高考数学一轮复习专项检测试题27基本不等式
基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（ ）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（ ） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为 ．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是 ．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)第1章《基本不等式》
教材改编题
设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m， 其中0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 利用基本不等式求最值
√A.ab 有最小值14
C.1a＋1b有最小值 4
B.8 a＋8 b有最大值 8 2
√D.a2＋b2
有最小值
2 2
由 1＝a＋b≥2 ab当且仅当a＝b＝12时等号成立， 得 ab≤14，故 ab 有最大值14，故 A 错误； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab
＝1＋2 ab≤1＋2 14＝2当且仅当a＝b＝12时等号成立， 则 a＋ b≤ 2，则 8 a＋8 b有最大值 8 2，故 B 正确； 1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4当且仅当a＝b＝12时等号成立，
因为 x≥0，所以 x＋1>0，x＋1 1>0， 利用基本不等式得 y＝x＋x＋1 1＝x＋1＋x＋1 1－1≥2 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，等号成立. 所以函数 y＝x＋x＋1 1(x≥0)的最小值为 1.
x＋1·x＋1 1－1＝1，
教材改编题
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 __2_5__ m2.
题型二 基本不等式的常见变形应用
例4 (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
a＋b A.b> 2 >a> ab
√ a＋b
C.b> 2 > ab>a
a＋b B.b> ab> 2 >a
2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 基本不等式(含解析)
2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 基本不等式（含解析）1、(xx·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为 ( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2＝－⎝⎛⎭⎫1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1. 答案：B2、已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．8解析：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx＝8. 当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案：D3、(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是A.245B.285 C ．5D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 A.43B.53C ．2D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)C (2)C 4、设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为A ．4B ．4 3C ．9D ．16解析 由32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案 D5．(xx·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab 解析 因为ab ＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋ab ≥2b a ×ab＝2. 答案 C6、设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )．A ．2 B.14C ．4D ．8解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 C7．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 B8．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )．A ．－3B ．2C ．3D ．8解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案 C9．若正实数a ，b 满足ab ＝2，则(1＋2a )·(1＋b )的最小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号． 答案 910．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______．解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y ＝2时取等号． 答案 311．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 412．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； 解：∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.13．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D14．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 615．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．2解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D16．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．答案 C17．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为( )． A.256 B.83 C.113D ．4 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6.所以2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·2a ＋3b6＝136＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A18．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 6 19．已知f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0， 由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以－2－3＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞.考点：基本不等式的实际应用1．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm2．某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000， 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500. 即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x≥22x 500×1 000x＝4， 当且仅当2x 500＝1 000x，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．3．(xx·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 答案 B4、 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S△ABO⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程．解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1.∴1＝3a ＋2b≥26ab，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.5、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时， L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15， 此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．6、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在xx 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k 2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知xx 年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家xx 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家xx 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1. ∴y ＝1.5×6＋12x x×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋ ⎝⎛⎭⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12≥2 9t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12＝t ＋12， 即t ＝2.5时等号成立， 故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋ ⎝⎛⎭⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5. 当且仅当9t ＋12＝t ＋12时，等号成立，即t ＝2.5时，y 有最大值21.5.所以xx 年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．7．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y＝1x[y＋(25－x)]＝1x(－x2＋19x－25)＝19－⎝⎛⎭⎫x＋25x，而19－⎝⎛⎭⎫x＋25x≤19－2x·25x＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0＜S≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．.。
高考(理)一轮复习：7.2基本不等式及其应用
时,xy 有最 大 值
-4知识梳理 双基自测
1
2
3
3.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤
������+������ 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 2
时取等号.
2 ������2 +������ ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥ 2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
(
)
关闭
∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误; 对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误; 对于
D
������ ������ ������ ������ D,∵ab>0,∴������ + ������≥2 ������ · =2 ������
(当且仅当 a=b 时,等号成立).
(
1 (3)函数 y=x+������的最小值是 2. 1 3 (4)若 a>0,则 a + 2的最小值为 2 ������. ������ 4 π (5)函数 f(x)=cos x+ ,x∈ 0, 的最小值等于 cos������ 2
) ) ) ) )
关闭
( ( 4. ( (
(6)(a+b)2≥4ab(a,b∈R)
=
225 ,当且 2
15 x=15,y= 2 时取等号.
