示范教案(1.3_两角和与差的正切函数) (1)
《两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。
(完整word)《 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案正式版
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2。
教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;（3)、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==； （3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=12的。
高中数学 第三章 两角和与差的正切函数参考教案 北师大版必修4(1)
两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机四、教学过程【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答）[展示投影] ∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。
高中数学3.1.3两角和与差的正切教案1新人教B版必修4
课题：探究两角和与差的正切教学设计课标分析①理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；②能运用上述公式进行简单的恒等变换，，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用．教材分析本节课教学内容是高一（下）第四章4.6节第二课时（两角和与差的正切）。
本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”,起着重要的承前启后的作用。
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课题是在学习完两角和与差的正弦、余弦公式之后，是三角恒等变形重要组成部分，教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,要注意公式形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.学情分析本节课面对的是高一年级学生，他们的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
两角和与差的正切公开课教案
课题：两角和与差的正切执教：XXX一.教学目的:1. 使学生掌握两角和与差的正切公式的推导。
2. 使学生理解公式成立的条件、记住公式的形式、了解公式的作用。
3. 使学生能正确运用公式进行计算4. 使学生能逆用和变形使用公式进行计算。
二.教学重点: 两角和与差的正切公式的推导。
三.教学难点：两角和与差的正切公式的逆用和变形使用。
四．教 学 过 程教学内容设计意图一创设情境：提出问题:1如何求sin15°？Cos15？写出计算过程。
可以利用sin15°，cos15°求tan15°值吗？写出计算过程。
2.如何求sin75°？Cos75？写出计算过程。
可以利用sin75°，cos75°求tan75°值吗？写出计算过程。
3.如何利用由sin(βα+)，cos(βα+) 可以得到 ()tan αβ+=？写出推理过程。
（两学生展示预习成果）由 sin(βα-)，cos (βα-) 可以得到()tan αβ-= ？写出推理过程。
二．数学建模：(T α+β)以旧引新，注意创设问题的情境．通过设疑，引导学生开展积极的思维活动结合学生展示点评： 可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法．这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法．或问题1：在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？ 问题2：分子、分母同除以cos αcos β，有没有条件限制？在公式T α±β中，必须注意α、β的取值范围，必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。
2︒注意公式的结构，尤其是符号。
问题3：用什么方法能记住公式呢？ (让学生议论．)三．数学应用：例1求下列各式的值：（1）tan105° （2）28tan 17tan 128tan 17tan -+ 例2.求证：1tan151tan15+-3=。
1.1.3 两角和与差的正切公式教案(高教版拓展模块)
1.1.3 两角和与差的正切公式一、教学目标⒈掌握两角和与差的正切公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和与差的正切公式的应用；2. 教学难点：公式的的逆用三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的正弦和余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 这是两角和与差的余弦和正弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正切公式是怎样的呢？（二）探讨过程： 在前面我们学习了同角三角函数之间的关系，其中就有sin cos tan ααα=由同角三角函数之间的关系，知 ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈为什么要限制它们的范围？思考.以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：(),,222k k k k Z πππαβπαπβπ-≠+≠+≠+∈．为什么要限制它们的范围？思考.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ 让学生观察并记忆两角和与差正切公式，并学会逆用以及变形。
2022年教学教材《1.3 两角和与差的正切公式 》优秀教案
