山东省2021届高三下学期第三次质量监测数学试卷及答案
2021年高三下学期质量监测(三)数学(文)试题 含解析
2021年高三下学期质量监测（三）数学（文）试题含解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：∵，∴，故选C．考点：集合的运算.2.设复数（是虚数单位），则=（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：由，故选A．考点：复数的计算.3.已知，且，则为（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：∵，∴，于是由，于是可求得，故选B．考点：平面向量数量积.4.已知中，内角，，的对边分别为，，，，，则的面积为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C.考点：余弦定理.5.是成立的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】试题分析：由解得，再根据已知条件易知选A．考点：1.一元二次不等式；2.充分必要条件.6.已知双曲线的离心率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：∵，∴，故选C．考点：双曲线的离心率.7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：∵，因此应选择时满足，而时不满足条件∴，故选C．考点：程序框图中的循环结构.8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为，故选D．考点：空间几何体体积计算.9.函数对任意都有，则等于（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B.【解析】试题分析：由可知函数图象关于直线对称，则在处取得最值，所以，故选B．考点：三角函数的性质.10.在平面直角坐标系中，若满足，则的最大值是（）A. 2B. 8C. 14D. 16【答案】C.【解析】试题分析：根据线性规划的方法可求得最优解为点，此时的值等于14，故选C.考点：线性规划的运用.11.已知抛物线的焦点为，直线与交于在轴上方）两点，若，则的值为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】D.考点：直线与抛物线的位置关系.12.对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：(i) 对任意的，恒有；(ii) 当时，总有成立.则下列三个函数中不．是函数的个数是（）① ② ③A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A.考点：函数新定义问题.二．填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷对应的横线上．13.函数()的单调递增区间是__________.【答案】.【解析】试题分析：∵，∴函数的增区间为，又∵，∴增区间为．考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的单调区间.14.将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .【答案】.【解析】试题分析：根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.考点：系统抽样.15.已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 .【答案】.【解析】试题分析：由已知或，∴解集是.考点：偶函数的性质.16.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 .【答案】.【解析】试题分析：设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.考点：球的内接几何体.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子转化为关于，方程组，求得，即可求解；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和即可得证.试题解析：（1）设数列的公差为，则由已知条件可得：，解得，于是可求得；（2）∵，故，于是)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n又∵，∴.考点：1.等差数列的证明；2.裂项相消法求数列的和. 18.(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班48977（1（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率. 【答案】（1）甲更稳定；（2）. 【解析】试题分析：（1）计算平均数，甲乙两个班的平均值相等，计算方差可知甲班的方差较小，因此甲班的成绩比较稳定；（2）分析题意可知，总共的基本事件共有，而符合题意的基本事件有个，故所求考点：1.平均数与方差的计算及其意义；2.古典概型求概率. 19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点，分别为为和中点. （1）求证：直线平面；（2） 求三棱锥的表面积.【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）作交于根据条件可证得为平行四边形，从而根据线面平行的判 定，即可得证；（2）由题意可证得平面，进而可得，，计算各个面的面 积，即可求得表面积.试题解析：（1）作交于，∵点为中点，∴，∴， ∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面； （2）连结，可知，∵平面，∴，又∵，∴平面， ∴，，由此，， ，，因此三棱锥的表面P BEF PEFPBFPBE BEFS SSSS-=+++=.A BCDPFE考点：1.线面平行的判定；2.空间几何体表面积的计算. 20.(本小题满分12分)已知椭圆:的上顶点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）证明：过圆上一点的切线方程为；（3）从椭圆上一点向圆引两条切线，切点为,当直线分别与轴、轴交于两点时，求的最小值.A BCDPFE【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）根据条件中可建立关于，，的方程组，即可求解；（2）利用导数的几何意义可得过点的切线方程为，化简即可求证；（3）首先根据导数的几何意义可得，点的椭圆的切线为，过点的椭圆的切线为，从而切点弦所在直线方程为，从而22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由基本不等式即可求解.试题解析：（1）∵，，∴，，∴椭圆方程为；（2）∵，两边求导可得，，当切线的斜率存在时，设切线方程为，又∵，故切线方程为，∴，当不存在时，切点坐标为，切线方程为，符合，综上，切线方程为；（3）设点坐标为，，是圆的切线，切点，，过点的圆的切线为， 过点的圆的切线为∵两切线都过点，∴，，∴切点弦的方程为，由题知 ，∴，， ∴22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫=++⋅+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ⋅+⋅≥+=，当且仅当， 时取等号，∴，∴的最小值为.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.利用导数求曲线上某点的切线方程；3.基本不等式求最值.21.(本小题满分12分) 已知函数，.（1）若，过点作曲线的切线，求的方程；（2）若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据导数可知若设切点为，则处的切线方程为，再由条件切线方程过点即可求解；（2）分析题意可知，，构造函数，从而问题等价判断的取值情况，利用导数即可求解. 试题解析：（1）设切点为，则处的切线方程为，该直线经过点，∴有，化简得，解得或，∴切线方程为和；（2）由题得方程只有一个根，设，则，∵，∴有两个零点，即（）， 且，，不妨设，∴在单调递增，在单调递减，为极大值，为极小值，方程只有一个根等价于且，或者且，又∵232323311()111(1,2)222i ii i i i i i i iix xg x x ax x x x x x ix-=--+=--+=--+=，设，∴，∴为减函数，又∵，∴时，，时，∴大于或小于，由知，只能小于，∴由二次函数性质可得，∴.考点：1.利用导数求曲线上某点的切线方程；2.利用导数判断函数的单调性求极值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，，为切点.（1）求证：；（2）若圆的半径为2，求的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，，可证明，，从而得证；（2）由（1）可得∽，从而利用相似三角形的性质即可得.试题解析：（1）连接，，∵，是圆的两条切线，∴，又∵为直径，∴，；（2）由，∴，∴∽，，.考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.考点：1.圆的参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的转化；2.点到直线距离公式；3.三角恒等变形.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 （1）已知，都是正数，且，求证：； （2）已知，，都是正数，求证：. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用作差法，变形，可得，从而得证；（2）根据基本不等式可得，，①，同理 ②，③，以上三个式子相加即可得证. 试题解析：（1），∵，都是正数，∴， 又∵，∴，于是，即， ∴；（2）∵，，∴①， 同理 ②，③，①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++，从而， 由，，都是正数，得，因此.考点：1.作差法证明不等式；2.基本不等式.32924 809C 肜33733 83C5 菅24356 5F24 弤J37751 9377 鍷Q8321677 54AD 咭/28459 6F2B 漫297997467 瑧26504 6788 枈36050 8CD2 賒g。
山东省临沂市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
山东省临沂市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||4,4,||a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得： ()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r ，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r r r r r r Q|2|a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.2．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 3．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A【解析】【分析】【详解】 由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+ cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：4．已知α322sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49- 【答案】C【解析】【分析】 322sin αα=可得3cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】 因为23cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos 3α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 5．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ）A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A【解析】【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =⋅， 作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==， 所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．6．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D【解析】【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解.【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<， p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．7．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2] 【答案】D【解析】【分析】 由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 382x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()2sin 3[8f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域是[2]， 故选：D.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A．623+ +B．622+D．443+C．442【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：1111⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+22222222224422222故选C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.【详解】 根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立．继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =，由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，可得：2c =，可得2b c =，b a =C 的渐近线方程为y =． 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 11．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．(4h π+B ．(2h π+C ．(8h π+D ．(2h π 【答案】D【解析】【分析】【详解】设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得42a h =π，所以2h a π=，所以需要灯带的总长度约为44(22h +π⨯=π+h ，故选D ．12．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=， ∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=， ∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-， 当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省潍坊市高三三模数学试题(解析版)
2021届山东省潍坊市高三三模数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}3,4B =，则集合{}5=（ ） A ．()UA B B ．()()U UA BC ．()UA BD ．()UB A ⋃【答案】A【分析】根据并集及补集的定义对选项一一分析即可. 【详解】对于A ，(){}5UA B ⋃=，故A 正确；对于B ，()(){}{}{}3,4,51,2,51,2,3,4,5UU A B ⋃=⋃=，故B 错误；对于C ，(){}{}{}3,4,53,43,4,5U A B=⋃=，故C 错误；对于D ，(){}{}{}1,2,51,21,2,5UB A ⋃=⋃=，故D 错误；故选：A2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ． 【解析】1、复数的运算；2、复数的几何意义．3．某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】设高三抽取的人数为x 人，根据分层抽样，列出方程即可求解. 【详解】设高三抽取的人数为x 人，则63020x =，即4x =. 故选：C4．如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AC =，若ED AD AB λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13-B ．1C ．23D ．13【答案】D【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解. 【详解】()11213333ED AD AE AD AC AD AB AD AD AB =-=-=-+=-, 又∵ED AD AB λμ=+，AD AB ，不共线 ， 根据平面向量基本定理可得21,33λμ==-, ∴13λμ+=, 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值. 5．“tan 2α=”是“4cos 25π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系从4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得tan α的值,进而根据充分、必要条件的定义作出判定.【详解】解：2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos 2sin cos tan 15παααααααααα⎛⎫-===== ⎪++⎝⎭等价于22tan 5tan 20αα-+=等价于1tan 2α=或tan 2α=， ∴tan 2α=是4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系，属基础题，关键是利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系从4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得tan α的值.6．某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为()()23f t t t n =-+，（05t ≤≤，其中0t =表示5月1日，1t =表示6月1日，以此类推）．若()26f =，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（ ） A ．5月和6月 B ．6月和7月C ．7月和8月D ．8月和9月【答案】B【分析】根据条件求得参数n ，求导求得函数单调性，根据单减区间判断价格下跌的月份.【详解】(2)26f n =+=，故4n =，2()(3)4f t t t =-+，([0,5])t ∈， 则2()(3)2(3)3(1)(3)f t t t t t t '=-+-=--，则(0,1)t ∈时，()f t 单增；(1,3)t ∈时，()f t 单减；(3,5)t ∈时，()f t 单增； 则1t =和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月 故选：B7．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且2ABF 为等边三角形，则以下说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =±B ．若双曲线C 的实轴长为2，则12AF F S =△C ．若双曲线C 的焦距为AD ．点2F 在以1AF 为直径的圆上 【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，结合平面几何性质以及双曲线的定义，找到,,a b c 的关系，然后结合选项中给的条件逐个进行计算判断即可.【详解】∵2ABF 为等边三角形，∴222,3AB AF BF ABF π==∠=∵12112AF AF AF AB BF a -=-==，1223F BF π∠= 由对称性可知21BF BF =，13F BO π∠=又∵1OF c =∴在1Rt F BO 中，1113sin 2OF c F BO BF a ∠===∴3c a =∵213c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴2b a = 对于A 选项：双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故A 错误； 对于B 选项：∵实轴长为2，∴22a =即1a =， ∵3c a =2ba=，∴3c =2b =∴12123,3F F AF == ∴1211211133sin 233222S F F AF AF F =⋅∠=⨯⨯=B 错误； 对于C 选项：∵若双曲线C 的焦距为23∴3c =∵3c a =2ba=，∴1a =，2b =∴1213F F AF ==12112111sin 3222S F F AF AF F =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=设A 点的纵坐标为A y ， 1212A S F F y =⋅⋅∴12A y ⨯=32A y =，故C 错误； 对于D 选择：∵1212,63AF F F AF ππ∠=∠=∴12122AF F F AF π∠+∠=∴点2F 在以1AF 为直径的圆上，故D 正确. 