关闭
15
15 2
解析
答案
-10考点1 考点2 考点3
基本不等式 高考数学真题分类题库2020解析版 考点27
考点27基本不等式一、填空题1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.+≤2【命题意图】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求最值,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥12,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>12,故B项正确;因为a+b≥2B(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤14,所以log2a+log2b≤log214=-2,故C项错误;由2(a+b)≥+2(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤2,故D项正确.2..(2020·天津高考·T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.【命题意图】本题考查应用基本不等式求最值,“1”的合理变换是解题的关键,属于基础题.【解题指南】根据已知条件,将所求的式子化为r2+8r,利用基本不等式即可求解.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以12+12+8r=B2+B2+8r=r2+8r≥2a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3,或a=2+3,b=2-3时,等号成立.答案:4【易错提醒】使用基本不等式求最值时一定要验证等号能否成立.3.(2020·江苏高考·T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,所以x2=1-452,则x2+y2=152+45y2=45,152=45y2时,即y2=12,x2=310时,x2+y2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x2+y2)·4y2=254(2+2)2,故x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时,取等号.所以(2+2)min=45.答案:45。
高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)
专题：基本不等式的应用 （ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高三一轮复习基本不等式练习题加答案
基本不等式例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；解：当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.例2、已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6.变式、已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．答案：23例3、已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（yx 91+(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.例4、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋23例5、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.答案：27例6、已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B作业1：1、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2．下列结论正确的是（ ）A ．当0<x 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92对于选项B ，当2x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但2x >，等号取不到，因此1x x+的最小值不是2，故B 错误； 对于选项C ，因为54x <，所以540x ->，则114254324554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-⨯ ⎪--⎝⎭31=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时取等号，故C 错误； 对于选项D ，因为0x >，0y >，则()141141419552222y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：D.3．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．1由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==.所以x y +的最小值为 故选：C ．4．已知正实数x ，y 满足22x y xy +=.则x y +的最小值为（ ）A ．4B C D 32解：由22x y xy +=，得1112x y+=， 因为x ，y 为正实数，所以11133()()122222x y x y x y x y y x +=++=+++≥=，当且仅当2y x x y =，即21,22x y ==时取等号，所以x y +32， 故选：D5．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．52 B ．3C ．72D ．4当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.8、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析：由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B9、已知x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值是：解：∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.10、设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值是：解：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. 11、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值 ． 解析：方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（yx 28+ ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：1812、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1y 的最小值为 ．解析：∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 答案：7＋2102013．若x y ∈R 、且满足32x y +=，则327x y +的最小值是____. 【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可以根据基本不等式得出327x y +≥，然后代入32x y +=，即可得出结果. 【详解】332733x y x y +=+≥=，因为32x y +=，所以3276x y +≥=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.14．已知0x >，0y >且32x y xy +=，不等式23x y+的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得231x y+=，则232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：，0x >，0y >且32x y xy +=，∴231x y+=，∴232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪231132y x x y =+++23232y x x y =++24≥+=， 当且仅当2332y xx y=即4,6x y ==时，等号成立， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查“1”的代换，属于基础题． 选：B15、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为 8 ．解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8． 答案：89、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)16．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______， 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可． 【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==， ∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=， 当且仅当224222n n --==， 即3n =时等号成立，故答案为：8．17．设ABC中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=， ∴ABC 面积S且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =18．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()7≤f x ；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求1123a b+的最小值. （1）当2x <-时，237x x ---+≤，解得32x -≤<-；当23x -≤≤时，237x x +-+≤恒成立；当3x >时，237x x ++-≤，解得34x <≤.故所求不等式的解集为[3,4]-. （2）因为()|2||3|(2)(3)5f x x x x x =++-≥+--=，所以()f x 最小值为M =5，即235(0,0)a b a b +=>>，则1111113214()(23)(11)(22352352355b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 当且仅当5322b a ==时取等号， 故1123a b +的最小值为45.作业2：一、单选题1．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于（ ）A ．6B ．C ．3+D ．4+()212333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭,故选C. 2．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B.3．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；又lg lg 4x y +=，所以2lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭x y x y ， 当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）A ．30B ．36C ．40D ．50设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C.5、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.答案：C6．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）A ．18B ．C ．D ．6【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】∵实数a b 、满足2a b +=，∴336a b +≥==，当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，∴33a b +的最小值为6故选：D7．下列不等式恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确.8．已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】A解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12， 故选A9、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】 对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即13 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛，本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．若关于x 的方程()94340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】【分析】 可将9x 看成3x 的平方，等式两边同时除以3x ，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由9(4)340x x a ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433x x x xa a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立），解得8a ≤- 故选D二、填空题12、已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． 解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.答案：3＋2213．