第九章平面向量两角和与差的正切公式注意从运算的角度看待三角变换．把三角变换看成是三角函数的运算．这样就使的三角变换和运算〔包括向量的运算〕发生了联系．在教科书中，三角变换的公式都是通过运算的方法推导和证明的．而在几个三角恒等式中，教科书更正面地从运算的角度提出和差化积、积化和差的研究课题．1教学重点：利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明2教学难点：利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式多媒体调试、讲义分发。
如下图，每个小正方形的边长为1，tan α＝错误!，tan β＝错误!，∠COD＝α－β问题能否求出tanα－β和tanα＋β的值提示能；利用两角和与差的正切公式可求tanα－β，tan α＋β的值两角和与差的正切公式注意公式中的符号题型一公式的正用、逆用、变形用【例1】1假设tan α＝错误!，tanα＋β＝错误!，那么tanβ＝解析tan β＝tan[α＋β－α]＝错误!＝错误!答案A2错误!＝________；解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝－1答案－13求值：tan 23°＋tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°＝________解析∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°1－tan 23°tan 37°，∴原式＝错误!－错误!tan 23°tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°＝错误!答案错误!规律方法探究公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略1“1〞的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1〞常利用1＝tan错误!来代换，以到达化简求值的目的，如错误!＝tan错误!；错误!＝错误!tan错误!2整体意识：假设化简的式子中出现了“tan α±tan β〞及“tan α·tan β〞两个整体，常考虑tanα±β的变形公式【训练1】求值：1错误!；2tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°；31＋tan 18°1＋tan 27°解1错误!＝错误!＝tan45°＋15°＝tan 60°＝错误!2由tanα＋β＝错误!的变形tan α＋tan β＝tanα＋β1－tan αtan β得：tan 10°＋tan 35°＝tan 45°1－tan 10°tan 35°＝1－tan 10°tan 35，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝131＋tan 18°1＋tan 27°＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°1－tan 18°tan 27°＋tan 18°·tan 27°＝2题型二条件求值问题【例2】1设tan α，tan β是方程2－3＋2＝0的根，那么tanα＋β的值为A－3 B－1解析由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tanα＋β＝错误!＝错误!＝－3答案A2inα＝错误!，α为第二象限的角，且tanα＋β＝－错误!，那么tan β的值为A－错误!C－错误!解析∵α为第二象限角，∴co α<0，co α＝－错误!，∴tan α＝－错误!tan β＝tan[α＋β－α]＝错误!＝错误!＝－错误!答案C规律方法给值求值问题的两种变换1式子的变换：分析式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值2角的变换：首先从角间的关系入手，分析角与待求角间的关系，如用α＝β－β－α，2α＝α＋β＋α－β等关系，把待求的三角函数与三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值【训练2】tanα＋β＝错误!，tan错误!＝错误!求tan错误!的值解tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!题型三给值求角问题【例3】1在△ABC中，tan A＝错误!，tan B＝－2，那么角C＝________；解析tan A＋B＝错误!＝错误!＝－1，∵A＋B∈0，π，∴A＋B＝错误!，∴C＝π－A＋B＝错误!答案错误!2假设α，β均为钝角，且1－tan α1－tan β＝2，求α＋β解∵1－tan α1－tan β＝2，∴1－tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴错误!＝－1∴tanα＋β＝－1∵α，β∈错误!，∴α＋β∈π，2π∴α＋β＝错误!规律方法探究利用公式Tα±β求角的步骤1求值：根据题设条件求角的某一三角函数值2确定所求角的范围范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解，根据范围找出角【训练3】α为锐角，且tanα＋β＝3，tanα－β＝2，那么角α等于π解析∵tan 2α＝tan[α＋β＋α－β]＝错误!＝错误!＝－1，∴2α＝－错误!＋π∈Z，∴α＝－错误!＋错误!π∈Z又∵α为锐角，∴α＝错误!－错误!＝错误!答案C1α，β为任意角，那么以下等式：①inα＋β＝in αco β＋co αin β；②coα＋β＝co αco β－in αin β；③co错误!＝－in α；④tanα－β＝错误!其中恒成立的等式有个个个个解析①②③恒成立答案Bα＋tan β＝2，tan α＋β＝4，那么tan αtan β＝解析∵tanα＋β＝错误!＝4，∴错误!＝4，∴tan αtan β＝错误!答案C＝错误!，那么tan α＝________解析tan α＝tan错误!＝错误!＝错误!答案错误!4求值：错误!＝________解析原式＝错误!＝tan45°－75°＝tan－30°＝－错误!答案－错误!5求值：tan 错误!＝________解析tan错误!＝－tan错误!＝－tan错误!＝－错误!＝－2＋错误!答案－2＋错误!只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路。
新人教B版高中数学(必修4)3.1.3《两角和与差的正切》word教案