故选：D.【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、||PF 1|-|PF 2||＝2a ，得到a ，b ，c 的关系．8．定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对模m 同余，记作()mod a b m ≡，比如：()2616mod10≡．已知0122101010101010888n C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，满足()mod10n p ≡，则p 可以是（ ）A ．23B ．21C ．19D ．17【答案】B【分析】利用二项式定理可以看出()1018n =+，进一步写成()10110-，再利用二项式定理展开，进而求得n 被10除所得余数，然后即可做出判定.【详解】由二项式定理可得()()()10101010189101110n =+==-=-12210101010101101010C C C =-+-⋯+,等号右边除了第一项1外，其余各项都是10的倍数，∴n 被10除所得余数为1，在选项中，只有21倍10除所得余数为1， 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理在求余数中的应用，关键是灵活使用二项式定理进行变形.二、多选题9．已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】由函数图象过点()1,2可得a 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a =，即2a =，12xxy a-⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；故选：ABD.10．已知α，β是两个平面，m ，n 是两个条件，则下列结论正确的是（ ） A ．如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥C ．如果//αβ，m α⊂，那么//m βD ．如果//m α，βn//且//αβ，那么//m n【答案】AC【分析】针对各选项分别讨论.【详解】对于A ，若m α⊥，//n α，则m n ⊥,故A 正确;对于B ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则//αβ或αβ，相交，故B 错误; 对于C ，若//αβ，m α⊂，则//m β，故C 正确；对于D ，若//m α，βn//且//αβ，则mn ，平行、相交或异面，故D 错误. 故选：AC.11．已知函数()2sin sin 2f x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的周期为2π B ．()y f x =的图象关于π2x =对称C ．()f xD ．()f x 在区间在2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ACD【分析】通过()()2f x f x π+=可判断A ；通过()()fx f x π-≠可判断B ；通过导数判断函数的单调性求出最值可判断C ；结合C 可判断D.【详解】由于()()()()22sin 2sin222sin sin2f x πx πx πx x f x +=+-+=-=，故A 正确；由于()()()()2sin sin22sin sin2f πx πx πx x x f x -=---=+≠， 即()y f x =的图象不关于π2x =对称，故B 错误； ()()222cos 2cos 22cos 22cos 14cos 2cos 2f x x x x x x x '=-=--=-++()14cos 1cos 2x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当222,2,33x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当22,23x k k ππππ⎡⎤∈-+-+⎢⎥⎣⎦或22,2,3x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减；所以()max 2222sin sin 2333f x f πππ⎛⎫==-⨯=⎪⎝⎭C 正确； 由C 项分析可知，()f x 在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：通过理解函数()f x 解析式所具有的特征来解决函数()f x 的周期性以及对称性的问题，通过导数结合三角函数不等式的解法是解决单调性以及最值的关键.12．如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯ 【答案】ABD【分析】由题可知，数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，然后分析计算即可.【详解】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列2n n d =.对于选项A ：由题可知，每行第一个数满足下列关系：12n n a n -=⨯，所以第6行第1个数为61662192a -=⨯=，故A 正确；对于选项B ：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列，选项B 正确； 对于选项C ：第10行的第一个数为101910102102a -=⨯=⨯，公差为102，所以前10个数的和为：910910910102219022⨯⨯⨯+⨯=⨯，故C 错误； 对于选项D ：数表中第2021行中第一个数为20211202020212021220212a -=⨯=⨯，第2021行的公差为20212，故数表中第2021行第2021个数为()2202020202102021202116226021+-⨯⨯⨯=，选项D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点睛：本题考查了数字的变化类问题，通过观察、归纳、总结得出：“数表中每行的第一个数满足数列12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列2n n d =.”这一规律是解题的关键.三、填空题13．在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X 服从正态分布()2,N μσ，若()900.5P X ≥=，且()1100.2P X ≥=，则()70P X ≤=________．【答案】0.2【分析】由题意易得90μ=，根据正态分布的特征即可得结果. 【详解】由题意易得90μ=，所以()()701100.2P X P X ≤=≥=， 故答案为：0.2.14．设函数()()2,1,11,1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩则不等式()()120f x f -+>的解集为________． 【答案】()3,3-【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知()f x 在R 上单调递增，且(2)2(2)f f -=-=-， 则()()()()12012(2)f x f f x f f -+>⇒->-=-， 由单调性知12x ->-，解得()3,3x ∈- 故答案为：()3,3-【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B在椭圆上，且满足112AF F B =，210AF AF ⋅=，则椭圆C 的离心率为________．【答案】53【分析】设出1AF 的长度为2m ，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出,a c 关于m 的表示，最后根据离心率的计算公式求解出结果.【详解】设()120AF m m =>，因为112AF F B =，所以1BF m =， 又因为21120,2AF AF F F c ⋅==，所以222221212AF F F AF c m =-=-，又因为22222245BF AB AF c m =+=+，且12122AF AF BF BF a +=+=，所以22222245m c m m c m +-=++，所以2222245m c m c m +-=+， 所以222222244445m c m m c m c m +-+-=+，所以225c m =，所以5c m =， 又因为222226a m c m m =+-=，所以3a m =，所以5533c m e a m ===， 故答案为：53.【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率或离心率范围的常用方法： （1）根据椭圆方程直接求解出,a c 的值，从而求解出离心率； （2）根据已知条件构造关于,a c 的齐次方程，求解出ca的值，从而求解出离心率； （3）根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于e 的等式或不等式，从而求解出离心率或离心率的范围.16．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【答案】12【分析】设OBC θ∠=，利用θ和内切球半径R 可表示出圆锥底面半径r 和母线l ，由圆锥和球的表面积公式可得()22212tan 1tan S S θθ=-，令2tan 0t θ=>，根据二次函数性质可求得最值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，圆锥内切球半径为R ， 作出圆锥的轴截面如下图所示：设OBC θ∠=，tan R r θ=，tan R r θ∴=， OD AB ⊥，OE BC ⊥，DBE DOE π∴∠+∠=，又AOD DOE π∠+∠=， 2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+， 则圆锥表面积()1S r l r π=+，圆锥内切球表面积224S R π=，∴所求比值为()22221242tan 1tan 2tan 2tan 1tan tan S R R R R S πθθπθθθθ==-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 令2tan 0t θ=>，则()2212122S t t t t S =-=-+， ∴当12t =时，21S S 取得最大值12.故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够将圆锥表面积和球的表面积的比值利用一个变量表示出来，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用函数的性质来进行求解.四、解答题17．已知正项等比数列{}n a ，其中1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令22log n n b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列211n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <． 【答案】（1）2n n a =；2n b n =；（2）证明见解析.【分析】（1）由表格数据可确定123,,a a a ，由此可得等比数列公比q ，由等比数列通项公式可得n a ；由对数运算可得n b ；（2）由（1）可得()()21112121n b n n =--+，采用裂项相消法可求得n T ，由1021n >+可推导证得结论.【详解】（1）由题意得：12a =，24a =，38a =，∴等比数列{}n a 的公比422q ==，1222n n n a -∴=⨯=． 又222log 2log 22nn n b a n ===，2n b n ∴=.（2）由（1）知：()()22111111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭， 111111111123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，n N *∈，1021n ∴>+，11121n ∴-<+，11112212n T n ⎛⎫∴=-< ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()mf n f n d ⋅+⎡⎤⎣⎦形式的数列，即()()()()11m m d f n f n d f n f n d ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎡⎤⎝⎭⎣⎦，进而前后相消求得结果. 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是AC 上的点，BM 平分ABC ∠，ABM 的面积是BCM 面积的2倍．（1）求sin sin C A； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC 的面积．【答案】（1）2；（2 【分析】（1）由2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，得到2AB BC =，由正弦定理得sin 2sin C ABA BC==； （2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠， 所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C ABA BC== （2）由sin 2sin CA=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=，所以1a =，从而2c =．又因为1cos 4B =且0πB <<， 所以15sin 4B =． 因此 111515sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.19．如图，已知ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，将ABC 绕AB 转动到PAB △位置，使得平面PAB ⊥平面ABC ，连接PC ，E ，F 分别是PA ，CA 的中点．（1）证明：EF AB ⊥； （2）在①33ABCS=P 到平面ABC 的距离为3，③直线PB 与平面ABC 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E BF A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ，通过三角形全等可以证得FD AB ⊥，从而得到AB ⊥平面EFD ，进而由线面垂直可证得EF AB ⊥；（2）根据选取的已知条件求得AB 的长度；以O 为坐标原点，以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系,依次表示出所需要点的坐标,然后求出平面BEF 和平面BFA 的法向量，然后结合空间向量的夹角即可. 【详解】（1）证明：如图（1），过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ，连接DF ，由题意知，PAB CAB ≌△△，易证EDA FDA ≌△△，所以π2EDA FDA ∠=∠=，即FD AB ⊥，因为ED AB ⊥，ED FD D ⋂=， 所以AB ⊥平面EFD ， 又因为EF ⊂平面EFD ， 所以EF AB ⊥．图（1）（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 由平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以PO ⊥平面ABC ．以O 为坐标原点，以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系．图（2）设ABa ，ABC θ∠=，由条件①得21sin 32ABC a S θ==△ 由条件②得sin 3PO a θ==， 由条件③得60PBO ∠=︒，即120θ．若选条件①②，可求得23a =)3,0,0B，()33,0,0A ，()0,0,3P ，()0,3,0C ，因而33322E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,022BF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3322BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z =，由00m BF m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330223302x y x z +=⎪+=取()3,1,1m =-，又易知平面BFA 的一个法向量()0,0,1n =，故1555cos ,=m n m n m n⋅⋅==， 所以二面角E BF A --的余弦值为55． 若选①③或②③均可求得23a =，下同．【点睛】利用空间向量求二面角时，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负． 某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列； （3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 【答案】（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲.【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可； （2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论.【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=． （2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==， ()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256． 【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定格式件会同时发生； （3）求出每个事件发生的概率，再求积.21．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，点(),2P m （0m >）在抛物线C 上，且满足3PF =． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ，求三角形PQG 周长的最小值．【答案】（1）24x y =；（2） 【分析】（1）由抛物线定义可得232pPF =+=求p ，写出抛物线方程即可； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4y kx =+，联立抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12x x ，设A ，B 处的切线斜率分别为1k ，2k ，可得A ，B 处的切线方程，联立求Q 坐标，即知Q 在定直线4y =-上，应用将军饮马模型，即可求三角形PQG 周长的最小值．【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，得2p =， ∴抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4y kx =+， ∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩，消掉x ，得24160x kx --=，0∆>， ∴124x x k +=，1216x x =-，设A ，B 处的切线斜率分别为1k ，2k ，则112x k =，222x k =， ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-①， 同理，在B 的切线方程为22224x x x y =-②， 由①②得：1222Q x x x k +==，代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--， ∴()2,4Q k -，即Q 在定直线4y =-上，设点G 关于直线4y =-的对称点为G '，则()0,12G '-，由（1）知()2P ，∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=,,P Q G '三点共线时等号成立，∴三角形PQG 周长最小值为GP G P '+=．【点睛】关键点点睛：第二问，设交点及直线方程，联立抛物线结合韦达定理求12x x +，12x x ，再设切线方程，求交点坐标并可确定其在定直线上，应用将军饮马模型求三角形周长的最小值.22．设函数()ln f x x x =． （1）求曲线()y f x =在点()()22,e f e--处的切线方程；（2）若关于x 的方程()f x a =有两个实根，设为1x ，2x （12x x <），证明：22112x x a e --<++．【答案】（1）2y x e -=--；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求得切点处的斜率，从而写出切线方程； （2）由函数导数求得函数单调区间，分别取在()22,2e e---点的切线方程2y x e-=--及在()1,0处的切线方程为1y x =-与y a =的交点横坐标为34,x x ，分别证得31x x <，42x x >，从而证得221431x x x x a e a --<-=+++.【详解】解：（1）由于()222f ee --=-，又()1lnf x x '=+， 故在点22(,())e f e --的切线斜率()21k f e-'=-=， 因此所求切线方程()222y e x e --+=--，即2y x e -=--．（2）由于()1ln f x x '=+， 故10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x '单调递减， 1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x '单调递增，由图易知，110,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）可知，在()22,2e e ---点的切线方程为2y x e-=--， 设2y x e -=--与y a =的交点横坐标为3x ，且310,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即23x e a -=--，下证31x x <．由于()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故只需证明()()310f x f x ->即可． 设()()23133333ln ln y f x f x x x a x x e x -=-=-=++（310,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． 331ln 12ln x y x =++=+'，故()230,x e -∈，0y '<，函数单调递减， ()213,x e e --∈，0y '>，函数单调递增， 因此230x e y y -=>=，即31x x <．又()f x 在()1,0处的切线方程为1y x =-，设1y x =-与y a =的交点横坐标为4x ，，即41x a =+，下证42x x >．由于()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故只需证明()()420f x f x ->即可，设()()4244444ln ln 1y f x f x x x a x x x =-=-=-+，441ln 1ln 0x x y =+-=<'，函数在41,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，410x y y =>=， 即42x x >．综上易知，221431x x x x a e a --<-=+++，即22112x x a e --<++． 【点睛】关键点点睛：利用导数求得函数单调区间，将()f x a =方程的根涉及的双变量问题，转变为已知两点处切线与y a =的交点问题，通过基本不等式的传递证得结论.。