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值是： 解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.14、已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1x x y+的最小值为__________． 由题得2242,22,21x y x y x y +⋅=∴=∴+=.所以1x x y +=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+.当且仅当21,2x y -==时取等.所以1x x y+的最小值为.故答案为15、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ．所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2．答案：216、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y y ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－317、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.答案：(－∞，2]四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若ABC ABC 的周长的最小值.（1）2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2sin cos cos sin 66b C C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos C b C =-由正弦定理得：sin sin sin sin cos C A B C B C -=- ∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴①式可化为：sin cos sin sin C B C B C -= ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠cos 1B B += 即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(0,)B π∈ ∴66B ππ+=或56π∴0B =（舍）或23π（2）11sin 22S ac B ac ==∴4ac =∴4a c +≥=22222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a c =等号成立∴4l a b c =++≥+【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换112x y+=是解题的关键.19．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34120a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c=+，求非零常数c ； （3）在（2）的条件下，求()*1()(36)n n b f n n n b +=∈+⋅N 的最大值． 【答案】（1）24n a n =+；（2）5c =；（3）149【解析】【分析】 （1）利用等差数列的通项公式，由253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，即可求得首项与公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a ，可求得n S ，从而得n b ，再利用{}n b 是等差数列由2132b b b =+，即可求得c 的值；（3）由（2）求得n b ，于是1()(36)n n b f n n b +=+⋅，利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）由题知253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，所以，4312,10a a ==或4310,12a a ==所以公差2d =或2d =-，又因为0d >所以2d =，又310a =，因此16a =，所以24n a n =+.（2）由（1）知，21(1)52n n n S na d n n -=+=+， 所以25n n S n n b n c n c+==++，12361424,,123b b b c c c ===+++ 由{}n b 是等差数列得，2132b b b =+，即146242213c c c⨯=++++ 解得: 5c =，或0c(其中0c ≠舍去)， 此时255n n S n n b n n c n +===++，1(1)1n n b b n n +-=+-=，{}n b 是公差为1等差数列， 所以5c =.（3）由（2）知2+55n b n n n n ==+ 111()36(36)(36)(1)4937n n b n f n n b n n n n+∴===≤+⋅++++ 当且仅当36n n =，即6n =时取得等号，即()f n 的最大值为149. 20．已知x ∈R ，0y >，2x y xy +=.（1）若0x >，求证：1xy ≥；（2）若0x ≠，求2y x x+的最小值.【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.（2）变换得到112x y+=，故1112x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立.（2）由2x y xy +=得112x y+=. 2111223222222x x x y y y x x x x y x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当22x y y x=，且0x <时，两个等号同时成立. 即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32.。
高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。
高考数学一轮复习专题训练—基本不等式及其应用
基本不等式及其应用考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 4．应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 5．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值．(4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18C ．36D ．81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 答案 D解析 因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.4．(2021·东北三省三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5．(2020·玉溪一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大． 答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．6．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·成都诊断)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·()2m ＋n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选A.角度3 消元法求最值【例3】 (2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．【训练1】 (1)已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．3 2(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y的最小值为6.(2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1)(2021·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为( )A.3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( ) A.32B ．334C ．32D ．53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，AP →＝λAB →＋4μAD →，又B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 基本不等式的实际应用【例5】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元． 答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【训练3】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和ba 同号，所以⎪⎪⎪⎪ab ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立．故选A.3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.4．已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x)≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号． 6．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A ．6B ．233C ．4D ．23 答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B. 7．(2021·郑州一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．2 2答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8．(2021·厦门联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2B ．2 2C ．4D ．92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 答案 8解析 由题设可得1a ＋2b＝1，∵a >0，b >0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二(代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝31＋y 2－61＋y ＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥231＋y ·121＋y －6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11．(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________． 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. 12．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2 解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． B 级 能力提升13．(2020·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪12a ＋b －b ＝⎪⎪⎪⎪12a －b ， 在Rt △OCF 中 ，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2， ∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．故选D. 14．(2021·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B ．1C ．2D ．59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2 ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4a ＋13b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立．故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧ a 2＝22，b 2＝24时取得等号．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。
2020届高三(文理)数学一轮复习《基本不等式》专题测试(含解析)
