高中数学-2.3幂函数全册精品教案-新人教A版必修1
高中数学 (幂函数)示范教案 新人教A版必修1
2.3 幂函数整体设计 教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1,y ＝x 21等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时教学过程导入新课 思路11.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数. 4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S 21,这里a 是S 的函数.5.如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t -1km/s,这里v 是t 的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:给出下列函数:y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 问题④:画出y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3五个函数图象,完成下列表格.问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？ 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=x α（x∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如y=x 2,y=x 21,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. ③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 21,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表:图2-3-1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=x α的性质.（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）； （2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x 向原点靠近时,图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴,当x 慢慢地变大时,图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 应用示例思路1例1判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2x;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 51.活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=x α（x∈R ）的函数称为幂函数,变量x 的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;②y=x -3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;③y=x -2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x 51的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练判别下列函数中有几个幂函数？①y=x 31;②y=2x 2;③y=x 32;④y=x 2+x;⑤y=-x 3.解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x 2的系数为2,因此不是幂函数;④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;⑤的变量x 3的系数为-1,因此不是幂函数.例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x 32,（2）y=x23 ,（3）y=x -2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解：（1）要使函数y=x 32有意义,只需y=32x 有意义,即x∈R .所以函数y=x 32的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x 32是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.（2）要使函数y=x23-有意义,只需y=231x 有意义,即x∈R +,所以函数y=x23-的定义域是R +,由于函数y=x23-的定义域不关于原点对称,所以函数y=x23-是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.（3）要使函数y=x -2有意义,只需y=21x有意义,即x≠0,所以函数y=x -2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x -2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例3证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞),且x 1＜x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=21x -x =212121))((x x x x x x ++-=2121x x x x +-,因为x 1-x 2＜0,x 1+x 2＞0,所以2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)<f(x 2),即f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x 1)与f(x 2)的符号要一致. 思路2例1函数y ＝（x 2-2x ）21-的定义域是( )A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2） 分析：函数y ＝（x 2-2x ）21-化为y=xx 212-,要使函数有意义需x 2-2x ＞0,即x ＞2或x ＜0,所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}. 答案：B 变式训练函数y ＝（1-x 2）21的值域是( )A.［0,＋∞)B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］ 活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析：令t ＝1-x 2,则y ＝t ,因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案：D点评：注意换元法在解题中的应用. 例2 比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x 0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x -0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x 0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性. 