考数学函数压轴题方法归纳总结
高考数学函数压轴题方法归纳总结一、利用导数证明不等式1．已知()()21xf x ax e x =-+．（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++．【思路引导】（1）由题意1a =时，得()()21xf x x e x =-+，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函数的零点个数；（2）求得函数的导数()()12xf x eax a x -'=++，由0x =是()f x 的极值点，得1a =，得到函数的解析式，令1x t -=，转化为证明1ln 2t te t t +≥++，设()()ln 20xh x ex e x x x =⋅--->， 根据导数得到()h x 的单调性和最小值，证得()0h x ≥，即可作出证明． 2．已知函数()()22xf x e ax x a R =--∈．（1）当0a =时，求()f x 的最小值； （2）当12e a <-时，证明：不等式()12ef x >-在()0,+∞上恒成立． 【思路引导】（1）()2xf x e x =-， ()2xf x e '=-，由单调区间及极值可求得最小值。
（2） 由导函数()22xf x e ax =--'，及12e a <-， ()12222102e f e a e ⎛⎫=-->---= ⎪⎝⎭， ()010f '=-<，由根的存在性定理可知存在()00,1x ∈使得()00f x '=，只需证()f x 最小值()()0020000022x x f x e ax x e x ax =--=-+>12e -，由隐零点00220x e ax --=回代，即证()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e >-。
3．已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =-（1）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；（2）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若数列{}n a 满足11n n a a +=+， 33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()ln 1234...n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<．【思路引导】（Ⅰ）求出()h x '，在定义域内，分别令()'0h x >求得x 的范围，可得函数()h x 增区间， ()'0h x <求得x 的范围，可得函数()h x 的减区间；（Ⅱ）当0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，先证明因此1a ≥时， ()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，再证明当01a <<时不满足题意，从而可得结果；（III ）先求出等差数列的前n 项和为()12n n n S +=，结合（II ）可得ln22,ln33,ln44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<，各式相加即可得结论．4．已知函数()sin xf x e x ax =-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）当1a ≤时，求证：对于任意的x ∈ 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≥． 【思路引导】（1）求出()1x xf x e sinx e cosx '=+-，由()0f 的值可得切点坐标，由()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 在[0,4π]上单调递增⇔ ()f x '在[0,4π]上恒有()0f x '≥．即sin x （4x π+）a ≥恒成立，令()sinxg x =（4x π+），只需求出()g x 的最小值即可得结果；（3）先证明当x ∈ [0,2π]时， ()()0f x g x a '=-≥，()f x 递增，有()()()min 00f x f x f ≥==成立，再讨论两种情况若0a ≤，不等式恒成立，只需分两种情况证明a ∈（0,1]时也恒成立即可． 5．已知函数()2ln f x a x =+且()f x a x ≤．（1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(),a +∞上的最小值为m ，求证： ()67f m <<．