高中数学必修五北师大版 3.2 第1课时 等比数列的前n项和 作业(含答案)
北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)
一、选择题1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51012．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．325．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13296．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．27．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）．A ．12B ．11C ．10D ．98．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1niii x y =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n9．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( ) ABC ．14D ．1210．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >11．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 15．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 17．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N；等比数列{}nb 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．18．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．19．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 23．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，93n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 24．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.25．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.2．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N 万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．4．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ． 由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．5．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 6．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.8．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =，∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 10．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>， ()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．D解析：D 【分析】 设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】 设11n n a a q-=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列；③，11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.15．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021【分析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-, 两边同除以1n n S S +-得：1111n nS S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+， 所以202012021S = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.17．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n=∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n=-⨯=，2*()na n n N∴=∈．当2n≥时，111(2)(2)2n n nn n nb S S m m---=-=---=，{}nb是等比数列，112b S m∴==-也适合12nnb-=，故21m-=即1m=，1*2()nnb n N-∴=∈．又n nb aλ≥恒成立等价于212nnλ-≥恒成立，2max max1()()2nnna nbλ-∴≥=，令212n nnc-=，则()2221121142222n n n n nnn n nc c--------=-=，当23n≤≤时，1-->n nc c，当4n≥时，1n nc c--<，故max39()4nc c==，94λ∴≥．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.18．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：()241n+【分析】有已知条件可得出116a=，2n≥时()()2*131()n n n N⋅⋅⋅=-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241na n=+，且当1n=时也成立．【详解】数列}{na2*3()n n n N=+∈4=，即116a=2n≥()()2*131()n n n N⋅⋅⋅+=-+-∈22n=+，所以()241na n=+（2n≥）当1n=时，116a=适合上式，所以()241na n=+【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．19．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c=⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠， 故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，当1n =时，111211a S ==-=， 当2n ≥时，111(21)(21)2nn n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q 或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭，111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．23．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【分析】（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ； （2）对23n b b b +++用错位相减法求和．【详解】解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，解得1d =-或4d =，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+； 当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+23n nnb -=当1n =时，13n S =， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=--整理可得11112423nn T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式， 综上所述：51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．24．（1）所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3）222n -.【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.（3）列出n A 中的项，得出数列的规律：每一个数列前1n -项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. （2）充分性：若0n a >，即12n n a .所以满足12n na ，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<， 与已知()0n S A >矛盾. 所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n na .因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列n A 的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 25．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.26．（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】 （1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=， 解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-. （2）由（1）得213n nn b -=， 则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-， 两式相减得：()231211111221333333n nn T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭，1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--， 122233n n ++=-， 所以113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。
高中数学第一章数列3.2.1等比数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
等比数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则S n等于( )A. B.C. D.【解析】选D.S n==.2.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0, =a2·a6⇒(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( )A.31B.33C.35D.37【解析】选B.根据等比数列性质得=q5,所以=25,所以S10=33.4.(2020·全国Ⅱ卷)数列中,a1=2,a m+n=a m a n,若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k= ( )A.2B.3C.4D.5【命题意图】本题考查等比数列的判定、等比数列的通项公式及前n项和公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选C.取m=1,则a n+1=a1a n,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则a n=2n,所以a k+1+a k+2+…+a k+10==2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.5.等比数列{a n}的前n项和为S n,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,因为S2n-S n=q n S n,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.答案:166.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=.求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意知当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以a n=6n+5.设数列{b n}的公差为d,由即可解得b1=4,d=3,所以b n=3n+1.(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1,又T n=c1+c2+c3+…+c n,得T n=3×[2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1],2T n=3×[2×23+3×24+4×25+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2所以T n=3n·2n+2.【补偿训练】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.