知能训练1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x 3C.y=x1 D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=x α是减函数C.当α>0时,幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数,也是幂函数 3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=x 234.已知某幂函数的图象经过点(2,2),则这个函数的解析式为. 答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x 21拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y＝x21-,y ＝x31-;③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 21,y ＝x 31.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示. 解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y ＝x -1、y ＝x -2、y=x -3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ②观察图2-3-3得到: 函数y ＝x21-、y ＝x31-的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ③观察图2-3-4得到:函数y=x 、y=x 2、y=x 3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y 轴近,向下离y 轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x 21、y ＝x 31的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y 轴近,在点(1,1)的右边离x 轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用. 作业课本P 87习题2.3 1、2、3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3) 1.函数y=21x 是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α, 因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v=k·r 4； （2）把r=3,v=400代入v=k·r 4中,得k=43400＝81400,即v=81400r 4；（3）把r=5代入v=81400r 4,得v=81400×54≈3 086（cm 3/s ）,即r=5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s.。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。
四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。
3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。
七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。
八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。
高中数学新人教版A版精品教案《幂函数》
幂函数
一、教材分析：
《幂函数》是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修一第二章第三单元的内容从本单元所在教材中的地位来看，它起到了承上启下的作用承上：在本章前两单元学习的指数函数和对数函数为本单元学习铺设了研究方法：例如“数形结合”、“从特殊到一般”、“类比”；同时，初
中学习的正比例函数x y =、反比例函数x
y 1=和二次函数2x y =也为本单元的学习提供了基础启
下：幂函数为学生在选修中学习导数做了铺垫
通过对本单元的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待已经接触的函数，进一步熟悉研究一个函数的方法因而本单元是对学生研究函数的方法和能力的综合提升
本单元内容安排1课时 二、教学目标：
1通过具体实例，了解幂函数的概念，体会建立一个函数模型的过程
2通过数形结合的研究方法，掌握五个具体幂函数：,,,3
2
x y x y x y ===2
1
x y =，1-=x y 的图象及性质
3经历研究五个具体幂函数的图象及性质的过程，掌握研究一般幂函数的图象及性质的方法，进一步渗透从特殊到一般的思想，培养学生综合归纳、类比的能力 三、教学重点：
1幂函数的概念
2五个幂函数的图象及性质 四、教学难点：
归纳五个幂函数的图象的共同特征，并由此得到对一般幂函数的图象及性质的研究方法 五、教学手段和方式：
本节课主要采用“思考、探究”，问题教学的方式，老师设置问题进行引导，学生自主学习、思考进行概念学习，合作交流、综合归纳进行思想方法的掌握意在充分体现的学生主体地位，教师的主导地位，让学生充分享受学习的兴趣
六、教学过程：
七、板书设计。
新课标人教A版必修1高中数学幂函数教案
第2章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ教学案§2.4幂函数 总第 36课时教学目标：1.了解幂函数概念，会画常见幂函数的图象，并结合图象了解幂函数的变化情况和性质。
2.了解常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小。
3. 使学生进一步体会数形结合的思想。
教学重点：幂函数的图象、性质、应用。
教学难点：幂函数性质的应用。
教学过程： 一、问题情境二、学生活动问题1：这两个函数解析式有什么共同特点？三、建构数学幂函数的定义：问题2：你还知道那些幂函数？问题3： 2353,(1),1y x y x y x -==+=+是不是幂函数？ 问题4：作出下列函数的图象并说明函数的单调性（1）y = x ，（2）y = x 2，（3） y = x 3.问题5：作出下列函数的图象并说明函数的单调性:0y x αα>=小结时函数图象有什么共同的特点问题6：作出下列函数的图象并说明函数的单调性（1）y = x -1 （2） y = x -2.:0y x αα<=小结时函数图象有什么共同的特点四、数学运用：例1：已知幂函数2223(1)0m m y m m x --=--+∞是幂函数，在（，）是减函数求m 的值。
12(1) y x=13(2)y x=例2：如图所示曲线是函数y=x α 在第一象限内的图象，已知α 分别取-1，1，1,22四个值，则相应的图象依次为_________例3：比较下列各组数的大小。
1122(1)3.14,π 11(2)1.25,1.22--a2334(3)3.6,2.5-小结：比较幂的大小常用的方法五、回顾反思：六、课后作业。
