第十章第一节随机事件的概率文-PPT精品文档
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随机事件的概率ppt课件
用A1与A2的运算表示下列事件
(1)“第一次出现反面且第二次出现正面”的事件
(2)“第一次出现反面或者第二次出现正面”的事 件
解:(1) A1 A2
(2) A1 ∪ A2
观察与思考: 掷两次硬币“两次都出现正面”的事件A={(正, 正)}, “恰有一次出现正面”的事件B={(正,反)(反,
正A)∩} B=Ø
F3={(正,正)(反,反)} P(G∪F1)=P(G)+P(F1)=
1 2
1 + 4=
3 4
P(G∪F2)=P(G)+P(F2)=
1 2
+
1 4
=
3 4
P(G∪F3)=P(G)+P(F3)=
1 2
+
1 2
=
1
试一试 做一做
掷一枚骰子用1,2,3,4,5,6分别表示骰子 朝上的面出现的点数
1、写出这一试验的样本空间.
求下列运算各表示什么事件？含有哪些样本点？
（1） ， （2） ∩ （3） ∪
A1 A2
A1 A2
A1 A2
解
（3）A1∪A2 ={(正,反)(反,正)(正,正)}, 表示“至少有一次出现正面”的事件
在掷两次硬币的试验中,用A1表示“第一次掷 硬币出现正面”的事件, A2表示“第二次掷硬 币出现正面”的事件
解: (1) G={(正,反)(反,正)}
(2) G ={(正,正)(反,反)} 表示”两次都出现同一面”的事件
想一想,做一做
在掷两次硬币的试验中:
• (1)”出现一次正面,一次反面”的事件G可看成的Ω哪个子
•
集? (2)求
G
• (3)写出3个事件,使它们中的每一个都与G互不相容?然后求
(1)“第一次出现反面且第二次出现正面”的事件
(2)“第一次出现反面或者第二次出现正面”的事 件
解:(1) A1 A2
(2) A1 ∪ A2
观察与思考: 掷两次硬币“两次都出现正面”的事件A={(正, 正)}, “恰有一次出现正面”的事件B={(正,反)(反,
正A)∩} B=Ø
F3={(正,正)(反,反)} P(G∪F1)=P(G)+P(F1)=
1 2
1 + 4=
3 4
P(G∪F2)=P(G)+P(F2)=
1 2
+
1 4
=
3 4
P(G∪F3)=P(G)+P(F3)=
1 2
+
1 2
=
1
试一试 做一做
掷一枚骰子用1,2,3,4,5,6分别表示骰子 朝上的面出现的点数
1、写出这一试验的样本空间.
求下列运算各表示什么事件？含有哪些样本点？
（1） ， （2） ∩ （3） ∪
A1 A2
A1 A2
A1 A2
解
（3）A1∪A2 ={(正,反)(反,正)(正,正)}, 表示“至少有一次出现正面”的事件
在掷两次硬币的试验中,用A1表示“第一次掷 硬币出现正面”的事件, A2表示“第二次掷硬 币出现正面”的事件
解: (1) G={(正,反)(反,正)}
(2) G ={(正,正)(反,反)} 表示”两次都出现同一面”的事件
想一想,做一做
在掷两次硬币的试验中:
• (1)”出现一次正面,一次反面”的事件G可看成的Ω哪个子
•
集? (2)求
G
• (3)写出3个事件,使它们中的每一个都与G互不相容?然后求
随机事件的概率课件
方差
对于连续型随机变量X，其方差 D(X)表示X取值的离散程度，计算 公式为D(X)=∫(X−E(X))2f(x)dx， 其中f(x)是X的概率密度函数。
07
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律定义
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将 趋近于该事件发生的概率。
大数定律的数学表达
设随机事件A发生的概率为P，则当实验次数n趋于无穷时， 事件A发生的频率f趋近于概率P，即lim(n->∞) f(n)=P。
如果一个事件是完备的，那么它的概 率等于1，即$P(Omega) = 1$。
独立事件的概率乘法规则
如果两个事件是独立的，那么它们的 概率可以相乘，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
条件概率
条件概率的定义
在某个条件下，某个事件发生的概率称为条件概率。记作 $P(A|B)$，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3
离散型随机变量的概率
每个取值的概率通常由实验或经验数据得出，表 示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
几种常见的离散型随机变量的概率分布
二项分布
当一个随机事件只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率是 已知的，那么这个随机事件的概率分布就是二项分布。
泊松分布
当一个随机事件在单位时间内发生的次数是一个离散型随机变量时 ，这个随机变量的概率分布就是泊松分布。
独立事件的概率计算
01
独立事件
两个或多个事件的发生相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的
发生。
02
概率计算公式
对于独立事件 A 和 B，其概率计算公式为 P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中
对于连续型随机变量X，其方差 D(X)表示X取值的离散程度，计算 公式为D(X)=∫(X−E(X))2f(x)dx， 其中f(x)是X的概率密度函数。
07
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律定义
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将 趋近于该事件发生的概率。
大数定律的数学表达
设随机事件A发生的概率为P，则当实验次数n趋于无穷时， 事件A发生的频率f趋近于概率P，即lim(n->∞) f(n)=P。
如果一个事件是完备的，那么它的概 率等于1，即$P(Omega) = 1$。
独立事件的概率乘法规则
如果两个事件是独立的，那么它们的 概率可以相乘，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
条件概率
条件概率的定义
在某个条件下，某个事件发生的概率称为条件概率。记作 $P(A|B)$，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3
离散型随机变量的概率
每个取值的概率通常由实验或经验数据得出，表 示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
几种常见的离散型随机变量的概率分布
二项分布
当一个随机事件只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率是 已知的，那么这个随机事件的概率分布就是二项分布。
泊松分布
当一个随机事件在单位时间内发生的次数是一个离散型随机变量时 ，这个随机变量的概率分布就是泊松分布。
独立事件的概率计算
01
独立事件
两个或多个事件的发生相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的
发生。
02
概率计算公式
对于独立事件 A 和 B，其概率计算公式为 P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中
2021_2022学年新教材高中数学第10章概率10.1.4概率的基本性质课件新人教A版必修第二册
∴至多有一人每周阅读时间在[7.5,8.5)内的概率为P(A)＝195＝35．
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事 件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古 典概型的概率计算公式进行计算.