【解析】(1)设等差数列{a n}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所以a n=2n-1.(2)设{b n}的公比为q,b2·b4=a5⇒qq3=9,所以q2=3,所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q′=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·三明高一检测)等比数列中,a1=1,公比q=2,当S n=127时,n= ( )A.8B.7C.6D.5【解题指南】利用等比数列的前n项和公式S n=即可求解.【解析】选B.由S n=,a1=1,q=2,当S n=127时,则127=,解得n=7.2.(2020·重庆高二检测)等比数列的前n项和为S n,且3a2,2a3,a4成等差数列,则=( )A. B.3或C.3D.【解题指南】由等比数列通项公式可得4a1q2=3a1q+a1q3,可得q=1或q=3,将q=1和q=3分别代入求解即可.【解析】选 B.由已知4a1q2=3a1q+a1q3,整理得q2-4q+3=0,所以q=1或q=3,当q=1时,==3;当q=3时===,所以=3或.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= ( )A.2B.C.D.3【解析】选 B.由题意知===1+q3=3,所以q3=2,所以=====.【补偿训练】(2020·张家口高一检测)已知数列满足a2=2,2a n+1=a n,则数列的前6项和S6等于( )A. B. C. D.【解析】选 C.由2a n+1=a n得数列是以为公比的等比数列,所以a1=4,故S6===.4.(2020·余姚高一检测)已知等比数列的公比是q,首项a1<0,前n项和为S n,设a1,a4,a3-a1成等差数列,若S k>a1,则正整数k的最大值是( )A.4B.5C.14D.15【解析】选A.由已知可得2a4=a1+a3-a1⇒q==⇒S k=>a1⇒>⇒k<5⇒k max=4.5.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= ( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:⇒,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1,因此==2-21-n.二、填空题(每小题5分,共15分)6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了.【解析】由题意,设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q=,依题意有=378,解得a1=192,则a2=192×=96,即第二天走了96里.答案:96里7.在等比数列{a n}中,a1+a2+…+a6=10,++…+=5,则a1·a2·…·a6= .【解析】由等比数列的前n项和公式,得a1+a2+…+a6==10,++…+===5,把a1-a6q=10(1-q)代入,得a1a6=2,又a1·a2·…·a6=(a1·a6)3=23=8. 答案:88.(2020·岳阳高二检测)已知数列的前n项和为S n,且满足a1+3a2+…+3n-1a n=n,则S4=.【解析】a1+3a2+…+3n-1a n=n,可得n=1时,a1=1,n≥2时,a1+3a2+…+3n-2a n-1=n-1,又a1+3a2+…+3n-1a n=n,两式相减可得3n-1a n=1,即a n=,上式对n=1也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得S4==.答案:【光速解题】对题目所给等式进行赋值,由此猜想出a n的表达式.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·全国Ⅰ卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列{na n}的前n项和.【解析】(1)设的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.因为a1≠0,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故的公比为-2.(2)设S n为{na n}的前n项和.由(1)及题设可得,a n=(-2)n-1.所以S n=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2S n=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3S n=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.所以S n=-.10.设数列{a n}(n=1,2,3…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.【解析】(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+==1-.由|T n-1|<,得<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.1.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n∈N+)均在直线y=x+上.若b n=,则数列{b n}的前n项和T n= .【解析】由已知=n+,即S n=n2+n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=2n-;当n=1时,a1=S1=,符合a n=2n-,所以a n=2n-(n∈N+),则b n==32n,由==32=9,可知{b n}为等比数列,b1=32×1=9,故T n==.答案:2.已知数列{a n}中,a1=1,a n·a n+1=,记T2n为{a n}的前2n项的和,b n=a2n+a2n-1,n∈N+.(1)判断数列{b n}是否为等比数列,并求出b n.(2)求T2n.【解析】(1)因为a n·a n+1=,所以a n+1·a n+2=,所以=,即a n+2=a n,因为b n=a2n+a2n-1,所以===,所以{b n}是公比为的等比数列.因为a1=1,a1·a2=,所以a2=⇒b1=a1+a2=,所以b n=×=.(2)由(1)可知a n+2=a n,所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.。
高中数学必修五北师大版 3.1 第1课时 等比数列 作业(含答案)
(限时：10分钟)．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(限时：30分钟)1．等比数列{a n }的公比q ＝3，a 1＝13，则a 5等于( ) A ．3 B ．9C ．27D ．81解析：a 5＝a 1q 4＝13×34＝27. 答案：C2．已知数列{a n }是等比数列，则a n 不可能等于( )A ．－5B ．0C ．1D ．2011解析：由等比数列的定义可知，a n ≠0，∴选B.答案：B3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：∵－9＝－1·q 4，∴q 4＝9，∴q ＝±3，∴b ＝－1·q 2＝－3，ac ＝b 2＝9，∴选B.答案：B4．在等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 12＝64，则a 4a 6的值为( )A ．16B ．24C ．48D ．128解析：设公比为q ，则a 1a 2a 12＝a 31q 12＝64，所以a 1q 4＝4.所以a 4a 6＝(a 1q 4)2＝16.答案：A5．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) A.12 B.22C. 2 D ．2解析：设公比为q ，由已知，得a 1q 2a 1q 8＝2(a 1q 4)2，则q 2＝2，因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝ 2.所以a 1＝a 2q ＝12＝22. 答案：B6．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 1＋2a 2＝a 3，即a 1＋2a 1q ＝a 1q 2.则1＋2q ＝q 2，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中，各项都是正数，则q >0，则q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：C7．2＋3与2－3的等比中项是________．。
2019-2020新学练考数学同步必修5北师大：第一章 数 列-3.2 第1课时 等比数列的前n项和
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第一章 数 列
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 求 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 时 ， 可 直 接 套 用 公 式 Sn ＝ a1（11－－qqn）来求．( × ) (2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和 为 Sn＝na.( √ ) (3)等比数列{an}的首项为 1，a4＝8，则前 5 项和为 31.( √ )
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第一章 数 列
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下
问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且
相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共
有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
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第一章 数 列
1．数列{2n－1}的前 99 项和为( )
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
解析：选 C.数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其 前 99 项和为 S99＝11－－2299＝299－1.
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第一章 数 列
2．已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前 10
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第一章 数 列
等比数列前 n 项和性质的应用 (1)等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(q≠－1)． (2)若项数为 2n，则SS偶 奇＝q(S 奇≠0)；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶 a1 ＝q(S 偶≠0).
高中数学北师大版必修5同步精练1.3.2等比数列的前n项和 Word版含答案
基础巩固等比数列{}中，如果公比＞，那么等比数列{}是( )．递增数列．递减数列．常数列．无法确定数列的增减性在等比数列{}(∈＋)中，若＝，＝，则该数列的前项和为( )．－．－．－．－在等比数列{}中，表示前项和，若＝＋，＝＋，则公比等于( )．．－．－．等比数列{}的公比＞.已知＝，＋＋＋＝，则{}的前项和＝.设等比数列{}的公比＝，前项和为，则＝.某工厂去年月份的产值为元，月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和．等比数列{}的前项和为，已知，，成等差数列．()求{}的公比；()若－＝，求.(高考全国卷Ⅱ，文)设等比数列{}的前项和为，若＝，＝，则＝.综合过关在等比数列{}中，＝，前项和为，若数列{＋}也是等比数列，则等于( )．＋－．．．－令()＝(＋)(＋)(∈＋)，如果对(∈＋)，满足()()…()为整数，则称为“好数”，那么区间[]内所有“好数”的和＝.求和：＋＋＋…＋.设{}是由正数组成的等比数列，是其前项和．求证：＞＋.能力提升“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案答案：解析：设公比为，则(\\(＝，＝()，))解得＝.则该数列的前项和为＝＝＝－.答案：解析：两等式相减得－＝，从而求得＝＝.答案：解析：＋＋＋＝＋＝，所以＋＝，解得＝或＝－(舍去)，所以＝＝，所以＝＝.答案：解析：＝＝.答案：解：该工厂去年月份的产值为(＋)元，月、月、…的产值分别为(＋)、(＋)、…，去年个月的产值组成以为首项，(＋)为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为＝＝，即该工厂去年全年的总产值为元．解：()依题意有，＋(＋)＝(＋＋)由于≠，故＋＝，又≠，从而＝－.()由已知可得－(－)＝，解得＝，从而＝＝[－(－)]．解析：设等比数列{}的公比为，很明显≠，则＝，解得＝，所以＝＝.答案：解析：设等比数列{}的公比为，(＋)＝(＋)(＋)，则(＋)＝(＋)(＋)，即(＋)＝(＋)，解得＝，则＝.答案：解析：设()()…()＝…(＋)＝(＋)＝，则＝－，又∈[]，则∈＋且＜＜，所以＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…(＋)＋)－×＝－＝.答案：分析：数列，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成－－－，…就容易解决了．解：原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－＝－＝(－)－.。
