函数的基本性质知识点和典型例题
职高高一数学函数知识点及例题
职高高一数学函数知识点及例题一、函数的定义和基本性质函数是将一个或多个自变量的值通过某种规则转化为相应的因变量的值的关系。
在数学中，函数可以用方程、图表或者图形表示。
函数的基本性质包括：1. 自变量和因变量：函数中自变量的值决定了因变量的值。
自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的所有可能取值，值域是函数对应的因变量可能的取值范围。
3. 一一对应：函数的定义域中的每个自变量值只对应一个因变量值，即每个x值只有唯一的y值与之对应。
4. 奇偶性：函数可以根据其关于y轴对称或关于原点对称来判断奇偶性。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
5. 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种。
递增意味着随着自变量增大，因变量也随之增大；递减则相反。
二、常见函数类型及其图像1. 线性函数：线性函数的定义表达式为y = kx + b，其中k和b 为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线和y轴的交点位置。
2. 幂函数：幂函数的定义表达式为y = x^n，其中n为常数。
幂函数的图像形状与n的值有关，当n为正数时，图像增长迅速；当n为负数时，图像先上升后下降。
3. 指数函数：指数函数的定义表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是递增的曲线。
4. 对数函数：对数函数的定义表达式为y = log_a x，其中a为常数且大于1。
对数函数的图像是递增的曲线，与指数函数相反。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
它们的图像是周期性的波动曲线。
三、常见函数的例题1. 问题：已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。
解答：将x = 4代入函数表达式，得到f(4) = 2(4) - 3 = 5。
因此，f(4)的值为5。
2. 问题：已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(-1)的值。
函数的基本性质(复习讲义)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型七--函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k 的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y 随x 的增大而增大k <0图象经过第二、四象限y 随x 的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b 个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b (k≠0)k>0，b>0一、二、三y 随x 的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b (k≠0)k<0，b>0一、二、四y 随x 的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b 的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-b k ，即直线y=kx+b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y=k 1x+b 1（k 1≠0）与y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k 的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b 的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x 轴于点A 和点B．则下列直线中，与x 轴的交点不在线段AB 上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝233x+2【答案】C【分析】分别求出点A、B 坐标，再根据各选项解析式求出与x 轴交点坐标，判断即可．【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x 轴于点A 和点B．∴A（﹣1，0），B （﹣3，0）A.y＝x+2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x 轴的交点在线段AB 上；B.x+2与x ，0）；故直线x+2与x 轴的交点在线段AB上；C.y＝4x+2与x 轴的交点为（﹣12，0）；故直线y＝4x+2与x 轴的交点不在线段AB 上；D.y＝233x+2与x ；故直线y＝233x+2与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x 轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．2.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣4x+1与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，直线l 2：y=kx（k≠0）与直线l 1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k 的值为（）A．23B．22C．【答案】B【分析】过C 作CD⊥OA 于D，利用直线l 1：y 24=-x+1，即可得到，0），B（0，1），AB ==3．依据CD∥BO，可得OD 13=AO 223=，CD 23=BO 23=，进而得到23，），代入直线l 2：y＝kx，可得k 的值．【解析】如图，过C 作CD⊥OA 于D．直线l 1：y 24=-x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则，即，0），B（0，1），∴Rt△AOB 中，AB ==3．∵∠BOC＝∠BCO，∴CB＝BO＝1，AC＝2．∵CD∥BO，∴OD 13=AO 3=，CD 23=BO 23=，即23，），把23，）代入直线l 2：y＝kx，可得：23=k 22=．故选B．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．3.如图，在平面直角坐标系中，点A，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP，AP，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．【答案】y＝﹣2x+8【分析】根据正方形的性质得到点A，C 关于直线OB 对称，连接CD 交OB 于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP 的值最小，求得直线CD 的解析式为y＝﹣12x+4，由于直线OB 的解析式为y ＝x，解方程组得到P（83，83），由待定系数法即可得到结论．