《基本不等式》专题题型一 基本不等式的判断 1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R D.1x 2＋1＜1(x ∈R) 题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为 2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于3.函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为7．已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. 8．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．9．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.11．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3.若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为4.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是5.设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为6．已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为8．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为 9．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图像在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是 11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 2.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________. 3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．2．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 4．已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．题型二 基本不等式的综合问题 类型一 基本不等式的实际应用问题1．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．2.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 类型二 基本不等式与函数的交汇问题1.已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 类型三 基本不等式与数列的交汇问题1.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________.2.已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1.直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是2.当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为《基本不等式》专题题型一 基本不等式的判断 1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R D.1x 2＋1＜1(x ∈R)解析：当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于解析：当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.3.函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立.4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为 解析：∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为解析：依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为解析：由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． 7．已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，取等号. 8．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解析：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.9．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为解析： y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析：∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是解析：因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y ≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4. 类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为解析：由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b 的最小值为9.2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b3a＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．3.若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为解析：由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.4.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是 解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.5.设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为解析：∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9x y ＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号. 6．已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________．解析:∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝－⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n取得最大值－4. 7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为解析：令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2 n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2，n ＝12＋1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋2 2.8．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为 解析：∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取等号．∴x ＋y 的最小值为20. 9．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是解析:∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图像在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是解析: 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线斜率为2,所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋b ab的最小值为9.11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值.解析: (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 2.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________. 解析:由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1，∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立.3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t ＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析:x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 2．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析:因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 解析:已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4. 4．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析:∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.题型二 基本不等式的综合问题 类型一 基本不等式的实际应用问题1．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析:设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x ≥25x ×20x＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．2.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 解析:设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 类型二 基本不等式与函数的交汇问题1.已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是解析:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1<x 2.函数y ＝2x 为单调增函数，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则12－y 1＝y 2－12，即y 1＋y 2＝1，即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1＝2x 1＋2x 2≥22x 1·2x 2，当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号，则2x 1＋x 2≤14，解得x 1＋x 2<－2(因为x 1≠x 2，等号取不到).类型三 基本不等式与数列的交汇问题1.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________.解析:设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3.∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4，当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立.∴4a 3＋9a 7的最小值为4.2.已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为解析:∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立. 类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1.直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是解析:圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥2 4c b ·b c ＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.2.当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为解析:由题意得m >0，e ＝1＋m 2＋4m＝1＋m ＋4m≥1＋2m ·4m＝5，当且仅当m11 / 11＝4m ，即m ＝2时等号成立，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .。
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。
2022届高三数学一轮复习训练-不等式的解法和基本不等式
专题一、不等式解法和基本不等式一、一元二次不等式解法1．不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|x≥4或x≤﹣1}C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1}2．不等式（x+1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|﹣2＜x＜1} 3．关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞6} B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3} 4．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（）A．B．C．D．5．不等式x2﹣x≤0的解集为（）A．[0，1] B．[0，1）C．（0，1] D．（0，1）6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}二、分式不等式的解法7．关于x的不等式＜0的解集（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）8．不等式≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）B．[﹣3，5]C．（﹣∞，﹣3）∪[5，+∞）D．（﹣3，5]9．关于x的不等式＜1的解集为（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜0或x＞1} D．{x|x＜0或0＜x＜1}10．不等式的解集为（）A．B．C．D．11．不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）三、一元二次方程和一元二次不等式关系12．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣313．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）14．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（）A．