山东省济宁市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
山东省济宁市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数， 所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.2．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．1211e e r R e e++-- B ．111e e r R e e ++-- C ．1211e e r R e e -+++ D ．111e e r R e e -+++ 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】 椭圆的离心率：=(0,1)c e a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=-- 所以1r R a e +=-,()1r R e c e+=-, ()121111r R e r R e e n a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+---- 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 3．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π 【答案】B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则3423SD CD ===，则()()()222222232326SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o . 设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ， 又31234233OE DF OE OF ====⨯⨯=，由勾股定理得22263OD OE DE =+=. 所以外接球半径为2222266023R OD BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以外接球的表面积为2260804433S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系 5．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A 17B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-，过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ）A ．42B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值.【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=， ()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.7．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-， 由1,y y x x=-=在()1,+∞递增， 所以1t x x =-在()1,+∞递增 又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x =-在()1,+∞递增，故排除B 、C当1x ≤时()cos x f x e π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数所以()cos x f x eπ=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】 本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+ B ．12 C ．212- D ．214-【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】由于()221cos 21cos 22cos sin 422xx f x x x ππ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭ cos 2sin 2122x x =++ 21sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 故其最小值为：212-. 故选：C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 9．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 【答案】C【解析】【分析】由图象可知213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】依题意，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-,解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos sin cos 62222f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21313sin cos cos sin 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C.【点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般. 10．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．32cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】【分析】 由图象求出A 以及函数()y f x =的最小正周期T 的值，利用周期公式可求得ω的值，然后将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式.【详解】由图象可得2A =，函数()y f x =的最小正周期为542663T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，232T πω∴==.将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式得32cos 2626f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<Q ，3444πππϕ∴-<+<，则04πϕ+=，4πϕ∴=-， 因此，()32cos 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】【分析】 由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．【详解】对于甲，179888282939185.86x +++++=≈； 对于乙，272748189969985.26x +++++=≈， 故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）A ．324B ．522C ．535D ．578【答案】D【解析】【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为: 436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省滨州市2021届高三数学三模考试试题(含解析)
山东省滨州市2021届高三数学三模考试试题（含解析）本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（ ） A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N ∈D.N M ∈【答案】A 【解析】 【分析】将集合M 改写为{}221,M x x n n Z ==⨯+∈，由2n 是偶数可得出集合M 与N 的包含关系. 【详解】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数， 又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A.【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 2.函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（ ） A. 10x ey e +-+= B. 10x ey e -+-= C. 0x ey +=D. 0x ey -=【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在x e =处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程； 【详解】解：因为ln y x =，所以1y x '=，所以1|x e y e='= 又当x e =时，ln 1y e == 所以切线方程为()11y x e e-=-整理得0x ey -= 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3.已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）B. 2C. 2-D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】求得复数z 的模的表达式，结合二次函数的性质求得x 为何值时模最小，进而求得z 的虚部.【详解】依题意z ===.故当1x =时，z 取得最小值.此时2z i =-，所以z 的虚部为2-.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ， 因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂； 同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线， 因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（ ） A. 0.3413 B. 0.6826 C. 0.1587 D. 0.0794【答案】A 【解析】依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．故选A ．6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ ）A.916B.419C.2764D.827【答案】C 【解析】 【分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.【详解】由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144⨯=， 图3的阴影部分面积为3344⨯，所以图4的阴影部分的面积为3332744464⨯⨯=.故选：C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7.已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A. (3，5) B. (5，7)C. (6，8)D. (6，8]【答案】C 【解析】 【分析】求得,A B 两点的坐标，根据抛物线的定义转换MNE 周长的表达式，由此求得MNE 的周长的取值范围.【详解】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8.已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4【答案】D 【解析】【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=-，可设3mOC OD-=，且,,A B D共线；由AOBABCOSSDCD∆∆=和,OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.【详解】由2OA OB mOC+=-得：12333mOA OB OC+=-设3mOC OD-=，则1233OA OB OD+=,,A B D∴三点共线如下图所示：OC与OD反向共线，0m>,3OD mOC∴=3313mOD mm mCD∴==++734AOBABC DS ODmSmC∆∆∴+===4m⇒=故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．9.2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2021年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（）【年底贫困人口的线性回归方程为1609.915768y x=-+(其中x=年份-2021)，贫困发生率的线性回归方程为 1.672916.348y x=-+(其中x=年份-2009)】A. 2010年～2021年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B 2012年~2021年连续八年每年减贫超过1000万，且2021年贫困发生率最低C. 2010年～2021年十年间超过1.65亿人脱贫，其中202X年贫困发生率低于6％D. 根据图中趋势线可以预测，到2021年底我国将实现全面脱贫【答案】BD【解析】【分析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项.【详解】每年脱贫的人口如下表所示：期初期末脱贫人口2009年底至2010年年底165662010年底至2011年年底16566 12238 43282011年底至2012年年底12238 9899 23392012年底至2013年年底9899 8249 16502013年底至202X年年底8249 7017 1232202X年底至202X年年底7017 5575 1442202X年底至202X年年底5575 4335 1240202X年底至2021年年底4335 3046 12892021年底至2021年年底3046 1660 13862021年底至2021年年底1660 551 1109由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC 选项错误. 根据上表可知：2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低，故B 选项正确.根据上表可知，2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD【点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题. 10.已知曲线12:3sin ,:3sin 24C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到曲线2C C. 把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C D. 把1C 向左平移8π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C 【答案】AC 【解析】 【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项.【详解】由1:3sin C y x =变换到2:3sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若先伸缩后平移，则把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2C . 若先平移后伸缩，则把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C . 所以正确的选项为AC 故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11.已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据点()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----满足曲线方程，判断出ABC 选项正确.画出曲线C 在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线C 所围成图形的面积. 【详解】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12.已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在[)0,+∞上为增函数C. 若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D. 若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数可判断函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，可判断B 选项的正误；求得当0x >时，1f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围，结合偶函数的性质可判断C 选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式()()11f x f -<-，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=， 由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x =+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________． 【答案】30- 【解析】 【分析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r rr C x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅.10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-.所以6x 的系数为30-. 故答案为：30-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 14.已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2，παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭则()cos αβ-=________，αβ-=________．【答案】 (1). 12 (2). 3π- 【解析】 【分析】将条件变形sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，然后两式平方相加即可得到()cos αβ-，再通过条件推出αβ-所以在范围，即可得αβ-.