人教A版选修4-5：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件(共23张PPT)
合集下载
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利 用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几 何平均不等式求最大值．
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教A版选修4-5
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
ppt精选
1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
ppt精选
3
ppt精选
栏 目 链 接
4
►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
ppt精选
7
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
接
x2)×，求出最值后再开方．
ppt精选
6
点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
ppt精选
1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
ppt精选
3
ppt精选
栏 目 链 接
4
►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
ppt精选
7
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
接
x2)×，求出最值后再开方．
ppt精选
6
点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
人教A版选修4-5：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件(共23张PPT)
27
归纳延伸 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式 及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
作业：P10 8、9、12、13
小结： 三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
解: 0 x 1, 1 x 0,
构造三
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
个数相 加等于
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
定值.
当 x 2
1
x,
x
2 时, 3
ymax
4 27
.
(2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
解: 0 x 1, 1 x2 0,
3、多次运用基本不等式时注意等号成立的条件。
课 堂
1.均值定理的应用范围广泛, 要关注 变量的取值要求和等号能否成立,
小 还要注意它的变式的运用,如:
结
a2 b2 2ab;
a2 b2 c2 ab bc ca;
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
ab a b (a2 b2 ) 等.
2x
即9 ，
x2
x 时 1等3 36号成立.
2
构造三个数相乘 积等于定值.
2、若x, y R , xy2 4则x y的最小值是 _B_
A、4 B、3 C、6 D、5
解析：x y x y y 33 x y y 3
22
22
当且仅当x y 且xy2 4时，上式取等号 2
3: (1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
推荐-高中数学人教A版选修4-5课件1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式
“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即 a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知乘积 a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.
“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部 分相等.
不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要 求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练 2】
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
证明:
1 ������
+
4 1-������
=
1 ������
+
2 1-������
反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等 式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用 该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意 经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成 立的条件是否保持一致.
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部 分相等.
不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要 求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练 2】
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
证明:
1 ������
+
4 1-������
=
1 ������
+
2 1-������
反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等 式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用 该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意 经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成 立的条件是否保持一致.
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.1.3不等式(共57张PPT)
学习是一次独立的行动，需要探索、琢磨、积极应战、顽强应战，艰辛由你独自承担，胜利由你独立争取。 你可以用爱得到全世界，你也可以用恨失去全世界。 有梦就去追，没死就别停。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 用最多的梦想面对未来。 觉得自己做的到和做不到，其实只在一念之间。 语言是心灵和文化教养的反映。 经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 人生如棋，走一步看一步是庸者，走一步算三步是常者，走一步定十步是智者。 自己要先看得起自己，别人才会看得起你。 用最多的梦想面对未来。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 人越是高兴的事情，越爱隐藏；越是痛苦的事情，越爱小题大作。
最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路 上，就没有到不了的地方。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。
最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路 上，就没有到不了的地方。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。
高中数学人教A版选修4-5课件：1-1-3三个正数的算术-几何平均不等式
2
2
2
2 2
2
2
2
1 )·. 2
1 2������2 +1-������2 +1-������2 2 2 2 2 ∵2x +(1-x )+(1-x )=2,∴y ≤ 2 3
3
=
4 , 27
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3 ∴y≤ 9 . ∴ 2 3 ������的最大值为 9 .
6
= 9,
当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
答案：9
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析： “一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等 式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=-2,c=2 时,a+b+c=-2,而 3 ������������������ = 6, 显然-2≥6 不成立.
≥
������
a1 a2 …an , 当且仅当������1 = ������2 = ⋯ = ������������时,
等号成立.
归纳总结 从不等式的式子结构入手,拼凑出所需形式是解决此类 问题的突破点.
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
【做一做 2】 已知 a,b,c>0,则
������ ������ ������ + ������ + ������ ������
2
������������ ������2 ������ ������2 + 2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������������ ������ bc ac ab a2 b c2 · · · · · a2 b2 c2 bc ca ab
1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式(人教A版选修4-5)
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
推广
对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 , an， 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值，
a1 a2 a3 即 n
an
≥ n a1a2 a3
an
(当且仅当 a1 a2 a3
an 时取等号.)
2、不能直接利用定理时，要善于转化变形，通过变形达到化归的目的；
2 2 2
练习：
并确定a, b, c为何值时，等号成立。
1 1 1 2 证明： a b c ( ) a b c 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c 9 2 2 2 a b c
2 2 2
1 1 1 2 3 a b c 9 2 2 2 a b c
(2)当0 x 1时, 求函数y x(1 x )的最大值 .
2
2 0 x 1 , 解: 1 x 0,
由y x(1 x ), 得
2 2 2 2 2
1 2x 1 x 1 x 3 4 ( ) 2 3 27 3 4 2 2 2 2 当2 x 1 x , x 时, y max , ymax 3. 3 27 9
y x (1 x ) 1 2 2 2 2 x (1 x )(1 x ) 2 2 2 2
构造三个 数相 加 等于定值.