导学P58 2.7.1幂函数补充1已知幂函数322--=m m x y (m ∈Z)的图象与x 轴，y 轴都无交点， （1）关于原点对称，求m 的值。
（2）关于y 轴对称，求m 的值。
2．作出下列函数图象并由图象研究函数的单调性23(1)y x = 32(2)y x = 3(3)y x -=。
-高中数学 2.3 幂函数教案 新人教A版必修1
2.3 幂函数教案【教学目标】【知识与技能】1. 理解幂函数的概念.2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用. 【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神。
【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律． 难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【教学策略】【教学顺序】复习引入 归纳定义 研究图象 归纳性质 应用性质. 【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学. 【教学过程】 创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题. （板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ） 思考：1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现几个解析式结构上的共同特征吗？2.根据我们学习的函数的概念，你能否判断它们能否构成函数？是我们学习过得哪类函数 ？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？(抽取这几个解析式的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数 。
2021年高中数学.3幂函数教案新人教A版必修1
2021年高中数学2.3幂函数教案新人教A版必修1[教学目标]：[知识与技能] 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．[过程与方法] 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．[情感、态度、价值观] 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．[教学重点]：[重点] 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．[难点] 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．幂函数性质的初步应用．教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．尝试练习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）；（2）．探究与发现1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和．规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．作业回馈1．在函数1,,2,1222=+===yxxyxyxy中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．3。
高中数学2.3幂函数教案新人教A版必修1
课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
人教A版数学必修一《幂函数》教案
河北省容城中学高中数学《幂函数》教案 新人教A 版必修1一．教学目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x =（4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像，填P 91探究中的表格3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x +∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P 92 习题 2.3 第2、3 题小结与复习一.教学目标 1.知识与技能（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. （2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点重点：指数函数与对数函数的性质。
高中数学2.3幂函数、函数图象变换讲义新人教A版必修1
2.3幂函数、函数图象变换一、幂函数 课型A例1．幂函数)(x f 的图象过点（4，2），则)81(f 等于_____________4例2．比较下列各组数的大小： （1） 253- > 251.3-（2）32)32(-- < 32)6(--π （3）878-- < 8791⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4） 521.4，328.3-，()539.1- 521.4>328.3->()539.1-例3． 当∈x （0，+∞）时，幂函数3222)1(--⋅--=m m x m m y 为减函数，求实数m 的值. 21121m m m m --===-或 32,m y x -∴== 1m =-(舍)例4． 若3131)23()1(---<+a a ，试求a 的取值范围. 1023320(,)32132a a a a a +>⎧⎪->∴∈⎨⎪=>-⎩或10320132a a a a a +<⎧⎪-<∴∈∅⎨⎪+>-⎩或10(,1)320a a a +<⎧∴∈-∞-⎨->⎩二、函数图象 课型A例1．试作出函数1y x x =+的图像； ∵1()f x x x=+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥，∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)，又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：二、图像的平移变换：1．水平平移 （左加右减）（1）函数()y f x a =+，（0a >）的图像由函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左平移a 个长度单位得到的；（2）函数()y f x a =-，（0a >）的图像由函数()y f x =的图像沿x 轴方向向右平移a 个长度单位得到的。
高中数学 2.3幂函数精品教案 新人教A版必修1
高中数学 2.3幂函数精品教案新人教A版必修1数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
设计意图：步步导入，吸引学新知：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.试试：判断下列函数哪些是幂函数. 探究任务二：幂函数的图象与性质 问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表： x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点（三）合作探究、精讲点拨。