【详解】解：由已知得sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-， 将上述两式两边同时平方后相加可得222222sin cos sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos γγββααααββ+=-++-+，整理得()()122sin sin cos cos 22cos βααβαβ=-+=--， 即()1cos 2αβ-=， 又由已知0,,,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 又sin sin sin sin βαγα=+>，，则,02παβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 3παβ∴-=-.故答案为：12；3π-. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.15.已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,ABC PA BC ==AB AC ⊥，则球O 的表面积为__________． 【答案】45π 【解析】 【分析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，故可将P ABC -补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P ABC -的外接球，也即球O . 由于26,3PA BC BC ===，设,AB a AC b ==，则2229a b BC +==，所以长方体的对==设球O 的半径为R ，则2R =所以球O 的表面积为2445R ππ=. 故答案为：45π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16.已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥()112222422x x x x =-++≥-⨯=--， 等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立，即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞ ()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤， 所以实数a 的最大值是2. 故答案为：2【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数； （2）求四边形ACDP 面积的最大值．【答案】（1）298cos PC θ=- 02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）5【解析】 【分析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC 的长表示为θ的函数； （2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数,再利用三角函数求最值. 【详解】解：（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形， 又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅ 2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-.所以298cos PC θ=- 定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ， 则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 52ϕ=<所以03πϕ<<. 又因为02πθ<<，所以23πθϕπ-<-<，所以当2=2πθϕ-时，S 取得最大值55=522+. 所以四边形ACDP 面积的最大值为5 .【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角θ的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18.在下面数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，(),n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12a a a ===．（1）求数列(){},2n a 的通项公式；（2）设()()2,2,211log ,n n n n n n b a c a b b +==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）(),22=nn a （2）122.1++=-+n n n S n 【解析】 【分析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()2.21a q d =+，()()23.312a q d =+即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得n b n =，1121n n c n n =+-+，再利用分组求和与裂项相消法求和即可； 【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >， 则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()()2.2 1.21a qa q d ==+，从而()14q d +=.① ()()()223.3 1.312a q a q d ==+，从而()21212q d +=②联立①②解得，1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）从而()1.22a =， 所以()()11,2 1.2222n n n n a a q--=⋅=⨯=.（2）由（1）知，(),22=nn a . 所以()22,2log log 2nn n b a n ===，所以()1112211nn n c n n n n =+=+-++，所以1231n n n S c c c c c -=+++⋅⋅⋅++23111111111112222212233411n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23111111111222221223341n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122111121n n n n +-⎛⎫+-=+- ⎪+-+⎝⎭ 1112212.11n n n n n +++=--=-++ 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题. 19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）77. 【解析】 【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC . 又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且， 所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE . （2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥. 在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --7. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题. 20.在平面直角坐标系xOy 中，①已知点)3,0Q，直线:3l x =P 满足到点Q的距离与到直线l 2．②已知点()3,0,H G -是圆22:3210E x y x +--=上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P ．③点,S T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足63OP OS OT =+． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程； (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆22:2O x y +=上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】（1）不管选条件几，22163x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【解析】 【分析】（1）若选①，则可设(),P x y ，根据距离之比可得,x y 满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得PH PE +=.若选③，，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程. （2）当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，根据它与圆相切可得()2221m k =+，再设()()1122,,,M x y N x y ，可用,M N 的横坐标表示以·OM ON为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和前述等式化简·OM ON 得到0OM ON =，从而可得以MN 为直径的圆过原点O .注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】解：（1）若选①，设(),P x y2=， 整理得22163x y +=. 所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选②，由22:210E x y +--=得(2224x y +=，由题意得PH PG =，所以PH PE PG PE EG HE +=+==>= 所以点P的轨迹C 是以H ，E为焦点的椭圆，且a c ==b =所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选③，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，故()229,x y ''+=*因为6333OP OS OT=+，所以3,x x y y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'， 将其代入()*得22163x y +=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.（2）当过点A 且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为xx ==当切线方程为x =时，,MN以MN 为直径的圆的方程为(222x y -+=.①当切线方程为x =((,M N， 以MN 为直径的圆的方程为(222x y ++=.②由①②联立，可解得交点为()0,0.当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，=()2221m k =+.联立切线与椭圆C 的方程22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并消去y ，得()222124260k xkmx m +++-=.因为()()()2222221641226863k m kmm k ∆=-+-=---()()222822638410k k k =-+--=+>，所以切线与椭圆C 恒有两个交点.设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++， 因为()()1122,,,OM x y ON x y ==，所以()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()2222226411212m kmk km m k k--=+⋅+⋅+++ ()222222321663601212k k m k k k⨯+----===++. 所以OM ON ⊥.所以以MN 为直径的圆过原点()0,0. 综上所述，以MN 为直径的圆过定点()0,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时问x (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y 与行驶时间x 之间满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现y 与x 之间具有相关性．设ln y ω=，利用表格中的前8组数据求相关系数r ，并判断是否有99％的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；(当相关系数r 满足0.789r >时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系)（2）利用x 与ω的相关性及表格中前8组数据求出y 与x 之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望．1.1742 6.4862.45 1.70 1.303.22e ≈≈≈≈，，，． 表格中前8组数据的一些相关量：()()88888221111136,11.68, 2.18,42, 3.61ii i i i i i i i i xy x xy yω========-=-=∑∑∑∑∑，()()()()()88821111.70,11.83,8.35ii iiii i i x xy y x x ωωωω===-=--=---=-∑∑∑，相关公式：对于样本()(),1,2,3,,i i u i n υ=⋅⋅⋅，其回归直线u b a υ=+的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,nii i nii u ub a u b υυυυυ==--==--∑∑，相关系数()()niiu u r υυ--=∑【答案】（1）0.99r ≈-；有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系（2）0.203.22x y e -=（3）见解析，3.2 【解析】 【分析】（1）先求出相关系数0.99r ≈-，即得有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系； （2）先求出0.20 1.17x ω=-+，再求出所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即；（3）由题得X 的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X 的分布列及数学期望．.【详解】解：（1）由题意知，()()80.99iix x r ωω--==≈-∑.因为0.990.789r ≈>，所以有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系. （2）对bxy ae =两边取对数得ln ln y a bx =+， 设ln ,=ln =a y bx μωωμ=+又，则，()()()818218.350.2042iii i i x x b x xωω==---==≈--∑∑，易知2.184.5,0.278xω==≈.()0.270.20 4.5 1.17bxμω=-=--⨯=所以0.20 1.17xω=-+.所以所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x xy e y e-+-==，即.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.()()()2635444646468881010102812,3,415153C C C C C CP X P X P XC C C=========.所以X的分布列如下：所以X的数学期望为()28116234 3.2151535E X=⨯+⨯+⨯==.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数()()xf x e x a=+，其中e是自然对数的底数，a R∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）设()()2g x f x a x=--，讨论函数()g x零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是()1,a--+∞，减区间是(),1a-∞--.（2）见解析【解析】【分析】（1）求导函数()f x'，分别令()0,()0f x f x''><，解出不等式，即可得到函数()f x的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x=--=得方程()0x ax e x--=，显然0x=为此方程的一个实数解.当0x≠时, 方程可化简为0x ae x--=，设函数(),x ah x e x-=-利用导数得到()h x的最小值, 因为min()()1h x h a a==-，再对a讨论，得到函数()g x的零点个数.【详解】解：（1）因为()()xf x ex a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--. 所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--. （2）因为()()()22x ax a g x f x a x xex x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=. 设()x ah x ex -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数. 因为()1x ah x e-'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增. 所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-. ①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点； ③当()0h a <，即1a >时，因为()00ah e-=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点. 令2x a =，则()22ah a e a =-.设()()()()22120aaa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增， 所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->. 所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点. 所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 有两个零点； 当1a >时，()g x 有三个零点.【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。
山东省临沂市2021届新高考数学三模试卷含解析
山东省临沂市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.2．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【详解】∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33b a <，2ab b <. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.3．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．5．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.6．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为()0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B 【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.7．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易. 8．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.10．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.12．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba =，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B． 年以来，国家财政性教育经费的支出占 比例持续 年保持在 以上
【详解】
设 ，在 中，由余弦定理得 ，
则 ，从而 ，
由正弦定理得 ，即 ，
从而 ，
在 中，由余弦定理得： ，
则 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
【分析】
(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算 的值，进而可求 与 的回归直线方程；
②求出 ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时 的值.