【解析】解：∵四边形ABCO 是正方形，∴点A，C 关于直线OB 对称，连接CD 交OB 于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP 的值最小，∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），∵D 为AB 的中点，∴AD＝12AB＝2，∴D（4，2），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴424k b b +=⎧⎨=⎩，∴124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为：y＝﹣12x+4，∵直线OB 的解析式为y＝x，∴142y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得：x＝y＝83，∴P（83，83），设直线AP 的解析式为：y＝mx+n，∴408833m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：28m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AP 的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点P 的位置是解题的关键．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.【答案】（1）24y x =-（2）322x -≤≤【分析】（1）由题意先求出点A 的坐标，再根据平移求得点C 的坐标，由直线CD 与y=2x 平行，可设直线CD 的解析式为y=2x+b，代入点C 坐标利用待定系数法即可得；（2）先求得点B 坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后的解析式为y=2x+3，分别求得直线CD、直线BF 与x 轴的交点坐标即可得到平移过程中与x 轴交点横坐标的取值范围.【解析】（1） 点()A 5m ，在直线y x 3=-+上，∴m 532=-+=-，()A 52-，，又 点A 向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点C ，∴()C 32，， 直线CD 与y 2x =平行，∴设直线CD 的解析式为y 2x b =+，又 直线CD 过点()C 32，，∴2=6+b，解得b=-4，∴直线CD 的解析式为y 2x 4=-；（2）将x 0=代入y x 3=-+中，得y 3=，即()B 03，，故平移之后的直线BF 的解析式为y 2x 3=+，令y 0=，得x 32=-，即3F 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将y 0=代入y 2x 4=-中，得x 2=，即()G 20，，∴CD 平移过程中与x 轴交点的取值范围是：3x 22-≤≤.【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k 值不变是解题的关键.考点02反比例函数一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x 和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数ky x=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y 随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数ky x=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为ky x=（k≠0）；（2）把已知一对x，y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（）A．2k =B．函数图象分布在第一、三象限C．当0x >时，y 随x 的增大而增大D．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C 【解析】【分析】将点（2,1）代入ky x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．【解析】将点（2,1）代入ky x=中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．2.一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【解析】当0a >时，0a -<，则一次函数y ax a =-经过一、三、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过一、三象限，故排除A，C 选项；当0a <时，0a ->，则一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过二、四象限，故排除B 选项，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．3.如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为（）A．84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B．9,32⎛⎫⎪⎝⎭C．105,3⎛⎫⎪⎝⎭D．2416,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C 坐标6,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，得到点B 纵坐标，利用相似三角形性质，用a 表示求出OA，再利用平行四边形OABC 的面积是152构造方程求a 即可．【解析】解：如图，分别过点D、B 作DE⊥x 轴于点E，DF⊥x 轴于点F，延长BC 交y 轴于点H∵四边形OABC 是平行四边形∴易得CH=AF ∵点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0ky k x x=>>的图像经过C 、D 两点∴236k =⨯=即反比例函数解析式为6y x =∴设点C 坐标为6,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵DE BF ∴ODE OBF △△∴DE OE BF OF=∴236OF a=∴6392a OF a ⨯==∴9OA OF AF OF HC a a =-=-=-，点B 坐标为96,a a ⎛⎫⎪⎝⎭∵平行四边形OABC 的面积是152∴96152a a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭解得122,2a a ==-（舍去）∴点B 坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．4.如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（）A．12:2:3S S =B．12:1:1S S =C．12:4:3S S =D．12:5:3S S =【答案】C【分析】过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k 的几何意义求得S 1＝4，然后根据S 2＝S△PQK−S △PON −S 梯形ONKQ 求得S 2＝3，即可求得S 1：S 2＝4：3．