复合材料细观尺度对等效弹性模量的影响

⎛ 1 ∫Ω ⎜ ⎜Y ⎝
∫
Σ
E ijkl
⎞ ∂v i ( x ) ∂Μ k dY ⎟ ⎟ ∂x d Ω + ∂y l j ⎠
⎛1 ∫Ω ⎜ ⎜Y ⎝
∫
Σ
⎞ ( ) ( ) f i dY ⎟ ⎟vi x dΩ + ∫Γt t i vi x dΓ ⎠
kl ⎛ ⎞ ∂χ p ⎜ E ijkl − E ijpq ⎟ dY ∫Σ ⎜ ⎟ ∂ y q ⎝ ⎠
∀v ∈ VΩ×Σ
（7）
其中 V Ω × Σ = v ( x , y ); v ( x , y ) ∈ Ω × Σ v (., y )是光滑的、 Y 周期函数且 v Γ d = 0 同样可以定义 V Ω 、 V Σ 为： V Ω = v ( x )定义在宏观 Ω 域内 v 足够光滑且 v
V Σ = v ( y )定义在细观 Σ 域内 v ( y ), Y 是周期的且足够光滑
1
∀v ∈ VΣ
（19）
由此可得出 u 的解：
ui1 = −χ ikl (x, y )
1
0 ( x) ∂uk ~1 (x) − Μi (x, y) + u i ∂xl
（20）
~ ( x ) 是对 y 的任意积分常数。将（20）式带入（16）式，得： 其中 u i
⎡1 ∫Ω ⎢ ⎢ ⎣Y
0 ⎛ ⎞ ⎤ ∂u k ∂χ kl ∂v i ( x ) p ⎜ E ijkl − E ijpq ⎟ dY ⎥ dΩ = ∫Σ ⎜ ⎟ ∂y q ⎠ ⎥ ⎝ ⎦ ∂ x l ∂x j
代入(9)并选取 v = v( y ) 得:
⎞ ∂vi ⎟ ⎟ ∂y dY = ∫S pi vi dS ......, ∀v ∈ VΣ ⎠ j
(12)
在 Y 域相应的边界上应用周期性条件和离散理论,对上式局部积分,有：
−∫
∂ Σ ∂y i
0 1 0 1 ⎡ ⎛ ∂uk ⎛ ∂uk ⎞ ⎞ ∂vi ⎤ ∂uk ∂uk ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E v dY E + + + ⎢ ijkl ⎜ ⎥ i ijkl ∫ ⎜ ∂x ∂y ⎟vi ni dS = ∫S pi vi dS.....,∀v ∈VΣ ⎟ ∂y S x y ∂ ∂ ⎢ ⎥ l ⎠ j ⎦ l ⎠ ⎝ l ⎣ ⎝ l
∫
Σ
⎞ () ( ) ∀v ∈ VΣ （16） f i dY ⎟ ⎟vi x dΩ + ∫Γt t i v i x dΓ ⎠
然后再取 v = v ( y ) ，又得：
⎛ ∂u 1 ∂u k2 ⎞ ∂vi k ⎜ ⎟ E + ∫Σ ijkl ⎜ ⎟ ∂y dY = ∫Σ f i vi ( y )dY ∂ x ∂ y l l ⎝ ⎠ j
Ω Y
在域 Ωε 内
ε
（3）
∫
S
ε
∫ ∫ Ψ ( y )dYd Ω
Ω S
在边界 S 上
（4）
对图 1 所示结构体，在有体力 f 和牵引力 t 作用，且认为边界足够光滑的，同时通常 孔内受牵引力
ε 时边界 S =
⎧ x⎞ ⎫ ⎛ ε p 作用，胞元实体部分用 Σ 表示，则整个域 Ω = ⎨x ∈ Ω ⎜ y = ⎟ ∈ Σ⎬ ，同 ε⎠ ⎭ ⎝ ⎩
（11）
∂ ∂y i
0 0 ⎛ ⎞ ∂u k ∂u k ⎜ ⎟ = 0 ， ∀ y ∈ Σ ； E n j = 0 ，在边界 S 上。由此可以得出： E ijkl ⎜ ijkl ∂y ⎟ ∂ y l l ⎝ ⎠
u 0 (x, y) = u 0 ( x) ，也就是说渐进扩大的第一项仅依赖于 x 。
再次选取 v = v( x ) ，那么由（9）式就可以得： 亦表明
ε (0 < ε < 1) ，因此，结构的非均质性是细观层次的[2]。尽管如此，但是在物体受力时，在
体内任意一宏观点很小的领域内，应力应变的变化却是很大的。为此引入两个尺度 x 和
y = x / ε ，其中 x 表示宏观尺度， y 表示细观尺度，若 g ε (x) 表示物体内的位移等物理量，
则有 g
{
{
Γd
=0
}
}
{
}
由周期函数的性质③可知，在各函数均光滑的情况下，当 ε → 0 时，所有积分都存在，对 等式两边关于 ε 具有相同形式的表达式对应相等，则：
1 Y
∫∫
Ω Σ
Eijkl
0 ∂u k ∂vi dYdΓ = 0......., ∀v ∈ VΩ×Σ ∂y l ∂y j
（8）
⎧ ⎪1 ∫Ω ⎨ ⎪ ⎩Y