二、用基本不等式证明不等式 例：已知 a, b, c R , 1 1 1 a b c 9 求证： a b c 3 a b c 3 abc 0 证明： a, b, c R ,
2
下面的解法对吗？ 1 1 4 x x 1 5x 3 1 y 4 x x(1 5 x) ( ) , 4 4 3 108 1 ymax . 108
高二数学人教A版选修4-5课件：1.1.3三个正数的算术几何平均数
典例精析
【自主解答】 ∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
高二选修4-5
1.1.3 三个正数的算术几何平均数
问题导入
已知 x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 【证明】 因为 x>0，y>0，所以 1＋x＋y2≥33 xy2>0,1＋x2＋y≥33 x2y>0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·33 x2y＝9xy.
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
即 r＝339时等号成立，此时 h＝329. 故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为339米，高为329米．
典例精析
题型三、利用平均不等式求最值
例 3 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值． 【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方， 即 y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×21， 求出最值后再开方．
本课小结
— 平均不等式的理解 平均不等式—— 利用平均不等式求最值
— 利用平均不等式证明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Qy1g4xgx(15x)1(4xx15x)3 1 ,
4
4
3
108
ymax
1. 108
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
解：y 5 x2 ( 2 2 x) 5 xgx( 2 2 x),
25
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q 0 x 1 , 2 2 x 0, 55
数相 加 等于定值.
12x2(1x2)1(x2)
2
1(2x21x21x2)34
2
3
27
当 2 x 2 1 x 2 ,x3 3 时 ,y 2 m a2 4 x,y 7 m a9 2 x3 .
二、用基本不等式证明不等式
例5、已知x，y，zR+，求证：
（x+y+z） 327xyz。
证 明 ： 因 为 xyz3xyz， 所 以 3
3.对不等式 abc成3立abc的a,b,c的理解 3
(1)在不等式中a,b,c的范围是a>0,b>0,c>0.
(2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值,
当且仅当三个正数相等时取等号.
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
下面的解法对吗？
若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
证明：a 3 b3 c3 3abc
(a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc
(a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c 2 3ab(a b c)
类比两个正数基本不等式的形式：ab 2 ab
2
当且仅当a=b时，等号成立．
猜想：对于3个正数a，b，c，可能有：
abc 3 ab， c 当且仅当a=b=c时，等 3
号成立．
和的立方公式：(x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3 x 2 y 3
立方和公式： x 3 y 3 (x y )x 2 ( x y y 2 )
（x+y+z）3 27
xyz，
即 （ x+y+z） 327xyz
例6 将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解:设剪去的小正方形的边长为 x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去a的 a2x 4 1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37小长正为方形边 a 时 , 铁
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！ 3.三个正数的算术--几何平均数
1 .基 本 不 等 式 及 其 常 用 变 式
(1) a 2 b 2 2 a b ( a , b R )
定理 若a,b.cR,那么abc3abc, 3
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 推论:
(1)abc为定值时 abc33 abc
当且a仅 bc 当 时 ,等号. 成立
(2)abc为定值时 abc(abc)3 3
当且a仅 bc 当 时 ,等号. 成立
求 函 数 y2x23,(x0)的 最 小 值 . x
解: y 2 x 2 3 2 x 2 1 2 3 32 x 212 3 34 x (不x 对:原x 因是取不到x 等x 号)
当且仅当
2x
即9 ，
x2
x 时 1 等3 36号成立.
2
构造三个数相乘 积等于定值.
2、x若 ,yR,x2 y4则 xy的最小 _B _值
A、4 B、3 C、6 D、5
解析 xy ： xyy33xyy3 2 2 22
当且仅 x当 y且xy2 4时，上式取等 2
3: (1)当 0x1时 ,求函 yx2 数 (1x)的最 .
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x f 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a 2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
(a b c) a 2 2ab b 2 ac bc c 2 3ab (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
1、三个正数的算术几何不等式
定理3 若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
ymin33 4 (上述解法对吗？)
正解: y2x23 2x2 3 3
x
2x 2x
33 2x2 3 3 33 9 33 36 2x 2x 2 2
当且 2x2 仅 2 3 x,x 当 2 3时 ,ym i2 3 n33.6
小结：利用三个正实数的基本不等式求最 值时注意：
1、一正、二定、三相等； 2、不能直接利用定理时，注意拆项、配 项凑定值的技巧（拆项时常拆成两个相 同项）。
y
5
[
x
x
(2 5
2x) ]3
4.
2
3
675
当且仅当x
x
2 5
2 x，即x
2 15
时
，
y
max
4. 675
1.若x>0,则
4x
9 x2
的最小值为(
A.9
B. 3 3 3 6
C.13
【解析】选B.因为x>0,
) D.不存在
所以 4xx 9 22x2xx 9 2332xg 2xg x 9 23336 ，
解: 0x1, 1x0,
构造三
yx2(1x)4xx(1x) 个数相
22
加等于
x x 1x
4(2 2
)3
4
3
27
定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
(2)当 0x1时 ,求函 yx(数 1x2)的最 .
解: 0x1,1x2 0,
构造三个
由yx(1x2),得 y2 x2(1x2)2
6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
归纳延伸 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式 及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
作业：P10 8、9、12、13
小结： 三个正数的算术-几何平均不等式