[跟进训练] 2．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单 位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为 “优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300) 时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥 挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发
生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即
中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298．]
4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B) ＝________．
0.3 [因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
()
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．
()
(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都
在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．
[答案] (1)× (2)× (3)×
()
2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率
是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
[解] 记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)． (1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋ 0.32＝0.60． (2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8， A9，A10两两互斥， 所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事 件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古 典概型的概率计算公式进行计算.
[跟进训练] 2．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单 位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为 “优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300) 时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥 挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发
生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即
中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298．]
4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B) ＝________．
0.3 [因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
()
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．
()
(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都
在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．
[答案] (1)× (2)× (3)×
()
2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率
是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
[解] 记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)． (1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋ 0.32＝0.60． (2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8， A9，A10两两互斥， 所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
随机事件的概率_PPT课件
解:(1)(2)(3)(7)(8)为随机事件;(5)(6)为必然事 件;(4)(9)(10)为不可能事件.
规律技巧:要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为 三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一 定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是 必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可 能事件.
反”､“反,正”.
题型三 频率与概率的关系 例3:某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次 10
20
50
100 200 500
数n
击中靶 8 心次数 m
击中靶 心频率
19
44
92
178 455
(1)计算表中击中靶心的各个频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 分各析频:率通值过可公以式估: f计n (A射) 手 m射n 可击计一算次出,击击中中靶靶心心的的概各率频. 率值,根据
A. m 0 n
B. m 1 n
C.0 m ≤1 n
D.0≤ m ≤1 n
解析 :Q 0≤m≤n,0≤ m ≤1. n
答案:D
3.下列事件中不是随机事件的是( ) A.某人购买福利彩票中奖 B.从10个杯子(8个正品,2个次品)中任取2个,2个均为次品 C.在标准大气压下,水加热到100℃沸腾 D.某人投篮10次,投中8次 解析:由题易知,A､B､D是随机事件,C为必然事件. 答案:C
变式训练3:某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果
如下:
投篮次 8 数n
10
12
9
10
16
进球次 689来自7712
数m
进球频
率
m n
(1)计算表中进球的频率;
规律技巧:要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为 三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一 定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是 必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可 能事件.