【解析】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝4x的图象上，∴m×1＝−2n＝4，∴m＝4，n＝−2，∵P（4，1），Q（−2，−2），∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M，N，∴S 1＝4，作QK⊥PN，交PN 的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，∴S 2＝S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ ＝12×6×3−12×4×1−12（1＋3）×2＝3，∴S 1：S 2＝4：3，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，分别求得S 1、S 2的值是解题的关键．5.如图，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于A，B 两点，已知点A 的坐标为()6,1，AOB 的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线AB 的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段PA 与PB 之差最大时，求点P 的坐标．【答案】（1）6y x =；（2）142y x =-+；（3）()0,4【分析】（1）把点()6,1代入解析式，即可得到结果；（2）过点A 作AC x ⊥轴于点C，过点B 作BD y ⊥轴于点D，,CA DB 交于点E，则四边形OCED 为矩形，设点B 的坐标为(),m n ，表示出△ABE 的面积，根据△AOB 得面积可得616m n =-，得到点B 的坐标，代入即可的到解析式；（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA PB -有最大值为AB ，代入即可求值．【解析】解：（1）把点()6,1A 代入(0)ky x x =>可得6k =，∴反比例函数的解析式为6y x=；（2）如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C，过点B 作BD y ⊥轴于点D，,CA DB 交于点E，则四边形OCED 为矩形．设点B 的坐标为(),m n ，∴6mn =．∵点A 的坐标为()6,1，∴6,1BE DE BD m AE CE AC n =-=-=-=-．∴11(1)(6)22ABE S AE BE n m =⋅=-- ．∵A，B 两点均在双曲线6(0)y x x=>上，∴16132BOD AOC S S ==⨯⨯= ．∴AOB AOC BOD ABE OCED S S S S S =--- 矩形11633(1)(6)322n n m n m =-----=-．∵AOB 的面积为8，∴1382n m -=，整理得616m n =-．∴23830n n --=．解得1213,3n n ==-（舍去）．∴2m =．∴点B 的坐标为(2,3)．设直线AB 的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，则6123k b k b +=⎧⎨+=⎩．解得124k b =-=⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线AB 的函数关系式为142y x =-+．（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA PB -有最大值为AB ，把0x =代入142y x =-+，得4y =．∴点P 的坐标为()0,4．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．6.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于()1,2A ，(),1B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为2y x=；（2）（3，0）或（-5，0）【分析】（1）将点A 坐标代入my x=中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B 坐标，再根据A、B 两点坐标可得一次函数表达式；（2）设点P(x，0)，由题意解得PC 的长，进而可得点P 坐标．【解析】（1）将点A （1,2）坐标代入m y x =中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为2y x=，将点B(n，-1)代入2y x =中得：21n-=，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，将点A（1，2）、B（-2，-1）代入y kx b =+中得：221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为1y x =+；（2）设点P（x，0），∵直线AB 交x 轴于点C ，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，∵ACP △的面积是4，∴11242x ⨯+⨯=∴解得：123,5x x ==-，∴满足条件的点P 坐标为（3，0）或（-5，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k 为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x 1）（x–x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）对称轴x=–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–2b a 时，y 最小值=244ac b a-当x=–2b a 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x>–2ba时，y 随x 的增大而增大当x<–2ba 时，y 随x 的增大而增大；当x>–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c 的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）2．ax 2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．