等比数列的前n项和练习含答案
课 时 作 业 1 1 等 比 数 列 的 前 n 项 和课堂训练10项和为 ( )B ．2－29C ．2－210答案】2．已知数列 {a n }的前 n 项和 S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前 n项和为 ( )（2n ＋1－1）（22n －1）答案】 C解析】 由 S n ＝2n －1 知{a n }是首项 a 1＝1，公比 q ＝2 的等比 数列．所以奇数项构成的数列是首项为 1，公比为 4 的等比数列． 所以此数列奇数项的前 n 项和为 31(22n －1)．3．等比数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＝－ 512，S n ＝－ 341，则时间：45 分钟 满分： 100分1．在等比数列 { a n }( n ∈ N ＋)中，若 a 1＝1， a 4＝ 18，则该数列的前 A ． 2－28D ．2－211解析】 由 a 4＝ a 1q 3＝ q 3＝ 1＝ 2，所以110 21 0＝ 1＝ 2－291－ 1－（2n ＋1－2）（22n －2）公比qn＝【答案】－ 2 10 a1－a n q 1＋512q【解析】由S n＝得＝－341?q＝－2，1－q 1－q再由a n＝a1·q n－1?n＝10.4．已知｛ a n｝是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9 成等比数列．(1)求数列｛a n｝的通项；(2)求数列｛2 a n｝的前n项和S n.【解析】本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只需设出公差d，从而得到关于 d 的方程式求解，第二问直接利用等比数列前n 项和公式即可求得．1＋2d 解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得11＋8d＝，解得d＝1，d＝0(舍去)，故｛ a n｝的通项a n＝1＋(n－1)×1 1＋2d＝n.(2)由(1)知2a n＝2n，由等比数列前n 项和公式得n S n＝2＋22＋23＋⋯＋2n＝＝2n2 1－2＋1－2.1－2课后作业一、选择题(每小题 5 分，共40分)1．已知等比数列的公比为2，且前 5 项和为1，那么前10 项和2．设 f(n)＝2＋24＋27＋210＋⋯＋23n ＋1(n ∈N ＋)，则 f(n)等于( ) (8n － 1) (8n ＋1－1)(8n ＋3－ 1)(8n ＋4－1)答案】 B解析】 依题意， f(n)是首项为 2，公比为 8 的等比数列的前 n ＋1 项和，根据等比数列的求和公式可得．3．已知等比数列的前 n 项和 S n ＝4n ＋a ，则 a 的值等于 ( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1【答案】 B【解析】 ∵S n ＝4n ＋ a ，∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)＝4n ＋a －(4n －1＋a)等于 ( )A ．31 C ．35【答案】 B B ．33 D ．37解析】S5＝a 1 1－q 5 ＝a 1 1－25 ＝1 1－ q 1－2a 11. 31.a 1∴S 10＝ 1－q 101－q1 31 1－210 1－2＝33，故选 B.＝3C ．S n ＝4－3a n【答案】 D D ．S n ＝3－2a n＝3·4n －1(n ≥2)．当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝4＋a ， 又∵{ a n }为等比数列，∴3×41－1＝4＋a ，解得 a ＝－1.4．设 S n 为等比数列 {a n }的前 n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S S 5＝( ) A ．11 C ．－ 8【答案】 DB ．5 D ．－11解析】 设数列的公比为 q ，则 8a 1q ＋a 1q 4＝0，解得 q ＝－2， a 1 1－q 5S 5＝ 1－qS2 a 1 1－q 21－q52＝－ 11，故选D. 1－q 21－q25．(2013 ·新课标Ⅰ文 )设首项为 1，公比为 3的等比数列 {a n }的前n 项和为 S n ，则 ( )A ． S n ＝ 2a n －1B ．S n ＝3a n －2 解析】 由题意得，an＝2 2 21－n1－n－12 n－11－3 1－ 3 3(3)n－1，S n＝21－3＝3－ 2a n ，选 D.6．在等比数列 {a n } 中， a 9＋a 10＝a(a ≠0)，a 19＋ a 20＝b ，则 a 99＋ a 100 等于 ( )B ．(b a )9 D ．(b a )10【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知a 9＋a 10，a 19＋ a 20， ⋯，a 99＋a 100 成等比数列．且首项为 a(a ≠0)，公比为 a b .a7．某商品零售价 2008年比 2006年上涨 25%，欲控制 2009年比 2006年上涨 10%，则 2009年应比 2008年降价( )A ．15%B ．12%C ． 10%D ．5%【答案】 B【解析】 设 2006年售价为 a 元．则 2008年售价为 a(1＋25%)元， 2009 年售价为 a(1＋10%)元．则 2009 年应比 2008 年降价：a 1＋25% －a 1＋ 10%a 1＋ 25%∴a 99＋a 100＝a(ba )10－1b 9＝a 8.∴应降低12%，选 B.8．等比数列 {a n }共有 2n ＋1 项，奇数项之积为 100，偶数项之积 为 120，则 a n ＋1＝ ( )C ． 20D ．110【答案】 B【解析】 设公比为 q ，由题知： S 奇＝a 1·a 3·⋯·a 2n ＋1＝100，S 偶 ＝ a 2·a 4·⋯·a 2n ＝ 120，二、填空题 (每小题 10分，共 20 分)9．设等比数列 { a n }的公比 q ＝1 2 32，前 n 项和为 S n ，则a S4＝_________________________________________________________【答案】 15解析】 因为数列 { a n }是公比为 q 的等比数列，且 S 4＝a 1＋a 2a 4 a 4 a 4S 4 1 1 1＋a 3＋a 4＝q 34＋q 24＋q 4＋a 4，所以a44＝q 3＋q 2＋q ＋1＝15.110．在等比数列 { a n }中， a 1＝14，在前 2n 项中，奇数项的和为，偶数项的和为时， n 的值为 ____ ．【答案】 5S 奇 a 3·a 5·a 7·⋯ ·a 2n ＋ 1 S 偶 a 2·a 4·a 6·⋯·a 2n5＝n∴a 1q56， 5即 a n ＋1＝ 6，故选 B.解析】 S 偶由 q ＝S 奇，得 q ＝2.当 q ≠1 时，由通项公式及前 n 项和公式得规律方法】 解决此类问题，要抓住两个方面，一是注意对公 比 q 的取值进行分类讨论； 二是要准确利用相关公式把已知条件转化 为关于 a 1 与 q 的方程或方程组求解．12．(2013 ·湖南文，19)设 S n 为数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1≠0,2a n －a 1＝ S 1·S n ，n ∈N ＋.(1)求 a 1，a 2，并求数列 {a n } 的通项公式； (2)求数列{ na n }的前 n 项和．1n1－4n 4 1－ 4341又 S ＝ ＝ ，∴n ＝ 5.＝4，三、解答题 (每小题 20 分，共 40 分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤 )3911．在等比数列 { a n }中，已知 a 3＝2，S 3＝2，求 a 1与分析】 先检验 q ＝1 是否满足；然后列出关于 a 1，q 的方程 组进行求解．解析】 ∵a 3＝32，S 3＝92，当 q ＝1 时，a 1＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝3×32 9 9∴适合题意；＝2，a 1q 2＝32， a 1 1－q 3 91－q＝2，a 1＝6，1 q ＝－2.综上知 a 1＝32，q ＝1或 a 1＝6，q ＝－ 2.【分析】(1)用赋值法求出a1、a2，再用a n＝S n－S n－1(n≥2)，求出a n；(2)用错位相减法可求出{ na n}的前n 项和．【解析】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a12，因为a1≠ 0，所以a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2 时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1 两式相减得2a n－2a n －1＝a n，即a n＝2a n－1，于是数列{ a n}是首项为1，公比为 2 的等比数列，因此，a n＝2n－1.所以数列{a n} 的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n 项和为B n，于是B n＝1＋2×2＋3×22＋⋯＋n×2n－1，① 2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n×2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋⋯＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而B n＝1＋(n－1) 2·n.【规律方法】本题主要考查了由递推公式求通项式，由a n＝S n －S n－1(n≥2)，求通项及错位相减法．在运用a n＝S n－S n－1(n≥2)时，一定别忘记“ n≥2”这一条件．在用错位相减法时别忘记把S n 的系数化为 1.。
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的前n项和1
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
1 1 1 2 n 3、求和：( x ) ( x 2 ) ( x n ) y y y
11
例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均
每年的产量比上一年增加10%，那么 从第1年起，约几年内可使总产量达到 30万吨(保留到个位)？
北师大版高中数学必修5 第一章《数列》
1
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在 着大量的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列 前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式， 利用公式知三求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转 化化归的思想。2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、 归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作 用，作好探究性活动。3、情感态度与价值观：⑴通过生活 中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究 精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； ⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶通过对 有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激 发学生学习的兴趣。 二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数 列前n项和公式的应用。教学难点 :等比数列前n项和公式的 推导。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 2
13
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯 (在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝 石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在 其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片 金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一 个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只 移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上
高中数学《等比数列的前n项和公式第一课时》专题突破含解析