反”､“反,正”.
题型三 频率与概率的关系 例3:某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次 10
20
50
100 200 500
数n
击中靶 8 心次数 m
击中靶 心频率
19
44
92
178 455
(1)计算表中击中靶心的各个频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 分各析频:率通值过可公以式估: f计n (A射) 手 m射n 可击计一算次出,击击中中靶靶心心的的概各率频. 率值,根据
A. m 0 n
B. m 1 n
C.0 m ≤1 n
D.0≤ m ≤1 n
解析 :Q 0≤m≤n,0≤ m ≤1. n
答案:D
3.下列事件中不是随机事件的是( ) A.某人购买福利彩票中奖 B.从10个杯子(8个正品,2个次品)中任取2个,2个均为次品 C.在标准大气压下,水加热到100℃沸腾 D.某人投篮10次,投中8次 解析:由题易知,A､B､D是随机事件,C为必然事件. 答案:C
变式训练3:某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果
如下:
投篮次 8 数n
10
12
9
10
16
进球次 689来自7712
数m
进球频
率
m n
(1)计算表中进球的频率;
随机事件的概率课件
计算概率的方法
古典概率
古典概率是根据事件发生的 基本原理来计算概率的方法， 适用于可列举的样本空间和 等可能的事件。
几何概率
几何概率是通过几何形状和 空间来计算概率的方法，适 用于连续随机变量和连续样 本空间。
统计概率
统计概率是基于实验数据和 频率来计算概率的方法，适 用于无法列举样本空间和复 杂事件。
工程学
概率在工程学中帮助评估系统可靠性、风险分 析和决策制定，以确保工程项目的成功。
总结和复习
本课程将回顾重点内容，帮助学生巩固所学知识，并对随机事件和概率进行 总结。
附加信息
参考文献
提供相关领域的书籍、论文和期刊等参考文 献，以供深入学习和进一步研究。
推荐书籍和网站
推荐学习概率和随机事件的相关书籍和网站， 以拓宽学习资源。
计算概率的工具
计算器
计算器是计算概率的常用工具，可以帮助我 们快速计算复杂概率问题的答案。
直观图形
直观图形如概率分布曲线、直方图和饼图等 可以帮助我们更好地理解和计算概率。
概率的应用
1
条件概率
2
条件概率是在已知一些条件的情况下，
计算事件发生概率的方法。
3
事件的互斥与Байду номын сангаас立
了解事件的互斥与独立性对计算概率 和预测结果至关重要。
贝叶斯公式
贝叶斯公式是基于条件概率计算后验 概率的常用方法，应用于估计未知事 件发生的可能性。
随机事件和概率的实际应用
统计学
概率在统计学中广泛应用，帮助分析数据、推 断结论和做出预测。
金融学
概率在金融学中被用于评估风险、制定投资策 略和做出金融决策。
生物学
概率在遗传学和生物统计学中被用于研究基因、 种群和生态系统等复杂生物现象。
高三数学第十章第1课时精品课件
符号表示 A∩B＝∅
A∩B＝∅ P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)＝1
目录
思考探究
2.如何正确区分互斥与对立的关系？
提示：在任何一次试验中不可能同时发生的两个事件是互 斥事件．若事件 A 与事件 B 是互斥的，则 A 与 B 的交集是 空集，此时若 A 与 B 的并集是全集，则 A 与 B 是对立的， 即“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
目录
2．甲：A1、A2 是互斥事件；乙：A1、A2 是对立事件．那么 ( )
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选 B.由互斥、对立事件的含义知，选 B.
