高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

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人教A版高中数学必修四(2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示)

行四边形？
B
N
PC
O
MA
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 OM ON OC ？
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2，
OC =a，则向量OM,ON 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作OA a，OB b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。

【高中数学必修四】2.3.1平面向量基本定理

e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
显然： a OM ON
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后，是否平面内任意一个向量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢？
讨论：
⑴ 当a与e1或e2 共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情况时，怎样构造平行四边形？
2.3.1
平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
a b
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件： o
A
P
B
OP OA 1 OB R

问题：如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量， a 是这一平面内的任一向量，那么 a 与 e1 , e2 之间有什么关系呢？ » 创设情境、提出问题怎样探求这种关系？
C
e2

人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示教案(1)

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（）A.6 B .5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
(1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)．
→ ∴AB＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； → AC＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； → → AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； → → AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
提醒在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：
课前探究学习
课堂讲练互动
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2．向量的几种运算体系 (1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算． (2)由产生过程看，先有几何表示下的几何运算，再有字母表示下的运算，最后有坐标运算．在运算过程中三种运算体系相互补充是一个有机的整体． (3)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．
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课堂讲练互动
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→ → 若是平行四边形 ACBD，则由AC＝DB得，可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得 x＝2，y＝－1. 故所求顶点 D 的坐标为 D(2，－1)．综上可得，以 A、B、C 为顶点的平行四边形的另一个顶点 D 的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．
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规律方法
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则
进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

人教课标版高中数学必修四《平面向量基本定理及坐标表示》教案(1)-新版

（1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝ .不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝ .如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b.
【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义．
【解题过程】如图，
作，，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则，，，因为，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°；因为，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，∠COA＝，即a+b与a的夹角为30°．
【解题过程】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形．
由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，，可得平行四边形的边长为2和4，所以＝2＋4＝6．
【思路点拨】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将用向量与表示即可．
【答案】6
●活动⑤强化提升，灵活应用
例3如图，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相较于点E，设，，试用基底，表示向量．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：
（1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝ .我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝ .如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b.

高中数学人教A版必修课件：平面向量的基本定理及坐标表示

高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
如图所示，分别求它们的坐标.
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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2020年12月5日星期六
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高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)
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当向量起点被限制在原点时，作OA a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.
解： A
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)
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e2
2020年12月5日星期六
高中数学人教A版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43 张PPT)

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(三)

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示（三）----fa5d529f-6ea4-11ec-997e-7cb59b590d7d2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式和定点坐标公式；（3）将根据向量的坐标判断向量是否共线教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、回顾介绍：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；（3）根据该定理，在给定基E1和E2的条件下，任意向量a都可以分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示? 以与x轴和y轴方向相同的两个单位向量I和j为基，根据平面向量的基本定理，任何向量a都有且只有一对实数x和y，因此a？席？YJ调用（x，y）向量a的（矩形）坐标，并将其记录为a？（x，y）其中x称为a在x轴上的坐标，y称为a在y轴上的坐标，尤其是，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2.平面向量的坐标运算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，然后是a？B（x1？x2，y1？y2），a？B（x1？x2，y1？y2）？A.（？X，？Y）两个向量的和和和差的坐标分别等于两个向量对应坐标的和和和差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）如果a（x1，Y1），B（X2，Y2），那么AB？？x2？x1，y2？y1？向量的坐标等于端点的坐标减去表示向量的有向线段起点的坐标。

向量AB的坐标与从原点开始并在点P.3结束的向量的坐标相同。

高中数学人A教版必修4课件：2.3-平面向量的基本定理及坐标表示(共43张PPT)

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2019年12月18日星期三
思考
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？
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2019年12月18日星期三
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N .
向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得
OM 1e1，ON 2e2.由于OC OM ON， M
C
所以a 1e1 2e2，
A
O
NB
也就是说任一向量a都可以表示成1e1 2e2的形式.
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• 若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值.
x=3
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2019年12月18日星期三
练一练
• 已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标 .
• a=(-1,2)，b=(-2,-1)
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2019年12月18日星期三
x1 2x2 , y1 2 y2
3
3
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2019年12月18日星期三
练一练
• 已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标.
• (-6,-8)，(12,5)
• 已知：A(2,3)，B(-1,5)，且 AC 1 AB, AD 3AB, AE - 1 AB

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4(

高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4的全部内容。

2.3.1 平面向量基本定理2。

3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第三节的第一课,平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一,所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义,理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示。