4.3.2 等比数列的前n 项和公式 第一课时 等比数列的前n 项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等比数列的前n 项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).1.等比数列的前n 项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比公式S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1－a n q 1－q ，q ≠12.当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 3.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，可以用这种方法.拓展深化[微判断]1.求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q .(×)提示 当q ＝1时，S n ＝na 1.2.等比数列的前n 项和不可以为0.(×)提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.3.数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.(×) 提示 由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n.可以发现b ＝－1时，数列{a n }才为等比数列.4.求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法.(√)[微训练]1.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( ) A.2－128 B.2－129 C.2－1210D.2－1211解析 易知公比q ＝12，则S 10＝1－12101－12＝2－129. 答案 B2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝( ) A.1或－1 B.1 C.－1D.12解析 由S 3＋S 6＝S 9得S 3＝S 9－S 6，即a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝q 6(a 1＋a 2＋a 3)，则q 6＝1，q ＝±1. 答案 A [微思考]1.若等比数列{a n }的公比q 不为1，其前n 项和为S n ＝Aq n ＋B ，则A 与B 有什么关系？ 提示 A ＝－B .2.等比数列{a n }的前n 项和公式中涉及a 1，a n ，n ，S n ，q 五个量，已知几个量方可以求其它量？ 提示 三个.题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用 【例1】 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12， 所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081. 规律方法 求等比数列的前n 项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数. 解 (1)法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－（－1）100]1－（－1）＝0.法二 数列{(－1)n ＋2}为－1，1，－1，1，…， ∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项. 题型二 等比数列前n 项和公式的综合应用【例2】 已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. 解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ② ∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18， ∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.【迁移1】 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .解 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件. 当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0， 解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q ＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n ）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.规律方法 等比数列前n 项和公式的运算(1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便.【训练2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1＝2a n ，则S 5＝( ) A.12 B.20 C.11D.21(2)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A.－2 B.2 C.－3D.3解析 (1)a n ＋2＋a n ＋1＝2a n 等价于a n q 2＋a n q ＝2a n . 因a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即(q ＋2)(q －1)＝0.因为q ≠1，所以q ＝－2，故S 5＝1×[1－（－2）5]1－（－2）＝11，故选C.(2)设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2mS m＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∵a 2m a m＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.答案 (1)C (2)B题型三 等比数列前n 项和公式的函数特征应用【例3】 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2.求{a n }的通项公式，并判断{a n }是否是等比数列.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 法一 由于a 1＝1，a 2＝6，a 3＝18，显然a 1，a 2，a 3，不是等比数列， 即{a n }不是等比数列.法二 由等比数列{b n }的公比q ≠1时的前n 项和S n ＝A ·q n ＋B 满足的条件为A ＝－B ，对比可知S n ＝3n －2，－2≠－1，故{a n }不是等比数列.规律方法 已知S n ，通过a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列.【训练3】 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13×3n ＋t ，∴t ＝－13. 答案 －13题型四 利用错位相减法求数列的前n 项和【例4】 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x （1－x n ）1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x.综上可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，x ＝1，x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.规律方法 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法. 【训练4】求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， 则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *).一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.3.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况.二、素养训练1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) A.15()510－1 B.14()510－1 C.14()59－1D.14()511－1解析 S 10＝1－5101－5＝14(510－1).答案 B2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A.2B.4C.152D.172解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.答案 C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________.解析 ∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.答案 624.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，前n 项和S n ＝126，则n ＝________. 解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，即2n ＋1＝128，故n ＋1＝7，n ＝6.答案 65.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解 由题意，得若q ＝1， 则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝2（1－q 3）1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.基础达标一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [（－1）n －1]2B.（－1）n ＋1＋12C.（－1）n ＋12D.（－1）n －12解析 S n ＝（－1）[1－（－1）n ]1－（－1）＝（－1）n －12.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84D.189解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22×21＝84. 答案 C3.等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.2n －1 B.4n －13 C.1－（－4）n3D.1－（－2）n 3解析 由a 1a 2a 3＝1得a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n －13. 答案 B4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )A.log 371B.692C.50D.55解析 由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n ，b n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为55.答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158解析 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C二、填空题6.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 由题意设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 327.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1. 答案 3n －18.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝m ·4n －1＋t (其中m ，t 是常数)，则m t ＝________.解析 法一 a 1＝S 1＝m ＋t ，a 2＝S 2－S 1＝3m ，a 3＝S 3－S 2＝12m ，则a 22＝a 1a 3，所以9m 2＝12m (m ＋t )，即m ＝－4t ，故m t ＝－4.法二 S n ＝m ·4n －1＋t ＝14m ·4n ＋t ，因为{a n }是等比数列，故14m ＝－t ，则m t ＝－4.答案 －4三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0).由已知可得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2， 所以⎩⎨⎧a 1（q －1）＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去.故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *). 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，∴S n n ＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立).∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ·3n ＝(2n －1)·3n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，∴3T n ＝32＋3×33＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)×3n ＋1，∴－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×9（3n －1－1）3－1－(2n －1)×3n ＋1，可得T n ＝3＋(n －1)×3n ＋1.能力提升11.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1， 即⎩⎨⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *).答案 2n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解 (1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， 所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1， 所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列.