3.1.3两角和与差的正切一、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。
2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。
及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。
3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
教学难点：公式的逆向和变形应用。
三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式S α+β ,S α-β , C α+β ,C α-β()sin +sin cos +cos sin αβαβαβ=()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢？2、两角和与差正切公式的推导及理解 T α+β ,T α-β⑴tan(α+β)公式的推导（让学生回答）∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 以-β代β得： ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+⑵思考讨论：①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？②公式有何特点？如何记忆？③公式有何用处？有何变形？⑶注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。
两角和与差的正切教案
两角和与差的正切教案
教案标题：两角和与差的正切教案
一、教学目标：
1. 理解两角和与差的正切的定义和性质。
2. 掌握计算两角和与差的正切的方法。
3. 能够应用两角和与差的正切解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 两角和与差的正切的定义和性质。
2. 计算两角和与差的正切的方法。
三、教学准备：
1. 教师准备：授课PPT、教学案例、板书设计。
2. 学生准备：准备好笔记本、书写工具。
四、教学过程：
Step 1：导入
教师通过举例引入两角和与差的正切的概念，引发学生对该知识点的兴趣。
Step 2：讲解
1. 介绍两角和与差的正切的定义和性质。
2. 讲解计算两角和与差的正切的方法，包括公式和步骤。
Step 3：示范
教师通过示范计算两角和与差的正切的实例，让学生掌握具体的计算方法。
Step 4：练习
学生进行课堂练习，巩固所学知识，解决相关问题。
Step 5：拓展
教师引导学生应用两角和与差的正切解决实际问题，拓展学生的思维。
Step 6：总结
教师总结本节课的重点内容，强调两角和与差的正切的重要性和应用。
五、课堂作业
布置相关作业，巩固学生对两角和与差的正切的理解和掌握。
六、教学反思
教师对本节课的教学效果进行总结和反思，为下节课的教学做好准备。
七、教学资源
提供相关教学资料和参考书籍，供学生深入学习和巩固。
高中数学 3.1.3两角和与差的正切(1)教案 苏教版必修3
3.1.3 两角和与差的正切（1）一、课题：两角和与差的正切（1）二、教学目标：1.掌握两角和与差的正切公式的推导；2.掌握公式的正、逆向及变形运用。
三、教学重点、难点：()T αβ±公式的推导及运用。
四、教学过程：（一）复习：()(),S C αβαβ±±公式。
（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=-sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=- 即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+） 2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+ 即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ （()T αβ-） 说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+．3．例题分析：例1：求值：（1）11tan 12π；（2）tan 285 ． 解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tan tan 461tan tan 46ππππ-=-+12==- （2）tan 285 tan(36075)tan75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=--例2：求1tan151tan15+-值。
解：1tan151tan15+- =tan 45tan151tan15+-tan(4515)tan60=+== ． 例3：求tan70tan50tan50+ 值。
两角和与差的正切优秀教案
3.1.3 两角和与差的正切（1）一、课题：两角和与差的正切（1）二、三维目标：知识与技能：两角和与差的正切公式及推导；过程与方法：掌握两角和与差的正切公式推导过程及公式特点； 情感态度与价值观：1．培养并提高学生的观察推理能力。
2.使学生认识事物间是有联系的。
三、教学重点、难点：()T αβ±公式的推导及运用。
四、教学过程：（一）复习：()(),S C αβαβ±±公式。
（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=- tan tan 1tan tan αβαβ+=- 即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+） 2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+ 即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ （()T αβ-） 说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+．3．例题分析：例1：求值：（1）11tan 12π；（2）tan 285． 解（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--12==-（2）tan 285tan45tan3021tan45tan30+=-=--例2：求1tan151tan15+-值。
