8-高考压轴题-不等式证明方法

高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。

（1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证1111

1 (2242)

n -+

+++<()*n N ∈ 证明：111-111121...=

=21-2124221-2

n

n

n -⎛⎫

⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭++++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。 （2）. 先裂项相消求和再放缩。 例2.求证

1111

...1122334(1)

n n ++++<⨯⨯⨯⨯+()*n N ∈ 证明：

1111111111...=1-+-+...+-=1-1122334(1)223+1+1n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 例3．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，2

11)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，

所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这

里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．

例4.求证

23123 (22222)

n n

++++<()*n N ∈ 证明：令1(1)222n n n

n an b a n b

-+++=-，通过比较系数得到a=b=1.

11(1)1

222n n n

n n n -+++=-

， 23211233341(1)1(1)1...2...222222222222n n n n

n n n n -+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

例5.求证2222

23123 (62222)

n n ++++<()*n N ∈

证明：令()2

221(1)1222n n n a n b n c

n an bn c -++++++=-，通过比较系数得到a=1，b=2，c=3.

所以()2

221(1)213

23222

n n n

n n n n n -++++++=-， 所以()223(1)213123...6622222n n

n n n

++++++++=-

< 例6.求证

()11111

...123234345(1)24n n n ++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++()*n N ∈

证明：令

()()1(1)2(1)(1)2k k n n n n n n n =-⨯++⨯+++，比较系数得到1

2

k =，

()()1111

(1)22(1)(1)2n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⨯++⨯+++⎝

⎭， ()()1111111

1...123234345(1)242(1)24

n n n n n ⎛⎫++++=-< ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++⎝⎭ 例7．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，2

11)1(4+=--n n a S ，作差得：

12

12224----+=n n n n n a a a a a ，

所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．

例8.已知数列}{n a 中，满足n n n a a a +=+2

1，2

11=

a ， （1）求证：n n a a >+1； （2）求证：),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<

解： （1）n n n a a a +=+2

1 ∵2

1

1=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02

>n a ∴n n a a >+1

（2）

n n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=

+11

1)1(1112

1

∴

1

1

111+-=+n n n a a a

所以

1

3221211

11111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1

111

211++-=-=

n n a a a ∵4321)2

1

(2

2=+

=a , 14

3

)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12