（1）b 2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m 为任意实数，则有a﹣bm≤am 2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx+c+2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y 有最大值，得a-b+c≥am 2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x 1=1，x 2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0，12ba-=-，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c 正确；∵x＝﹣1时，y 有最大值，∴a﹣b+c≥am 2+bm+c（m 为任意实数），即a﹣b≥am 2+bm，即a﹣bm≥am 2+b，故③错误；∵二次函数y＝ax 2+bx+c （a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx+c+2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），∴二次函数y＝ax 2+bx+c 与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax 2+bx+c 与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x 1＝1，x 2＝﹣3，∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．2.如图，抛物线y＝ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax 2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝23m D．点P 1（t，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t＞13时，y 1＜y 2【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A 选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x 轴的交点问题可对B 选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a 代入抛物解析式可对C 选项进行判断；利用二次函数的增减性对D 进行判断．【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2ba＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax 2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B 选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝23m +，所以C 选项的结论正确；∵点P 1（t，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，∴当点P 1、P 2都在直线x＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时t≥1；当P 1在直线x＝1的左侧，点P 2在直线x＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t＜1，∴当12＜t＜1或t≥1时，y 1＜y 2，所以D 选项的结论错误；故选：D．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x 轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【解析】解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y=（x﹣1）2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y=（x﹣2）2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．【答案】①②④【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当0x =时，y 的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数22()1y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数21y x =+进行验证即可得．【解析】 当0m >时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象；当0m <时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论①正确对于22()1y x m m =--++当0x =时，22(0)11y m m =--++=即函数图象一定经过点(0,1)，②正确由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m >时，y 随x 的增大而减小，③错误22()1y x m m =--++的顶点坐标为2(),1m m +对于二次函数21y x =+当x m =时，21y m =+即该函数的图象的顶点2(),1m m +在函数21y x =+的图象上，结论④正确综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．5.二次函数y＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a ．其中正确结论的序号是_____．【答案】②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x 轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解析】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y 轴的右侧，b＜0，∴ab ＜0，故①错误；②由图象可知抛物线与x 轴的交点为（1，0），与y 轴的交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正确；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正确；④∵抛物线与y 轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线为y＝ax 2+bx﹣1，∵抛物线与x 轴的交点为（1，0），∴ax 2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣1a ，故④正确；故答案为②③④．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；【答案】（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a＞0时，13m -<<；当a＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；【解析】（1）∵22232y ax ax a =--+，∴22(1)32y a x a a =---+，∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∵抛物线顶点在x 轴上，∴2230a a --=，解得：32a =或1a =-，当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+，当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-，综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，熟知相关计算是解题的关键．7.已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点.(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由.【答案】(1)c 的取值范围是2c <；(2)m n <.理由见解析.【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【解析】(1)()2244816 8b ac c c -=--=-.由题意，得240b ac ->，∴16 80c ->∴c 的取值范围是2c <.(2)m n <.理由如下:∵抛物线的对称轴为直线1x =，又∵20a =>，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大.∵23<，∴m n <.【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．。