解：1tan151tan15+-=tan45tan151tan15+-tan(4515)tan603=+==．例3：求tan70tan503tan70tan50+-值。
解：原式tan(7050)(1tan70tan50)=+-tan50tan70tan50)=-tan50=例4：已知一元二次方程20ax bx c++=(0,)a a c≠≠的两个根为tan,tanαβ，求tan()αβ+的值。
2022年《1.3 两角和与差的正切导学案学生版》优秀教案
§两角和与差的正切目标要求1、理解并掌握两角和与差的正切公式．2、理解并掌握给角求值问题．3、理解并掌握给值求角问题．4、理解并掌握给值求值问题学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁三角恒等变换公式中的“拆与添〞、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值求角问题；难点：给值求值问题．教学过程根底知识点两角和与差的正切公式1公式2本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系3应用:①求值;②化简【思考】1由同角三角函数的商数关系知2两角和与差的正切公式中为什么限制都不等于【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A存在,使成立B对任意,都成立C对任意,都成立D等价于题2A B C D题3假设,且为第三象限角,那么的值等于A B关键能力·合作学习类型一给角求值问题数学运算【题组训练】题4计算: ________题10°tan 50°tan 10°tan 50°=________【解题策略】公式应用的解题策略1公式有或, 或,三者知二可求出第三个2化简过程中注意“1〞与“〞,“〞与“〞等特殊数与特殊角的函数值之间的转化【补偿训练】题类型二给值求角问题数学运算【典例】题71求的值;2求的值【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原那么1给值求角问题的步骤①求所求角的某个三角函数值②确定所求角的范围范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解,根据范围找出角2选取函数的原那么①正切函数值,选正切函数②正余弦函数值,选正弦或余弦函数,假设角的范围是,选正弦或余弦函数均可;假设角的范围是,选余弦较好;假设角的范围是,选正弦较好【跟踪训练】题8,且为锐角,求的值【补偿训练】题9都是锐角,且,那么________类型三给值求值问题数学运算角度1 式子变换【典例】题10,那么的值为A B C D【变式探究】题11 ,求的值角度2 拆角变换【典例】题12,那么的值为A B C D【解题策略】给值求值问题的两种变换1式子的变换:分析式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值2角的变换:首先从角间的关系入手,分析角与待求角间的关系,如用等关系,把待求的三角函数与三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值【题组训练】题13,那么题14为锐角,,那么的值为________课堂检测·素养达标题15设角的终边过点2,3,那么A B题16等于A C D 题17在△ABC中,,那么的值为A B C D 题19,求的值。
3.1.3《两角和与差的正切(1)》教案(苏教版必修4)
3.1.3 两角和与差的正切（1）一、课题：两角和与差的正切（ 1）二、教课目的： 1. 掌握两角和与差的正切公式的推导；2.掌握公式的正、逆向及变形运用。
三、教课要点、难点： T( )公式的推导及运用。
四、教课过程：（一）复习： S(),C() 公式。
（二）新课解说：1．两角和的正切sin cos cos sintan()sin cos cos sin cos cos tan tan cos cos sin sin cos cos sin sin 1 tan tancos cos即： tan()tan tan（ T()）1tan tan2．两角差的正切tan()tan tan()tan tan 1 tan tan() 1 tan tan即： tan()tan tan（ T()）1tan tan说明：① T()公式的合用范围是使公式两边存心义的角的取值范围；②T()公式的变形： tan tan tan()(1tan tan)tan tan tan()(1tan tan) ．3．例题剖析：例 1：求值：（ 1）tan 11；（ 2）tan 285o．1211tan tan()解：（ 1）tan121246（ 2）tan 285o tan(360o75o)tan 75o例2：求 1 tan15o值。
1tan15 o解：1tan15o tan 45o tan15otan(45o 1tan15o=tan 45otan15o1例 3：求tan 70o tan 50o 3 tan 70o tan 50o值。
tan tan1323；4631tan tan13463tan 45o tan 30o23．1tan 45o tan 30o15o) tan 60o 3 ．解：原式tan(70 o50o)(1tan 70o tan 50o ) 3 tan 70o tan 50o3(1 tan 70o tan 50o ) 3 tan 70o tan 50o 3 ．例 4：已知一元二次方程ax2bx c0 ( a 0, a c) 的两个根为 tan , tan，求 tan() 的值。
两边和与差的正切函数教案
两边和与差的正切函数教案一、教学目标1. 理解正切函数的图像、性质及其应用；2. 掌握正切函数的转化公式；3. 了解两边和与差的正切函数公式；4. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1. 正切函数的基本性质及应用；2. 两边和与差的正切函数公式的推导；3. 运用两边和与差的正切函数公式解决实际问题。
三、教学内容及方法1. 正切函数的图像及性质1. 首先讲解正切函数的定义及其图像；2. 探究正切函数的周期、对称轴、单调性等性质；3. 以例题形式引导学生掌握正切函数的应用。
2. 正切函数的转化公式1. 讲解正切函数的转化公式及其证明方法；2. 引导学生熟练掌握正切函数的转化公式。
3. 两边和与差的正切函数公式1. 推导两边和与差的正切函数公式；2. 以例题形式引导学生掌握两边和与差的正切函数公式的运用。