B．C．{x|x＜﹣或x＞} D．{x|x＜﹣或x＞}四、恒成立问题15．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）16．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[0，4）D．（0，4）五、基本不等式17．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b18．已知x＞0，则x+的（）A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为4 D．最小值为419．若x＞1，则函数的最小值为（）A．B．C．4 D．520．当x＞4时，不等式x+≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8 C．m≥8D．m＞821．已知x＞0，y＞0，x+9y＝1，则的最小值为（）A．48 B．12 C．16 D．2022．已知a＞0，b＞0，，则a+2b的最小值为（）A．9 B．5 C．D．23．若正数x，y满足2x+3y＝xy，则3x+2y的最小值为（）A．10 B．15 C．20 D．25高考专题六、不等式与集合间的应用24．（2020•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}25．（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．426．（2019•全国）设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8 B．7 C．4 D．327．（2019•新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 28．（2019•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 29．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}30．（2016•新课标Ⅱ）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2}七、不等式（基本不等式近几年出现的几率很低，但是基本内容还是要掌握）31．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+32．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 33．（选做）（2021•天津）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．34．（选做）（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．35．（2021•上海）不等式＜1的解集为．36．（选做）（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．37．（2020•上海）不等式＞3的解集为．38．（选做）（2019•上海）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．。
2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是()A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |2．若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是()A ．a >b B ．a ≥b C ．a ≤bD ．a <b3．下列结论不成立的是()A ．若a ，b ∈R ，则a 10＋b 10≥2a 5b 5B ．若x ≠0，则x 2＋1x 2≥2C ．若a b ＋ba ≥2，则必有a >0，b >0D ．若a ∈R ，则有a 2＋9≥6a4．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则()A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b25．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是()A.1a ＋1b<1 B.1a ＋1b≥1C.1＋1<2D.1＋1≥26．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么()A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一7．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab≤a 2＋b 22这四个不等式中，恒成立的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．48．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是()A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定二、填空题9．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是.10．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－＝－2.其中正确的推导过程为.三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.12．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c 4.13．(多选题)设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是()A ．a 2＋1>a4C ．(a ＋b 4D ．a 2＋9>6a14.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)15．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是；a ＋b 的取值范围是.16．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；9.2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是(A )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是(D )A ．a >bB ．a ≥bC ．a ≤bD ．a <b 解析：a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，∴(1－a )b >12，又(1－a )＋b 2≥(1－a )b ，∴1－a ＋b 2>12，∴a <b .故选D.3．下列结论不成立的是(C )A ．若a ，b ∈R ，则a 10＋b 10≥2a 5b 5B ．若x ≠0，则x 2＋1x 2≥2C ．若a b ＋ba ≥2，则必有a >0，b >0D ．若a ∈R ，则有a 2＋9≥6a解析：由基本不等式可知，若a b ＋b a ≥2成立，则有a b >0，ba>0，因此a >0，b >0或a <0，b <0，故C 选项不成立．4．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则(B )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤12[(1＋a )＋(1＋b )]＝1＋a ＋b 2，则x ≤a ＋b2，故选B.5．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是(B )A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2 D.1a ＋1b≥2解析：因为ab＝4，所以1a ＋1b≥21ab≥214＝1.6．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么(A )A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一解析：∵a ＋b ≥2ab ，∴ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∵c ＋d ≥2cd ，∴c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时取等号．故c ＋d ≥ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时取等号．7．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab≤a 2＋b22这四个不等式中，恒成立的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由a ，b ∈R ，得a 2＋b 22≥ab ；②由a ，b ∈R ，得b a 与ab 不一定是正数，不等式不一定成立；③ab＝－(a －b )24≤0；④－a 2＋b 22＝－(a －b )24≤0，故①③④恒成立，故选C.8．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是(A )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：因为a >2，所以a －2>0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．故m ≥4.由b ≠0得b 2≠0.所以22－b 2<4，即n <4.综上易知m >n ，故选A.二、填空题9．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是a ＋1a －1≤－1.解析：∵a <1，即a －1<0，－1(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a ＝2，当且仅当1－a ＝11－a，即a ＝0时取等号，∴a －1＋1a －1≤－2，则a ＋1a －1≤－1.10．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx ＝－＝－2.其中正确的推导过程为①③.解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得x y ，yx均为负数，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确．故选①③.三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb≥2，所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.12．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b＋c4.证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c)＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．13．(多选题)设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是(ABC )A ．a 2＋1>a4C ．(a ＋b 4D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＋34>0，∴a 2＋1>a ，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥24，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，∴(a ＋b 4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立．14.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为(D )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝(a ＋b 2)2＋(a －b 2)2＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．15．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是ab ≥9；a ＋b 的取值范围是a ＋b ≥6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9.∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6(a ＋b ≤－2舍去)．16．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；9.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，∴1＋1＋1≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．(2)方法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b，＝5＋5＋4＝9，9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．。
广东省广州市高考数学一轮复习 专项检测试题27 基本不等式
基本不等式例1：求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”。
证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+，即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+， 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
解：∵+∈R b a ,，∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去），∴92≥=ab y ，∴ab 的取值范围是[).,9+∞。
说明：本题的常见错误有二。
一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。
前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。
因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。