函数的基本概念及性质典型例题
函数的概念及性质一、知识导航1.常量和变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫变量，数值保持不变的量叫常量。
2.函数的概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x为自变量，y为应变量。
3.自变量的取值范围（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
①当自变量以整式形式出现时，自变量取值范围是全体实数；②当自变量以分式形式出现时，自变量取值范围是使分母不为零的实数；③当自变量以偶次方根形式出现时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；④当自变量出现在零次幂（或负整数指数幂）的底数中时，自变量的取值范围是使底数不为零的实数4.函数值（1）概念：对于自变量在取值范围内时应变量的一个确定值（2）求法：①代入②求值5.函数图象（1）概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内就有一个相应的点。
由这样的点的集合组成的图形叫做函数的图象。
（2）画法：①列表；②描点；③连线。
6.函数的三种表示方法（1）解析法：用含自变量的代数式表示函数的方法；（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法；（3）图象法：用图象表示函数关系的方法二、典例导学例1、汽车在匀速行驶的过程中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于等式s=vt，下列说法正确的是（）A.s与v是变量，t是常量B.t与s是变量，v是常量C.t与v是变量，s是常量D.s、v、t三个都是变量例2、下列变量之间的关系中，不是函数关系的是（）A.长方形的宽一定，其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边和面积D.球的体积和球的半径例3、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．例4、 求下列各函数的自变量的取值范围: （1）21-=x y （2）21-=x y （3）5+=x y （4）53+-=x x y （5）11-+=x x y （6）x x y -+-=531例5、求下列函数当x 分别为21,4-时的函数值. （1）)2)(1(-+=x x y （3）322+-=x x y例6、甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4s m /和6s m /，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离)(m y 与时间)(s t 的函数图象是 （ ）例7、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个举一反三1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y（元）与所买份数x之间的关系是，其中是常量，是变量。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
函数的基本性质知识点及习题(附答案)
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的性质与图像分析例题和知识点总结
函数的性质与图像分析例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极为重要的概念。
函数的性质与图像紧密相连，通过对函数性质的研究，我们能够更好地理解和描绘函数的图像，从而解决各种与函数相关的问题。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨函数的性质与图像，并对相关的知识点进行总结。
一、函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域则是函数值的取值范围。
例 1：已知函数$f(x) ＝＼sqrt{x 1}＄，求其定义域。
解：要使根式有意义，被开方数必须大于等于零，即$x 1 ＼geq 0$，解得$x ＼geq 1$，所以函数的定义域为$1, ＋＼infty)＄。
知识点总结：常见函数的定义域要求，如分式函数分母不为零，偶次根式被开方数非负，对数函数真数大于零等。
二、函数的单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
例2：判断函数$f(x) ＝x^2 2x$在区间$（＼infty, 1)＄上的单调性。
解：对$f(x)＄求导，＄f'（x) ＝ 2x 2$。
当$x ＜ 1$时，＄f'（x) ＜0$，所以函数在区间$（＼infty, 1)＄上单调递减。
知识点总结：判断函数单调性的方法，如定义法、导数法。
对于二次函数，可以通过其对称轴和开口方向来判断单调性。
三、函数的奇偶性奇偶性反映了函数图像的对称性。
例 3：判断函数$f(x) ＝＼sin x$的奇偶性。
解：因为$f(x) ＝＼sin(x) ＝＼sin x ＝ f(x)＄，所以函数$f(x) ＝＼sin x$是奇函数。
知识点总结：奇函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于原点对称；偶函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于 y 轴对称。
四、函数的周期性周期性表示函数值在一定区间内重复出现。
例 4：已知函数$f(x) ＝＼sin 2x$，求其最小正周期。
解：因为$＼sin 2(x ＋＼pi) ＝＼sin(2x ＋ 2\pi) ＝＼sin 2x$，所以函数的最小正周期为$T ＝＼frac{2\pi}｛2} ＝＼pi$。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a （a 是函数的定义域）的直线与函数y=f （x ）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x 为定义域，y 为值域，不是函数的是（）A.y=x 2+x3 B.y= C.|y|=x D.y=8x 解：对于|y|=x ，对于任意非零x ，都有两个y 与x 对应，所以|y|=x 不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x 的图像有两个交点。
