用公式法求解一元二次方程
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例2:对于判别式的计算,学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2,再减去4ac,或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解:学生对公式法的推导过程可能感到难以理解,特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用:学生在计算判别式时可能会出现错误,以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围:学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程,以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面:
1.公式法求解一元二次方程的基本概念:介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0,以及求解该方程的公式:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节,学生们积极参与,但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时,要更加明确主题,确保讨论的方向和深度。同时,我也发现有些学生在操作实验时,对公式的运用还不够熟练,这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时,我尽量以引导者的身份参与,鼓励学生们发表自己的观点,这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现,部分学生在分享成果时表达不够清晰,这提醒我在今后的教学中,要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中,我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣,但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候,通过日常生活中的问题引导学生思考,他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节,我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入,需要通过更多的例子来加强他们的理解。
用公式法求解一元二次方程
实例二
总结词
此实例展示了如何使用公式法求解一元二次方程的特殊形式。
详细描述
当一元二次方程为$x^{2} + bx + c = 0$时,若$b^{2} - 4ac = 0$,则两个解相等。在这种情况下, 可以使用因式分解法求解,将方程化为$(x + b/2)^{2} = 0$的形式,解得$x = - b/2$。
用公式法求解一元二次方程
xx年xx月xx日
目 录
• 一元二次方程的概述 • 公式法求解一元二次方程的原理 • 公式法求解一元二次方程的步骤 • 公式法求解一元二次方程的实例 • 公式法的扩展的概述
一元二次方程的定义
定义
ax²+bx+c=0,其中a、b、c为实数,且a≠0
详细描述
当一元二次方程为$ax^{2} + bx + c = 0$时,使用求 根公式求解。首先,需要计算判别式$b^{2} - 4ac$, 然后确定方程的解。如果$b^{2} - 4ac > 0$,则有两 个不相等的实数解;如果$b^{2} - 4ac = 0$,则有两 个相等的实数解;如果$b^{2} - 4ac < 0$,则没有实 数解。
06
总结与回顾
公式法求解一元二次方程的优势
01
普遍适用
02
直接求解
公式法适用于所有一元二次方程的求 解,具有普遍性。
公式法可以直接求解方程的根,不需 要额外的技巧和步骤。
03
简单易懂
公式法原理简单,易于理解和掌握, 对初学者较为友好。
公式法求解一元二次方程的不足之处
计算量大
使用公式法求解一元二次方程时 ,需要进行大量的计算和化简, 过程较为繁琐。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法(公式法3种题型)1.了解求根公式的推导过程.(难点)2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点)3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠),可用配方法进行求解:得:2224()24b b acx a a −+=.对上面这个方程进行讨论:因为0a ≠,所以240a >①当240b ac −≥时,22404b aca−≥利用开平方法,得:x += 即:x = ②当240b ac −<时,22404b ac a −< 这时,在实数范围内,x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等,所以原方程没有实数根.二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠),当240b ac −≥时,有两个实数根:1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的求根公式. 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=(0a ≠); ②确定a 、b 、c 的值;③求出24b ac −的值(或代数式);④若240b ac −≥,则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式,求出1x 、2x ;若240b ac −<,则方程无解.四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式:我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,通常用符号“∆”表示,记作2=4b ac ∆−.2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠, 当2=40b ac ∆−>时,方程有两个不相等的实数根; 当2=40b ac ∆−=时,方程有两个相等的实数根;当2=40b ac ∆−<时,方程没有实数根.