(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ， 所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n ) ＝4n －13＋n （n ＋1）2.创新猜想13.(多选题)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列说法一定成立的是() A.若a 3>0，则a 2 021>0B.若a 4>0，则a 2 020>0C.若a 3>0，则S 2 021>0D.若a 3>0，则S 2 021<0解析 设数列{a n }的公比为q ，当a 3>0时，a 2 021＝a 3q 2 018>0，A 正确； 当a 4>0时，a 2 020＝a 4·q 2 016>0，B 正确.又当q ≠1时，S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q ，当q <0时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0， 当0<q <1时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0， 当q >1时，1－q <0，1－q 2 021<0，∴S 2 021>0. 当q ＝1时，S 2 021＝2 021a 1>0，故C 正确，D 不正确. 答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且公比q >1，若a 2＝2，S 3＝7.则数列{a n }的通项公式a n ＝________，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 ∵a 2＝2，S 3＝7，由S 3＝2q ＋2＋2q ＝7，解得q ＝2或q ＝12，又∵q >1，∴q ＝2，故a 1＝1，所以a n ＝2n －1∴a 2n ＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1（1－4n ）1－4＝4n －13. 答案 2n －1 4n －13。
1[1].3.2等比数列前n项公式 (第1课时 )
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1.3.2等比数列前n项公式(第1课时)安徽临泉一中王峰一、教材分析等差数列的前n项和是数列的基本内容，同时也是数列研究的主要内容。
在现实生活中，等比数列的求和是经常遇到的一类问题，如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、资产折旧等问题都可能用到等比数列的求和公式，故可以说等比数列的求和公式为我们为我们研究等差数列问题提供了一个有力武器。
教材首先通过一个具体的事例，探索概括出等比数列的前n项和的两种求法，接着将它们推广到一般情况，进而推导出等比数列的前n项和的公式。
为使学生对公式做到正确理解，灵活运用，教材举了给出了两个例子，值得注意的是，两道例题中就有一个实际应用题，这样安排足以说明等比数列是培养学生数学应用意识的重要载体，应引起学生的重视。
二、教学目标1、通过实际问题的处理办法，并加以提炼推广到一般问题，进而求出等比数列的前n项和的公式，可培养学生的探究能力、创新能力、抽象概括能力及科学的思维方法。
2、掌握等比数列的前n项和的公式，会运用公式解决一些简单的数列求和问题。
3、通过公式的推导及求和过程中对q与1的关系的讨论，可培养学生的思维的严密性。
三、教学重点1、等比数列的前n项和的公式的推导方法。
2、等比数列的前n项和的公式的掌握与应用。
四、教学难点等比数列的前n项和的公式推导思路的形成与领会。
五、教学过程（一）问题提出一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同。
从签订合同之日起，在整整一个月（30天）中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元，而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天只需还2分钱，第三天只需还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍。
合同生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第二天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得到55万元，付出的总数只有10元2角3分。
到了第20天，他共得到210万元，而小明才得到1048575分，共1万元多一点。
高中数学必修五北师大版 等比数列的前n项和 课时作业(含答案)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为( )A.a 1(1－q 2n )1－qB.a 1(1－q 3n )1－q 3C.a 31(1－q 3n )1－q 3D.a 3(1－q 3n )1－q 3解析： 由于a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 3n ＝a 3(1－q 3n )1－q 3. 故选D.答案： D2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B.73C.83 D ．3解析： 设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2， 于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案： B3．等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．35D ．49解析： ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)．∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)．∴S 4＝28.答案： A4．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项之和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和是( )A.1S nB.1q n 1S n C ．S n D.S n qn －1 解析： {a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公比为1q ，1a 1＝1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S ′n ＝1－⎝⎛⎭⎫1q n 1－1q＝q n －1q n ×q q －1，① 而S n ＝1－q n1－q，② 由①②得S ′n ＝S n qn 1. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在1和128之间插入6个数，使它们与这两个数成等比数列；则这6个数的和为________．解析： 由a 8＝a 1q 7，得128＝q 7，∵27＝128，∴q ＝2，∴S 6＝2(q 6－1)q －1＝27－2＝126. 答案： 1266．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝________.解析： ∵a 4a 5a 6＝a 35＝3，∴a 5＝313∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1·a 2·a 8·a 9)＝log 3(a 25·a 25)＝4log 3a 5＝4log 3313＝43. 答案： 43三、解答题(每小题10分，共20分)7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小． 解析： (1)因为{a n }是等比数列，S n ＞0，可得a 1＝S 1＞0，q ≠0.当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q＞0， 即1－q n1－q＞0(n ＝1,2，…)， 上式等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＜01－q n ＜0(n ＝1,2，…)① 或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0(1－q n )＞0(n ＝1,2，…)② 解①式得q ＞1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1＜q ＜1. 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q ， T n ＝⎝⎛⎭⎫q 2－32q S n . 于是T n －S n ＝S n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q －1＝S n ⎝⎛⎭⎫q ＋12(q －2)． 又因为S n ＞0，且－1＜q ＜0或q ＞0，所以，当－1＜q ＜－12或q ＞2时，T n －S n ＞0，即T n ＞S n ； 当－12＜q ＜2且q ≠0时，T n －S n ＜0，即T n ＜S n ； 当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n . 7．在等比数列{a n }中(1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54.求a 4和S 5. 解析： (1)设首项为a 1，∵q ＝2，S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1， 即a 1＝115， ∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17. (2)设等比数列的公比为q ，则有。
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
北师大版高中数学必修五精讲精练作业：课时9 等比数列的前n项和(第一课时)
课时作业(九)1．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝81[1－（23）5]1－23＝211. 2．在公比为正数的等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( ) A ．21 B ．42 C ．135 D ．170答案 D解析 ∵q 2＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝4，又q>0，∴q ＝2.∴a 1(1＋q)＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23. ∴S 8＝23·（28－1）2－1＝170.3．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案 A解析 ∵S 5＝a 1（1－q 5）1－q，∴44＝a 1·[1－（－2）5]1＋2＝33a 13＝11a 1.∴a 1＝4.4．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴S n ＝a 1－a n q 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3.故该数列共5项．5．(2015·山东师大附中月考卷)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1 答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略；思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q.6．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n答案 D7．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析 由题意q 3＝S 6－S 3S 3＝8，则q ＝2.∴数列{1a n }的公比为12，首项为1的等比数列．∴其前5项和T 5＝1×（1－125）1－12＝3116，故选C.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4S 2＝3，则2a 2－a 4的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A9．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) A ．190 B ．191 C ．192 D ．193答案 C10．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，{1a n}的前n 项和为1（1－1q n ）1－1q ＝q 1－n·1－q n1－q ＝q 1－n ·S.当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S.11．(2015·盐城一中月考)等比数列{a n }中，a 6－a 5＝324，a 2－a 1＝4，则S n ＝__________． 答案 3n －1，或（－3）n －14 解析 ∵a 6－a 5＝(a 2－a 1)·q 4，∴q 4＝3244＝81，∴q ＝±3.当q ＝3时，由a 1(q －1)＝a 1·(3－1)＝4，得a 1＝2. ∴S n ＝2（3n －1）3－1＝3n －1.当q ＝－3时，由a 1·(－3－1)＝4，得a 1＝－1. ∴S n ＝－1·[（－3）n －1]－3－1＝（－3）n －14. 12．设数列{a n }是等比数列，公比为3，前80项之和为32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝__________． 