2021届安徽省“皖南八校”高三上学期摸底联考数学(理)试卷参考答案
数学(理)答案
11．D
当n
= 1时，
S1
=
a1
=
1 2
a1
+
1 a1
，整理得 a12
= 1，因为 an
0 ，所以 a1
=1，
当n
2 时，Sn
=
1
2
Sn
−
Sn−1
+
Sn
1 − Sn−1
，可得
Sn
+
Sn−1
=
Sn
1 − Sn−1
，所以 Sn2
−
S2 n−1
= 1，
即数列 Sn2 是一个以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 Sn2 = 1+ (n −1) = n ，由 an 0 ，
sin B sin A = 2
3 sin
Acos2
2
−
B 2
=
2
3 sin Asin2 B ， 2
2分
因为
0
A
,0
B
，所以
sin
C
0,
B 2
0,
2
,
sin
B 2
0
，
则 2sin B cos B = 2 3 sin2 B ，
4分
22
2
故 tan B = 3 ，所以 B = ．
6分
23
3
（2）由（1）可知 ABD = CBD = ，又 A = ；所以 ADB = 7 ,CDB = 5 ，
“皖南八校”2021 届高三第二次联考·数学（理科） 参考答案、解析及评分细则
1．A 因为 B = x | x2 + 2x 0 ，所以 B = {x | −2 x 0} ，因为 A = {−2, −1,0,1} ，所
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学理试题及答案
“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（理科）本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()U C A B =（ ）A.()1,1-B.(]0,1C.()1,0-D.(]1,0-2.已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ） A.m R ∃∈，()23log xf x m x =-是减函数B.m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C.m R ∃∈，()23log xf x m x =-不是增函数D.m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.x =C.y =D.y =4.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.25.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里7.执行右边的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A.3B.4C.5D.68.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.9.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.410.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB （点B 为俯视图中矩形的中心）与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A.45B.35C.310D.1011.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.404012.若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A.(),0-∞B.()0,+∞C.()(),11,0-∞--D.(),1-∞-，()1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.14.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是______________.15.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0、等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a ab b b ++++是正整数，则实数q =____________.16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小； （2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1ABC △是边长为2的等边三角形，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 为菱形，1160AAC ∠=︒，1AC 与1A C 相交于点D .（1）求证：1BD C C ⊥.（2）求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x 、()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1.D 由题意得，{}11A x x x =≥≤-或，{}11U C A x x =-<<，∴()(]1,0U C A B =-.2.D3.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b = 4.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x +=， 所以1x =，所以2b =.5.B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.6.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.7.B 当2a =时，进入循环，2b =，3a =，当3a =时，再次进入循环，224b ==，4a =，当4a =时，再次进入循环，4216b ==，5a =，所以当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 8.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 9.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.10.D 该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥，作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =cos 10EAB ∠==. 11.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.12.D 由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点()1,0-代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，故函数在(),1-∞-，()1,0-上单调递减. 42122iz i i+==-，故12z i =+= 不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，代表区域为三角形，由图可知直线22y x =-+与直线240x y +-=平行，min MN 即为直线22y x =-+与直线240x y +-=之间的距离，所以min 5MN ===. 15.12 因为()()223222111123221231112141a a d a d a a a b b b b b q b q q q ++++++==++++++，故由已知条件可知2141q q m++=，其中m 为正整数.令2141q q m++=， 111222q =-=-≥，解得8m ≤，由于公比11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，解得78m <≤，故8m =， 所以2147184q q ++==，解得12q =或32q =-（舍去）. 16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a cb ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪ ⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点， ∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，1C C ⊂平面11AAC C ，∴1BD C C ⊥.………………………………………………………………4分（2）由棱柱的定义知：在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ， ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ，∴1BD A C ⊥.如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =，1AD =，1BD A D DC ===BC =∴()0,0,0D ，()1,0,0A，(B ，()11,0,0C -，()C . 设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =，(AB =-，(0,BC =，由0AB m ⋅=，0BC m ⋅=，得0x ⎧-+=⎪=，可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，11AC AC ⊥，∴CD ⊥平面1ABC ， ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =， ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 分 20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分 各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）()()()()211x a x a x x a f x x x-++--'== 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,+∞上恒成立. 若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,+∞上单调递增，∵()0F x >在()0,+∞上恒成立，∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥.………………………………………………………………6分 （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+， ()()()()()()22222411*********t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++，故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+， ∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-， ∴()122k x x +>得证.综上可知，原命题得证.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212m y y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅ 1232x x m =-⋅m =m =2==. 综上可得，PAC △面积S 为定值2.………………………………………………12分。