【详解】
解：（1）抽样比为 ，所以 分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 ；若对 均满足 ，求整数 的最大值；
（3）是否存在数列 满足等式 成立，若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
【答案】（2） ， （2） ， 的最大整数是2．（3）存在，
【解析】
【分析】
（2）由 可得 （ ），然后把这两个等式相减，化简得 ，公差为2，因为 ， ， 为等比数列，所以 ，化简计算得， ，从而得到数列 的通项公式，再计算出 ， ， ，从而可求出数列 的通项公式；
山东省济南市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.2．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.4．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题． 5．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222xx xx x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x的项为()()232332552C 22C 221208xx x x ---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 6．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求出1max ()2n f x -=，即12n n a -=，进一步可得21nn S =-，再将所求问题转化为292nn k -≥对于任意正整数n 恒成立，设n c =292nn -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，11()2[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，1max ()2n f x -=，故12n n a -=，1(12)2112n n n S ⨯-==--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即292nn k -≥对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n nn n c c ++--=，令111202n n +->，解得112n <， 令111202n n +-<，解得112n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633264c ==，所以364k ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.7．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I . 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.8．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.11．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13a =，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 12．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省淄博市高三三模数学试题(解析版)
2021届山东省淄博市高三三模数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合210A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≤，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【分析】分别解不等式210x-<和1x ≤得{}02A x x =<<，{}11B x x =-≤≤，进而得阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.【详解】解：解不等式210x -<得02x <<，故{}21002A x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，解不等式1x ≤得11x -≤≤，故{}{}111B x x x x =≤=-≤≤ 所以AB {}01x x =<≤所以如图阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.故选：C【点睛】本题考查分式不等式，绝对值不等式的求解，集合的韦恩图表示，考查数学结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据韦恩图得阴影部分为()AA B .2．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y 和时间x （单位：天）在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y 和时间x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．e x y a b =+C ．ln y a b x =+D ．y a b x =+【答案】B【分析】根据散点图据曲线形状判断． 【详解】0b >，(0,)x ∈+∞，A 中y b '=是常数，B 中x y be '=是增函数，C 中by x'=是减函数，D 中2y x '=是减函数，散点图所有点所在曲线的切线的斜率随x 的增大，而增大，而四个选项中，A 斜率不变，CD 的斜率随x 的增大而减小，只有B 满足． 故选：B ．3．在正项等比数列{}n a 中，若2021a 是2019a ，2020a 两项的等差中项，则q =（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．1-【答案】A【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，进而得2210q q --=，解方程即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题可知2021201920202a a a =+， 所以2020201820191112a qa q a q =+，即2210q q --=，解得1q =或12q =-（舍），所以1q =. 故选：A4．已知向量a 、b 满足1a b a b ==-=，则2a b +=（ ） A ．3B 3C ．7D 7【答案】D【分析】由已知条件求出a b ⋅的值，进而可求得()222a b a b +=+的值.【详解】由已知可得2222221a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=，则12a b ⋅=， 因此，()22222447a b a ba ab b +=+=+⋅+=.故选：D.5．已知z C ∈，且1z i -=，i 为虚数单位，则1z -的最大值是（ ）A ．2B 1C 1D【答案】B【分析】利用复数模的三角不等式可求得1z -的最大值.【详解】由三角不等式可得()()1111z z i i z i i -=---≤-+-=，即1z -的1. 故选：B.6．已知锐角α、β满足3παβ-=，则11cos cos sin sin αβαβ+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【分析】本题首先可根据3παβ-=得出1cos cos sin sin 2αβαβ+=，然后令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，最后通过基本不等式即可求出11cos cos sin sin αβαβ+的最小值.【详解】因为3παβ-=，所以()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ-=+=， 令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，因为α、β是锐角，所以0x >，0y >，则()1111112cos cos sin sin x y x y x y αβαβ⎛⎫+=+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭22224428y x y xx yx y，当且仅当x y =，即512πα=、12πβ=时等号成立，故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．10【答案】C【分析】根据题意，分别列出十位拨动0枚，个位拨动3枚、十位拨动1枚，个位拨动2枚、十位拨动2枚，个位拨动1枚、十位拨动3枚，个位拨动0枚，4种情况下结果，即可得答案.【详解】由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法： ①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56； ③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65， ④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.故选：C8．设双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P （异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △可能是正三角形 B ．P 到两渐近线的距离之积是定值 C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为8D ．在12PF F △中，122112sin 5sin sin 4F PF PF F PF F ∠=∠-∠ 【答案】B【分析】A 选项，利用双曲线的定义，由1222PF PF a PF =+>判断；B 选项，设点()00,P x y ，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，直接计算P 到两渐近线的距离之积判断；C 选项，由12PF PF ⊥，利用勾股定理结合双曲线定义，求得12,PF PF 判断；D 选项，设点()00,P x y ，利用三角函数的定义和12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，分别求得211212sin ,sin sin ,PF F PF F F PF ∠∠∠判断.【详解】在双曲线C 中，可知3,4,5a b c ===，A 选项，由双曲线的定义可知，122122,PF PF a PF PF F =+>不可能是正三角形，故A 错误；B 选项，设点()00,P x y ，则22001916x y -=，即2200169144x y -=，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，P到两渐近线的距离之积为22001691442525x y -==是定值，故B 正确； C 选项，由12PF PF ⊥，可得2221212PF PF F F +=，即()222222(2)PF a PF c ++=，解得23PF =，则13PF =，故12121162F PF SPF PF =⋅=，故C 错误； D 选项，设点()00,P x y ，则00122112sin ,sin y y PF F PF F PF PF ∠=∠=，在12PF F △中，12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，故0121212sin y F F F PF PF PF ⋅∠=⋅，则01212121221121221sin 25sin sin 23y F F F PF F F c PF PF y y PF F PF F PF PF a PF PF ⋅∠⋅====∠-∠--，故D 不正确．故选：B二、多选题9．已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为2，则（ ） A ．棱台的侧面积为83 B ．棱台的体积为132C ．棱台的侧棱与底面所成的角4π D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为33【答案】AC【分析】对于A ．在等腰梯形11ABB A 中解出其面积即可得出棱台的侧面积；对于B ．在等腰梯形11ACC A 中解出其高即为棱台的高，将其代入()13V h S S S S ''=+⋅+即可得出答案；对于C ．棱台的侧棱与底面所成角为1A AM ∠，在1Rt AA M 解出即可；对于D ．侧面与底面所成锐二面角的平面角为角1A HM ∠，在1Rt A HM 解出即可． 【详解】作正四棱台如图所示：对于A ，过1A 作1A H AB ⊥于H ，过1A 作1A M AC ⊥于M ，所以1A M ⊥平面ABCD ，AH MH ⊥AM ==AH MH =1AH ==，所以1A H ==213AB AH =+=所以棱台的侧面积为()1342+⨯=所以A 正确；对于B ， 上底面面积2=1=1S '，下底面面积239S ==，棱台的体积为()111333V h S S '=+==≠B 错误； 对于C ，因为AM 为1AA 在底面的投影，所以1A AM ∠为侧棱与底面所成角.11cos 2AM A AM A A ∠==，则14A AM π∠=，所以C 正确；对于D ，1A HM ∠为侧面与底面所成锐二面角的平面角，11cos 3HM A HM A H ∠===，所以D 错误． 故选：AC【点睛】关键点点睛：熟练掌握正四棱台的体积公式()13V h S S '=、侧面积、线面角与面面角的定义是解本题的关键点． 10．下列说法正确的是（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取20名学生B ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小 【答案】ACD【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A ；根据线性回归方程定义即可判断B ；根据全称命题的否定原理即可判断C ；根据方差定义即可判断D ． 【详解】对于A ，高二年级中抽取为56020654⨯=++，正确；对于B ，线性回归方程ˆˆˆy bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；对于C ，否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"正确；对于D ，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确． 故选：ACD11．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ）A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+ 【答案】ABD【分析】A ：判断两圆相交可得切线条数；B ：两圆相交，做差可得公共弦方程；C ：判断弦AB 经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB 更长的弦；D ：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB 的最大距离.【详解】解：对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确；对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线:10AB x y -+=的距离为=1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+，D 正确. 故选：ABD.12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo ．设计师的灵感来源于曲线:1nnC x y +=．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点成中心对称B ．当2n =-时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2C ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为πD ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积小于4 【答案】ABD【分析】根据曲线与方程的关系，利用方程研究曲线的性质，逐项分析即可求解. 【详解】因为用(,)x y --代替(,)x y 仍有1n nx y +=成立，故曲线关于原点成中心对称，A 正确；当2n =-时，曲线22:1C xy--+=，即22111x y +=，设(,)P x y 为曲线上任意一点，222222222211()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+=，当且仅当x y =±时等号成立，min 2∴=，即曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2，B 正确；当1n =时，:1C x y +=，曲线关于,x y 轴对称，关于原点对称， 当0,0x y ≥≥时，可得1x y +=，与坐标轴围成三角形面积为111122S =⨯⨯=，由对称性知曲线C 所围成图形的面积为42S π=<，故C 错误；当0n >时，曲线C 关于,x y 轴对称，关于原点对称，当0,0x y ≥≥时，1nnx y +=，所以01,01x y ≤≤≤≤，故在第一象限部分的面积111S <⨯=,所以曲线C 所围成图形的面积为44S <，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据曲线的方程可知曲线的对称性，利用对称性可研究曲线在第一象限的情形，即可得到曲线所围成图形面积问题，属于中档题.三、填空题13．请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解. 【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可， 例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=14．已知椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，直线AB 过1F 与椭圆交于A ，B 两点，当2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为___________.【答案】33【分析】根据椭圆的定义及2F AB 可知11AF BF =，由椭圆对称性知AB 垂直于x 轴，即可求解.【详解】不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据椭圆定义，122AF a AF =-，122BF a BF =-，2F AB 为正三角形，22AF BF =，所以11AF BF =，即1F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x 轴.设122F F c =，则1232tan 303c AF c =︒=，2243cos303c cAF ==︒. 因为122AF AF a +=，即232c a =， 所以33c e a ==. 15．已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=（0>ω，0ϕπ<<）的部分图像如图所示，则ωϕ+=______．【答案】32π；【分析】由奇偶性确定ϕ，再由函数零点得三角函数周期，从而求得ω． 【详解】由图象知函数为奇函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=． 4cos()4sin 2()x xx x f x e eπωω+==-， 又由图象知函数sin y x ω=的零点是x k =，k Z ∈，因此周期为2T =，22πωπ==．所以32πϕω+=． 故答案为：32π． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象确定函数式中参数值，解题可以从图象确定函数的性质：定义域，单调性，奇偶性，函数的零点，最值点，特殊值点等一步步判断求解． 16．如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．【答案】863【分析】先将9个点标号，对点A 的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知A 、B 、C 三个点是有序的，讨论点A 为主元， 对点A 分三种情况讨论，如下图所示： （1）第一类A 为5号点.①若180BAC ∠=，三点共线有4条直线，此时有2248A =种；②若135BAC ∠=，如点B 在1号位，则点C 在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，确定第三号点有2种方法，此时有224216A ⨯=种；（2）第二类A 为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类A 为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示：故有()22122440A ++⨯=种.综上所述，满足0AB AC ⋅<共有8164064++=种. 因此，所求概率为3964863P A ==. 故答案为：863. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.四、解答题17．ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos sin 364B B ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a c +=．（1）求角B 的大小；（2）求ABC 外接圆面积的最小值． 【答案】（1）6B π=或2B π=；（2）(23π或2π. 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的降幂公式可求得1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）求得224sin b S Bπ=，利用余弦定理结合基本不等式求出b 的最小值，进而可求得结果.【详解】（1）因为362B B πππ-++=，则cos cos sin 3266B B B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23cos sin sin 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即131cos 2243B π⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，则72333B πππ<+<， 所以，2233B ππ+=或4233B ππ+=，解得6B π=或2B π=； （2）设ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理2sin bR B=可得2sin b R B =，所以ABC 外接圆面积2224sin b S R Bππ==.①当6B π=时，由余弦定理可得：()((22222cos2426b ac ac a c ac ac π=+-=+-+=-因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以(224222a c b +⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭ 因此ABC外接圆面积的最小值((min 2224sin6S πππ==-．②当2B π=时，由勾股定理可得()222222a cb ac +=+≥=，因此ABC 外接圆面积的最小值min 2224sin 2S πππ==．综上所述，ABC外接圆面积的最小值为(2π或2π. 【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.18．在图1所示的平面图形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起得到四棱锥A BCDM -（如图2）．