目录
3．(2013· 兰州月考)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任 取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是( A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 )
目录
跟踪训练
1． 某城市有甲、 乙两种报纸供居民们订阅， 记事件 A 为“只 订甲报纸”， 事件 B 为“至少订一种报纸”， 事件 C 为“至 多订一种报纸”， 事件 D 为“不订甲报纸”， 事件 E 为“一 种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如 果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 C；(4)C 与 E.
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
•
•
•
•
教材回顾•夯实双基
2014版陕西北师版数学文复习方略课件：第十章 第一节随机事件的概率
为 5 20 1 ， 用频率估计概率，所以甲品牌产品的使用寿命小
100 4
于200小时的概率为 1 .
4
（2）根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75+70=
145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，使用寿命
大于200小时的产品是甲品牌产品的频率是 75 15 ，用频率估
(1)估计甲品牌产品的使用寿命小于200小时的概率. (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该 产品是甲品牌产品的概率.
【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：
（1）易将频数分布条形图与频率分布直方图混淆 .（2）频数 与频率的关系不清，求不出频率.
【规范解答】（1）甲品牌产品的使用寿命小于200小时的频率
上一定是增函数，故此事件是必然事件；C,当0<a<1时，函数y ＝ax在定义域R上是减函数，不是增函数，故此事件是不可能 事件；D,对任意两个实数，满足加法的交换律，故此事件是必 然事件．
(2)①由于盒子中没有黄球，可知“取出的球是黄球”是不可
能事件; ②取出一球的结果可能是白球或黑球，从而可知“取出的球是 白球”是随机事件; ③由②分析可知，“取出的球是白球或黑球”是必然事件.
(A)从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签（除标 有数字不同外其他均相同）中任取一张，得到4号签 (B)当a>1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数 (C)当0<a<1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数 (D)若a，b∈R，则a＋b＝b＋a
(2)盒中有6个白球和6个黑球，它们的大小和形状相同，从中
6
(2)①由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为
100 4
于200小时的概率为 1 .
4
（2）根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75+70=
145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，使用寿命
大于200小时的产品是甲品牌产品的频率是 75 15 ，用频率估
(1)估计甲品牌产品的使用寿命小于200小时的概率. (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该 产品是甲品牌产品的概率.
【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：
（1）易将频数分布条形图与频率分布直方图混淆 .（2）频数 与频率的关系不清，求不出频率.
【规范解答】（1）甲品牌产品的使用寿命小于200小时的频率
上一定是增函数，故此事件是必然事件；C,当0<a<1时，函数y ＝ax在定义域R上是减函数，不是增函数，故此事件是不可能 事件；D,对任意两个实数，满足加法的交换律，故此事件是必 然事件．
(2)①由于盒子中没有黄球，可知“取出的球是黄球”是不可
能事件; ②取出一球的结果可能是白球或黑球，从而可知“取出的球是 白球”是随机事件; ③由②分析可知，“取出的球是白球或黑球”是必然事件.
(A)从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签（除标 有数字不同外其他均相同）中任取一张，得到4号签 (B)当a>1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数 (C)当0<a<1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数 (D)若a，b∈R，则a＋b＝b＋a
(2)盒中有6个白球和6个黑球，它们的大小和形状相同，从中
6
(2)①由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为
随机事件的概率 共99页PPT资料
( A 1 A 2 ) A 3 ( A 1 A 2 ) A 3 ( A 1 A 2 ) A 3
第二节 随机事件的概率
一、频率与概率 二、概率的性质 三、等可能概型（古典概型） 四、几何概型
一、频率与概率
概率 在一次试验中A发 事生 件的可能性大小的
量度称为事 A的件概率。
例1 设 A 、B为两事件， 且设P(B)0.3，P(AB)0.6求 P( AB)
解 P (A B ) P { A ( B ) } P (A A ) B P (A ) P (A )B 而 P (A B ) P (A ) P (B ) P (A )B 所以 P (A B ) P (B ) P (A ) P (A )B 于是 P(AB)0.60.30.3
P(A)1P(A)
证明 性质6
性质6（加法公式） 对任意两个事A、 件B有
P (A B ) P (A ) P (B ) P (A )B
证明： 因为 ABA(BA)B 且 A (B A) B ,A B B 故由性质2和性质3得：
P ( A B ) P ( A ) P ( B A ) P ( B A ) P ( B ) P ( A ) B
n
n
因此 1P ( )P ( { i}) P { i}n P { i}
从而
P{i }
1 n
i 1
i 1
(i1,2, ,n)
若事A件 含有 k个基本事件
即 A {i1 } {i2 } {ik}
这里 i1,i2,ik是1， 2， n中某 k个不同的数，
E 2 A{HH ,TT} B{HH ,HT }
AB{TT}
AB
第1节 随机事件的概率ppt课件
故所求概率P 4 2 . 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支 付的概率为 ( )
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
【答案】 B 【解析】 不用现金支付的概率为 : p 1 0.45 0.15 0.4.