安徽省皖南八校2021届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
安徽省皖南八校2021届高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题考查的学问涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章学问，重视学科基础学问和基本技能的考察，同时侧重考察了同学的学习方法和思维力量的考察，学问点综合与迁移。
试卷的整体水准应当说比较高，综合学问、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是A.13i -+B.13i -C.13i +D.13i -- 【学问点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】BB.【思路点拨】利用复数除法运算求得复数z=1+3i ，再由共轭复数的定义求z 的共轭复数.【题文】2.则下列结论正确的是A.{2,1}A B =--B.()(,0)R A B =-∞C.(0,)AB =+∞ D.(){2,1}R A B =--【学问点】集合运算. A1 【答案解析】D 解析：{|0},{2,1,1,2},A y y B =>=--()(){}{1,2},,01,2U A B C A B ∴==-∞,(){}(){}0,1,2,2,1U AB C A B =+∞--=--,故选D.【思路点拨】求出集合A ，然后依次求各选项中的集合，得出正确选项.【题文】3.设,a b R ∈,”是“||||ab >”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【学问点】充分条件；必要条件. A2【答案解析】Aa=-5,b=1时，||||a b >但. ”是“||||a b >”成立的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】分别推断充分性、必要性是否成立得结论.【题文】4.则与向量AB 方向相同的单位向量是【学问点】平面对量的概念；向量的坐标运算. F1 F2【答案解析】C 1,AB ⎛= ，所以与向量AB方向相同的C.【思路点拨】求出向量AB 的坐标，提出向量AB 的模得与向量AB 方向相同的单位向量. 【题文】5.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若则A.b a c <<B.c b a <<C.b c a <<D.a b c << 【学问点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4【答案解析】B，而函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增，所以a>0,b<0,c<0，又由于b>c ，所以a>b>c ，故选B.【思路点拨】利用诱导公式化简各自变量值，依据函数的奇偶性、单调性，把a,b,c 分成正数、负数两类，由再依据单调性得负数b,c 大小关系，从而得a,b,c 的大小挨次.【题文】6.函数()cos 22sin fx x x =+的最大值与最小值的和是A.2-B.0 【学问点】与三角函数有关的最值. C7【答案解析】C，所以函数()f x 的最大值是最小值是-3，所以最大值与最小值的和是 C.【思路点拨】把已知函数化为二次函数形式求得结论.【题文】7.函数1()x x f x xe e +=-的单调递增区间是A.(,)e -∞B.(1,)eC.(,)e +∞D.(1,)e -+∞ 【学问点】导数法求函数的单调区间. B12 【答案解析】D 解析：()1(1)x x x xf x e xe e x e e +'=+-=-+，由()0f x '>得x>e-1，故选D.【思路点拨】求定义域上导函数大于0的x 范围.【题文】8.及y 轴所围成的封闭图形的面积是A.2ln 2B.2ln 21-【学问点】定积分与微积分基本定理. B13【答案解析】A A.【思路点拨】由定积分的几何意义及微积分基本定理求解.【题文】9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120aBC bCA cAB ++=,则ABC ∆的最小角的正弦值等于【学问点】向量；解三角形. F1 C8【答案解析】C 解析：由2015120aBC bCA cAB ++=得()2015120aCB bCA c CB CA -++-=(1512)(2012)b c CA a c CB⇒-=-,由于,CA CB 不共线，所以A 最小，又cosA= C.【思路点拨】依据向量共线的意义得关于a,b,c 的方程组，由此确定三角形的最小内角，再由余弦定理求得此最小内角的余弦值，进而求其正弦值.【题文】10.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<,则()f x 在R 上的零点个数为A.1B.3C.5D.1或3【学问点】函数的奇偶性；函数的零点；导数的应用. B4 B9 B12【答案解析】A 解析：设2()()h x x f x =则[]2()2()()2()()h x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，由于0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<， 所以0x <时,[]()2()()h x x f x xf x ''=+ 20x >>，所以函数()f x 是(),0-∞上的增函数，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 是R 上增函数，所以()f x 在R 上的零点个数为1，故选 A. 【思路点拨】构造函数，利用导数确定函数在(),0-∞的单调性，再由奇偶性得函数在R 上单调性，从而得到函数的零点个数.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.【题文】11.命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是 【学问点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】存在0x R ∈,使得200310x x -+≤. 解析：命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是“存在0x R ∈,使得200310x x -+≤” 【思路点拨】依据含量词的命题的否定方法写出结论.【题文】12.已知向量(3,4),a =向量b 满足||3a b -=,则||b 的取值范围是 【学问点】向量的几何意义. F1【答案解析】[2，8] 解析：||3a b -=表示b 对应的点与a 对应的点距离是35a=，所以||b 的最小值5-3=2，最大值5+3=8，即||b 的取值范围是[2，8].【思路点拨】依据向量差的模的几何意义，得b 对应点的轨迹是以（3，4）为圆心3为半径的圆，由此得||b 的取值范围.【题文】13.,,则ω=【学问点】函数sin()y A x ωϕ=+的性质.C4解析：,时，()f x 在,在4(,2)3ππ上单调递减.所以12ω=. 【思路点拨】由已知条件得413f π⎛⎫=⎪⎝⎭，从而4312,36222k k k Z πππωπω⋅-=+⇒=+∈,而当12ω=时，()f x 在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减.所以12ω=. 【题文】14.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==,则123x x x ++的取值范围是【学问点】分段函数. B1【答案解析】11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：设123x x x <<，则1237,0,63x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭， 所以123x x x ++的取值范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭ 【思路点拨】画出函数()f x 的图像，由图像可知若123x x x <<，则1237,0,63x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭，由此得123x x x ++的取值范围. 【题文】15.已知函数()(,)bf x ax a b R x =+∈,有下列五个命题①不论,a b 为什么值,函数()y f x =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数()f x 的微小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数()y f x =的图象上任意一点的切线都不行能经过原点;④当0,0a b >>时,对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,使得1tan AOB a ∠=(其中点O是坐标原点)⑤当0ab ≠时,函数()y f x =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是 (填上你认为正确的全部命题的序号) 【学问点】函数的性质. B12【答案解析】①③⑤ 解析：明显函数()f x 是奇函数，故命题①正确；当a=b<0时函数()f x 的微小值是-2a ,极大值是2a ，故命题②不正确；假设存在过原点的切线，切点为000(,)b x ax x +，则切线斜率20ba x +，又2()b f x a x '=-，所以20b a x +=20b a x -，得b=0，与0ab ≠冲突，故命题③正确；当a=b=1时，对勾函数1()f x x x =+以直线y=x,y 轴为渐近线，30,,44AOB πππ⎛⎫⎛⎤∠∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,使得1tan AOB a ∠=不成立，故命题④不正确；由③得切线方程00200()()()b by ax a x x x x =+=--与y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y 轴交点020,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.