4. 实际问题的解决1. 引导学生运用所学知识解决实际问题；2. 以应用题形式巩固所学知识。
四、教学工具1. 课件；2. 教学视频；3. 练册。
五、教学评估1. 课堂练；2. 课后作业；3. 期中、期末考试。
六、教学反思本教案针对正切函数的两边和与差公式进行了详细的讲解，通过引导学生逐步掌握正切函数的图像、性质、转化公式以及两边和与差公式，再通过实际问题的解决来巩固所学知识。
教学过程中，通过课件、教学视频等多种形式进行教学，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂的互动性和趣味性，让学生在轻松愉悦的氛围下掌握了知识，达到了预期的教学目标。
〖2021年整理〗《1.3 两角和与差的正切导学案学生版》优秀教案
§两角和与差的正切目标要求1、理解并掌握两角和与差的正切公式．2、理解并掌握给角求值问题．3、理解并掌握给值求角问题．4、理解并掌握给值求值问题学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值求角问题；难点：给值求值问题．教学过程基础知识点两角和与差的正切公式1公式2本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系3应用:①求值;②化简【思考】1由同角三角函数的商数关系知sin() tan()cos()αβαβαβ++=+2两角和与差的正切公式中为什么限制,,,αβαβαβ+-都不等于,2k k ππ+∈Z【课前基础演练】题1（多选．．）下列命题正确．．的是A 存在,αβ∈R ,使tan()tan tan αβαβ+=+成立B 对任意,αβ∈R ,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-都成立C 对任意,αβ∈R ,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+都成立D tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-等价于tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-题2tan 225=A 2-B 2-+C 2-D 2题3若4cos 5θ=-,且θ为第三象限角,则tan()4πθ+的值等于 A 17B 17-关键能力·合作学习类型一 给角求值问题数学运算 【题组训练】题4计算tan1560tan15= ________题 10°tan 50° tan 10°tan 50°=________【解题策略】公式()(),T T αβαβ+-应用的解题策略1公式()(),T T αβαβ+-有tan tan ,tan tan αβαβ⋅+ 或tan tan αβ-,tan()αβ+ 或tan()αβ-,三者知二可求出第三个2化简过程中注意“1”与“tan4π”,”与“tan3π”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化【补偿训练】 题3tan 72tan 42tan 72tan 423--=类型二 给值求角问题数学运算 【典例】题7已知1tan()2,tan(),(0,),(,0)4244πππααβαβ+=-=∈∈- 1求tan α的值; 2求2αβ-的值【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则 1给值求角问题的步骤 ①求所求角的某个三角函数值②确定所求角的范围范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解, 根据范围找出角 2选取函数的原则①已知正切函数值,选正切函数②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是(0,)2π,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,)π,选余弦较好;若角的范围是(,)22ππ-,选正弦较好 【跟踪训练】题8已知1tan ,sin 7αβ==,且,αβ为锐角,求2αβ+的值【补偿训练】题9已知,,αβγ都是锐角,且111tan ,tan ,tan 258αβγ===,则αβγ++= ________类型三 给值求值问题数学运算 角度1 式子变换【典例】题10已知31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=,则tan()αβ-的值为 A 211- B 211 C 112 D 112-【变式探究】题11 已知31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=,求tan()αβ+的值角度2 拆角变换【典例】题12已知12tan ,tan()25ααβ=-=-,那么tan(2)βα-的值为 A 34- B 112- C 98- D 98【解题策略】给值求值问题的两种变换1式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值2角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用(),2()()αββαααβαβ=--=++-等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值【题组训练】题13已知2tan tan()74πθθ-+=,则tan θ=题14已知,αβ为锐角,41cos ,tan()53ααβ=-=-,则tan β的值为________课堂检测·素养达标题15设角θ的终边过点2,3,则tan()4πθ-=A 15B 15-题16tan10tan 203(tan10tan 20)++等于题17在△ABC 中,120,tan tan C A B =+=则tan tan A B ⋅的值为 A 14 B 13 C 12 D 53tan15 tan15=题19已知21tan(),tan()554παββ+=-=,求tan()5πα+的值。
《两角和与差的正切》优秀教案