【思路引导】由题意知： 2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立， 令()2ln h t a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 可证： ()h t 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．故2a =合题意．6．已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0a >， e 2.7≈）． （1）当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围; （3）求证：对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++． 【思路引导】（1）()21x f x x='-， ()10f '=， ()10f =，可求得切线方程。
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结(最强大)
高考数学压轴题放缩法技巧全总结（最强大）高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结（最强大）变焦技术（高考数学备考资料）证明级数不等式由于其思维跨度大、建构性强，充满了思考和挑战。
它可以全面全面地测试学生的潜能和后续学习能力。
因此，它已成为高考最后一道题和各级各类竞赛题命题的优秀材料。
这类问题的解决策略往往是：多角度观察给定序列的通项结构，深入分析其特点，把握其规律，适当放大缩小；主要有以下膨胀和收缩技术：一、裂项放缩例1（1）请问？K1n24k2？124n2？11? n2n值；（2）验证：？1.五2k?1k3解析:(1)因为211，那么n212n 1.2（2n？1）（2n？1）2n？12n？12n？12n？1k？14k？14（2）因为n1111?251?,所以?1?1?2??11????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累:(1)1441?? 1.2.2.2.2N4N？1.2n？12n？1.R1r？中国？(2)121112cn?1cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)（3） t1n！11111 （r？2）rrr！（n？r）！nr！r（r？1）r？1rn（4）（1？1）n？1.1.1.1.氮气？13? 215?n(n?1)21?n?2?nn?2?2n?12n?3?211?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n(5)111? Nnnn2（2？1）2？12(6)21?1(7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1)(8)n?n（9）111?111?11,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11??(n?1)!n!(n?1)!(10)(11)1n？2（2n？1？2n？1）？222n？1.2n？1.N211? N22(11)(12)(13)(14)2n？111 （n？2）n2nnnnnnnnnn？1n？1n（2？1）（2？1）（2？1）（2？1）（2？2）（2？1）（2？1）2？12? 11n3？1n？n21111 n（n？1）（n？1）？n（n？1）？？n（n？1）？N1.N一1?n?1?n?1?1n?1?2n?n?111N1n？一2n12n?n?32?132n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?k?211??k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1) !(k?2)!1.NN1（n？2）n（n？1）（15）22(15)i?1?j?1?i2?j2(i?j)(i2?1?j2?1)i?j?i?ji2?1?j2?1?1例2（1）验证：1？11171? 2.（n？2）2262（2n？1）35（2n？1）（2）验证：1？1.1.1.1.12416364n24n（3）验证：1？1.3.1.3.5.1.3.5.（2n？1）？2n？1.一22?42?4?62?4?62nn(4)求证：2(n?1?1)?1?1?11?2(2n?1?1)23分析：（1）因为111?11?,所以2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)?(2i?1)i?1n12111111?1?(?)?1?