所以正确命题有①③⑤.【思路点拨】①可推断函数()f x 的奇偶性；②当a=b<0时函数()f x 的微小值是-2a ,极大值是2a ，故结论不成立；③反证法，假设存在过原点的切线，切点为000(,)b x ax x +，则切线斜率20b a x +，又2()b f x a x '=-，所以20b a x +=20b a x -，得b=0，与0ab ≠冲突，故命题③正确；④特殊值法，当a=b=1时，对勾函数1()f x x x =+以直线y=x,y 轴为渐近线，30,,44AOB πππ⎛⎫⎛⎤∠∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以4AOB π∠≠，从而1tan AOB a ∠==1不成立，故命题④不正确；⑤由③得切线方程00200()()()b by ax a x x x x =+=--与y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y 轴交点020,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】16(本小题满分12分)如图,3AOB π∠=,动点12,A A 与12,B B 分别在射线,OA OB 上,且线段12A A 的长为1,线段12,B B 的长为2,点,M N 分别是线段1122,A B A B 的中点.(Ⅰ)用向量12A A 与12B B 表示向量MN ;(Ⅱ)求向量MN 的模.【学问点】向量在几何中的应用；向量的线性运算；向量的模.F1【答案解析】12121()2MN AA B B =+.解析：（Ⅰ）1122MN MA A A A N =++,1122MN MB B B B N =++两式相加，并留意到点,M N 分别是线段11A B 、22A B 的中点，得12121()2MN A A B B =+分（Ⅱ）由已知可得向量12A A 与12B B 的模分别为1与2，夹角为所以12121A A B B =,由12121()MN A A B B =+22212121212121211()242MN A A B B A A B B A A B B =+=++•12分【思路点拨】（Ⅰ）依据向量加法的多边形法则求解；（Ⅱ）依据向量模的平方与向量数量积的关系求解.【题文】17(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,(Ⅰ)求cos C 的值;(Ⅱ)若5a =,求ABC ∆的面积. 【学问点】解三角形. C8【答案解析】解析：3分,所以6分（Ⅱ）由（1在△ABC 中，由正弦定理,……………9分……………12分【思路点拨】（Ⅰ）已知等式开放，代入余弦定理得cosA,代入cos cos()C A B =-+得结论；（Ⅱ）由正弦定理求得边c .【题文】18(本小题满分12分)的导函数为'()f x .(Ⅰ)若函数()f x 在2x =处取得极值,求实数a 的值;(Ⅱ)已知不等式2'()f x x x a >+-对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围. 【学问点】导数的应用. B12【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) }{|20x x -≤≤.解析：(Ⅰ)'2()f x ax x a =-+，由于函数()f x 在2x =时取得极值，所以 '(2)0f =.即 420,a a -+=解得此时'()f x 在2x =两边异号，()f x 在2x =处取得极值--------6分(Ⅱ) 方法一：由题设知：22ax x a x x a -+>+- 对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立……………9分设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤………12分方法二： 由题设知：22ax x a x x a -+>+-，对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 对任意(0,)a ∈+∞都成立，即9分20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分【思路点拨】(Ⅰ)由可导函数在某点取得极值的条件求a 值；(Ⅱ)法一 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，把不等式左边看成关于a 的一次函数，利用一次函数单调性得关于x 的不等式求解；法二：分别参数法求x 范围.【题文】19(本小题满分12分),且函数()y f x =的图象的两相(Ⅰ); (Ⅱ)将函数()y f x =的图象向右平移,得到函数()y g x =的图象,求函数()g x 的单调递增区间. 【学问点】函数sin()y A x ωϕ=+解析式的确定；图像变换. C4【答案解析】（k ∈Z ）. 解析：3分 由于()f x为奇函数，所以所以()2sin f x x ω=π22，所以2ω=．故()2sin 2f x x =……………6分 （Ⅱ）将()f x的图象向右平移 ……………9分 （k ∈Z ），（k ∈Z ）时，()g x 单调递增，因此()g x 的单调递增区间为（k ∈Z ）． ……………12分 【思路点拨】（Ⅰ）由奇偶性求ϕ，由周期性求ω，得解析式，从而求（Ⅱ）依据图像变换规律得函数()y g x =的解析式，再依据正弦函数的单调性求得函数()g x 的单调递增区间.【题文】20(本小题满分13分)其中0a <.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内单调递减,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)且关于x 的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【学问点】导数的应用. B12 【答案解析】（Ⅰ）(,1]-∞- ；(Ⅱ).解析：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得依题意'()0f x ≤在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立. ……3分这个不等式供应2种解法，供参考解法一：由于0a <，所以二次函数开口向下，对称轴问题转化为2240a =+≤所以1a ≤-，所以a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分在0x >恒成立，当1=x 时，取最小值1-，∴a 的取值范围是(,1]-∞- ………6分，()(2)ln 22g x g b ==--极小值，又(4)2ln 22g b =--………10分方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， 得………13分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数转化为不等式恒成立问题，再由分别参数法等求a 范围；在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，利用导数求极值，通过分析极值的取值条件求得b 范围.【题文】21(本小题满分14分)已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2. (Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)争辩()g x的单调性;(Ⅲ)已知*,m n N ∈且1m n >>,【学问点】导数的应用；分析法证明不等式. B12 E7【答案解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) ()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的；(Ⅲ)见解析.解析：（Ⅰ）()ln ,f x x x mx =+所以'()1ln f x x m =++ 由题意'(1)1ln12f m =++=,得1m =……3分(Ⅱ当1x >时，，()h x 是增函数，()(1)0h x h >=，，故()g x 在()1,+∞上为增函数； ………6分 当01x <<时，，()h x 是减函数，()(1)0h x h >=，，故()g x 在()0,1上为增函数；所以()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的。
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学(理)试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-5．定积分22sin x -+⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =，sin 4d =，则（ ） A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx by +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知km CD =，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．B ．CD ．11．已知函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭，则（ ）A．函数()f x 的极大值点为x B ．函数()f x 在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________.14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________.15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+.（1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.参考答案1．A 【分析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．B 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 3．C 【分析】 由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题 5．C 【分析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．D 【分析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误； 因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,42a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题. 7．