例3：已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。
例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。
广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题27基本不等式(new)
基本不等式例1:求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
分析:此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造"。
证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+,即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得:)(2222c b c b +≥+,)(2222a c a c +≥+， 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 。
解:∵+∈R b a ,,∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y , ∴3≥y ，或1-≤y （舍去)，∴92≥=ab y ,∴ab 的取值范围是[).,9+∞。
说明：本题的常见错误有二。
一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。
前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。
因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元"的取值范围有所了解，并注意还原之。
例3：已知R c b a ∈,,,求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+,bc c b 222≥+,ca a c 222≥+,三式相加,得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握.例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。
2021高考数学一轮复习专题(理科)考点27 基本不等式
考点27 基本不等式基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R（4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122ab a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【解析】解法一：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ⇒(a −1)·(b −1)=1，所以1911a b +≥--当且仅当43a =，b =4时取“=”). 故1911a b +--的最小值为6. 解法二：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ，所以19199910111b a b a a b ab a b -+-+==+-----+119(9)()101910b a b a a b a b =+⋅+-=+++-≥6=(当且仅当43a =，b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 解法三：因为111a b +=，所以111b a -=-，所以199(1)6111b a b b +=-+≥=---(当且仅当b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______，此时x 的值为______.考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a 元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a 、b 是常数），用t 表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数． （1）求y 关于t 的函数关系式；（2）当a =112500，b =1000时，求这种设备的最佳更新年限．【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列， 因此年平均维修和消耗费用为()2312b b b tbbt t++++=+(元). 于是有y =b2(t +1)+at=b2+bt 2+at,t >0.（2）由（1）可知，当a =112500，b =1000时，11250022550050050050050050021515500y t t t t ⎛⎫=++=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当t =225t,即t =15时，等号成立.答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为m x .（1）将总造价y （元）表示为长度m x 的函数； （2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确；对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设a b c >>，n ∈N ，且218n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是 A ．2 B ．3 C ．4D ．5典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【解析】因为20176051S =，所以120172017()6051,2a a += 则120176,a a +=即420146a a +=.所以()420144201442014141146a a a a a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()20144201444113554662a a a a ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭.当且仅当420142,4a a ==时取等号. 故答案为：32. 【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知向量(),2x =a ，()1,y =b 且,x y 为正实数，若满足2xy ⋅=a b ，则34x y +的最小值为 A ．526+ B ．56+ C ．46D ．431．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为 A ．1 B ．12 C ．13D ．142．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则a b +的最小值等于 A ．3B ．4C ．322+D ．422+3．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．54．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是 A ．8m ≤ B ．8m < C ．8m ≥D ．8m >5．已知正数,m n 满足22100m n +=，则m n + A ．有最大值102B ．有最小值102C ．有最大值10D ．有最小值106．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab = A ．3B ．4C ．6D ．97．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是 A ．30 m B ．36 m C ．40 mD ．50 m8．下列式子的最小值等于4的是 A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin +sin x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．e 4e x x -+，x ∈RD 29．已知0x >，0y >，满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值是ABCD10．△ABC 中，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，则角B 的取值范围是A ．π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．π,π2⎛⎫⎪⎝⎭11．已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为A ．4B ．6C ．3D ．12．已知实数0,0a b >>是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是______．13．已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________．14．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值为________.15．设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为________.16．已知函数()()()()4f x x a x a =--∈R .（1）解关于x 的不等式()0f x >； （2）若1a =，令()()()0f x g x x x=>，求函数()g x 的最小值.17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ． 2．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 3．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．4．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 5．（2019年高考天津卷理数）设0,0,25x y x y >>+=__________．6．（2017年高考天津卷理数）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a ba ab b +<+<()21log 2aba b a b +<+<1．【答案】−3 2【解析】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号. 此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 的最大值为3-，此时2x =.【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为4()()1f x x x=-++，再由基本不等式，即可求出结果.2．【答案】（1）20018400400y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，(4,50)x ∈；（2）当x =总造价最低为18400+元.【解析】（1）由矩形的长为x m ，得矩形的宽为200xm ， 则中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x-m ， 则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，定义域为(4,50)x ∈. 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈. （2）200x x +≥= 当且仅当200x x=，即(4,50)x =时取等号. 所以当x =时，总造价最低为18400+.【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.（1）根据题意得矩形的长为x m ，则矩形的宽为200xm ，中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x -m ，列出函数关系式即可.（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可. 3．【答案】B【解析】218n a b b c a c+≥---等价于218()()a c n a b b c +-≥--， 而()1818()()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+-=+-+- ⎪----⎝⎭8()999b c a b a b b c --=++≥+=+-- 当且仅当8()b c a b a b b c--=--，即)b c a b -=-时取等号，故得到29,n n +≥∈N ，则n 的最大值是3. 故答案为B.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 4．【答案】A【解析】由题意得112212x y xy y x⋅=+=⇒+=a b ，因为x ，y 为正实数，则11(34)1(34)2x y x y y x ⎛⎫+⨯=++= ⎪⎝⎭3432552x y yx +++≥+=+当且仅当342x y y x =，即x y ==时取等号. 所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.1．【答案】D【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 2．【答案】C【解析】将()1,2代入直线方程得到121a b+=， 122()()33a ba b a b a b b a+=++=++≥+，当1,2a b ==时等号成立.故选C.【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将()1,2代入直线方程得到121a b+=，利用均值不等式得到a b +的最小值. 3．【答案】D【解析】由题意知，()()2211436411111x x x x f x x x x x ++++++===++++++， 因为0x >，所以10x +>，则411151x x +++≥=+（当且仅当411x x +=+，即1x =时取“=”）， 故()f x 的最小值是5. 故答案为D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题. 4．【答案】A【解析】∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=--， 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题. 5．【答案】A【解析】由不等式的性质有：222m n +≥（2m n +）2，当且仅当m n ==2m n +）2≤50， 又m ＞0，n ＞0，所以2m n+≤m n +≤ 故选A ．