（1）设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱雉A BCDM -的棱AC 上求一点N ，使直线//BN l ；（2）若二面角A BM D --的大小为60︒，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）N 为棱AC 的中点；（2）35． 【分析】（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，则直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，依题可知B 为EC 的中点，当取AC 中点N 时，利用三角形中位线即可证明//BN l ； （2）取MD 的中点O 为坐标原点，建立坐标系，分别求出平面ABD 和ACD 的一个法向量，结合向量夹角公式即可求出二面角的余弦值．【详解】解：（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，如图所示，因为点A ，E 既在平面ABC 内，又在平面AMD 内， 所以直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，因为BD 为是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，所以B 为EC 的中点， 取AC 中点N ，连接BN ，则BN 为AEC ∆的中位线， 所以直线//BN AE ，即BN l //， 故N 为棱AC 的中点．（2）因为BM AM ⊥，BM MD ⊥，所以60AMD ∠=︒， 又因为AM MD =，所以AMD 为等边三角形，取MD 的中点O 为坐标原点，以OM 所在直线为x 轴，在平面BCDM 内过点O 且和MD 垂直的直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，所以：()1,0,0D -，(003A ,,，()5,43,0C -，()1,23,0B 所以(3DA =，()4,43,0DC =-，()2,23,0DB =，设平面ACD 的法向量为(),,m x y z =，则00m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即304430x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =3x =，3y = 所以(3,3,3m =-，设平面ABD 的法向量为(),,n a b c =，则00n DA n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230a c ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令3c =-3a =，3b = 所以(3,3,3n =--，设平面ABD 和ACD 所成锐二面角的大小为θ，所以()()()()()()()2222223333333cos 5333333θ⨯+⨯-+-⨯-==++-⋅+-+-， 所以平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值为35． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面,αβ 的法向量，则二面角θ 与,m n 互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P BA P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则随机变量X 的分布列为则312()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键. 20．已知函数()()sin 0xf x x x=>． （1）判断函数()f x 在()0,π上的单调性；（2）证明函数()f x 在(),2ππ内存在唯一的极值点0x ，且()023f x π<-． 【答案】（1）函数()f x 在()0,π上的单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>，再令()cos sin g x x x x =-求导得在区间()0,π上， ()g x 单调递减且()00g =，故在区间()0,π上，()0f x <′，进而得答案；（2）结合（1）易得在区间(),2ππ上()g x 单调递增，再结合函数值的分布得()0,2x ππ∈，使得()00f x '=，且0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，再结合43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭即可证明.【详解】解：（1）由于()()sin 0xf x x x=>， 得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>， 设()cos sin g x x x x =-，其导函数()sin g x x x '=-， 在区间()0,π上，()0g x '<，()g x 单调递减，且()00g =， 所以在区间()0,π上，()0g x <， 所以在区间()0,π上，()0f x <′， 所以函数()f x 在()0,π上的单调递减．（2）由第（1）问，在区间(),2ππ上，()0g x '>，()g x 单调递增， 且()0g ππ=-<，()220g ππ=>，所以存在唯一的()0,2x ππ∈，使得()00f x '=， 在区间()0,x π上，()0f x <′，()f x 单调递减， 在区间()0,2x π上，()0f x >′，()f x 单调递增， 所以0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，其中2242301639f πππ-⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，2231409294f πππ⎛⎫'==> ⎪⎝⎭， 所以043,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由于4332f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()023f x π<-． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，函数的极值点问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于适当的应用特殊点的函数值，结合零点的存在性定理求解.21．若存在常数m ∈R ，使得对于任意*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列.（1）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，若n S 为()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且234n nn T R R =+，*n ∈N ，若数列{}n c 满足1n n nc b b =+，且{}n c 为()Z m 数列，求m 的最大值；（3）已知正项数列{}n d 满足：()*1n n d d n +≤∈N，且数列{}2121k k dd-+为()Z r 数列，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，若21d rs d =，求证：数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【答案】（1）[)2,-+∞；（2）max 1710m =；（3）证明见解析. 【分析】（1）由已知可得出1n n S S +≥，可推导出12a n ≥-对任意的n *∈N 恒成立，由此可求得1a 的取值范围；（2）利用n b 与n R 、n b 与n T 之间的关系求得2nn b =，利用参变量分离法得出11122122n n nnm +++≤+，求得数列11122122n n n n ++⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的最小项的值，进而可求得实数m 的最大值； （3）根据题中已知条件推导出2123k k rd d -+≤，242k k sd d +≤，结合21d rs d =可推导出56b b =，进一步推导可得出1rs =，910d d =，依次类推得出41424+1434242=k k k k k k d d d rd drd ++-+-=⎧⎪⎨⎪=⎩，由此可证得结论成立.【详解】（1）由题意可得1n n S S +≥，即1120n a a n +=+≥，12a n ∴≥-对任意的n *∈N 恒成立， 所以，12a ≥-；（2）当1n =时，由题意可得211134T R R =+，即2211134b b b =+，可得21120b b -=，10b >，解得12b =；当2n =时，222234T R R =+，可得()()()2222234242b b b +=+++，可得22240b b -=，20b >，解得24b =；当2n ≥时，由234n nn T R R =+可得211134n n n T R R ---=+， 上述两式作差得()()()22211113444n n n n n n n n n n n n n b R R b R R R R b b R R b ----=-+=-++=++，所以，134n n n b R R -=++，可得1134n n n b R R ++=++， 上述两式相减得1133n n n n b b b b ++-=+，可得12n nb b +=且212bb =，所以，数列{}n b 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以，2nn b =， 则1122n n n n n c b b =+=+， 由1n n c mc +≥，可得11112222n n n n m ++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，所以，11122122n n n n m +++≤+， 而()12122121212131222232133172221222222221022n n n n n n n nn+++++++++-+===-≥-=+++++，1710m ∴≤， 因此，实数m 的最大值为1710； （3）因为数列{}2121k k d d -+为()Z r 数列，则21212123k k k k rd d d d -+++≤，可得2123k k rd d -+≤，另一方面，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，则22222241k k k k s d d d d +++≤，可得242k k sd d +≤， 21d rs d =，且15rd d ≤，56d d ≤，6215sd d d rs sd ≤=≤， 可得56d d =且中间每个等号都需取等，即6215sd d d rs sd ===，第 21 页 共 21 页 21d rs d =，12d d ≤，1rs ∴≥， 又59rd d ≤，106sd d ≤，1056910rsd rd rd d d ∴≤=≤≤，可得1rs ≤，1rs ∴=， 所以，1056910d rd rd d d ≤=≤≤，则910d d =且中间每个等号都需取等.以此类推，可得出41424+1434242k k k k k k d d d rd d rd ++-+-=⎧⎪=⎨⎪=⎩.因此，数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义问题，出列此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中，要结合“()Z m 数列”的定义得出不等关系，结合参变量分离法转化为不等式恒成立问题，在证明数列的有关结论时，要充分利用已知的结论进行推理论证，属于难题.。
山东实验中学2021高三数学第三次诊断性考试(解析版)
2021届山东省某实验中学高三第三次诊断性考试数学试题一、单选题1．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】A【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 【解析】复数的除法运算．【详解】2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}10x x -≤< B ．{}01x x <≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤【答案】B【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，2:0x B x-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D【解析】【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【解析】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，()f x ∴在[]1,1-上为减函数，11111244>>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高，可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+,又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-【答案】B【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、22121(21)sin2k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，22(2)sin 0k a k k π==；当*21,n k k N =-∈时，22121(21)sin2k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+50492(13579799)250250002⨯⎛⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题.7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 【答案】D【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为b c -,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b bk c c-==--， ∵直线FB 与直线by x a=互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=, 15e ±∴=双曲线的离心率e ＞1， ∴51+,故选D. 【解析】双曲线的简单性质8．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞【答案】D【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程222lnx x x m x-=--+有解，即2m lnx x =+有解．设()()20h x lnx x x =+>,则()22122x h x x x x-'=-=，∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项. 二、多选题9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好 【答案】ABD【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”的AQI 指数值95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确， 对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为9510499.52+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD10．设函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象过点()0,1；B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12π；D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象． 【答案】AC【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；对于B ，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以B 错误；对于C ，令2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以C 正确；对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误. 故选：AC.11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A B ．侧棱与底面所成的角为4πC D ．侧棱与底面所成的角为3π【答案】AB【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a=所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =2，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.12．设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ）A ．若三个点,,ABC 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B CD 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 【答案】AD【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7， ∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．故选：AD. 三、填空题13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________； 【答案】2±【解析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离22212d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.()221211aa =⇒=±+-故答案为：2±【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y 42x ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF 42=POF 的面积______． 【答案】23【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1S OF n 2=⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 2∴=22p=，得焦点F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得pPF m 422=+= 即m 242=m 32=点P 在抛物线C 上，得2×2n 26∴=±,OF 2=POF∴的面积为1S OF n232=⨯=．故答案为23．【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 【答案】4【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时1()0f x x a⇒'==① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡--⎢⎣和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{411()120f a a f a a-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件：①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】(1)12n na(2)()()3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. (1)若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选③，由121111222n n n nn a a a a +-+++=， 可知()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n na n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；(2)由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=-⎪++++⎝⎭ 18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点，23BD DC =，1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8c =．(1)求a 的值；(2)求ADC 的外接圆的半径R ． 【答案】(1)5 493【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △中，利用正弦定理得到BD ，从而可得结果；（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. (1)∵1cos 7ADC ∠=，∴43sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()4311333sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠， ∵23BD DC =， ∴2DC =∴325a =+=； (2)在ABC 中，222cos 7b a c ac ABC +-∠=． 在ADC 中，14932sin b R ADC =⋅=∠19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为433的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，233EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2)313【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且1232OH AB ==又//EF AB ，23EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，23B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313cos 1139m nm n θ⋅-===⨯++因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？ （注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 【答案】（1）48125； （2）公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元； （3）公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【解析】（1）根据样本中包裹件数在[)100,400内的天数，得到频率，再根据未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布求解.（2）根据重量统计和收费标准，列出样本中快递费用X 的分布列，再求期望.（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，根据公司随机抽取60天的揽件数的频数分布表分别列出分布列，求期望再减去员工的费用比较.