B 【分析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=， 112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．A 【分析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用. 9．D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=， 126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDC BC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用. 11．D 【分析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y f x=有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x =在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．B 【分析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.【分析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题 14．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数，要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．32【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值.由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16．12【分析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系， 则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos sin λμθθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩11cos 2211cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题. 17．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()()1cos 2sin cos 2cos cos 62g x f x x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般. 18．（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-. 【分析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．（1）23C π=；（2）3. 【分析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长.【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=，2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．（1）1a b ==；（2）(,1]-∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈. 【分析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭；当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns xx x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0f x，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a <，0b <时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：当1a b ==时，()1x f x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥. 即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<， 则()()221lnsin sin 1ln 1x x x x e++<-， 即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+， 所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．1,0D ．1,0【答案】D【解析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数【答案】D【解析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择. 【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为26则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．3x =B ．3x =C ．3y =D ．3y = 【答案】B【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为26b ，进而得到抛物线的方程求解. 【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为26所以222266a b +==⎝⎭，解得3a b == 所以 223y x =，所以抛物线的准线方程是3x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ） A ．10 B ．2C 10D 2【答案】D【解析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解. 【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =， 所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D 【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式． 【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A ．72里 B ．60里 C ．48里 D ．36里【答案】A【解析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解. 【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序流程图输出结果补全条件即可. 【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =， 当3a =时，执行224b ==，4a =， 当4a =时，执行4216b ==，5a =， ∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 故选：B 【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题. 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．()451B ．)451C ．12D ．4【答案】D【解析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310D ．310【答案】D【解析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角. 又22AE =，1BE =，5AB =， 所以310cos 102225EAB ∠==⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题.11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A ．1010 B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】C【解析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称．12．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间.【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 5【解析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故125z i =+=， 5【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题.14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________【答案】25【解析】由约束条件240{2030x yx yy+-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x=-+的最短距离为()2,0A到直线220x y+-=的距离，等于42255-＝25.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知等差数列{}n a的公差d不为0，等比数列{}n b的公比151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，若1a d=，21b d=，222123123a a ab b b++++是正整数，则实数q=____________.【答案】12【解析】由已知等差、等比数列以及1a d=，21b d=，222123123a a amb b b++=++是正整数，可得2141q qm++=，结合1512q⎡-∈⎢⎣⎭，即可求m的值，进而求q.【详解】由1a d=，21b d=，令()()223222111123221231112141a a d a da a amb b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m为正整数，有2141q qm++=，又151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 【答案】111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论. 【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小； （2）若3b =ABC 面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）334. 