答案 24解析 设a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝X ， 则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79＝32－X ， ∵公比为3，∴X 32－X＝3，解得X ＝24.13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则q ＝____________．答案 －12解析 ∵S 10＝S 5＋(S 10－S 5)＝S 5(1＋q 5)， ∴S 10S 5＝1＋q 5＝3132.∴q 5＝－132，∴q ＝－12.14．(2015·济宁高二检测)在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝27，a 2＋a 4＝30. (1)求a 1和公比q ； (2)求前6项的和S 6.解析 (1)在等比数列{a n }中，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝27，a 1q ＋a 1q 3＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－3.(2)由S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，所以当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3时，S 6＝1×（1－36）1－3＝1－36－2＝364.当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－3时，S 6＝（－1）×[1－（－3）6]1＋3＝36－14＝182.15．设等比数列{a n }的公比q<1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1（1－q n ）1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 1（1－q 4）1－q ＝5×a 1（1－q 2）1－q ，①②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.∴(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0.因为q<1，解得q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1. 综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.16．已知等比数列{a n }的公比为q ＝－12；(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和．(2)证明：对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 解析 (1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1[1－（－12）n ]1－（－12）＝2＋（－12）n －13. (2)对任意k ∈N *，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12，得2q 2－q －1＝0.故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．由Ruize收集整理。
(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第一章数列 等比数列的前n项和
3.2 等比数列的前n项和课时过关·能力提升1.数列1,,…,的各项和的计算公式为( )A.--B.--C.---D.-解析:1,,…,各项和为等比数列-的前n+1项和,故计算式为----.答案:B2.在等比数列{an}中,其前n项和Sn=5n+1+a,则a的值为( )A.-1B.1C.5D.-5解析:Sn=5n+1+a=5×5n+a,由等比数列的前n项和Sn=----·qn可知其常数项与qn的系数互为相反数,所以a=-5.答案:D3.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn=3n-1,则+…+=( )A.(3n-1)B.3n-1C.(9n-1)D.9n-1解析:由Sn=3n-1可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2·3n-1.由a1=2,-=3 n≥2 ,知数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列.因为{}是以32为公比,=4为首项的等比数列,所以{}的前n项和为Tn=--(9n-1).答案:C4.在等比数列{an}中,公比q≠1,它的前n项和为M,数列的前n项和为N,则的值为( )A.2qnB.a1qn-1C.qn-1D.2qn-1解析:∵{an}是公比为q的等比数列,∴是首项为,公比为的等比数列,∴M=--,N=--,解得qn-1.答案:C5.已知等比数列{an}的公比q=2,它的前9项的平均值等于,若从中去掉一项am,剩下8项的平均值等于,则m等于( )A.5B.6C.7D.8解析:数列{an}的前9项的和为S9=×9=1 533,即--=1 533,解得a1=3.因为am=S9-×8=96,且am=3·2m-1,所以3·2m-1=96,解得m=6.答案:B6.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= .答案:2n-17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S10=10,S20=30,则S30= .解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,∴S10· S30-S20)=(S20-S10)2,即10× S30-30)=(30-10)2,解得S30=70.答案:708.已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .解析:∵a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,且数列{an}是递增的等比数列,∴,,,解得a1=1,a3=4.∵=q2,∴q=2或q=-2(舍去). ∴S6=--=63.答案:639.已知等差数列{an}满足a3=6,a4+a6=20.(1)求通项公式an;(2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解:(1)由题意,知, ,解得, ,故an=a1+(n-1)d=2n.(2)由题意,知bn-an=3n-1,所以bn=3n-1+2n.故Tn= 1+3+…+3n-1 +2 1+2+…+n =-+n2+n.★10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=1,S11=33.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求证:数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.(1)解:设数列{an}的公差为d.∵, ,∴,,解得,∴an=(n-1)=n.(2)证明:∵bn=,∴.∴数列{bn}是以b1=为首项,q=为公比的等比数列.∴其前n项和Tn=--=1-.★11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=λ λ为常数).令cn=b2n(n∈N+),求{cn}的前n项和Rn.解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1,得,--,解得, ,∴an=2n-1,n∈N+. (2)由题意知Tn=λ--,∴当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=------,故cn=b2n=--=(n-1)-,n∈N+.∴Rn=0×+1×+2×+3×+…+ n-1 ×-,则Rn=0×+1×+2×+…+ n-2 ×-+(n-1 ×,两式相减得Rn=+…+--(n-1 ×---(n-1 ×=,整理得Rn=--.。
数学北师大版必修5课时作业1-3-2 第1课时 等比数列的前n项和
课时作业9 等比数列的前n 项和时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( C ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1， 所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2 解析：∵S 5＝22，q ＝－2， ∴a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝22，∴a 1＝2.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( B ) A ．81 B ．120 C ．168D ．192 解析：a 5a 2＝27＝q 3，q ＝3，a 1＝a 2q ＝3，S 4＝3(1－34)1－3＝120.4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N ＋)，则f (n )等于( D )A.27(8n－1)B.27(8n ＋1－1)77解析：依题意f (n )为首项为2，公比为8的等比数列前n ＋4项的和，根据等比数列的求和公式计算可得．5．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( D )A ．514B ．513C ．512D ．510解析：∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12， ∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12， ∴1＋q 3q ＋q 2＝32，即1＋q 2－q q ＝32， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或12(舍去)， ∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝510.6．在等比数列{a n }中，其前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( D )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n ＋a ，当q ≠1时，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5.7．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( C )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )33解析：由条件先求公比q ，再由等比数列的前n 项和公式求解．∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a 1＝4，∴a n ·a n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n ，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)． 8．“今有垣厚一丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚12.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由题意，知大鼠前三天打洞1＋1.5＋2＝4.5(尺)，小鼠前三天打洞0.5＋1＋2＝3.5(尺)，大鼠与小鼠前三天共打洞4.5＋3.5＝8(尺)，第四天大鼠打洞2.5尺，小鼠打洞2尺，故前四天两鼠共打洞8＋2＋2.5＝12.5(尺)．故两鼠相逢最快需4天．二、填空题9．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝4n －1.解析：设前三项为aq ，a ，aq ， ∴a4＋a ＋4a ＝21， ∴a ＝4，a n ＝4·4n －2＝4n －1.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝3.解析：设公比为q ，由S 6＝4S 3知q ≠1，由S 6＝4S 3得 a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，得q 3＝3. ∴a 4＝1×q 3＝1×3＝3.11．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于6.解析：记第n 天植树的棵数为a n ，则数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，解S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2≥100，得n ≥6.三、解答题12．在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 解：解法一：由已知S 6≠2S 3， 则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632， ②②÷①得1＋q 3＝9，所以q ＝2. 可求出a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.解法二：已知等比数列{a n }中S m 与S n ，求q ，还可利用性质S n ＋m ＝S n ＋q nS m 转化为q n＝S n ＋m －S nS m 求得，即q 3＝S 6－S 3S 3＝2872＝8，∴q ＝2，再代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q求得a 1＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2.13．