故答案选C 例2、下列图象中表示函数图象的是（）（A ） (B) (C ) (D)解析：对于任意x=a 的直线，只有C 选项的图形与x=a 的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
故选C 。
x y 0 x y 0 x y 0xy注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。
它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。
当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。
可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。
二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。
1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。
通过分析函数的表达式，可以得出值域。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。
例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。
将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。
例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题一、函数及其性质1. 函数的定义与定义域、值域：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的依赖关系。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 常用函数类型：常见的函数类型有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 奇偶性：(1) 奇函数：f(-x)=-f(x)，对称于原点；(2) 偶函数：f(-x)=f(x)，对称于y轴；(3) 不存在奇偶性：例如二次函数f(x)=x^2或sin(x)。
4. 函数的单调性与极值：(1) 单调递增：x1 < x2，f(x1) < f(x2)；(2) 单调递减：x1 < x2，f(x1) > f(x2)；(3) 极大值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都小于此值；(4) 极小值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都大于此值。
5. 函数的周期性：周期函数是指函数在某一区间内具有某种规律的重复性。
二、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数可表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 斜率与截距的意义：(1) 斜率k：代表了函数的变化速率，k越大表示变化越快，k为正表示递增，k为负表示递减；(2) 截距b：表示函数与y轴的交点在y轴上的位置。
3. 函数图像与性质：(1) 图像特征：直线；(2) 平行线性质：同斜率的直线平行，即k相同；(3) 直线交点：两条直线的交点为(x, y)，满足k1x+b1=k2x+b2。
4. 求解问题：(1) 两点式：已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，再根据一点斜率式y-y1=k(x-x1)求解；(2) 截距式：已知截距b和斜率k，直线方程为y=kx+b；(3) 点斜式：已知直线上一点A(x1, y1)和斜率k，直线方程为y-y1=k(x-x1)。
三、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数可表示为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0，a为抛物线的开口方向。
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a（a是函数的定义域）的直线与函数y=f（x）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x为定义域，y为值域，不是函数的是（）A.y=x²+x³B.y=C.|y|=xD.y=8x解：对于|y|=x，对于任意非零x，都有两个y与x对应，所以|y|=x不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x的图像有两个交点。
故答案选C例2、下列图象中表示函数图象的是（）解析：对于任意x=a的直线，只有C选项的图形与x=a的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
故选C。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶ C ．⑷D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
函数的基本性质(考点加经典例题分析)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴abx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
4．证明方法和步骤：1、设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；2、作差：)()(21x f x f -；3、变形：（如因式分解、配方等）；4、定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；5、根据定义下结论。
例2、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例4：求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤领域中，函数是一个极其重要的概念。
它不仅是解决数学问题的有力工具，也在其他学科和实际生活中有着广泛的应用。
下面，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数。
二、函数的三要素1、定义域：函数中自变量 x 的取值范围。
2、值域：函数值的集合，即 f(x) 的取值范围。
3、对应法则：确定自变量 x 如何对应到函数值 f(x) 的规则。
三、例题解析例 1：判断下列关系是否为函数关系。
（1）y ＝ x²，x∈R。
（2）y²＝ x，x∈R。
对于（1），对于任意实数 x，都有唯一确定的实数 y ＝ x²与之对应，所以是函数关系。
对于（2），当 x ＝ 1 时，y ＝ ±1，不是唯一确定的值，不满足函数的定义，所以不是函数关系。
例 2：已知函数 f(x) ＝ 2x 1，求 f(2)，f(－1)，f(0)的值。
f(2) ＝ 2×2 1 ＝ 3f(－1) ＝ 2×（－1) 1 ＝－3f(0) ＝ 2×0 1 ＝－1例 3：求函数 y ＝√（x 1) 的定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 1 ≥ 0，解得x ≥ 1。