2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁。

3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值,培养学生的探索研究能力。

重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示。

高中数学人教A版必修四教师用书：第2章+2.3+2.3.1+平面向量基本定理

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示](1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角[0，π]a与b同向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )[解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示．(3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．若△ABC 是等边三角形，则AB →与BC →的夹角的大小为________． 120° [由向量夹角的定义知AB →与BC →的夹角与∠B 互补，大小为120°.] 3．如图2-3-1所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．图2-3-14e 1＋3e 2 [由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2.][合作探究·攻重难](1)D ，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a . 其中正确的结论的序号为________．(2)如图2-3-2，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.图2-3-2[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③ [(1)如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a ) ＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确．](2)因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF →＝ED →＋DA →＋AF → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .[规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →等于( )【导学号：84352209】图2-3-3A ．－a ＋15b B ．a －15b C ．23a －13bD ．13a ＋23bA [∵AE →＝15AB →，∴BE →＝－45AB →. 又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15(AC →－AB →)，∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15(AC →－AB →) ＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .](1)b ，c ⊥a ，则a ，b的夹角等于________．(2)若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角.【导学号：84352210】[思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(如图所示)，则a ，b 夹角为180°－∠C . ∵|a|＝1，|b|＝2，c ⊥a ， ∴∠C ＝60°， ∴a ，b 的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°.[规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝AC ，则AB →与BC →夹角的大小为________．150° [如图所示，因为∠A ＝120°，AB ＝AC ，所以∠B ＝30°，所以AB →与BC →的夹角为180°－∠B ＝150°.][探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e 1，e 2，使向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2，由于e 1，e 2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.如图2-3-4所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.【导学号：84352211】图2-3-4[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而得OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .母题探究：1.将本例中“M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“N 为OA 的中点”，求BP ∶PN 的值．图2-3-5[解] BN →＝ON →－OB →＝12a －b ，OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b ，因为O ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使BP →＝λBN →＝λ2a －λb ， OP →＝μOM →＝2μ3a ＋μ3b ，所以OB →＝OP →＋PB →＝OP →－BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ3－λ2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3＋λb ，又OB →＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以BP →＝45BN →，即BP ∶PN ＝4∶1.2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP →.图2-3-6[解] AM →＝OM →－OA →＝13OB →－OA →＝13b －a ，BN →＝ON →－OB →＝12OA →－OB →＝12a －b ，因为A ，P ，M 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAM →＝λ3b －λa ，所以OP →＝OA →＋AP →＝(1－λ)a ＋λ3b .因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数μ使得BP →＝μBN →＝μ2a －μb ，所以OP →＝OB →＋BP →＝μ2a ＋(1－μ)b . 即⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，所以OP →＝25a ＋15b .[规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[当堂达标·固双基]1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°D [AD →与CD →的夹角与∠DAB 互补，其大小为180°－30°＝150°.] 3．设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( )【导学号：84352212】A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → A [因为BC →＝3CD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AC →)＝3AD →－3AC →，所以3AD →＝4AC →－AB →，所以AD →＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.]4．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．3 [因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]5．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.【导学号：84352213】图2-3-7[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC → ＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)课件新人教A版必修4

e1
e2
a
系呢？系呢？将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：
O
平面向量基本定理：平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、、2 , 它们之间会有怎样的关
e1
e2
a
系呢？系呢？将三个向量的起点移到同一点：将三个向量的起点移到同一点：
O
a
C
平面向量基本定理：平面向量基本定理：
C
A M
e1 A a
N
B −e O e 2 2
'
e1 e2 B O
B
a
C
讨论：讨论：
⑵ 改变的位置如下图两种情 a
况时，怎样构造平行四边形？况时，
C
A M
e1 A a
N
B −e O e 2 2
'
−e1
B
A
'
e1 e2 B O
a
C
讨论：讨论：
⑵ 改变的位置如下图两种情 a
况时，怎样构造平行四边形？况时，
解：
e1
− 2e1 3e2
a
e2
定理的应用：定理的应用：
如图，平行四边形例2. 如图， ABCD 两条对角线 M a 相交点且AB = a, AD = b, 用 , b表示 M , M , M , M . A B C D D
C M B
b
A
a
定理的应用：定理的应用：
, , 、例3. 如图 OA OB 不共线且 AP = t AB (t ∈R), 用OA, OB表示OP .
M
e1
讨论：讨论：

【数学】2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(人教A版必修4)1

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20
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y），且 a//b ，求 y 的值。
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21
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
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22
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23
λa=(λx, λy)
• 这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的
相应坐标。林老师网络编辑整理
13
例2 已知a＝（2，1），b＝（－3， 4），求a+b，a－b，3a+4b
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
8
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
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9
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
即
a+b=(x1+x2,y1+y2)
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7
例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y
A2
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,
b
A j Oi
a A1
x
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)