例1讨论()f x x 在[0,)+∞的单调性.解析：证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性。
证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 因为21x x <，021>+x x ，所以02121<+-x x x x ，所以)()(21x f x f <，即()f x x =在[0,)+∞为增函数。
点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写，利用作商法比较大小时注意函数符号要一致。
变式训练1：讨论3()f x x =的单调性. （学生板演，小组讨论） 例2比较大小：（1） 1.5(1)a +与 1.5(0)a a >； （2）223(2)a -+与232-；（3）121.1-与120.9-.分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小。
变式训练2练习 1. 讨论函数23y x =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性.练习2. 比大小：（1）342.3与342.4； （2）650.31与650.35； （3）32(2)-与32(3)-(四)小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？幂函数的图象和形状就可能发生很大的变化。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像和几何特征；3. 学会运用幂函数解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；2. 利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力；2. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像和几何特征；3. 幂函数在实际问题中的应用。
难点：1. 幂函数的性质的推导和证明；2. 幂函数图像的分析和理解；3. 幂函数在实际问题中的灵活运用。
三、教学过程1. 导入：1.1 复习相关概念：函数、指数函数、对数函数；1.2 提问：幂函数在实际生活中有哪些应用？2. 知识讲解：2.1 引入幂函数的概念；2.2 讲解幂函数的性质；2.3 分析幂函数的图像和几何特征。
3. 案例分析：3.1 分析实际问题，引入幂函数；3.2 利用幂函数解决实际问题。
4. 课堂练习：4.1 练习幂函数的性质和图像分析；4.2 运用幂函数解决实际问题。
四、作业布置1. 复习幂函数的定义和性质；2. 分析幂函数的图像和几何特征；3. 运用幂函数解决实际问题。
五、教学反思本节课通过引入幂函数的概念，讲解幂函数的性质，分析幂函数的图像和几何特征，以及运用幂函数解决实际问题，旨在培养学生对幂函数的理解和应用能力。
在教学过程中，注意引导学生观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
在作业布置方面，注重巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。
在教学反思中，要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学，提高教学效果。
六、教学拓展1. 介绍幂函数在其他领域的应用，如物理学、化学、经济学等；2. 探讨幂函数与其他函数的关系，如指数函数、对数函数等；3. 引导学生进行课外阅读，了解幂函数的历史和发展。
高中数学23幂函数教案新人教A版必修1教案
高中数学23幂函数教案新人教A版必修1教案教学目标：1.知识与技能：掌握基本的幂函数的概念及性质，能够灵活运用幂函数的性质解决相关问题。
2.过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学建模能力。
教学重点：1.掌握幂函数的定义及性质。
2.能够用幂函数的性质解决相关问题。
教学难点：1.理解幂函数的定义及性质。
2.运用幂函数的性质解决实际问题。
教学过程：一、导入（15分钟）1.师生互动，引导学生回顾指数函数的知识，了解指数函数的特点和性质。
2.引入幂函数的概念，与指数函数进行比较说明幂函数的特点和指数函数的区别。
二、概念与性质讲解（30分钟）1.定义幂函数，给出幂函数的一般形式y=x^a，解释其中x为底数，a为指数。
2.介绍幂函数的图像特点，分析指数a的正负和大小对图像的影响。
3.阐述幂函数的性质：增减性、奇偶性、单调性、最值等。
三、例题解析（45分钟）1.给出几个幂函数的例题，详细解析如何根据函数的性质来解决问题。
2.强调灵活运用函数性质，化简、转化问题，引导学生分析问题的关键点和解题方法。
3.鼓励学生通过数学建模的方式解决一些实际问题。
四、练习与巩固（30分钟）1.分发练习题，让学生独立完成，回顾巩固课上所学内容。
2.对学生的答题情况进行点评和解析，帮助学生梳理知识点。
五、拓展与应用（20分钟）1.分组合作，给学生出一道幂函数的实际问题，要求学生用数学建模的方法解决。
2.学生展示解题过程及答案，互相学习和讨论，培养学生的创新和合作能力。
六、总结归纳（10分钟）1.让学生总结本节课的重点和难点，回答出关键的知识点。
2.引导学生对幂函数的概念和性质进行思考和总结。
板书设计：幂函数的定义及性质1.定义：幂函数y=x^a2.性质：-增减性：当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
-奇偶性：当a为奇数时，函数为奇函数；当a为偶数时，函数为偶函数。
-单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。
高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1教案
高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1教案教学目标：1.理解二次函数和幂函数的概念，能够区分它们的特点；2.掌握二次函数和幂函数的图像特征和性质；3.能够解决与二次函数和幂函数相关的实际问题；4.发展学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1.二次函数和幂函数的概念和特点；2.二次函数和幂函数的图像特征和性质；3.二次函数和幂函数的实际问题应用。
教学难点：1.二次函数和幂函数的图像特征和性质；2.二次函数和幂函数的实际问题应用。
教学准备：1.教材《新人教A版必修1》；2.教学PPT；3.小黑板和粉笔；4.教学实例。
教学过程：Step 1 引入新知识（15分钟）1.教师简要介绍二次函数和幂函数的概念，并与学生共同讨论它们的特点。
2.教师通过例题或问题引导学生思考，并找到答案。
Step 2 二次函数的图像特征和性质（35分钟）1.教师给出一些二次函数的图像，引导学生观察并总结二次函数的图像特征和性质。
2.教师通过公式展示二次函数的一般式和顶点式，并解释其含义。
3.教师指导学生练习绘制二次函数的图像，并分析其特点和性质。
Step 3 幂函数的图像特征和性质（35分钟）1.教师给出一些幂函数的图像，引导学生观察并总结幂函数的图像特征和性质。
2.教师通过公式展示幂函数的一般式和指数函数，并解释其含义。
3.教师指导学生练习绘制幂函数的图像，并分析其特点和性质。
Step 4 二次函数和幂函数的实际问题应用（35分钟）1.教师给出一些与二次函数和幂函数相关的实际问题，引导学生分析问题，并运用所学知识解决问题。
2.教师指导学生进行实际问题的讨论和解答，鼓励学生发表观点和提出解决方案。