(?)232n?1232n 1(2)11111(111)1(111)222416364n42n4n（3）首先证明1？3.5.（2n？1）？2.4.6.2n12n？1.重新连接1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得到答案（4）首先，再次证明1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?1?1123n从平均不平等性来看，很明显这是真的，2(2n12n1)2n12n1n211n22所以1?1?11?2(2n?1?1)23n例3.求证:6n1115？1.2.(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?214n?12n?12n?1?2?n?414解析:一方面:因为,所以kk？1n1211？25? 11? 1.2.1.2n？12n？1.33? 35另一方面：1？1.1.1.1.1.1.249n2？33? 411n1n(n1)n1n1当n?3时,什么时候？2点，总结一下6n111n6n,当n?1时,?12?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?12,（n？1）（2n？1）49n，6n1115?12?（n？1）（2n？1）49n3案例4（2022年国家第一卷）集合函数f（x）？十、xlnx。
数列不等式证明中的三种常用方法
方 法一 ： 适 当放缩后变成等比数列 分析： （Ｉ） 、 （ Ⅱ） 略； （ ｍ） 显然 ｛ ｝ 的前几项 和
ａｎ
求不 出 ， 但通项 ：
可通过适 当放缩化 为等 比
数列 ， 具体过程见下 面的解析 。
解： （ １ １ １ ） ・ ． ・ ３ ． ＿ ３ ． － １ ＝ ２ ・ ３ ． １ ＞２ ／ ・ ２ ． １ ＝ ２ ｎ ． ３ ＂ － ２ ≥３ ． １ １ ≤ 于是 ＋ １＋ ． ． ． ≤１ ＋ ＋ ． ． ． ＋ ：
一
，
０ ｌ ｎ ２ 啦
５ １ ９ ２
ｊ 一＜ 】 ＋ × 一 ３： ＿ ３
３ ２ ２
ｉ
当ｎ ≥４ 时， ・ ． ・ ＜ ６
ａｎ
＝ １ ３ ｉ － ２
所以命题在ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时也成立。
综合①② ， 由数学归 纳法可得 ， 对一切正整数ｎ ，
１
— —
１
— —
＜——
３
ａ ｎ ２
方法二 ： 适当放缩后裂项求和 证明： ｎ ＝ ２ 时， ３ ２ － ２ ａ ＞ ２ ｘ ２ ｘ （ ２ － １ ） 成立 当ｎ ≥３ 时，
３ — ２ ＝（ １ ＋ ２） 一 ２ ｎ ＝１ ＋ Ｃｎ １ ２ ＋ Ｃ ｎ ２ － ２ ＋…＋Ｃ ｎ ・ ２ 一
１ ＞ Ｃ ｎ ・ ２ ２ ＝ ２ ｎ （ ｎ 一１ ）
故：
≤一 １×
２
（ ｎ ≥２ ）
＋—— ＋… ＋ —— ＜—— ｏ
１
１
３ ２
ｊ 一 Ｚ“
Ｌ １ ７ ， －ｌ Ｊ ｎ
０ｌ 啦
分析 ： 易求得（ １ ） ｎ １ ＝ １ ； （ ２ ） ａ ｎ ＝ ３ ｎ 一 ２ ｎ
数列不等式证明方法的探究
列不等式
ｏ王 晶 何泉清
数列不等式是 高考数学 的热点 ， 且常常 出现 在压 轴题 中， 扮演着控 制整张试 卷 区分 度 的角色。数列 不 等式 的证 明常利用 比较法 、 放缩法等常用的方法。
一
（ 了 … １ １＋
证明 ： 要证明上式 。 只需证 明：
证 明： 根据 “ 加糖不 等式 ” 若 Ⅱ＞ｂ＞０ ｍ ＞ ， ， ， ０ 则
ｂ＋ｍ
口 ＋ ， 孔
＞ ａ ，
设 ＝（ ＋１ （ 了 （ 了 １ ） １ １） １ １）… ・
ｊ Ｊ
数学导学 ｚ编 丞 责ｚ ｓｙ ｚ ｙ
（ ２ １
例 ３ 证明不等式：１ １ （ １） １ 了 （ ＋）１ 了 （ １）… ・
）＞ ２ ｎ＋１ （ ＥＮ ｎ ） 。 ｎ ， ≥２
— ｌ
例 ２ 已知 ｎ ， Ｎ 求证： ｅ
（ 丁 ＋… ＋ （ ＋ １ １ １
＿ ≥ ÷ － ） ｌ） （ ＋ ＋ ＋ 。 １． ・
ａ￣＋２ｄ＝７
４ａ
＋ ： ， ： ６２ 艄 得 ２ ｄ４ 解｛
…
号 ｎ ＋ ）（＋ ＋ ） ＋ ． ÷ ． ） （ ． ＋ ÷ ・ ÷ ‘ ‘ ＋ ‘ ． ③ ‘ ・ ＋
④
比较②式 和③式 ， 有 ： 若
则 数 列 ｛ 的通 项 公 式 为 ： ＝ａ ＋（ｌ ） Ⅱ） ａ 。 ，一１ ｄ＝
） 。 ②
（ 若 Ｐ ｑ为 正 整 数 ， Ｐ≠ｇ 求 证 Ｓ ＋ Ⅱ） ， 且 ， ｐ ＜
① 的 边 ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 式 右为ｎ ÷ … ）（ ÷ （ 寺 ÷
不等式解题技巧
不等式解题技巧近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
2008年高考江西卷压轴题的简解及推广
ax
卢
1
J
＋.