已知等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表中第1,2,3行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中任何两个数不在下表的同一列中.(1)求数列{a n (2)设b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， ∴q ＝3，a n ＝2·3n －1. (2)b n ＝3na n ＝2n ·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，则T n ＝2×1×31＋2×2×32＋2×3×33＋…＋2n ×3n ， 3T n ＝2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －1)×3n ＋2n ×3n ＋1 ∴－2T n ＝2(31＋32＋33＋…＋3n )－2n ×3n ＋1 ＝6(1－3n )1－3－2n ×3n ＋1＝－3－(2n －1)×3n ＋1， ∴T n ＝3＋(2n －1)×3n ＋12. ——能力提升类——14．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N ＋，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( B )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：由题意，得T n＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q (q n ＋16q n －17)，令q n ＝(2)n ＝t ，函数g (t )＝t ＋16t ，易知函数g (t )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时，函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4.15．已知数列{a n }是首项a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋3log 4a n ＋2＝0，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝－3log 4a n －2，故b n ＝3n －2.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝3n －2，所以c n ＝(3n －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .所以S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，① 于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1.②①－②，得34S n ＝14＋3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n.由Ruize收集整理。
高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和学案(含解析)北师
3．2 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和知识点一 等比数列前n 项和公式[填一填](1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)推导等比数列前n 项和公式的方法是错位相减法．[答一答]1．若一个数列是等比数列，它的前n 项和写成S n ＝Aq n ＋B (q ≠1)，则A 与B 有何种关系？提示：互为相反数．知识点二 等比数列前n 项和公式的有关知识[填一填]在等比数列的前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，在这五个量中知三求二．[答一答]2．你能根据所学知识列举几种数列求和的方法吗？ 提示：(1)公式法．(2)倒序相加法． (3)乘公比错位相减法．1．利用错位相减法求前n 项和的数列的特点如果数列{a n }是等差数列，公差为d ；数列{b n }是等比数列，公比为q ，则求数列{a n b n }的前n 项和就可以运用错位相减法．方法如下：设S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n . 当q ＝1时，{b n }是常数列， S n ＝b 1(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝nb 1(a 1＋a n )2； 当q ≠1时，则：qS n ＝qa 1b 1＋qa 2b 2＋qa 3b 3＋…＋qa n b n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －1b n ＋a n b n ＋1，所以(1－q )S n ＝a 1b 1＋b 2(a 2－a 1)＋b 3(a 3－a 2)＋…＋b n (a n －a n －1)－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋d ·b 1·q (1－q n －1)1－q －a n b n ＋1.所以S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋b 1dq (1－q n －1)(1－q )2.2．等比数列前n 项和公式与函数的关系(1)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，q ≠1的等比数列的前n 项和S n 是由一个关于n 的指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q ≠1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图像是函数y ＝－Aq x ＋A 图像上的一些孤立的点．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图像是正比例函数y ＝a 1x 图像上的一些孤立的点．类型一 等比数列前n 项和的应用【例1】 在等比数列{a n }中， (1)若a 1＝81，a 5＝16，求S 5；(2)若S 5＝93，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝186，求a 8； (3)若a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n ，q .【思路探究】 (1)由a 1，a 5的值求q ，已知a 1，利用S n ＝a 1(1－q n )1－q求S 5.(2)a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6可看成首项为a 2，公比仍为{a n }的公比q 的等比数列的前5项和，利用求和公式列方程组求q ，再求出a 1，于是可求a 8.(3)可采用列方程组求a 1，q 的方法，用S n ＝a 1(1－q n )1－q ，也可采用先求a 1，a n ，利用公式S n ＝a 1－a n q 1－q求n ，q .【解】 (1)设等比数列的公比为q ，则 q 4＝a 5a 1＝1681，∴q ＝±23.当q ＝23时，S 5＝81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2351－23＝211.当q ＝－23时，S 5＝81×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－2351＋23＝55.(2)显然q ≠1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q＝93， ①a 2(1－q 5)1－q ＝186， ②②①得q ＝a 2a 1＝18693＝2，代入①得a 1＝3，∴a 8＝a 1q 7＝3×27＝384. (3)∵a 1a n ＝a 2a n －1＝128，又a 1＋a n ＝66， ∴a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根，解方程得a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2，显然q ≠1. 若a 1＝2，a n ＝64，由a 1－a n q1－q ＝126得2－64q ＝126－126q ，∴q ＝2. 由a n ＝a 1q n －1得2n －1＝32，∴n ＝6. 若a 1＝64，a n ＝2，同理可求q ＝12，n ＝6，综上所述，n 的值为6，q ＝2或12.规律方法 (1)在等比数列中，对于a 1，a n ，q ，n ，S n 五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量．(2)等比数列前n 项和问题，必须注意q 是否等于1，如果不确定，应分q ＝1或q ≠1两种情况讨论．(3)等比数列前n 项和公式中，当q ≠1时，若已知a 1，q ，n 利用S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求；若已知a 1，a n ，q ，利用S n ＝a 1－a n q1－q来求．(1)在等比数列{a n }中，已知S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)设等比数列的前n 项和为S n ，且S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解：(1)由通项公式及前n 项和公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－2n )1－2＝189，a 1·2n －1＝96.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2n a 1－a 1＝189， ①2n a 1＝192， ②把②代入①得192－a 1＝189，∴a 1＝3. 把a 1＝3代入②式得，2n ＝64＝26，∴n ＝6. 即a 1＝3，n ＝6.(2)若q ＝1，则S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0， ∴S 3＋S 6≠2S 9，∴q ＝1不成立． 当q ≠1时，依题意，S 3＋S 6＝2S 9. ∴a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3·(2q 6－q 3－1)＝0. 由q ≠0得2q 6－q 3－1＝0， ∴(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，∵q 3－1≠0，∴2q 3＋1＝0，∴q ＝－342. 类型二 错位相减求和问题【例2】 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N ＋. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．【思路探究】 (1)根据a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去S n 得到关于a n 的关系式，即可求{a n }的通项公式；(2)利用错位相减法求前n 项和．【解】 (1)因为S 1＝a 1，所以当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1，即a 1＝a 21. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n －1，n ∈N ＋.(2)设数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1 ①， 2T n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ②. ①－②得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1×(1－2n )1－2－n ×2n＝2n －1－n ×2n ， 所以T n ＝(n －1)×2n ＋1，故数列{na n }的前n 项和为(n －1)×2n ＋1. 规律方法 错位相减法求和的适用情况和注意点一般地，若数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列且公比为q (q ≠1)，求{a n ·b n }的前n 项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法．在写出S n 与qS n 的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出S n －qS n 的表达式．在运用错位相减法求数列前n 项和时要注意三点：①是否符合使用此方法的条件；②是否需要对q 进行讨论；③两式相减后所呈现的规律．已知a n ＝n3n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：S n ＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ，13S n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1， 两式相减得23S n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n 3n ＋1， 所以S n ＝34－14×3n －1－n 2×3n ＝34－2n ＋34×3n.类型三 等比数列中的最值问题【例3】 数列{a n }是等比数列，项数是偶数，各项都为正，它所有项的和等于偶数项之和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项的和的9倍，数列{lg a n }的前多少项和最大？【思路探究】 利用等差数列与等比数列的首项与公差或首项与公比之间的关系，数列的增减性，就可求得数列的最值问题．