Step 5 小结与拓展（20分钟）1.教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点和难点。
2.教师提供一些拓展问题，帮助学生拓展思路和应用所学知识解决更复杂的问题。
3.学生进行自主学习和思考，教师及时给予指导和帮助。
Step 6 课堂反馈（10分钟）1.教师布置课后作业，巩固所学知识。
高一(上) 数学必修1 人教A版 2.3幂函数教案
2.3幂函数一、 教学分析（一）教学内容分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
本节课对幂函数的研究，对于函数1-=x y ，x y =，2x y =的图象与性质，学生已经非常熟悉了，通过自主研究就可以完成；函数21x y =，3x y =是两个新函数，通过老师的点拨让学生合作完成对这两个函数图象与性质的研究。
本节内容计划用一课时完成。
（二）教学对象分析在此之前，学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象与性质的学习经历，对幂函数的学习有了较高的兴趣，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
（三）教学环境分析（1）利用PPT 课件、几何画板展示；（2）通过几何画板直观展示五个幂函数的图象，让学生主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维，充分体现信息技术与数学教学整合的必要性；（3）利用多媒体教学，学生可以自己控制和掌握学习主动权，发挥主体积极性，激发学生的学习兴趣，促进学生眼、耳、手、脑并用，同时学生在这种学习过程中，能不断产生成功的喜悦，增强学习数学的信心，从而真正让学生自然、和谐、健康、主动的学习。
二、教学目标分析1、 知识与技能：（1）通过实例，了解幂函数的概念，熟悉1,21,3,2,1-=α时的幂函数的图象与性质；（2）结合五个具体的函数的图象，了解它们图象的发展变化情况。
2、 过程与方法：（1）经历从具体情境中抽象出幂函数模型的过程；（2）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣；（3）通过比较知道幂函数与学过的一些函数的关系，进一步懂得学习函数的方法. 3、情感态度价值观：（1）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望； （2）通过幂函数的概念的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。
高中数学 2.3 幂函数1教案 新人教版必修1(2021年最新整理)
黑龙江省鸡西市高中数学2.3 幂函数1教案新人教版必修1
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黑龙江省鸡西市高中数学 2。
3 幂函数1教案新人教版必修1
数.
（二）画出画出
y=x ，
y=x 2
1,y=x 2
,y=x -1
,y=x 3
五个函数图象
1、学生通过列表、描点、连线画函数图象:
x … —3 -2 -1 0 y=x … -3
-2
-1
y=x 2
1 …
0 y=x 2
… 9 4 1 0 y=x 3 … -27
-8
—1 0
y=x —1
…
3
1 —2
1 —1
213
1
2、观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律,完成表格 函数 性
质 y=x
y=x 2
y
2
1定义域
引导,启发学生思考、探索、解决、提出的问。
【创新方案】高中数学 2.3 幂函数教案精讲 新人教A版必修1
2.3 幂函数[读教材·填要点]1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象和性质幂函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0，＋∞)增x ∈(－∞，0]减增增x ∈(0，＋∞)减x ∈(－∞,0) 减公共点(1,1)1．你认为幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量．2．观察五个幂函数图象，试分析：函数y ＝x α在第一象限内的增减性与α有关系吗？提示：当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数；当α<0时，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数的图象能过第四象限吗？为什么？提示：不会过第四象限．因为当x>0时，必有y>0，所以幂函数不会过第四象限．幂函数概念理解及应用[例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)解析式．[自主解答] 根据幂函数定义得：m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数不符合要求．故f(x)＝x3.将例1中“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，求f(x)解析式．解：由上述解答中可知当m＝－1时f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数．∴f(x)＝x－3.——————————————————幂函数y＝xαα∈R，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数也可以为0.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根.————————————————————————————————————————1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.幂函数图象及应用[例2] α已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，－14，14，4.相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为( )A ．－4，－14，14，4B ．4，14，－14，－4C ．－14，－4,4，14D ．4，14，－4，－14[自主解答] 由图象知C 1、C 2为增函数，因此其指数应为正，所以只能是B 或D 正确，又当x ＝116时，(116)－14＝(2－4)－14＝2，(116)－4＝(2－4)－4＝216，显然216>2，于是在x ＝116处y ＝x －4的图象应在y ＝x －14之上方，因此由图可见C 3应为y ＝x －14，C 4应为y ＝x －4.[答案] B ——————————————————1已知幂函数的图象特征或性质求解析式时，常用待定系数法.2对于幂函数y ＝x α的图象，在直线x ＝1的右侧，若图象越高，则α的值就越大.——————————————————————————————————————2．点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )． 解：设f (x )＝x α，g (x )＝x β， 则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知， ①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x ).