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分
段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
【解析】 (1)从36人中选9人,则应该分成9组,每组36÷9=4人.
第一组 1 2 3 4 (对应数据40 44 40 41) 第二组 5 6 7 8 (对应数据33 40 45 42) 第三组 9 10 11 12 (对应数据43 36 31 38) 第四组 13 14 15 16 (对应数据39 43 45 39)
(3) S 2 100 , S 10 (3, 4)
9
3
36名工人年龄在x S和x S之间的人数等于区间[37, 43]的人数,
即40, 40, 41,,39共23人.
所占百分比为P 23 63.89%. 36
专题训练
1.(2018新课标Ⅱ卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社
区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 ( )
2.随机事件A的概率:
n P(A)=
(N:基本事件总数;n:事件A包含的基本事件的个数).
N
3.古典概率P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
,
特性:等可能性和有限性.
4.几何概率P(A)=
构成事件A的区域长度（面积或体积等） ， 试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
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[自主解答] (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不 能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人， ∴用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得 频率为：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 L2的频率
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5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率 是13，则乙不输的概率是________． 解析：P＝12＋13＝56. 答案：56
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1．互斥事件与对立事件包含类型 两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况 (1)若事件A发生，则事件B就不发生； (2)若事件B发生，则事件A就不发生； (3)事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件， 仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定 互斥．
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
0Leabharlann 0.1 0.4 0.4 0.1
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(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火 车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车 站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)， ∴甲应选择L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)， ∴乙应选择L2.
3．不可能事件的概率P(F)＝ 0 . 4．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事 件．P(A∪B)＝ 1，P(A)＝1－P(B) ．
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1．(教材习题改编)一个人打靶时连续射击两次，事件
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2．从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含 的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件－A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成 的集合的补集．
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[精析考题] [例1] (2019·陕西高考改编)如图，A地到 火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取 100位从A地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下：
中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高 考中经常考查． 2.多以选择题、填空题的形式考查，有时也渗透在解答题 中，属容易题.
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一、概率 1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A
发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发 生的频率具有 稳定性 ．我们把这个常数叫做随机事 件A的 概率 ．记作 P(A) ．
B．P(M)＝12，P(N)＝12
C．P(M)＝13，P(N)＝34
D．P(M)＝12，P(N)＝34
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解析：P(M)＝12，P(N)＝1－12×12＝34. 答案： D
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3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率
分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环
的概率为
()
A．0.40
B．0.30
C．0.60
D．0.90
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解析：依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋ 0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40. 答案： A
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4．(教材习题改编)盒子里共有大小相同的3只红球，1 只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同 的概率是________． 解析：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种， 故P＝36＝12. 答案：12
“至少有一次中靶”的互斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不
中靶”．
答案： D
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2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次
反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正
确的是
()
A．P(M)＝13，P(N)＝12
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2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率 是随机的，而 概率 是一个确定的值，通常人们用 概率 来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也 用 频率 来作为随机事件概率的估计值．
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二、事件的关系与运算
包含 关系
相等 关系
定义
符号表示
如果事件A 发生 ，则事件 B 一定发生 ，这时称事件B
件) 件A与事件B的交事件(或积事件)
返回
互斥 若A∩B为不可能 事件，那么事件A与事件B A∩B
事件 互斥
＝∅
对立 若A∩B为 不可能事件，A∪B为 必然条件 ，
事件 那么称事件A与事件B互为对立事件
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三、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . 2．必然事件的概率P(E)＝ 1 .