1
fr
＜
2
．不妨设
p�q�r，从而
p
�2 ． 由千 了 l ＜ lJ ,� l < r 1，由结论＠得
/T1+p.＋ /I1+q.＋ � 1 '＜ /T1+p ＋
1
+1=
l
+
✓ (l + q) （1+ r)
J
1
1
+ 1 ::::;;
J十
✓ qr + q+r + 1
1
+l= 1 十 1 + 1
(2)问，且标答在证 f(x) >1时用两个正数的
算术平均值不小于儿何平均值的性质来证，体
现了考试不超纲的知识要求，但在证f 釭）＜ 2
时，对 a + b 分 a+b<? 及 a + b?::7 两种情形
作分类讨论，技巧性极高，这是一般考生难以在
短时间想象得到的．本文以下第(2)问的证法分
析虽是新解，但高中生也能理解，现分析如下：
1
结论＠厂k 1
＋
✓
1
1 ＋互＋1
＜
✓ ＋ 1, 又只 要证 l+x卢Xk+1 +XkXk +1
1
了了工言石已
勹 三，即
1 - ak+I
（
ak + l
)x釭k +I �Xk +Xk+I,由结 论＠知
（
1
-
ak+ \
1
)x1互 ,- ＋1�(
-
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高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。
其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。
（1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证11111 (2242)n -++++<()*n N ∈ 证明：111-111121...==21-2124221-2nnn -⎛⎫⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭++++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
（2）. 先裂项相消求和再放缩。
例2.求证1111...1122334(1)n n ++++<⨯⨯⨯⨯+()*n N ∈ 证明：1111111111...=1-+-+...+-=1-1122334(1)223+1+1n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
例3．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．例4.求证23123 (22222)n n++++<()*n N ∈ 证明：令1(1)222n n nn an b a n b-+++=-，通过比较系数得到a=b=1.11(1)1222n n nn n n -+++=-， 23211233341(1)1(1)1...2...222222222222n n n nn n n n -+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例5.求证222223123 (62222)n n ++++<()*n N ∈证明：令()2221(1)1222n n n a n b n cn an bn c -++++++=-，通过比较系数得到a=1，b=2，c=3.所以()2221(1)21323222n n nn n n n n -++++++=-， 所以()223(1)213123...6622222n nn n n++++++++=-< 例6.求证()11111...123234345(1)24n n n ++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++()*n N ∈证明：令()()1(1)2(1)(1)2k k n n n n n n n =-⨯++⨯+++，比较系数得到12k =，()()1111(1)22(1)(1)2n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⨯++⨯+++⎝⎭， ()()11111111...123234345(1)242(1)24n n n n n ⎛⎫++++=-< ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++⎝⎭ 例7．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．例8.已知数列}{n a 中，满足n n n a a a +=+21，211=a ， （1）求证：n n a a >+1； （2）求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<解： （1）n n n a a a +=+21 ∵211=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1（2）n n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121∴11111+-=+n n n a a a所以1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1111211++-=-=n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 143)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12∴131>≥+a a n ∴21211<-<+n a2.添加或舍弃一些正项（或负项）例9、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 分析：要证122311...23n n a a a n a a a +-<+++，即证122311111--...->2223n n a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 缩小成一个等比数列求和，再放缩。
证明：111211111111,1,2,...,,2122(21)23222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-⨯=--⨯+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简.3.固定一部分项，放缩另外的项； 例10、求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n<=--- 2222211111111151171()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
4.改变放缩的方式例11. 已知数列{}n a 中21n a n =，证明：2222111151233n S n =+++< 放缩一：21111(1)1n n n n n<=---(2)n ≥ 222222222111111111111111()()1231234556671n S n n n=+++<+++++-+-++--＝131211131212389240051111.3640036400360036003n ++-<++=+<+= 点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。
需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节 放缩二：22111111(),(2)1(1)(1)211n n n n n n n <==-≥-+--+ 222222111111111111111()()1231222435211n S n n n n n =+++<++-+-++-+---+ 51111151115()().4223142233n n <++--<++=+ 点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式 放缩三：221111111()2(),(1)111112121()()42222n n n n n n n n n <==-=-≥-+-+--+ 2222111111111111512()12()123355721213213n S n n n n =+++<+-+-++-=+-<-++ 本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。
一．逐一放缩法 例12.设)11*n a n N n =+∈，123...n n S a a a a =++++，1111...23n T n=++++，求证：27352n n S n T -<<。
二、利用函数单调性（导数）放缩(尤其是ln(x+1)<x, lnx<x-1，x+1<e x) 例14.已知*n N ∈，3n ≥，求证：11111ln ....3345n n+<++++例15.已知*n N ∈，证明：2311111ln 1ln 1ln 1...ln 1.33332n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例17．（2008一模文21、理20）（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．三、借助数列递推关系（迭代法）例18.已知12-=nn a .证明：()23111123n n N a a a *++++<∈.四．21111,nn n i i i i ===∑奇巧积累:(1)22211411214121214n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+⎝⎭-，或 22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭ ， 或2211111n n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭.2=<=,=<=,(3)22=<<==。