幂函数性质及应用[例3] 比较下列各组数的大小： (1)352-与3.152-；(2)－878-与－(19)78；(3)(－23)23-与(－π6)23-；(4)4.125，3.823-，(－1.9)35-.[自主解答] (1)函数y ＝x 52-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1, 所以352->3.152-.(2)－878-＝－(18)78，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则(18)78>(19)78，从而－878-<－(19)78. (3)(－23)23-＝(23)23-，(－π6)23-＝(π6)23-，函数y ＝x 23-在(0，＋∞)上为减函数，又23>π6，所以(－23)－23<(－π6)23-.(4)(4.1)25>125＝1；0<3.823-<1－23＝1，而(－1.9) 35-－35<0，所以4.125>3.823->(－1.9)35-.——————————————————比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相错误!————————————————————————————————————————3．T 1＝(12)23，T 2＝(15)23，T 3＝(12)13则下列关系式正确的是( )A ．T 1<T 2<T 3B ．T 3<T 1<T 2C ．T 2<T 3<T 1D ．T 2<T 1<T 3解析：∵T 1、T 2指数相同，∴由幂函数性质得(12)23>(15)23，即T 1>T 2，而T 1、T 3底数相同．则由指数函数的性质得(12)23<(12)13，即T 1<T 3.答案：D解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！m ∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．[巧思] 由图象关于y 轴对称可知函数为偶函数，从而3m －9为偶数， 由在(0，＋∞)单调递减可知3m －9<0，由此可以先确定m 的值．[妙解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减， 所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，故有(a ＋1)13- <(3－2a ) 13-.因为y ＝x 13-在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围(－∞，－1)∪(23，32)．1．给出四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y ＝x n在第一象限为减函数，则n <0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①错误；②中如y ＝x －12的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确．答案：B2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x－2解析：∵A 、C 在(－∞，0)上为增函数；D 中y ＝x －2＝1x2在(－∞，0)也是增函数．答案：B3．函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f (x )＝x －3为减函数． 当m ＝－1时，f (x )＝x 0为常数函数． 答案：A4．已知幂函数f (x )图象过点(4,2)，则f (18)＝________.解析：设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵过点(4,2)，∴2＝4α.∴α＝12.f (x )＝x 12，∴f (18)＝(18)12＝24.答案：245．已知n ＝{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－13)n，则n ＝________.解析：∵－12<－13<0且(－12)n >(－13)n，∴n ＝－1或n ＝2都可以． 答案：－1,26．若幂函数y ＝(m 2＋3m －17)·x 4m －m 2的图象不过原点，则求m的值．解：由m 2＋3m －17＝1得m 2＋3m －18＝0，所以m ＝3或m ＝－6，当m ＝3时，函数为y ＝x 3， 其图象过原点，不合题意，舍去； 当m ＝－6时，函数为y ＝x －60，其图象不过原点，符合题意，所以m ＝－6.一、选择题1．函数y ＝x 13的图象是( )解析：显然代数表达式“－ƒ(x )＝ƒ(－x )”，说明函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .答案：B2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：A 中定义域值域都是R ；B 中定义域值域都是(0，＋∞)；C 中定义域值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：D3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：当α＝－1时，y ＝x －1＝1x，定义域不是R ；当α＝1,3时，满足题意；当α＝12时，定义域为[0，＋∞)．答案：A4．若(a ＋1)12- <(3－2a ) 12-，则a 的取值范围是( ) A ．(12，23)B ．(23，32)C ．(23，2)D ．(32，＋∞)解析：令f (x )＝x 12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32. 答案：B 二、填空题5．函数y ＝x 12与函数y ＝x －1的图象交点坐标为________．解析：y ＝x 12与y ＝x －1＝1x有交点，则x 12＝x －1，x ＝1，则y ＝1.答案：(1,1)6．①α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)；②幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数；③幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小，以上命题中，正确的有________．解析：①中y ＝x 0＝1，不过(0,0)；②中当α＝0时，y ＝x 0＝1不是增函数；③正确．答案：③7．0.1612-、0.2514-、6.2514从大到小依次是________． 解析：∵0.2514-＝0.512-<0.1612-，0．2514-＝414<6.2514，6．2514-＝2.512＝0.412-<0.1612-. 答案：0.2514-<6.2514<0.1612- 8．函数f (x )＝(x －2) 12＋lg(4－x )的定义域为________．解析：使f (x )有意义的式子为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，4－x >0，∴2≤x <4.答案：{x |2≤x <4}三、解答题9．已知幂函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x 95a (a ∈Z )是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，试求实数a 的值．解：由幂函数的定义可知，a 2－a ＋1＝1，即a 2－a ＝0，∴a ＝0或a ＝1.