313两角和与差的正切1能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式2掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等重点、难点[基础·初探]教材整理两角和与差的正切公式阅读教材P140内容，完成下列问题名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtanα＋β＝错误!α、β、α＋β≠π＋错误!∈Z且tan α·tan β≠1两角差的正切Tα－βtanα－β＝错误!α、β、α－β≠π＋错误!∈Z且tan α·tan β≠－1判断正确的打“√”，错误的打“×”1存在α，β∈R，使tanα＋β＝tan α＋tan β成立2对任意α，β∈R，tanα＋β＝错误!都成立3tanα＋β＝错误!等价于tan α＋tan β＝tanα＋β·1－tan αtan β【解析】1√当α＝0，β＝错误!时，tanα＋β＝tan错误!＝tan 0＋tan 错误!，但一般情况下不成立2×两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠π＋错误!∈Z3√当α≠π＋错误!∈Z，β≠π＋错误!∈Z，α＋β≠π＋错误!∈Z时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子【答案】1√2×3√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]化简求值求下列各式的值：1tan 15°；2错误!；3tan 23°＋tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°【精彩点拨】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角如1及公式的逆用如2与活用如3，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的【自主解答】1tan 15°＝tan45°－30°＝错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!2错误!＝错误!＝错误!＝tan30°－75°＝tan－45°＝－tan 45°＝－13∵tan23°＋37°＝tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan 23°＋tan 37°＝错误!1－tan 23°tan 37°，∴原式＝错误!1－tan 23°tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°＝错误!，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β或tan α－tan α＋ββ，tanα＋β或tanα－β三者知二可表示或求出第三个2一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换[再练一题]1求下列各式的值：1错误!；2tan 36°＋tan 84°－错误!tan 36°tan 84°【解】1原式＝错误!＝错误!＝tan45°－75°＝tan－30°＝－tan 30°＝－错误!2原式＝tan 12021－tan 36°tan 84°－错误!tan 36°tan 84°＝tan 12021tan 12021an 36°tan 84°－错误!tan 36°tan 84°＝tan 12021－错误!条件求值角问题如图3-1-1，在平面直角坐标系O中，以O轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为错误!，错误!图3-1-11求tanα＋β的值；2求α＋2β的值【导学号：】【精彩点拨】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出co α，co β，再求in α，in β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tanα＋β，最后利用α＋2β＝α＋β＋β，求tanα＋2β进而得到α＋2β的值【自主解答】由条件得co α＝错误!，co β＝错误!，∵α，β为锐角，∴in α＝错误!，in β＝错误!，∴tan α＝7，tan β＝错误!1tanα＋β＝错误!＝错误!＝－32tanα＋2β＝tan[α＋β＋β]＝错误!＝错误!＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜错误!，∴α＋2β＝错误!1通过先求角的某个三角函数值来求角2选取函数时，应遵照以下原则：1已知正切函数值，选正切函数；2已知正、余弦函数值，，选正、余弦皆可；若角的范围是0，π，选余弦较好；若角的范围为错误!，选正弦较好3给值求角的一般步骤：1求角的某一三角函数值；2确定角的范围；3根据角的范围写出所求的角[再练一题]22021·北京高一检测1已知α∈错误!，in α＝错误!，求tan错误!的值；2如图3-1-2所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小图3-1-2【解】1因为in α＝错误!，且α∈错误!，所以co α＝－错误!，所以tan α＝错误!＝错误!＝－错误!，故tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!2由题图可知tan α＝错误!，tan β＝错误!，且α，β均为锐角，∴tanα＋β＝错误!＝错误!＝1∵α＋β∈0，π，∴α＋β＝错误![探究共研型]三角形中的三角函数探究1 判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？【提示】根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等探究2 在△ABC中，tan A＋B与tan C有何关系？【提示】根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan A＋B＝tanπ－C＝－tan C已知△ABC中，tan B＋tan C＋错误!tan B tan C＝错误!，且错误!tan A＋错误!tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状【精彩点拨】化简条件→求出tan A，tan C→求出角A，C→判断形状【自主解答】由tan A＝tan[π－B＋C]＝－tan B＋C＝错误!＝错误!＝－错误!而0°＜A＜180°，∴A＝12021由tan C＝tan[π－A＋B]＝错误!＝错误!＝错误!