【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题. 6．【答案】D【解析】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得20a ->，10b ->且()()212a b --≥. 所以()()22215559a b a b +=-+-+≥≥=， 当()221a b -=-且()()212a b --=时等号成立，解得3a b ==. 所以2a b +取到最小值时339ab =⨯=.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足. 7．【答案】C【解析】设矩形的长为(m)x ，则宽为100(m)x ，设所用篱笆的长为(m)y ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=（当且仅当10022x x =⋅，即10x =时取等号），故本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键. 8．【答案】C【解析】选项A ，设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值；选项B ，4sin sin y x x =+，令sin x a =，π0,,(0,1)2x a ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时单调递减，故当(0,1)a ∈时4y a a=+是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C ，4e 4e e 4e x x x x -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时取等号，故符合题意；选项D ，令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t =+在1t ≥时是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t =+也单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 9．【答案】D 【解析】正实数x ，y 满足2210x xy +-=，122xy x ∴=-，13111122323222222x x y x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-=+=+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当x =2x y ∴+故选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222x y x x+=+，使它能利用基本不等式，是基础题目． 10．【答案】C【解析】由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，即2a cb +=，则22222222()3()26212cos 22882a c a c a c ba c ac ac ac B acac ac ac ++-+-+--===≥=（当且仅当a c =时取等号）；由于在三角形中(0,π)B ∈，且cos B 在(0,π)上为减函数，所以角B 的取值范围是：π0,3⎛⎤⎥⎝⎦.故选C.【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，然后利用余弦定理表示出cos B ，进行化简后，利用基本不等式即可求出cos B 的最小值，根据B 的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角B 的取值范围. 11．【答案】B【解析】∵0a b >>，∴41412()()a a b a b a b a b a b a b++=+++-++-+-，∵4()4a b a b ++≥=+，1()2a b a b -+≥=-， ∴4126a a b a b ++≥+-，当且仅当2,1a b a b +=-=，即31,22a b ==时等号成立. 故选B.【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证. 12．【答案】5+【解析】∵实数00a b >>，是8a 与2b 的等比中项，3822,22a b a b +∴⋅=∴=，即31a b +=．则()121263555b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即12a b =-=时取等号． 故答案为:5+【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.是8a 与2b 的等比中项得到31a b +=，利用均值不等式求得最小值. 13．【答案】5【解析】226a b +=，22452b a ++=，当b =1,a b ==. 故答案为5.【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力. 14．【答案】92【解析】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=，则圆心为()1,2，半径为r =，又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =， 所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心，即260a b +-=，化为26,0,0a b a b +=>>，62a b ∴=+≥2a b =，即33,2a b ==时取等号， 9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92，故答案为92.【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键. 15．【答案】256【解析】由可行域可得，当4x =，6y =时，目标函数z ax by =+取得最大值，4612a b ∴+=，即132a b +=，2323131325232666a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当b a a b=，即65a b ==时取等号， 故答案为256.【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式. 16．【答案】（1）见解析；（2）1-.【解析】（1）①当4a >时，不等式()0f x >的解集为{}4x x a x ><或， ②当4a <时，不等式()0f x >的解集为{}4x x x a ><或， ③当4a =时，不等式()0f x >的解集为{}4x x ≠.（2）当1a =时，令()()()21454x x x x g x xx---+==4()551x x=+-≥=-（当且仅当4x x=，即2x =时取等号）. 故函数()g x 的最小值为1-.【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力. 17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）012.25a <<．【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则24163(3002400)144001800()14400(36)y x x x x x=⨯+⨯+=++≤≤，161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=． 当且仅当16x x=，即4x =时等号成立． 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[36]x ∈，恒成立． 即2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立，令1x t ，则22(4)(3)96,1x t t x t t++==+++[4,7]t ∈，又96y t t=++在[4,7]t ∈时为单调增函数，故min 12.25y =． 所以012.25a <<．【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）设甲工程队的总造价为y 元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x +++>对任意的[36]x ∈，恒成立，从而2(4)1x ax +>+恒成立，求出左边函数的最小值即得解.1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】14【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；221,01,1,log ()log 1,2a ba b a b ><<∴<+>=②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 3．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 4．【答案】9【解析】由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a +1c =1， 因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+ca+4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.5．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>===≥.1 当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.6．【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当2224a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．。
1450_2023届高考数学一轮复习习题：基本不等式(含解析)新人教B版.doc_0
基本不等式一、选择题1．下列不等式证明过程正确的是()①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2；②若x ＞1，y ＞1，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③若x ＜0，则x ＋4x≥2x ·4x＝－4；④若x ＜0，则2x＋2－x＞22x·2－x＝2．A．①④B．②③C．①②④D．②④D[①错误，∵a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；②正确，∵lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；③错误，∵x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；④正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x ＋2－x ＞22x ·2－x ＝2成立，当且仅当2x ＝2－x相等时(即x ＝0时)，等号成立，故选D．]2．已知正数a ，b 满足a 2＋b 2＝13，则a b 2＋3的最大值为()A．6B．8C．4D．16B [∵a 2＋b 2＝13，∴a b 2＋3≤a 2＋b 2＋32＝13＋32＝8，当且仅当a ＝b 2＋3时等号成立，∴a b 2＋3的最大值为8．]3．(2021·济宁市高三月考)若a >0，b >0,3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b 的最小值为()A．6B．5C．4D．3C[若a >0，b >0,3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b ＝16×a ＋2b )＝16×12＋4b a ＋≥16×3a ＝2b ＝3时，取等号，则2a ＋3b的最小值为4．]4．已知向量m ＝(1，a )，n ＝(2b －1,3)(a >0，b >0)，若m ·n ＝1，则1a ＋2b 的最小值为()A．7B．72＋23C．7＋43D．43B [因为向量m ＝(1，a )，n ＝(2b －1,3)(a >0，b >0)，若m·n ＝1，则2b －1＋3a ＝1，即32a ＋b ＝1，因此1a ＋2b ＝＋＝32＋3a b ＋b a ＋2≥72＋23a b ·b a ＝72＋23，当且仅当3a b ＝ba，即b ＝3a 时，等号成立；故选B．]5．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R)A．R ＜P ＜Q B．Q ＜P ＜R C．P ＜Q ＜R D．P ＜R ＜QC[∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ，即Q ＞P ．∵a ＋b 2＞ab ，∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R ＞Q ，∴P ＜Q ＜R ．]6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件B[若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号．]二、填空题7．(2021·上饶市高三一模)已知a >0，b >0且a ＋3b ＝1，则2a ＋8b的最小值为________．22[由基本不等式可得2a＋8b＝2a＋23b≥22a ·23b ＝22a ＋3b＝22，当且仅当a ＝3b ＝12时，等号成立，因此，2a ＋8b的最小值为22．]8．已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围为________．[由x ∈(0,2]，ax 2－2x ＋3a <0，可得：a <2xx 2＋3，令y ＝2x x 2＋3，当x ＝0时，y ＝0，当x ≠0时，y ＝2x x 2＋3＝2x ＋3x≤223＝33，当且仅当x ＝3时取等号，所以a <33．]9．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 2＋2aab的最小值为________．2＋22[∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴b 2＋2a ab ＝b a ＋2b ＝b a ＋2a ＋b b ＝b a ＋2a b＋2≥2b a ×2ab＋2＝2＋22．＝2a b b ＝1即a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立．因此b 2＋2a ab的最小值为2＋22．]三、解答题10．