【解析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以32sin sin sin 3a c bA C B====， 三角形ABC 面积1132sin 4sin sin 3sin 223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭33cos 2A A ⎛=+⎝133333sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC 33. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C , ∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =,1AD =,13BD A D DC ===,6=BC ,∴()0,0,0D ,()1,0,0A ,()0,0,3B ,()11,0,0C -,()0,3,0C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,()1,0,3AB =-,()0,3,3BC =-,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得30330x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()0,3,0DC =, ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值是5. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率． 【答案】（1）23.1；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>. 【答案】（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【解析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线3320x y -+=上，且22a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）是定值，362. 【解析】（1）根据题意，得到()2,0F -，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，2b =（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l 的距离为21m d k=+.【详解】（1）∵直线3320x y -+=与x 轴的交点为()2,0-，∴2c =∴22222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，2b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得262142x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即6AM =，所以6363S PM AM =⋅==； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程， 整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则21m d k=+则PAC 的面积132S AC d =⋅ 21221121m k x k=+-⋅+1232x x m =-⋅ ()22222234421212m km m k k -⎛⎫=--⋅ ⎪++⎝⎭ ()22222123k m m +-= ()2221221212362322k k k ++-+==. 综上可得，PAC 面积S 36. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.1。
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-【答案】D【解析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题5．定积分22sin x -⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π【答案】C【解析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥【答案】D【解析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误；因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,242a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =sin 4d =，则（ ）A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>【答案】B【解析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=，112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx b y +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时 B ．48小时 C ．60小时 D ．72小时【答案】A【解析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用.9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D【解析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()1223sin 2sin 6332g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km【答案】C【解析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.11．已知函数()2332xf x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x的极大值点为x = B ．函数()f x在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-【答案】D【解析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x =或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y fx =有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x=在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________. 【答案】2e【解析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________. 【答案】20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数， 要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________. 【答案】32【解析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值. 【详解】由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，3),(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos 33sin 3λμθλμθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩131cos 22131cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）()()31cos 2sin cos 2cos cos 622g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231113cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-.【解析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 【答案】（1）23C π=；（2）3. 【解析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长. 【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=， 2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a b ==；（2）(,1]-∞.【解析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）【答案】（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈.【解析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭； 当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0fx，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >，0b >时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：当1a b ==时，()1xf x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥.即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<，则()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ） A ．()1,1- B ．(]0,1 C ．1,0 D ．1,02．已知命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数 B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数 C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数 D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．2x =-C ．y =D ．2y =- 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD 5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）A ．