复合材料细观尺度对等效弹性模量的影响
兰长俊
河海大学，南京（210098）
E-mail：lanlong1017@
摘 要： 根据摄动理论和周期函数的特性推导均匀化计算公式， 计算具有周期性细观结构材 料的有效弹性模量并讨论其与胞元方形孔洞尺寸的关系； 并结合此结构特点， 改变孔洞角度 和型式，初步探讨材料等效弹性模量与孔洞形式的关系。 关键词：摄动理论，均匀化，胞元
∀v ∈ VΣ
（17）
这些方程描述了胞元在细观水平上的平衡。均匀化过程已经可以讨论到展式的高阶项， 但是实际讨论中，一般讨论到一阶就足够了，因此，宏观的用 u 表示，细观量则用 u 表示。 为了求出胞元体的均匀化弹性常数，再度讨论（12）式，由于该式是关于 u 和 p 的线 性方程，因此存在： ⑴、 χ kl ∈ VΣ 是下面方程的解：
kl ∂χ p ∂v ( y ) ∂vi ( y ) dY dY = ∫ Eijkl i Σ ∂y j ∂y q ∂y j
0 0 1
∫E
Σ
ijpq
∀v ∈ VΣ
（18）
⑵、 Μ ∈ VΣ 是下方程的解：
-3-

∫
Σ
E ijkl
∂Μ p ∂vi ( y ) dY = ∫ pi vi ( y )dS S ∂y q ∂y j
再引入周期性函数的几个性质： ① 周期函数的导数也是周期性的 ② 导数函数在周期内的积分为零 ③ 对于一个 Y 周期函数 Ψ ( y ) 当 ε → 0 时，有：
（2）
∫
Ωε
1 ⎛x⎞ Ψ ⎜ ⎟d Ω = Y ⎝ε ⎠ 1 ⎛x⎞ Ψ ⎜ ⎟d Ω = εY ⎝ε ⎠
∫ ∫ Ψ ( y )dYd Ω
∫
⎛1 ⎜ Ω⎜ Y ⎝
∫
S
⎞ ( ) ， p i dS ⎟ ⎟vi x dΩ = 0, ∀v ∈ VΩ ⎠
0 0
∫ p (x, y )dS = 0 ，也就是说作用的牵引力是自平衡的。换而言之,将 u (x, y) = u (x)
S i
0 ⎛ ∂u k ∂u 1 ⎜ + k ∫Σ Eijkl ⎜ ⎝ ∂xl ∂y l
⎧ ⎪1 ∫Ω ⎨ ⎪ ⎩Y
0 0 ⎡⎛ ∂uk ⎛1 ⎞ ∂vi ∂uk ∂vi ⎤ ⎫ ∂u1 ⎪ k ⎜ ⎟ ⎜ + Ω = E + dY d ⎥ ⎬ ∫Σ ijkl ⎢ ∫ ⎟ ∂y ⎜ ∂x Ω⎜ Y ∂ ∂ ∂ y y x ⎪ ⎢ ⎥ l l j l j ⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦ ⎭
0 ⎡⎛ ∂uk ⎞ ∂vi ∂u1 k ⎜ ⎟ ∫Σ Eijkl ⎢ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ∂y ⎢⎝ l l ⎠ j ⎣
(x ) = g (x, y ) ，又细观结构的周期性，上述各量亦为周期性的，此时： ∂g ε ( x ) ∂g ( x , y ) ∂g ( x , y ) = +
ε
∂x i
∂x i
ε ∂y i
（1）
同时均匀化理论还给出摄动方程：
g ε (x) = g o ( x, y) + εg 1 ( x, y) + ε 2 g 2 ( x, y) + ……
ΥS
i =1
∞
i
，且孔洞不相交[3]。
-1-

图 1 具有周期性细观结构的弹性问题
此时，进一步讨论应力应变、应变位移之间的关系：
ε ε ε σij = Eijkl ekl
ε 其中 e kl = ε ∂u lε 1 ⎛ ∂u k ⎜ + ∂x k 2⎜ ⎝ ∂x l
∀v ∈ VΩ
（21）
用下列符号表示上式中某些量：
E
H ijkl
(x ) = 1 Y
（22）
τ ij ( x ) =
∫
Σ
E ijkl
∂Μ k 1 dY ， bi ( x ) = ∂yl Y
∫
Σ
f i dY
（23）
此时，（21）式就可以写成：
∫
Ω
E
H ijkl
0 ∂u k ∂v i ( x ) ∂v ( x ) dΩ = ∫ τ ij ( x ) i dΩ + ∫ bi ( x )v i ( x )dΩ + ∫ t i vi ( x )dΓ Ω Ω Γt ∂x l ∂x j ∂x j
∫ p v dS ⎟ ⎟dΩ
S i i
⎞ ⎠
（9）
由于 v 是任意函数，因此可首先选取 v = v( y ) ，然后，对（8）在周期 Y 内局部积分并 应用离散理论以及周期函数的性质可得：
2 ⎛1 ⎛ ∂u1 ⎞ ∂vi ⎤ ⎫ ∂uk ⎪ k ⎜ ⎜ ⎟ +⎜ + dY d Ω = ⎥ ⎬ ∫ ⎟ ∂y Ω⎜ Y ∂ x ∂ y ⎥ ⎪ l ⎠ j ⎦ ⎝ l ⎝ ⎭ ∀v ∈ VΩ×Σ
在边界 S 上
（15）
再度对（11）式进行分析，此时选取 v = v( x ) 在宏观范围内平衡状态有：
⎡1 ∫Ω ⎢ ⎢ ⎣Y
0 ⎛ ∂u k ∂u 1 k ⎜ E + ijkl ∫Σ ⎜ ∂xl ∂y l ⎝
⎞ ⎤ ∂v i ( x ) ⎛1 ⎟dY ⎥ dΩ = ∫ ⎜ ⎟ ⎥ ∂x j Ω⎜ Y ⎝ ⎠ ⎦