，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°∴△ABC是顶角为12021等腰三角形利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用[再练一题]，B，C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C【证明】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan A＋B＝错误!＝－tan C，∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C，即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C[构建·体系]105°－1,tan 105°＋1的值等于C－错误!D－错误!【解析】错误!＝错误!＝tan105°－45°＝tan 60°＝错误!【答案】 B22021·无锡高一检测已知错误!＝2＋错误!，则tan错误!的值为A2＋错误!B1C2－错误!错误!【解析】∵错误!＝2＋错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!【答案】 Cα＋tan β＝2，tanα＋β＝4，则tan α·tan β等于A2 B1D4【解析】∵tanα＋β＝错误!＝错误!＝4，∴tan αtan β＝错误!【答案】 C错误!＝________【解析】错误!＝错误!＝tan 45°＝1【答案】 1α＋β＝错误!，tan错误!＝错误!，求tan错误!的值【导学号：】【解】∵α＋错误!＝α＋β－错误!，∴tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!我还有这些不足：1_________________________________________________________2_________________________________________________________我的课下提升方案：1_________________________________________________________2_________________________________________________________学业分层测评二十六建议用时：45分钟[学业达标]一、选择题A,1－tan A＝错误!，则cot错误!＝A－错误!错误!D－错误!【解析】∵错误!＝错误!，∴cot错误!＝错误!＝错误!＝错误!【答案】 B2已知α＋β＝错误!，则1－tan α1－tan β＝A1 B2C3 D4【解析】tanα＋β＝错误!＝tan 错误!＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而1－tan α1－tan β＝1－tan α＋tan β＋tan αtan β＝1－－1＋tan αtan β＋tan αtan β＝2【答案】 B32021·沈阳高一检测已知β∈错误!，满足tanα＋β＝错误!，in β＝错误!，则tan α＝【导学号：】【解析】因为β∈错误!，in β＝错误!，所以co β＝错误!，所以tan β＝错误!＝错误!，又因为tanα＋β＝错误!，所以tan α＝tan[α＋β－β]＝错误!＝错误!＝错误!，故选B【答案】 B4在△ABC中， tan A＋tan B＋错误!＝错误!tan A tan B，则角C等于【解析】由已知得tan A＋tan B＝－错误!1－tan A tan B，∴错误!＝－错误!，∴tan C＝tan[π－A＋B]＝－tan A＋B＝错误!，∴C＝错误!【答案】 A52021·沈阳高一检测若α，β∈错误!，tan α＝错误!，tan β＝错误!，则α－β等于【解析】由题意，0<β<α<错误!，因为tanα－β＝错误!＝1，所以α－β＝错误!【答案】 B二、填空题α＋β＝错误!，tan错误!＝错误!，则tan错误!的值是________【解析】∵tan错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!，∴tan β＝错误!，tanα＋2β＝tan[α＋β＋β]＝错误!＝错误!＝错误!【答案】错误!α＋β＝7，tan α＝错误!，且β∈0，π，则β的值为________【解析】tan β＝tan[α＋β－α]＝错误!＝错误!＝1，又β∈0，π，所以β＝错误!【答案】错误!82021·新洲高一检测在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3错误!，tan2B＝tan A·tan C，则B＝________【解析】tan B＝－tan A＋C＝－错误!＝－错误!，所以tan3B＝3错误!，所以tan B＝错误!，又因为B为三角形的内角，所以B＝错误!【答案】错误!三、解答题＝错误!，tan错误!＝2错误!，1求tan错误!的值；2求tanα＋β的值【解】1tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝－错误!2tanα＋β＝tan错误!＝错误!＝错误!＝2错误!－3α，tan β是方程2＋3错误!＋4＝0的两个根，且α，β∈错误!，求α＋β的值【解】由题意，有错误!tan α＜0且tan β＜0又因为α，β∈错误!，。
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区公开课教案
《两角和与差的正切函数》教案
高一数学陈业锋
两角和与差的正切函数
三维目标
1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.
2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.
重点难点
教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.
教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.
教学方法
启发引导式、讲练结合法
教学过程
一、导入新课
1、回忆两角和与差的余弦公式、正弦公式。
2、通过前面的学习,你能否求出tan75°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课
二、推进新课、新知探究