高中数学新课标人教A版必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

(2)E→C∥D→C.又∵E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，D→C＝2a－53b， ∴2－2 λ＝15，
3
∴λ＝45.
课前探究学习
课堂讲练互第二动十九页，编辑于活星期页一：规点范十一训分练。
课前探究学习
课堂讲练互第十动页，编辑于星期活一：页点规十一范分。训练
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求解．
∴O→C与O→A的夹角是 30°，B→A与O→A的夹角为 60°. 即 a＋b 与 a 的夹角为 30°，a－b 与 a 的夹角为 60°. 规律方法求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
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即AA→→BD＋＋1212AA→→DB＝＝ba，，
解得AA→→DB＝＝－43a23－a＋23b43. b，
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题型二向量的夹角问题
【例 2】已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b 与 a
的夹角是多少？a－b 与 a 的夹角又是多少？
课前探究学习
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自学导引
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对

(vip免费)【数学】2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(人教A版必修4)1

O
x
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为 (x2 - x1,y2 - y1) 的P点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
已知a=(x,y)和实数λ，那么
λ a= λ(x, y) 即
λa=(λx, λy)
• 这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145 分英语141分文综 255分
毕业学校：北京二中报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
即
x1= λx2
y1= λy2
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0

新课标高中数学人教A版必修四精品课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)

MA , MB , MC , MD .
D
C

M
b
最新高中数学精品课件试卷
A
a
B
定理的应用：
例 3 . 如图, O A、O B 不共线, 且 A P t A B
(t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
最新高中数学精品课件试卷
P
B
O
A
定理的应用：
例 3 . 如图, O A、O B 不共线, 且 A P t A B
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1 A a
C
O
最新高中数学精品课件试卷
平面向量基本定理：
观察如图三个不共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量a, 有且只有一对实数
1, 2 ,
使
a

1 e1

2 e2
.
最新高中数学精品课件试卷
平面向量基本定理：
如果 e1 , e2是同一平面内两个不
共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量a, 有且只有一对实数
a
C
最新高中数学精品课件试卷
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图，又该如何构成平行四边形？

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§2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； .
一、课前准备
（预习教材P93—P96）
复习1：向量b 、()
0a a ≠
是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .
复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e + 、122e e -
.
二、新课导学 ※ 探索新知
探究：平面向量基本定理
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+
的向量表示呢？
1. 平面向量的基本定理:
如果1e ,2e
是同一平面内两个的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一
对实数,21,λλ使。

其中，不共线的这两个向量,1e 2e
叫做表示这一平面内
所有向量的基底。

注意：
(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a
在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a
=OB b ，则
叫做向量a
与b 的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是。

当时，表示a 与b 同向；当时，表示a
与b 反向；
当时，表示a
与b 垂直。

记作：a b ⊥ .
在不共线的两个向量中，90θ= ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表
示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。

对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使
得____________，这样，平面内的任一向量
a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做
a 在x 轴上的坐标，y 叫做
a 在y 轴上的坐标。

几个特殊向量的坐标表示
===
___________,_________,______
i j o
※ 典型例题
寻找表示。

例1、已知梯形ABC D 中，//AB D C ，且2AB CD =，E 、F 分别是D C 、AB 的中点，设
AD a = ，AB b = 。

试用,a b 为基底表示DC 、BC
.
例2、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，OA = 60xOA ∠=
，求向量OA 的坐标.
三、小结反思
1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示
3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1、已知点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为
（6，5），O 为原点，则 OA =________，
OB =_______。

2、已知向量 a 的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，且= ||4a ，则 a 的坐标为__________。

3、已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+ ，1232b e e λ=- ，若a 与b 共线，则实数λ= .
4. 设O 是平行四边形ABC D 两对角线A C 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）
①AD 与AB ②DA
与BC ③CA 与DC ④OD 与OB
A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
5、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a
，AC ＝b ，则AM ＝（）
Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－2
1
（ a － b ）
Ｃ．－21（ a ＋b ）Ｄ．2
1
（ a ＋b ）
1、在矩形ABC D 中，A C 与BD 交于点O ，若15BC e =
，23DC e =
，则O C
等于多少？
2．已知点A（2，2），B（-2，2），C（4，6），D（-5，6），E（-2，-2），F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量
AC BD EF并求向量
AC BD EF的坐标。