72里B ．60里C ．48里D ．36里7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．410．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310 D11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．1010B ．-2020C ．2020D ．404012．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．,0B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0二、填空题 13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________15．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a a b b b ++++是正整数，则实数q =____________. 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+. 19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．D【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数， p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．B【分析】 根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以22262a b ⎛+== ⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B.【点睛】 本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D【分析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解.【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．B【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式．【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．A【分析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解.【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =， 23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】根据程序流程图输出结果补全条件即可.【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =，当3a =时，执行224b ==，4a =，当4a =时，执行4216b ==，5a =，∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤.故选：B【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题.8．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．D【分析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【分析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =所以cosEAB ∠==.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题. 11．C 【分析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称． 12．D 【分析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间. 【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题. 14【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．12【分析】由已知等差、等比数列以及1a d =，21b d =，222123123a a a m b b b ++=++是正整数，可得2141q q m++=，结合11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，即可求m 的值，进而求q . 【详解】由1a d =，21b d =，令()()223222111123221231112141a a d a d a a a m b b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m 为正整数，有2141q q m ++=，又11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， ∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 【分析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.17．（1）3B π=；（2）4. 【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 2223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯⋅=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2cos 222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题. 18．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C ,∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ====BC ∴()0,0,0D ,()1,0,0A,(B ,()11,0,0C -,()C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,(AB =-,(0,BC =,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得0x ⎧-=⎪=,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =, ∵5cos 5m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C .【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．（1）23.1；（2）35.【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x xx +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =可得出椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC 的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得y ==，即2AM =，所以322S PM AM =⋅=⋅=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。
2021届皖南八校高三上学期第二次联考数学(理)试题及答案
一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}3{2,1,0,1},|20A B x x x =--=+<，则A B ⋂=（ ） A ．{1}- B ．{1,0}- C ．{2,1,0}-- D ．{1,0,1}-2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker ，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i 为虚数单位，复数(2)43z i i -=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i - D ．12i +3．0y ±=，且与椭圆2228x y +=有共同焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．222213y x -= B ．2213y x -= C ．2214y x -= D ．2219y x -= 4．若{}n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（ ） A ．公比为3e 等比数列 B ．公比为3的等比数列 C ．公差为3e 的等差数列 D ．公差为3的等差数列5．(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点，过A ，B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点，则圆C 的面积为（ ） A ．838π B ．212π C ．858π D ．434π 6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =．过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ，交PC 于点E ．则CE 的长为（ ）A B C D 7．已知正实数a ，b ，满足a b >，则（ ）A ．ln(1)0a b -+<B ．3a ba b π--< C ．11a b a b +>+ D ．11a b a b->- 8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ）A ．12 B ．23C D 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里||,||x y ππ<<，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．sin()0x y ->B ．sin()0x y -<C ．cos()0x y ->D ．cos()0x y -< 10．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2ac eb b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足*9,2n n b S n +=∈N ，数列{}n c 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N ．