【解】 由题意知q ≠1，且a 1(1－q n)1－q ＝4a 2[1－(q 2)n 2]1－q 2且a 2＝a 1·q ，即4q1＋q＝1， 所以q ＝13.又a 1q ·a 1q 3＝9(a 1q 2＋a 1q 3)，所以a 1＝22×33，a n ＝22×33·13n －1＝43n －4.所以lg a n ＝2lg2－(n －4)lg3.所以当n ≥2时，lg a n －lg a n －1＝2lg2－(n －4)lg3－[2lg2－(n －5)lg3]＝－lg3<0. 所以数列{lg a n }是递减的等差数列，且lg a 1＝lg(22×33)>0.设数列{lg a n }的前n 项和最大，则有⎩⎨⎧lg a n ≥0lg a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2lg2－(n －4)lg3≥02lg2－(n －3)lg3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ≤4＋log 34n >3＋log 34，因为1<log 34<2，n ∈N ＋，所以n ＝5， 所以数列{lg a n }的前5项和最大． 规律方法 (1)在等比数列{a n }中，a 1>0⎩⎪⎨⎪⎧{a n }递增(q >1){a n}为常数列(q ＝1){a n }递减(0<q <1){a n}摆动(q <0)，a 1<0⎩⎪⎨⎪⎧{a n }递增(0<q <1){a n }为常数列(q ＝1){a n }递减(q >1){a n}摆动(q <0).(2)若{a n }是等差数列，当⎩⎨⎧a 1>0d <0时，若有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，则S n 最大；当⎩⎨⎧a 1<0d >0时，若有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0，则S n 最小．{a n }为首项为正数的等比数列，前n 项和S n ＝80，前2n 项和S 2n ＝6 560，在前n 项中数值最大的为54，求通项a n .解：∵S n ＝80，S 2n ＝6 560，故q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q 2n)1－q ＝6 560. ②②÷①得1＋q n ＝82，∴q n ＝81. ③ ∴将③代入①，得a 1(－80)1－q＝80，∴a 1＝q －1.而a 1>0，∴q >1，等比数列{a n }为递增数列． 故a n ＝54，即a 1q n －1＝54，④ 将③代入④，得a 1＝23q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝q －1，a 1＝23q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. ∴a n ＝2·3n －1(n ∈N ＋)．类型四 等比数列前n 项和公式的实际应用【例4】 为了保护某库区的生态环境，凡是坡角在25°以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在某库区内坡角大于25°的坡荒地面积约有2 640万亩．若从2015年年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩．(1)如果所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，那么到哪一年年底可使库区内坡角大于25°的坡荒地全部绿化？(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生产率为20%，则当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(保留一位小数，1.29≈5.16,1.28≈4.30)【思路探究】 (1)利用等差数列前n 项和公式求解．(2)利用错位相减法求和． 【解】 (1)设a 1＝120，d ＝60，第n 年后可以使绿化任务完成，则有S n ＝120n ＋n (n －1)2·60≥2 640，n ∈N ＋，解得n ≥8.(2)2022年造林数量为a 8＝120＋7×60＝540(万亩)． 设到2022年年底木材总量为S ，由题意，得S ＝(120×1.28＋180×1.27＋240×1.26＋…＋540×1.2)×0.1＝6×(2×1.28＋3×1.27＋…＋9×1.2)．令S ′＝2×1.28＋3×1.27＋…＋9×1.2，①两边同乘1.2，得1.2S ′＝2×1.29＋3×1.28＋…＋9×1.22.②②－①，得0.2S ′＝2×1.29＋(1.28＋1.27＋…＋1.22)－9×1.2＝2×1.29＋1.22×(1－1.27)1－1.2－10.8＝7×1.29－18.∴S ′＝5×(7×1.29－18)≈90.6. ∴S ＝6×90.6＝543.6(万立方米)．答：(1)到2022年年底可以使库区内坡角在25°以上的坡荒地全部绿化．(2)到2022年年底共有木材543.6万立方米．规律方法 价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列问题进行建模，即从实际背景中抽象出数学模型，归纳转化为数学问题去解决．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区从2016年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2016年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2016年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80， 即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2016年最多出口12.3吨．——数学思维应用系列——分类讨论思想在等比数列前n 项和中的应用在应用等比数列求和公式求和时，要注意分两种情况q ＝1和q ≠1讨论，若题目中未说明q 的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q. 【例5】 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围为________．【思路分析】 因为{a n }为等比数列，S n >0，可以得到a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0， 即1－q n1－q>0(n ＝1,2,3，…)， 上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q <0，1－q n <0，(n ＝1,2,3，…)① 或⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n >0，(n ＝1,2,3，…)② 解①式得q >1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数，得－1<q <1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．【规范解答】 (－1,0)∪(0，＋∞)等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，求a n 及前n 项和S n .解：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32， S 3＝3×32＝92，符合题意， 此时a n ＝32，S n ＝32n ； 当q ≠1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92，即⎩⎨⎧ a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②由①②两式相除得2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12，q ＝1(舍去)． 则a 1＝6，故a n ＝a 1q n －1＝6×⎝⎛⎭⎫－12n －1， 此时S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝6×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12 ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝4－⎝⎛⎭⎫－12n －2.一、选择题1．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项的和为( D ) A ．2－124 B ．2－122 C ．2－1210 D ．2－129 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( C )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 二、填空题 3．等比数列1,2,4，…从第5项到第10项的和是1_008. 解析：由题意a 1＝1，q ＝2，∴a 5＝a 1q 4＝24.∴a 5＋a 6＋…＋a 10＝a 5(1－26)1－2＝1 008. 或利用a 5＋a 6＋…＋a 10＝S 10－S 4.4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于－1.解析：由题意可知q ≠1，则等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n ＝A －Aq n (记A ＝a 11－q)， ∴a ＝－1.三、解答题5．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 的值． 解：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，得{a n }为等比数列且公比q ＝a n ＋1a n＝2， 故前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1(1－q n )1－q ＝1·(1－2n )1－2＝2n －1.。
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解得a1＝4，q＝，所以S5＝＝.
答案：B
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析：∵＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3，
∴a4＝a1·q3＝3.
答案：3
8．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共有资金________万元．
解析：由＋＋7＝21，得2q2－q－1＝0，解得：q＝1或q＝－，∴选C.
答案：C
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由题意，得3S3－3S2＝(a4－2)－(a3－2)，则3a3＝a4－a3，则a4＝4a3，∴q＝＝4.
解析：设第n年投入的资金为an万元，则an＋1＝an＋an×30%＝1.3an，则＝1.3，所以数列{an}是首项为500，公比为1.3的等比数列，所以7年后该公司共有资金S7＝＝＝(1.37－1)万元．
答案：
9．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an
解析：Sn＝＝＝＝3－2an，故选D.
答案：D
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为()
A．180 B．108
C．75D．63
解析：由性质可得S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，故(S14－2＝S7·(S21－S14)．
解析：由题意知q＝＝＝2.
答案：B
5．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于()
A．2 B．4 C.D.
解析：S4＝＝15a1，a2＝a1q＝2a1，
∴＝.
答案：C
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()
A.B.C.D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
课时作业(九)等比数列的前n项和
(限时：10分钟)
1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项的和等于()
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：∵S5＝1，∴＝1，即a1＝.
∴S10＝＝33.
答案：B
2．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
又∵S7＝48，S14＝60，∴S21＝63.
答案：D
4．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，所以a1＝1，a3＝4，q＝2.所以S6＝＝63.
答案：63
5．在等比数列{an}中，已知a1＝2，q＝3，若Sn＝26，求n.
解析：a1＝2，q＝3，Sn＝26，∴代入公式Sn＝，得26＝.整理得3n＝27，
∴n＝3.
(限时：30分钟)
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()
A．4B．－4C．2D．－2
解析：∵S5＝＝＝11a1＝44.
∴a1＝4，∴选A.
答案：A
2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列前10项和为()
A．2－B．2－
C．2－D．2－
解析：设公比为q，则解得q＝，则该数列的前10项和为S10＝＝＝2－.
答案：B
3．在等比数列{an}中a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为()
A．1B．－
C．1或－D．－1或