活动：回答上述问题，教师板书过程。
提出问题
（1）通过上述特殊角的正切值得推导，利用所学两角和与差的公式,对比分析公式C α-β、C α+β、S α-β、S α+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?
（2）分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
（3）前面两角和与差的正、,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？
活动:引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cosαcosβ讨论如下:
当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=β
αβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得 tan(α+β)=β
αβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有
tan(α-β)=β
αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.
tan(α+β)=β
αβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=β
αβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式
问题：通过刚才的推导你能说出α、β、α±β满足的范围吗？
生： α≠2π+kπ(k ∈Z ),β≠2π+kπ(k ∈Z ),α±β≠2
π
+kπ(k ∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.
教师应留出一定的时间让学生回味,反思探究过程,点明推导过程的关键是:
tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.
教师说明：一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:
①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;
②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;
③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明.
至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.
要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图：
三、应用示例
例1 求tan150的值。
解略
解略。
活动说明：例1、例2主要是公式的正用与逆用，由学生回答。
例3 计算
15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现
2.:tan 42tan18tan 30tan 75(1);(2).1tan 42tan181tan 30tan 75+--+
例求下列各式的值
与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为
15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得.
解:因为tan45°=1, 所以 15tan 115tan 1+-=
15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33.
例4 已知tanα=2,tanβ=-31,其中0＜α＜2π,2
π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.
活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.
解:(1)因为已知tanα=2,tanβ=-3
1, 所以tan(α-β)=32131
2tan tan 1tan tan -+
=∙+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=β
αβ
αtan tan 1tan tan ∙-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜
2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=4
5π.
例5 若tan(α+β)=
52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4
π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破. 的值求求其中已知变式一βαβαπβπαβα+-<<<<-==(2) );tan()1(,20,2010103cos ,552sin : ，的值求求变式二：已知βαβαβα+--==(2) );tan(
)1(31tan ,2tan ，
解:因为α+4π
=(α+β)-(β-4π
),
所以tan(α+4π
)=tan ［(α+β)-(β-4π
)］ =2234
15214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.
四、知能训练
课本练习1、2、3、4.
课堂小结
本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.
作业
1、.课本习题3—1 A 组6,7.
2、.补充：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的值. 解:由韦达定理,得tanα+tanβ=-a b ,tanαtanβ=a
c , ∴tan(α+β)=a c b c a b a c a b
a a -=--=--
=-+1tan tan 1tan tan ββ.
教学反思
1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.
2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.。