所以该函数的定义域为1, ＋∞）。
例 4：已知函数 f(x) 的定义域为0, 2，求 f(2x 1)的定义域。
因为函数 f(x) 的定义域为0, 2，所以对于函数 f(2x 1)，有0 ≤ 2x 1≤ 2，解得1/2 ≤ x ≤ 3/2。
因此，f(2x 1)的定义域为1/2, 3/2。
四、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝f(x) 。
高三函数知识点与例题
高三函数知识点与例题一、函数基本概念函数是数学中的重要概念之一，在高三数学中也扮演着重要角色。
函数可以理解为两个数集之间的对应关系，通常用f(x)来表示。
其中，x为自变量，f(x)为因变量。
下面是高三函数知识点的介绍及例题：1. 定义域和值域函数的定义域是自变量x所有可能的取值范围，值域是函数所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数f(x) = 2x，其定义域是所有实数集合R，值域也是实数集合R。
例题：给定函数f(x) = x^2 - 1，求其定义域和值域。
解析：对于定义域，由于平方根只能是非负数，所以x^2 - 1 ≥ 0，解得定义域为(-∞, ∞)。
对于值域，我们可以观察到函数是一个开口向上的抛物线，所以值域为[-1, ∞)。
2. 奇偶性函数的奇偶性可以通过函数的对称性来判断。
若对于任意的x，有f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于任意的x，有f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。
例题：判断函数f(x) = x^3 + x^2的奇偶性。
解析：我们可以将f(x)进行变形，得到f(x) = x(x+1)(x-1)，观察可得f(x) = -f(-x)，所以函数f(x)为奇函数。
3. 单调性和极值函数的单调性指函数在定义域上的增减情况。
若对于任意的x1, x2（x1 < x2），有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为单调递增函数；若对于任意的x1, x2（x1 < x2），有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为单调递减函数。
函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。
例题：分析函数f(x) = 2x^3 - 3x^2的单调性和极值。
解析：我们可以求函数的导数f'(x) = 6x^2 - 6x，然后令f'(x) = 0，解得x = 0, 1。
然后我们可以通过一阶导数的符号表来判断函数的单调性和极值。
当x ∈ (-∞,0) 时，f'(x) < 0，所以函数在此区间上单调递减；当x ∈ (0,1) 时，f'(x) > 0，所以函数在此区间上单调递增；当x ∈ (1,∞) 时，f'(x) < 0，所以函数在此区间上单调递减。
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学生姓名： 年级： 班型：1对1 上课时间： （第 次课） 剩余课时： 上课内容：函数的基本性质一、函数的单调性：1、定义域为I 的函数f （x ）在区间D 上的增减性（1）共同条件：12,,D I x x D ⊆⎧↓⎨∈⎩任意（2）假设前提：12x x <。
（3）判断依据：①若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数； ②若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数。
2、单调区间如果函数y=f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，就说f （x ）在区间D 上具有（严格的）___________，区间D 叫做f （x ）的__________。
思考探究1、把增（减）函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增（减）函数吗？2、把增（减）函数定义中的“某个区间D ”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？3、所有的函数都具有单调性吗？ 自主测评1、下列说法正确的是（ ）A 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若存在12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数B 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数C 、若f （x ）在区间I 1上为增函数，在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1 I 2上也一定为增函数D 、若f （x ）在区间I 上为增函数，且1212()()(,)f x f x x x I <∈，那么12x x <在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1 I 2上也一定为增函数2、函数y=f （x ）的图象如较所示，其增区间是（ ）A 、[-4，4]B 、[-4，-3] [1，4]C 、[-3，1]D 、[-3，4]3、函数2y x =-的单调区间是（ ） A 、[0，+∞） B 、（-∞，0]C 、（-∞，0）D 、（-∞，+∞）4、函数y=|x|的增区间是_________，减区间是_________。
典例探究突破类型一：依据函数图象给出单调区间例1：求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数。
21(1)32;(2);(3)23y x y y x x x=-=-=-++变式：把（3）变成“22||3y x x =-++”先画出图象，再指明其单调区间，并写出它的值域。
类型二：单调性的证明 例2：判断函数11y x =-的单调性，并用定义加以证明。
变式训练：证明：函数1()f x x x=+在（0，1）上是减函数。
类型三：利用函数的单调性求参数的范围例3：函数23y ax bx =++在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞）上是减函数，则（ ） A 、00b a ><且B 、20b a =<C 、20b a =>D 、,a b 的符合不确定变式训练：已知2()26f x x mx =-+在（-∞，-1]上为减函数，则m 的范围为_________。