设n T 为{}n c 的前n 项和，则当n T 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．17B ．18C ．19D ．2012．已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ，若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <，则()111tan x x -=（ ） A ．1- B ．2 C ．1 D ．2- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．14．若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含4x 项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．16．已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=，则a =___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知三角形ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos 2A Cb A +=． （1）求角B ； （2）若4A π=，角B 的平分线交AC 于点D ，2CD =，求BCDS ．18．（12分）8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为ξ，求ξ的分布列与期望． 参考数据：51566ii y==∑，511750i i i x y ==∑．参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑．19．（12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==，M 为EC 的中点．（1）求证：//BM 平面ADEF ；（2）求平面BMD 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值． 20．（12分） 已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R ．（1）求证：当0m =时，函数()f x 在(,0)-∞内单调递减；（2）若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围． 21．（12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点P 为y 轴左侧一点，A ，B 为抛物线C 上两点，当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时，AOB 面积为2． （1）求抛物线C 标准方程；（2）若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线，设PAB 的外心为M （点M 不与焦点F 重合），求sin PFM ∠的所有可能取值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=． （1）求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程； （2）点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q 求线段PQ 的长． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y +≥； （21+． “皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1．A 因为{}2|20B x x x =+<，所以{|20}B x x =-<<，因为{2,1,0,1}A =--，所以{1}A B ⋂=-． 2．C ∵43(43)(2)510(2)43,122(2)(2)5i i i iz i i z i i i i ++++-=+====+-+-，∴12z i =-．3．B 椭圆2228x y +=，即22184x y +=的焦点为(2,0)±．可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得224a b +=0y ±=，可得ba=，解得1,a b ==，则双曲线的方程为2213y x -=．4．D 令31ln n n b a -=，则132ln n n b a ++=，所以332131lnln 3n n n n a b b e a ++--===． 5．C 由题意可知AB 中垂线为,CD AB 中点(9,12)E ，则直线CD 方程为：315y x =-，故(5,0)D ，在ACD 中，AD ==2ABAE ==，DE ==∵CAD AED ∽，故CA AEAD ED=，AD AE r CA ED ⋅===C 面积为858π．6．D 依题意，,PB BC PC BE ⊥⊥，所以2BC CE CP =⨯，易知PB CP ==，则CE7．D 对A ，取3,2a b ==，则ln(1)ln20a b -+=>，故错误；对B ，取3,2a b ==，则113π>，故错误；对C ，取11,24a b ==，则151********+=<+=，故错误；对D ，由0a b >>可知11b a>，由同向不等式相加的性质可得11a b b a +>+，可得11a b a b->-． 8．C，则球的内接正方体的棱长为a ，正方体的内切球的半径2ar =， ∴正方体的内切球的体积33 4326a V a ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭内接球，又由已知 4V V π=内接球牟合方盖，∴33 4263V a a ππ=⨯=牟合方盖，∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为332343a π=⎫⎪⎝⎭9．A 由于||,||x y ππ<<，则||2x y π-<．设与y x =相平行的直线的方程为x y m -=，当直线x y m -=过点(,)ππ-时，2m π=-；当直线x y m -=过点(,0)π-和(0,)π时，m π=-；直线x y m -=过点(0,)π-和(,0)π时，m π=．则由图中阴影部分可得2x y ππ-<-<-或0x y π<-<，这里,x y ππππ-<<-<<．则一定有sin()0x y ->．10．B 设()(0)xf x xe x =>，易得()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln bc b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)cb e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 11．D 当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，整理得211a =，因为0n a >，所以11a =， 当2n 时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得111n n n n S S S S --+=-，所以2211n n S S --=，即数列{}2n S 是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以21(1)n S n n =+-=，由0n a >，可得0n S >，故n S =，则999222n c ⎛=--⎝，当120n 时，0n b >；当21n 时，0n b <，故当118n 时，0n c >；当19n =时，190c <；当20n =时，200c >，当21n 时，0n c <，又192099(9022c c ⎛+=--->⎝，故当20n =时，n T 取得最大值． 12．C 如图直线l 与()cos f x x =相切于点A ，则()11,cos ,()sin A x x f x x '=-，直线过定点(1,0)，则111cos sin 1x x x =--，∴()111tan 1x x -=．13．2425-由题意34sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24cos 2cos 22sin cos 6626625πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．14．10 由展开式的各项系数之和为32，则()52103155232,5,rnrr r r r n T C x x C x ---+====．令1034r -=，解得2r =，所以展开式中的含4x 项的系数为10． 15．54 设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭从而有11119,16MN PN EN y y k k k x x ===-，又1190,MN y NMP k x ∠==，所以11MP xk y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a b x x x x y y y y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩，从而得到22PM PNb k k a ⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==． 16．1,02⎛⎫⎪⎝⎭||||||a b a a+-=等价于=如图，构造三角形,ABC AD 为BC 边上的高且1AD =，其中,AB x AC ==，则BD =DC =11sin 22ABCSAB AC BAC ADBC =⋅⋅∠=⋅，即111222BAC ∠==，则sin 1BAC∠=，故222AB ACBC +=， 则222(x x +==，化简得210x x --=，又0x >，解得12x =，故51a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．17．解：（1）因为2sincos2A Cb A +=，由正弦定理可得 22sin sin cos sin 222B B B A A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 2分因为0,0A B ππ<<<<，所以sin 0,0,,sin 0222B BC π⎛⎫>∈> ⎪⎝⎭， 则22sincos 222B B B=，4分 故tan2B =3B π=．6分（2）由（1）可知6ABD CBD π∠=∠=，又4A π=；所以75,1212ADB CDB ππ∠=∠=，可得512BCD π∠=，所以BC BD =， 8分 在BCD 中，由正弦定理可得5sinsin 612CD BD ππ=，故5sin12sin 6BD CD ππ=⋅=+ 10分211sin sin 2226BCDSCB BD CBD BD π=⋅⋅⋅∠=⋅=． 12分 18．