则f (x )＝x 95或f (x )＝x 2.若f (x )＝x 95，定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称， f (－x )＝(－x ) 95＝－x 95＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，不符合题意．若f (x )＝x 2，则f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意， ∴实数a 的值为1.10．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)，问(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？(3)a 为何值时此函数为反比例函数？解：(1)由题意得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，∴a ＝3±52. (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0，∴a ＝4.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a ＋5＝－1，a 2－3a ＋2≠0，∴a ＝3.。
高中数学 23 幂函数公开课教案 新人教A版必修1 教案
某某省某某梁才学校高中数学 2.3 幂函数公开课教案 新人教A 版必修1【教学目标】知识与技能：理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；掌握幂函数的性质与图像并能简单应用。
过程与方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合的数学思想。
情感态度与价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生积极探究的学习品质。
【教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像。
【教学难点】幂函数性质与图像特征的归纳，体会图象的变化规律．【教学过程】一、复习引入1.我们前面学过哪些基本初等函数，说出并写出解析式：（正比例函数；反比例函数；一次函数；二次函数；常数函数；指数函数；对数函数）2．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的函数有不同的作用和性质。
阅读教材P 77的具体实例（1）~（5），思考下列问题：（1）这五个函数是指数函数吗？（2）这五个函数又具有什么共同特征？① 指数 是常数 ；② 底数 是变量；③ 系数是 1；④ 都是 （幂）的形式若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是y=a x 的形式。
二． 幂函数定义一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 例1判断下列函数是否为幂函数？（1）y=x 3.0 （2）y=21_x （3）y=3x +1 (4) y=23x (5) 0x y = 思考：1.你能说出幂函数与指数函数的联系和区别吗?（1）在幂的形式中，随自变量的对象不同而得到了不同的函数。
（2）判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点：看自变量x 是指数还是底数2. 函数0x y =与1=y 相同吗？幂函数要注意其定义域，它是随着a 值的变化而变化。
例2 已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是正比例函数；（3）是幂函数，且是偶函数；（4）是幂函数，且在()0,+∞上是减函数；析：运用定义得（1）2m =或1m =-（2）45m =-（3）1m =- （4）2m = 练习：（79页教材习题）已知幂函数()x f y =的图象经过点（2，2），求出这个函数的解析式。
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2.3 幂函数
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1
，y =x 2
1的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法
（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观
（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质.
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.
利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程
然后再在多面体屏幕上弹出）.师板演．
几个函数表达式有什么共同特征？
（引入新课，书写课题）
师：请同学们举出几个具体的
.
.
研究幂函数的图像
x
-1
律，
；
.
找出原因吗？）
原因吗？）
.
.
幂函数f （x ）=ax m
m
82
（m ∈Z ）的
x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .
幂函数的概念以及它和指数函数表
备选例题
例1 已知2
21
(22)23m
y m m x n -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.
【解析】由题意得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，
解得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=233
n m ， 所以23,3=-=n m .
【小结】做本题时，常常忽视m 2
+ 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.
表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如22
1-==
x x y ，y = 1 = x 0
为幂函数，而如y = 2x 2
，y = (x – 1)3
等都不是幂函数.
例2 比例下列各组数的大小. （1）87
8
7
)9
1
(8
---和；
（2）(–2)–3
和(–2.5)–3
； （3）(1.1)
–0.1
和(1.2)
–0.1
；
（4）53
3
2
52)9.1()8.3(,)1.4(--
和.
【解析】（1）878
7)8
1
(8
-=--
，函数87
x y =在
(0, +∞)上为增函数，又9
1
81>，则87
87
)91()81(>，
从而87
8
7
)9
1
(8
-<--
.
（2）幂函数y = x –3
在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3
＜(–2.5)–3
. （3）幂函数y = x
–0.1
在(0, +∞)上为减函数，
用心 爱心 专心 11 又∵1.1＜1.2，∴1.1
–0.1＞1.2–0.1. （4）5
2
)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1； 53
)9.1(-＜0， ∴53
)9.1(-＜32
)8.3(-＜52)1.4(.
【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。