【详解】（1）样本中包裹件数在[)100,400内的天数为48，频率为484605=， 可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布，即43,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125P C⎛⎫==⎪⎝⎭；（2）样本中快递费用X的分布列如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1(104315302015258304)15 100x=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．设函数()ln m f x x x=+， R m ∈．(1)当1m =时，求函数()f x 的极值； (2)若函数()()3xg x f x '=-有两个零点，求实数m 取值范围； (3)若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)极小值1；无极大值； (2)203m <<； (3)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()31()03x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求解；（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+上单调递减，即()2110mh x x x'=--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. (1) 因为()()210x f x x x -'=> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以当1x =时，()f x 取得极小值()11ln111f =+=，无极大值.(2)由题可得()()()21033x m xg x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+．所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；所以()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：当203m <<时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203m <<. (3)原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立， 令()()()ln 0mh x f x x x x x x=-=+->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2110mh x x x '=--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以14m ≥， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；(3)已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．【答案】(1)22143x y += (2)[]0,12 (3)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可； （3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. (1)由已知()322a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，则b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (2)设()00,P x y ，则2200143x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()22100000112354PF PA x x y x x ⋅=----+=++． 由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()21354f x x x =++在区间[]22-,上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 (3)由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +122834km x x k -+=+ ， 212241234m x x k -=+．由0∆>得2243k m +>．2AH MH HN =⋅，即2AH MH NH =，可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++=第21页 ()()22222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>． 当12k m =时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。
2021届山东省聊城市普通高中高三下学期高考三模考试数学试题及解析
2021届山东省聊城市普通高中高三下学期高考三模考试数学试题★祝考试顺利★(含答案)一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合A={1,2}，B={a,a2+3}，若A∩B={1}，则实数a的值为（）A.0B. 1C.2D. 3【答案】 B【解析】【解答】由A∩B={1}，而a2+3≥3，故a=1，故答案为：B.【分析】根据集合交集运算即可求得。
2.已知a∈R，i为虚数单位，若a−3i2+4i为实数，则a的值为（）A.32B.23C.−23D.−32【答案】 D【解析】【解答】a−3i2+4i =(a−3i)(2−4i)(2+4i)(2−4i)=2a−12−(4a+6)i20，若其为实数，则4a+6=0，即a=−32故答案为：D【分析】根据复数乘除运算和复数概念即可求得。
3.函数f(x)=x2e x−e−x的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【解答】由f(x)=x2e x−e−x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)f(−x)=(−x)2e−x−e x =−x2e x−e−x=−f(x)，所以函数为奇函数，故排除BD；当x>0时，f(x)>0；当x→+∞时，函数y=e x−e−x的增长速度比y=x2的增产速度快，所以f(x)→0，故排除C；故答案为：A【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误，D错误，再由x→+∞时f(x)→0得C错误故选A。
4.已知直线l:(a−1)x+y−3=0，圆C:(x−1)2+y2=5．则“ a=−1”是“ l与C相切”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】【解答】圆C:(x−1)2+y2=5的圆心为(1,0)，半径r=√5，由直线l和C相切可得：。
山东省莱芜市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
山东省莱芜市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8πB ．34πC ．2πD ．4π 【答案】D【解析】【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解.【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D【点睛】 本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.2．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.3．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】【分析】 根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论. 【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A.【点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..4．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.5．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A【解析】【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>. 故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】【分析】 根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==；第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==；不满足判断条件，输出64S =.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++， 即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B【点睛】 本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x yx yxy⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142 Sπ=-；则有142amπ=-，解得42a mmπ+=故选：D．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．325C．10 D．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：809200Sp==，故185S=.故选：D.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．已知函数()f x满足当0x≤时，2(2)()f x f x-=，且当(2,0]x∈-时，()|1|1f x x=+-；当0x>时，()log(0af x x a=>且1a≠).若函数()f x的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．(625,)+∞B．(4,64)C．(9,625)D．(9,64)【答案】C【解析】【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】 对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， )13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， )3,1,1D ； ()10,2,2AC =-u u u u r ， )3,1,1CD =--u u u r ； 异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题(解析版)
山东省淄博市部分学校高三教学质量检测数 学第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合UA B ⋂=（）（ ）A. {}3B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 3.设1i2i 1iz -=++，则||z =A. 0B.12C. 1D.【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4.二项式()()1nx n N *+∈的展开式中2x项的系数为15，则n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rrr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58-B.18C.14D.118【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A. []26，B. []48，C.D. ⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．7.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A. 86π B. 46πC. 6πD.6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=364466633R V R =∴=π==ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月 C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A. AC BE ⊥B. //EF 平面ABCDC.AEF 的面积与BEF 的面积相等D. 三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.11.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A. 当0m =时，FAB 3B. 不存在m 使FAB 为直角三角形C. 存在m 使四边形FBEA 面积最大D. 存在m ，使FAB 的周长最大【答案】AC 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12.函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ）A. ()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的；B. 2()f x 在3]上具有性质P ；C. 若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D. 对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】首先想到所选人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==. 当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.已知椭圆22221(0)x y M ab a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明； （2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列. 解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n nn n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN π∠=，在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、.（Ⅰ）若a b c 、、依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =，ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值【答案】（1）7c =或2c =.（2）2sin 2sin 33πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，23+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c 2-9c+14=0，再结合c ＞4，可得c 的值． （Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得AC=2s Ⅰnθ,BC=，△ABC 的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f （θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2． 又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c 2-9c+14=0，解得c=7，或c=2． 又∵c ＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f （θ）取得最大值.考点：1.余弦定理;2．正弦定理19.如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析 （2）25【解析】 【分析】（1）先证BC ⊥平面CMD,得BC CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M 的位置，求出平面MAB 和平面MCD 的法向量，进而求得平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．【详解】解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,n DA n DA n DA⋅==， 25sin ,5n DA =， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是25. 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．20.如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分． （Ⅰ）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(y y)niii nni i i i t t y y r t t ===--=--∑∑∑，回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数r 的公式求出相关数据后，代入公式即可求得r 的值，最后根据r 值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程，然后预测． 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑，721()0.55ii y y =-=∑，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由9.32 1.3317y =≈及（Ⅰ）得71721()()2.890.10328()ˆiii i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-≈-⨯≈. 所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．22.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*211ln(21)241=>+∈-nk n n N k【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，可证明ln x>，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--，=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a xg x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>，可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--=，故1(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2ni x n N *=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
2021年高三数学下学期第三次质量监测试题 文
2021年高三数学下学期第三次质量监测试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.设全集是实数集, 与都是的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．B . C.D ．2.复平面内表示复数的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.设平面平面，直线. 命题；命题，则命题成立是命题 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，，若，则的值是A. B. C. D. 5.实数满足，则的最小值为A. 2B.1C.D. 6.一算法的程序框图如右图，若输出的，则输入 的的值可能为A ．B ．C ．D ． 7.已知，，，则的最值是A. 最大值为3，最小值为B. 最大值为，无最小值C. 最大值为3，无最小值D. 8.已知是等差数列的前项和，且，,则的值为 A. B. C. D.9.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为A ．B ．C ．D ．221 31 正视图侧视图俯视图 第13题图10.设G 是内一点，且,,定义，其中分别是的面积，当 时，的最小值是A ．8B ．9C ．16D ．18第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11．直线：（为参数）与曲线C ：（为参数）公共点有 个. 12.把一颗骰子掷两次，观察出现的点数,记第一次出 现的点数为,第二次出现的点数为.则使直线 与平行的概率为 .13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为 .14.给出以下命题： ①的焦点坐标是（，0）； ②命题“若，则”的否命题是假命题；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27； ④“”是“，不等式恒成立”的充分条件. 上述命题正确的是 .15.已知，，若函数有三个零点，且这三个零点从小到大依次成等比数列，则的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知的三个内角、、所对的边分别为，且，． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值． 17．（本小题满分12分）已知等差数列的前n 项和为，且，；数列的前n 项和为，且，． （Ⅰ）求数列,的通项公式； （Ⅱ）设， 求数列的前项和．18．(本小题满分12分)为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组；第二组；… ；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为2∶8∶20，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在内A B CDEG H的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．19. （本题满分13分）如图，四边形为菱形，为平行四边形，且面面，，，设与相交于点,为的中点.（Ⅰ）证明: 面；（Ⅱ）若,求与面所成角的大小.20．（本小题满分13分）已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”，直线交椭圆于、两点，若点、的“椭点”分别是、，且以为直径的圆经过坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的右顶点为，上顶点为，试探究的面积与的面积的大小关系，并证明.21.（本小题满分13分）已知是函数的两个极值点．（Ⅰ）若，，求函数的解析式；（Ⅱ）若，求实数的最大值.怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷xx年高三三模文科数学参考答案11、2； 12、； 13、11； 14、③④； 15、.16解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…………2分又，解得，所以或（舍）…………4分所以．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………7分所以32cos 32sin cos 322sin )(2++=+=x x x x x f ，…………10分又，所以．…………12分 17解：（Ⅰ）由题意，解得， …………3分因， 当时，，得时，数列为等比数列，检验知时符合， 所以…………6分（Ⅱ）211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++……………8分……………10分……………………………12分18解： （Ⅰ）百米成绩在内的频率为，所以估计该年级学生中百米成绩在内的人数为320人……………4分 （Ⅱ）设图中从左到右的前3个组的频率分别为．依题意，得，解得．·················6分 设调查中随机抽取了名学生的百米成绩，则，解得，故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．·················8分（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生人数为，记他们的成绩为， 百米成绩在第五组的学生人数为，记他们的成绩为，则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个 ·······················10分 其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：，，，，，，，，共8个， 所以所求概率．···········12分 19证明：（Ⅰ）四边形为菱形 ………2分又面面 即又为的中点,又 面 …………·6分（Ⅱ）连接 由（Ⅰ）知 ………7分 在中，又90180=∠-∠-=∠∴FGC EGA EGF ………………9分 又是在面EDB 上的投影与面所成角即为. ····················11分 易知，又因为所以. ····················13分20解：（Ⅰ）由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+21143322222a c c b ab a 解得，，方程为………4分 （Ⅱ） 设，则（1）当直线的斜率不存在时，设方程为（） 联立椭圆方程得：代入得到即， …………………7分(2)当直线的斜率存在时，设方程为 联立得：有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+=∆22212212243)3(44380)43(48k m x x k km x x m k ① 由以为直径的圆经过坐标原点O 可得：· 整理得： ②将①式代入②式得： …………………9分又点到直线的距离2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以 …………………12分 综上：的面积是定值又的面积，所以二者相等…………………13分 21解：．（Ⅰ）因为，是函数的两个极值点， 所以，．··············2分 所以， ，解得，． 所以．…………4分（Ⅱ）因为是函数的两个极值点， 所以，所以是方程的两根，………6分 因为，所以对一切，恒成立， 而，，又，所以， 所以，由，得，所以．因为，所以，即．…………9分令，则．当时，，所以在(0，4)上是增函数；当时，，所以在(4，6)上是减函数．所以当时，有极大值为96，所以在上的最大值是96，所以的最大值是．…………13分32230 7DE6 緦*28296 6E88 溈38034 9492 钒30975 78FF 磿 40267 9D4B 鵋{025702 6466 摦b27849 6CC9 泉&36610 8F02 輂22407 5787 垇。