解：（1）由题意可知3x =，113.2y =，()52110ii x x =-=∑，()()551111750356652niii i i i i i x x yy x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑， 2分()()()12152ˆ 5.210nii i ni i xx y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ113.2 5.2397.6ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆˆ97.6 5.2y x =+． 5分 将ˆ6x =代入，得ˆ128.8129y=，故预计2021年中国大陆进入世界500强的企业数量大约129家． 6分（2）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 8分0124433377112(0),(1)3535C C C P P C C ξξ======， 213043433377184(2),(3)3535C C C C P P C C ξξ======． 所以ξ的分布列为： 10分112184120123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分 19．（1）证明：设N 为DE 中点， 连接,MN AN （如图），因为M 为EC 的中点， 所以MN 为CDE 中位线， 所以//MN CD ，且12MN CD =． 又因为//AB CD ，且12AB CD =， 所以//AB MN ，且AB MN =． 所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM AN ． 2分 因为AN ⊂平面,ADEF BM ⊄平面ADEF ， 所以//BM 平面ADEF ． 4分 （2）解：由已知，平面ADEF⊥平面ABCD ，且四边形ADEF 为正方形，所以DE AD ⊥．又平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD 所以DE DC ⊥．又因为,AD CD DE DA ⊥⊥，所以,,DA DC DE 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、之轴，建立空间直角坐标系． 6分不妨设1AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C E ， 因为M 为EC 的中点，所以10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．于是1(1,1,0),0,1,2DB DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面BDM 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,10.2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则(1,1,2)n =-．易知平面ABF 的法向量为(1,0,0)DA =， 8分 设平面BMD 与平面ABF 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|||||6n DA n DA n DA θ⋅=〈〉===⋅所以平面BMD 与平面ABF 12分 20．（1）证明：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 1分当0m =时，3221()xx x x f x e x ----'=⋅． 2分设32()1g x x x x =---，则2()321(31)(1)g x x x x x '=--=+-． 则当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0g x '<，函数()g x 单调递减． 4分所以在(,0)-∞内，函数()g x 的最大值为122327g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 即在(,0)-∞内，函数()0g x <．由于20,0x e x ->>，所以在(,0)-∞上，()0f x '<． 5分 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减． 6分（2）解：322(1)1()xx m x x f x e x--+--'=⋅． 7分 设322()(1)1,()32(1)1g x x m x x g x x m x '=-+--=-+-．若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，则函数()g x 在区间(1,2)上有且只有一个零点，且()g x 在这个零点两侧异号．设()1212,x x x x <是函数()g x '的两个零点（24(1)120m ∆=++>，方程()0g x '=有两个不相等的实数根）．则函数()g x 在()1,x -∞内单调递增，在()12,x x 内单调递减，在()2,x +∞内单调递增．由于()1212,x x x x <是方程232(1)10x m x -+-=的两根，且1213x x ⋅=-， 则120,0x x <>，又(0)1g =-，则()20g x <． 9分若函数()g x 在区间(1,2)上有且只有一个零点0x ，则(1)0(2)0g g <⎧⎨>⎩．解得124m -<<． 10分 当()01,x x ∈时，()0()0,,2g x x x <∈时，()0g x >，所以()g x 在这个零点两侧异号，即()f x '在这个零点两侧异号． 11分 当2m ≤-时，(1)20g m =--． 又(1)0,()0g g x ''>>在(1,2)内成立，所以()g x 在(1,2)内单调递增，故()f x 无极值点．当14m时，(2)0,(0)0g g <，易得(1,2)x ∈时，()0g x <，故()f x 无极值点． 所以当函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点时，m 的取值范围是12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 12分21．解：（1）当直线AB 过抛物线焦点F 且垂直于x 轴时，A ，B 两点横坐标为2p， 代入抛物线方程，可得22y p =，故2AB p =∣， 2分2122222ABOp p Sp =⋅⋅==，得2p =， 3分 故抛物线C 标准方程为24y x =． 4分 （2）设()()2211224,4,4,4A t t B t t ． 5分易知直线211:24PA t y x t =+，直线222:24PB t y x t =+， 6分 联立得()()12124,2P t t t t +则,PA PB 的中垂线方程分别为：1l ：()()2111212243y t x t t t t t +=+++，2l ：()()2221221243y t x t t t t t +=+++． 8分联立12,l l 解得：()()()()21212121221,4M t t t t t t t t ++-+++， 9分 由于(1,0)F ，故()1212122,22FP t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()2121212122,4FM t t t t t t t t =+-+++()()()()()2121212*********,22,42FP FM t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222212121212121282820t t t t t t t t t t t t =+-+-+++=， 11分故FP FM ⊥，所以2PFM π∠=，则sin PFM ∠的所有可能取值为1． 12分22．解：（1）由题意可知圆C 普通方程为22(2)4x y -+=，直线l 直角坐标方程为10x y +-=． 4分（2）点P 直角坐标为(0,1)，设直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆普通方程得210t ++=，6分设A ，B 对应参数为12,t t ，则Q 对应的参数为122t t +， 8分故12|||22t t PQ +==∣． 10分 23．解：（1）222()2x y x y++， 2分 而(2x x y++=， 4分 故222x y+，当且仅当1x y ==不等式取等号；5分（2）由柯西不等式可得211)(4x y ⎛⎫+++++=， 8分114=1+，当且仅当1x y ==不等式取等号． 10分。
安徽省皖南八校2021届高三摸底联考化学
安徽省皖南八校2021届高三摸底联考化学皖南八校2021届高三摸底联考化学问题考生注意：1.本试卷分为两部分：第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）。
满分为100分，考试时间为100分钟。
2.在回答问题之前，考生必须清楚地填写密封行中的项目。
3．请将各卷答案填在答题卡上。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．书面答案无效，试卷和草稿上的答案无效第ⅰ卷（选择题，共42分）本卷共有14个子题，每个子题得3分，共计42分。
在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。
2932941．2021年4月7日，俄罗斯科学家宣布在实验中获得了117un和117un两种新原子。
下列这两个原子的错误在于。
A.是同一种核素吗b．互称为同位素（）c．中子数分别为176、177d．质量数均超过质子数的两倍2.空气中钠的燃烧产物可用于向航天器供氧，其供氧原理可表示为：2na2o2+2co2==O2+2na2co3。
Na2O2中Na的价态为+2B。
在这个反应中，O元素被氧化，钠元素被还原。
C.钠的原子半径大于锂的原子半径。
D.空气中锂的燃烧产物也常用于供氧。
3.以下关于物质性质或应用的陈述是正确的（）a．晶体硅是光纤制品的主要化学成分c．胶体可产生丁达尔现象b、这种合金至少含有两种金属元素。
D.乙烯、丙烷和丙烯可通过石油分馏获得（）4.关于苯丙氨酸(）的下列叙述中，错误的是a、含双键、羧基、氨基和其他官能团B的碳。
分子中至少有七个碳原子位于同一平面C上。
它可以与酸和碱反应，是一种两性化合物D。
它可以在一定条件下聚合形成聚合物（）5.以下陈述是正确的a．工业上用碳还原氧化铝生产铝b、氯水会使红色花瓣褪色c．常温下，硅与浓硝酸反应放也no2d、铁制品比铝制品更容易腐蚀，因为铁比铝更活跃②反应进行的快慢6.有以下因素：① 有多少反应物七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载③ 反应物和产物的状态④ 反应方式d．①③（）（）其中对某化学反应的反应热的大小有影响的因素是A.① ② ③ ④ B① ② ③ C① ③ ④ 7.下图所示的实验设计可以达到相应的实验目的a．从碘水中萃取碘c．高温煅烧石灰石b、收集H2或co2d。
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