二、函数的最大值、最小值：最值类别最大值最小值条件设函数y=f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足（1）对于任意的x I ∈都有________ （2）存在0x I ∈，使得________（1）对于任意的x I ∈都有________ （2）存在0x I ∈，使得________ 结论M 是函数y=f （x ）的最大值M 是函数y=f （x ）的最小值思考探究1、在最大（小）值定义中若把条件“存在0x I ∈，使得f （x 0）=M ”去掉，M 还是函数y=f （x ）的最大（小）值吗？2、函数的最值与值域、单调性之间有什么关系？3、函数最大值或最小值的几何意义是什么？自主测评1、在函数y=f （x ）的定义域中存在无数个实数满足f （x ）>M ，则（ ） A 、函数y=f （x ）的最小值为M B 、函数y=f （x ）的最大值为M C 、函数y=f （x ） 最小值D 、不能确定M 是函数y=f （x ）的最小值2、函数1(0)y ax a =+<在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为（ ） A 、1，2a +1B 、2a +1，1C 、1+a ，1D 、1，1+a3、函数(),[1,2]y f x x =∈的图象如图所示，则该函数在[-1，2]上的最大值为______，最小值为________。
4、函数221()y x x x R =++∈有最________值，为________，无最________值。
典例探究突破类型一：图象法求函数最值例1：求函数|1||2|y x x =+--的最大值和最小值。
变式训练：求函数|1||1|y x x =+--的最值。
类型二：利用单调性求函数最值例2：已在函数1().f x x x=+（1）证明：()f x 在(1,)+∞内是增函数； （2）求()f x 在[2，4]上的最值。
类型三：与最值有关的应用问题例3：某厂准备投资100万生产A ，B 两种新产品，据测算，投资后的年收益，A 产品是总投入的1/5，B 产品则是总投入开平方后的2倍，问应该怎样分配投主数，使这两种产品的年总收益最大？变式训练：某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，假设一个旅行团不能超过70人。
（1） 写出飞机票的价格关于人数的函数式；（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？三、函数的奇偶性：1、偶函数（1）定义：对于函数f （x ）的定义域内_________x ，都有_________，那么f （x ）叫做偶函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
2、奇函数（1）定义：对于函数f （x ）的定义域内_________x ，都有_________，那么函数f （x ）叫做奇函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
思考探究1、 奇（偶）函数的定义域有何特征？2、 奇函数、偶函数的图象有何特点？3、 若奇函数f （x ）在x=0处有定义，则f （0）是定值吗？自主测评1、函数y+x 是（ ） A 、奇函数B 、偶函数C 、奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数2、函数f （x ）=x 2的图象（ ） A 、关于x 对称B 、关于 y 对称C 、关于原点对称D 、关于y=x 对称3、如果定义在区间[2-a ，4]上的函数f （x ）为偶函数，那么a=_________。
4、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=3，则f （-2）等于_______。
典例探究突破类型一：判断函数的奇偶性 例1：判断列列函数的奇偶性3(1)()2;(2)();(3)()||;(4)()0.f x x x f x x f x x f x =+===变式训练：判断下列函数的奇偶性2422323(1)()3;(2)();(3)().13x x xf x x x f x f x x x +=-==++类型二：利用奇偶性作图例2：如图是给出的奇函数y=f （x ）在区间（-∞，0] 上的图象，试作出函数在 [0，+∞）上的图象，并求出f （3）的值。
变式训练：已知函数21()1f x x =+在[0，+∞）上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数()f x 在其定义域内的图象。
类型三：利用函数的奇偶性求解析式例3：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，2()231,f x x x =-++求：（1）(0)f ；（2）当x<0时，()f x 的解析式； （3）()f x 在R 上的解析式。
变式：本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x<0时()f x 的解析式。
课后练习:1.下列函数中，是奇函数的为( ).A. B. C.D.2.已知奇函数在区间上的图像如图，则不等式的解集是( ).A. B.C. D.3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .4.已知，则函数的单调增区间是 .5．某水果批发市场规定：批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购水果，并以批发价买进水果x 千克，小王付款后剩余现金为y 元，则x 与y 之间的函数关系为( )．A ．y ＝3 000－2.5x ，(100≤x ≤1 200)B ．y ＝3 000－2.5x ，(100＜x ＜1 200)C ．y ＝3 000－100x ，(100＜x ＜1 200)D ．y ＝3 000－100x ，(100≤x ≤1 200)6. 设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，143)2(+-=a a f ，则a 的取值范围是（ ） （A ）43<a （B ）43<a 且1-≠a（C ）43>a 或1-<a （D ）431<<-a7. 设()c bx x x f ++=3是[]1,1-上的增函数, 且02121<⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f , 则方()0=x f 在[]1,1-内 ( )（A ）可能有3个实根 （B ）可能有2个实根 （C ）有唯一实根 （D ）没有实根8. 已知0＜a ＜1,则方程a｜x ｜= ｜log a x ｜的实根个数是A.1个B.2个C.3个 D .1个或2个或3个9．设函数f (x )对x ∈R 都满足f (3+x )=f (3-x ),且方程f (x )=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为 A.0 B.9 C.12 D.1810．已知函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在零点，则实数m 的取值范围是______．11. 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点是－1和2，且f (5)＜0，则此函数的单调递增区间为 ．12．某宾馆有标准床位100张，宾馆每天的各种费用支出800元，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过60元时，床位可全部租出；当床价超过60元时，床价每提高10元，将有2张床位空闲，若用x(元)表示床价，y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即扣除各种费用后的收入）。
（1）将y 表示成x 的函数；（2）当床价定为多少时，净收入最多，最多为多少？13. 某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以每份0.04元的价格退回报社。