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所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数
6
选择L2的人数
0
12
18
12
12
4
16
16
4
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(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段 内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火 车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试 通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
包含事件A(或称事件A包含
B⊇A (或A⊆B)
于事件B)
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A 与事件B相等.
A＝B
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定义
符号表示
并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生 (和事 或事件B发生 ，称此事件为事件 A∪B (或 A＋B )
件) A与事件B的 并事件 (或和事件)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生 (积事 且事件B发生 ，则称此事件为事 A∩B (或 AB )
第十
第
章
一
概率
节
(文)
计数
随
原理、
机
概率、
事
随机
件
变量
的
及其
概
分布
率
(理)
(文)
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率的区别．
2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.
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怎么考 1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容，其
[自主解答] (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不 能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人， ∴用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得 频率为：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 L2的频率
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5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率 是13，则乙不输的概率是________． 解析：P＝12＋13＝56. 答案：56
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1．互斥事件与对立事件包含类型 两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况 (1)若事件A发生，则事件B就不发生； (2)若事件B发生，则事件A就不发生； (3)事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件， 仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定 互斥．
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
0Leabharlann 0.1 0.4 0.4 0.1
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(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火 车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车 站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)， ∴甲应选择L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)， ∴乙应选择L2.
3．不可能事件的概率P(F)＝ 0 . 4．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事 件．P(A∪B)＝ 1，P(A)＝1－P(B) ．
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1．(教材习题改编)一个人打靶时连续射击两次，事件
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2．从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含 的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件－A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成 的集合的补集．
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[精析考题] [例1] (2019·陕西高考改编)如图，A地到 火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取 100位从A地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下：
中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高 考中经常考查． 2.多以选择题、填空题的形式考查，有时也渗透在解答题 中，属容易题.
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一、概率 1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A
发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发 生的频率具有 稳定性 ．我们把这个常数叫做随机事 件A的 概率 ．记作 P(A) ．
B．P(M)＝12，P(N)＝12
C．P(M)＝13，P(N)＝34
D．P(M)＝12，P(N)＝34
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解析：P(M)＝12，P(N)＝1－12×12＝34. 答案： D
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3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率
分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环
的概率为
()
A．0.40
B．0.30
C．0.60
D．0.90
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解析：依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋ 0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40. 答案： A
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4．(教材习题改编)盒子里共有大小相同的3只红球，1 只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同 的概率是________． 解析：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种， 故P＝36＝12. 答案：12
“至少有一次中靶”的互斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不
中靶”．
答案： D
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2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次
反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正
确的是
()
A．P(M)＝13，P(N)＝12
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2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率 是随机的，而 概率 是一个确定的值，通常人们用 概率 来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也 用 频率 来作为随机事件概率的估计值．
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二、事件的关系与运算
包含 关系
相等 关系
定义
符号表示
如果事件A 发生 ，则事件 B 一定发生 ，这时称事件B
件) 件A与事件B的交事件(或积事件)
返回
互斥 若A∩B为不可能 事件，那么事件A与事件B A∩B
事件 互斥
＝∅
对立 若A∩B为 不可能事件，A∪B为 必然条件 ，
事件 那么称事件A与事件B互为对立事件
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三、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . 2．必然事件的概率P(E)＝ 1 .
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所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数
6
选择L2的人数
0
12
18
12
12
4
16
16
4
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(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段 内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火 车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试 通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
包含事件A(或称事件A包含
B⊇A (或A⊆B)
于事件B)
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A 与事件B相等.
A＝B
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定义
符号表示
并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生 (和事 或事件B发生 ，称此事件为事件 A∪B (或 A＋B )
件) A与事件B的 并事件 (或和事件)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生 (积事 且事件B发生 ，则称此事件为事 A∩B (或 AB )
第十
第
章
一
概率
节
(文)
计数
随
原理、
机
概率、
事
随机
件
变量
的
及其
概
分布
率
(理)
(文)
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率的区别．
2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.
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怎么考 1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容，其