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)(1)为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；(2)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？[解](1)设汽车行驶的速度为x 千米/小时，运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费，∴120x ×60＋1000＋2x ≤1260，化简得x 2－130x ＋3600≤0，解得，40≤x ≤90，∴运输的总费用不超过1260元时，汽车行驶速度的范围为[40,90]．(2)设汽车行驶的速度为x 千米/小时，运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费，∴运输的总费用：120x ×60＋1000＋2x ＝2x ＋7200x＋1000≥22x ·7200x＋1000＝1240，当且仅当2x ＝7200x，即x ＝60时取得等号，∴要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶．11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．[解](1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋yx ＋y )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18．1．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为()A．2B．2C．22D．4C[由题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时等号成立．∴ab ≥22ab，即ab ≥22，故选C．]2．已知x ＞1，且x －y ＝1，则x ＋1y 的最小值是________．3[∵x ＞1且x －y ＝1，∴y ＝x －1＞0．∴x ＋1y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3(当且仅当x ＝2时取等号，此时y ＝1)．∴x ＋1y的最小值为3．]3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y x 2－130x ＋4900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120km，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？[解](1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9．当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10．因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65km/h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L，由题意可知l ＝y ·120x ．①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝＋4900x －1302x ·4900x －130当且仅当x ＝4900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16．②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10．因为10<16，所以当速度为120km/h 时，总耗油量最少．1．(2020·江苏高考)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．45[法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，得x 2＝1－y 45y 2．由x 2≥0，得y 2∈(0,1]，则x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝y 2≥15×24y 2×1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y2，即y 2＝12，x 2＝310时等号成立，因此x 2＋y 2的最小值为45．法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，即254(x 2＋y 2)2≥4，即(x 2＋y 2)2≥1625，所以x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310时等号成立．因此x 2＋y 2的最小值为45．]2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(3≤x ≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a1＋xx元(a ＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．[解](1)设甲工程队的总造价为y 元，则y x 400＝1400(3≤x ≤6)，1＋14400≥1800×2×x ·16x＋14400＝28800．当且仅当x ＝16x，即x ＝4时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28800元．(2)由题意可得，1400＞1800a 1＋xx，对任意的x ∈[3,6]恒成立．即x ＋42x＞a 1＋x x ，从而x ＋42x ＋1＞a 恒成立，令x ＋1＝t ，x ＋42x ＋1＝t ＋32t＝t ＋9t＋6，t ∈[4,7]，又y ＝t ＋9t ＋6在t ∈[4,7]为单调增函数，故y min ＝12.25．所以0＜a ＜12.25．。
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基本不等式例1：求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”。
证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+，即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+， 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
解：∵+∈R b a ,，∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去），∴92≥=ab y ，∴ab 的取值范围是[).,9+∞。
说明：本题的常见错误有二。
一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。
前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。
因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。
例3：已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。
例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。
证明：∵0222>>+a bc c b ，，∴abc c b a 2)(22>+ 同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立。
特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号。
例5：（1）求41622++=x x y 的最大值。
（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值。
（3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值。
解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3当且仅当13122+=+x x 时，即22=x ，2±=x 时，取得此最大值。
（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值。
（3）xy y x 222≥+∴222)()(2y x y x +≥+，即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x ，即22y x +的最小值为2，当且仅当4==y x 时取得此最小值。
例6：求函数xx y 321--=的最值。
分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件。
如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62∴.621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴.621min +=y 例7：求函数91022++=x x y 的最值。
分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y 。
但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数x x y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值。
解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=。
当3≥t 时，函数tt y 1+=递增，故原函数的最小值为310313=+，无最大值。
例8：求函数4522++=x x y 的最小值。
分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果。
或用函数方程思想求解。
解：解法1： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设。
由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <。
∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y 。
解法2：设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t 。
又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y 。
说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y 。
要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2。
错误原因是忽视了等号成立的条件。
当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值。
例9：,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值。
分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值。
解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab 。
21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225。
例10：已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cabb ac a bc ++≥++。
分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明。
证明：.2,222c bac a bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a c ab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+，).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴， .c b a cab b ac a bc ++≥++∴。
说明：证明本题易出现的思维障碍是：（1）想利用三元重要不等式解决问题；（2）不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；（3）不熟练证明轮换对称不等式的常用方法。
因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式。
另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。
例11：已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值。
解法1：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy 。
x x x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x 。
可得，18≤xy 。
当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18。
解法2：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy ，解此不等式得180≤≤xy 。
下面解法见解法1，下略。
说明：解法1的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法2则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷。
例12：若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a 。
分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abc a c b a a a 2111≥+=-=-。
证明：a cb a a a +=-=-111 ，又0>a ，0>b ，0>c ，a bc a c b 2≥+∴，即abca a 21≥-。
同理b ca b 211≥-，c ab c 211≥-，8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a 。
当且仅当31===c b a 时，等号成立。
说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式。