利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法

吉林省长春市东北师范大学附属实验学校

金钟植 岳海学

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1 已知(0,)2x π

∈，求证：sin tan x x x <<

分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2π上单调递减即可。

证明：

令()sin f x x x =- ，其中(0,

)2x π∈ 则/()cos 1f x x =-，而(0,

)cos 1cos 102x x x π∈⇒<⇒-< 所以()sin f x x x =-在(0,

)2π上单调递减，即()sin (0)0f x x x f =-<= 所以sin x x <；

令()tan g x x x =- ，其中(0,

)2x π∈ 则/221()1tan 0cos g x x x =-=-<，所以()tan g x x x =-在(0,)2

π上单调递减， 即()tan (0)0g x x x g =-<=

所以tan x x <。

综上所述，sin tan x x x <<

评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,

)2π上是单调递增的函数（如：利用()sin h x x x =-在(0,)2π

上是单调递增来证明不等式sin x x <）

，另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的(0)f 也可以

不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题： 已知(0,)2x π

∈，求证：sin 1tan 1x x x -<<+

证明这个变式题可采用两种方法：

第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sin x x <以后，根据sin 1sin x x x -<<来证明不等式sin 1x x -<；

第二种证法：直接构造辅助函数()sin 1f x x x =--和()tan 1g x x x =--，其中(0,)2x π∈

然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：()sin 1(0)10f x x x f =--<=-<） 例2 求证：ln(1)x x +<

分析：令()ln(1)f x x x =+-，经过求导易知，()f x 在其定义域(1,)-+∞上不单调，但可以利用最值证明不等式。

证明：令()ln(1)f x x x =+-

函数f(x)的定义域是(1,)-+∞,

'f (x)=111-+x .令'f (x)=0，解得x=0， 当-10,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，

故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0

所以()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=

即ln(1)x x +<

二、常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式 ()()f a f b <的问题，在根据,a b 的不等式关系和函数()f x 的单调性证明不等式。 例3已知0,,(1)(1)0m n a b R a b +

>>∈--≠且

求证：()()n n m m m n a b a b +>+

分析： ()()ln()ln()ln()ln()

n n m m m n

n n m m m n n n m m a b a b a b a b m a b n a b +>+⇐+>+⇐+>+

ln()ln()()()

n n m m a b a b n m

f n f m ++⇐>⇐>

ln()()0x x a b f x x ⎧+=+∞⎪⇐⎨⎪⎩

在（，）上是减函数m>n>0 证明： 令ln()()(0)x x a b f x x x +=> 则/22ln ln ln()(ln ln )()ln()()()

x x x x x x x x x x x x x x a a b b x a b x a a b b a b a b a b f x x x a b +-++-+++==+ 22ln ln ln ln 0()()x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x a b a b a b a b a b a b a b a b a b x a b x a b ++++++++=<=++ 所以，ln()()0x x a b f x x

+=+∞在（，）上是减函数 又因为0m n >>，所以()()f n f m > 即ln()ln()n n m m a b a b n m

++> ln()ln()

ln()ln()

n n m m n n m m m n m a b n a b a b a b +>+⇒+>+

即()()n n m m m n a b a b +>+ 评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子（本例经过转化后的不等式ln()ln()n n m m a b a b n m

++>的两边都是相同式子ln()x x a b x

+的结构，所以可以构造辅助函数ln()()x x a b f x x +=），这样根据“相同结构”可以构造辅助函数。

例4 已知02π

αβ<<<，求证：tan tan 11tan tan ααβββα

-<<+ 分析：欲证tan tan 11tan tan ααβββα-<<+，只需证tan tan tan tan ααβββα

<<（不然没法构造辅助函