2021届山东省青岛市高三数学三模试卷及答案
高三数学三模试卷一、单项选择题1.集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.2.设是虚数单位，假设复数满足，那么复数对应的点位于复平面的〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设、是空间两个不同平面，、、是空间三条不同直线，以下命题为真命题的是〔〕A. 假设，，那么B. 假设直线与相交，，，那么与相交C. 假设，，那么D. 假设，，，，，那么4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，是等差数列的前项和，假设，那么〔〕A. B. 45 C. 75 D. 1505. ，那么的大小关系正确的为〔〕A. B. C. D.6.直线，曲线，那么以下说法正确的选项是〔〕A. “ 〞是曲线C表示圆的充要条件B. 当时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C. “ 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D. 当时，曲线C与圆有两个公共点7.假设将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，那么函数在上的最大值为〔〕A. 2B.C. 1D.8.定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，假设，那么不等式的解集是〔〕A. B. C. D.二、多项选择题9.某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：)在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，分组对应小矩形的高为，那么以下说法正确的选项是〔〕A.B. 鱼苗体长在上的频率为C. 鱼苗体长的中位数一定落在区间内D. 从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，那么所抽取鱼苗体长落在区间上的次数的期望为3010.曲线分别为曲线C的左右焦点，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 假设，那么曲线C的两条渐近线所成的锐角为B. 假设曲线C的离心率，那么C. 假设，那么曲线C上不存在点P，使得D. 假设为C上一个动点，那么面积的最大值为11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，P为轴上的动点，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 的最小值为2B. 假设，那么的面积等于4C. 假设，那么的最小值为5D. 假设，且与的夹角，那么12.在如下列图的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 直线与所在平面相交B. 三棱锥的外接球的外表积为C. 点C到平面的距离为D. 二面角中，平面平面为棱上不同两点，，假设，那么三、填空题13.某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差近似服从正态分布〔误差单位〕，尺寸误差的绝对值在内的零件都是合格零件，假设该机床在某一天共生产了5000个零件，那么其中合格的零件总数为________.附：随机变量服从正态分布，那么，.14.假设，那么________.15.假设二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，那么该展开式中的常数项是________.16.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点〞，假设函数，的“新驻点〞分别为，那么的大小关系为________.四、解答题17.如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，点在上，且〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设，求二面角的余弦值.18.在中，角所对的边分别为〔1〕假设，点D在边AB上，，求的外接圆的面积；〔2〕假设，求面积的最大值.19.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两局部组成，假设笔试和抢答总分值均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：对于这5名选手，根据表中的数据，试解答以下两个小题：〔1〕求y关于x的线性回归方程；〔2〕现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.附：20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，抛物线上不同两点同时满足以下三个条件中的两个：① ；② ；③直线的方程为.〔1〕请分析说明两点满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；〔2〕假设直线与抛物线相切于点与椭圆相交于两点，与直线交于点，以为直径的圆与直线交于两点，求证：直线经过线段的中点.21.函数.〔1〕求的最小值；〔2〕假设存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围.22.假设数列满足：对于任意，只有有限个正整数使得成立，那么记这样的的个数为.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕在等比数列中，是函数的极小值点，求的取值范围；〔3〕求数列的通项公式.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合．，所以．故答案为：D．【分析】有对数定义域求出集合A，指数函数值域求出集合B，再用集合补集和交集运算即可求得。
2021年高三数学第三次质检试题 理
2021年高三数学第三次质检试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则复数（ ）．A ．B ．C ．D ．2．是函数为奇函数的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 3．设、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是 ( ) ． A ．若，则 B ．若 C ．若 D ．若4.如图（1）所示，该程序运行后输出的结果为 （ ）． A. B. C. D. 5．函数的部分图象为 （ ）．6．已知数列对任意的、，满足，且，那么等于 （ ）．A.3B.5C.7D.9 7．若函数在上单调递减，则可以是( )．A ．B ．C ．1D ．8．设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( )．是输出S 图（xD C BAA. B. C. D.9.已知函数在点处的切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10．已知，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,使得以 为边长的三角形是构成直角三角形，则的取值范围是（ ）．A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．11．直线的一个单位法向量为 （填一个即可）．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 13．若对任意满足不等式组的、，都有不等式x －2y ＋m ≤0恒成立，则实数m 的取值范围是____________． 14. 直线（，为常数）与曲线交于两点、，过线段上一点分别作轴、轴的垂线、，则、与曲线所围成的封闭图形的面积最大值为____________． 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．15．（1）曲线上离极点最远的点的极坐标为 ． （2）的解集为 ．四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知向量，，（其中），函数，若相邻两对称轴间的距离为. （1）求的值，并求的最大值； （2）在中，、、分别是、、所对的边，的面积，，，求边的长． 17．（本小题满分12分）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，记 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．求不超过的最大整数．18． （本小题满分12分）空气质量指数（AQI ）是衡量空气质量好坏的标准，下表是我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中，随机抽取的40天的统计结果： 空气质量指数（AQI ） 国家环保标准 频数（天） 频率 [0 , 50] 一级（优） 4 ( 50 , 100］ 二级（良） 20 ( 100,150］ 三级（轻度污染） 8 ( 150,200］ 四级（中度污染） 4 ( 200,300］ 五级（重度污染） 3 ( 300,∞) 六级（严重污染） 1若以这40天的统计数据来估计，一年中（365天）该市有多天的空气质量达到优良？若将频率视为概率，某中学拟在今年五月份某三天召开运动会，以上表的数据为依据，问：俯视图左视图主视图①这三天空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率．②设表示这三天中空气质量达到五级或六级的天数，求．．19．（本小题满分12分）如图所示的六面体，，，，，为的中点．求证：；求二面角的余弦值；（3）设点是平面内的动点，求的最小值．20．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知定点，，动点，，（且），直线与直线的交点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于、两点，以为直径的圆与轴相切，求直线的方程．．21．（本小题满分14分）对于函数（1）求g(x)的单调区间；（2）当m,问是否存在两个不同的解。
山东省文登市2021届高三3月质量检测数学(理)试题
高三理科数学适应性练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数11iz i+=-，则2121i z +-的共轭复数是A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2.已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}01=-=mx x B ，若B B A = ，则所有实数m 组成的集合是A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=；（2）():1;()f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p AB B = :U U qC B C A ⊆；（4）:2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点. A ．(1)(3) B ．(3)(4) C ．(3) D ．(4)4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.方程22123x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是A ．23m <<B ．30m -<< 或02m <<或3m >C ．3>m 或23<<-mD ．23m <<或3m <-6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是A ．22,23B ． 23,22C ．23,23D ．23,247.右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的 条件为A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤ 8.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图像 9.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．,,,O A B M 四点共线10.二项式33()6ax -的展开式的第二项的系数为32-，则22a x dx -⎰的值为 A.3 B. 73 C. 3或73 D. 3或103-11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 A.2 B.43 C. 23D. 3 12.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈开始1,0n S ==?否2nS S =+1n n =+是 输出S结束C. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.设不等式组0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是 ．14.已知命题[]2:1,4,p x x a ∀∈≥,命题,022,:2=-++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 且”是真命题,则实数a 的取值范围为 . 15.如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===, 则球O 的体积与表面积的比为 ．16.函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18.（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ．A BCD EG且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==． （Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ; （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．22.(本小题满分14分）已知函数()ln(1)(xf x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值．201303理科数学 参考答案及评分标准一、,,BACCD CBCAC BA二、13.18π-14. 1a =或2a ≤- 15. 1:3 16. 9 三．解答题17.解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -= …………2分 又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- …………4分 又0A π<<23A π∴= …………6分(Ⅱ)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=()()()221sin sin 1sin sin 33l a b c B C B A B =++=++=+++ 21321(sin cos )1sin()22333B B B π=++=++…………9分22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈, …………10分 3sin()(,1]32B π∴+∈故ABC ∆的周长l 的取值范围为23(2,1]3+. …………12分18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=. …………4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分 则22215(2)()()339P ξ==+=…………6分12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分1221216(6)()3381P Cξ===…………9分所以随机变量ξ的分布列为ξ246P5920811681………10分则520162662469818181Eξ=⨯+⨯+⨯= (12)19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平面ABC∥平面DEFG,平面ABC平面ADEB AB=,平面DEFG平面ADEB DE=,AB∴∥DE………1分又,AB DE=∴四边形ADEB为平行四边形，BE∴∥AD……2分AD⊥面,DEFG BE∴⊥平面.DEFG……3分（Ⅱ）设DG的中点为M，连接,AM MF，则122DM DG==，2,EF EF=∥DG,∴四边形DEFM是平行四边形…………4分∴MF DE MF=且∥DE，由（Ⅰ）知，ADEB为平行四边形，∴AB DE=且AB∥DE,∴AB MF=且AB∥MF,∴四边形ABFM是平行四边形，…………5分即BF∥AM，又BF⊄平面ACGD,故BF∥平面ACGD；…………6分（Ⅲ）由已知，,,AD DE DG两两垂直，建立如图的空间坐标系，则(0,0,4),(2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)A B C F∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC=-=-设平面FBC的法向量为1(,,)n x y z=，则1124020n BF y zn BC x y⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z=，则1(1,2,1)n=，而平面ABC的法向量2(0,0,4)n DA==∴121212cos,||||n nn nn n⋅<>=⋅＝ABCDEGFMABCDEGFM==由图形可知，二面角F BC A--的余弦值-12分20解：（Ⅰ）因为{}na为等差数列，设公差为d，则由题意得整理得111511212a d dad a+==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩所以1(1)221na n n=+-⨯=-……………3分由111111()(21)(21)22121nn nba a n n n n+===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121nnTn n n=-+-++-=-++……………5分（Ⅱ）假设存在由（Ⅰ）知，21nnTn=+，所以11,,32121m nm nT T Tm n===++若1,,m nT T T成等比，则有222121()2132144163m nm n m nT T Tm n m m n=⋅⇒=⋅⇒=+++++………8分2222441633412m m n m mm n n m++++-⇒=⇒=，。
山东省淄博市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
山东省淄博市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】因为()()cos2cos2xxf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ， 又()1cos20f =<， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．3．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C 【解析】 【分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=； 4i <不成立，此时输出34s =.故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 7．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a e =B ．1a e <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x=，则()21ln xg x x-'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.8．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+【答案】C 【解析】 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【详解】 A ：y x =B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y xx =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 9．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C ． 【点睛】 识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B．3C．(0,3D．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.11．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。