五、根的判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况; (2)根据参数系数的性质确定根的范围; (3)解与根有关的证明题.题型1根的判别式例1.选择:(1) 下列关于x 的一元二次方程中,有两个不.相等的实数根的方程是( )(A )012=+x(B )0122=++x x (C )0322=++x x(D )0322=−+x x(2) 不解方程,判别方程25750x x −+=的根的情况是()(A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )只有一个实数根(D )没有实数根(3)方程2510x x −−=的根的情况是()(A )有两个相等实根 (B )有两个不等实根 (C )没有实根(D )无法确定(4) 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为()(A )有两个不相等的实数根 (B )有两个相等的实数根 (C )只有一个实数根(D )没有实数根【答案】(1)D ;(2)D ;(3)B ;(4)A .【答案】【答案】【解析】(1)A :1a =,0b =,1c =,2440b ac ∆=−=−<,方程无实根;B :1a =,2b =,1c =,240b ac ∆=−=,方程有两个相等实根; C :1a =,2b =,3c =,2480b ac ∆=−=−<,方程无实根;D :1a =,2b =,3c =−,24160b ac ∆=−=>,方程有两不等实根实根,故选D ;(2)5a =,7b =−,5c =,24510b ac ∆=−=−<,方程无实根,故选D ; (3)1a =,5b =−,1c =−,24290b ac ∆=−=>,方程有两不等实根,故选B ; (4)1a =,3b =,1c =−,24130b ac ∆=−=>,方程有两个相等实根,故选A .【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况,先列出方程中的a 、b 、c ,再代值计算∆,根据∆与0的大小关系确定方程根的情况,注意a 、c 异号时则必有两不等实根. 例2.不解方程,判别下列方程的根的情况: (1)24530x x −−=; (2)22430x x ++=;(3)223x +=;(4)22340x x +−=.【答案】(1)方程有两不等实根;(2)方程无实数根;(3)方程有两相等实根; (4)方程有两不等实根.【答案】【答案】【解析】(1)4a =,5b =−,3c =−,24730b ac ∆=−=>,方程有两不等实根;2a =,4b =,3c =,2480b ac ∆=−=−<,方程无实数根;2a =,b =−3c =,240b ac ∆=−=,方程有两相等实根;(4)2a =,3b =,4c =−,24410b ac ∆=−=>,方程有两不等实根.【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况,先将方程整理成一般形式,列出方程中的a 、b 、c ,再代值计算∆,根据∆与0的大小关系确定方程根的情况,注意a 、c 异号时则必有两不等实根.题型2用公式法解一元二次方程例3.(2022秋·江苏苏州·九年级校考期中)用公式法解方程:22720x x −+=.【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解.【详解】解:22720x x −+=,∴2,7,2a b c ==−=,244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=,∴x ==,解得:12x x ==.【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程,掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键. 例4.用公式法解下列方程:(1)2320x x +−=;(2)25610x x −++=.【答案】(1)12x x ==;(2)12x x =.【解析】(1)132a b c ===−,,1742=−ac b ,则2173±−=x ,∴12x x ==;(2)561a b c =−==,,,则5642=−ac b ,则101426−±−=x ,∴123355x x −==,.【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用.例5.用公式法解下列方程:(1)291x +=;(220+−=.【答案】(1)12x x ==;(2)12x x ==【解析】(1)1,66,9=−==c b a ,则18042=−ac b ,则185666±=x ,∴原方程的解为:12x x ==;22,34,2−===c b a ,则6442=−ac b ,则22834±−=x ,∴原方程的解为:12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.题型3根的判别式的应用例6.(2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中)关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根不小于7,求k 的取值范围. 【答案】(1)见解析. (2)5k ≤−.【分析】(1)计算根的判别式的值,利用配方法得到()25k ∆=−,根据非负数的性质得到0∆≥,然后根据判别式的意义得到结论; (2)利用求根公式得到13x =−,22kx =−.根据题意得到27k −≥,即可求得k 的取值范围.【详解】(1)解:()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥,∴方程总有实数根; (2)解:∵()250k ∆=−≥,∴()()152k k x −+±−=,解方程得:13x =−,22kx =−,由于方程有一个根不小于7, ∴27k −≥, 解得:5k ≤−.【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义,在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键.例7.(2023·江苏苏州·统考一模)已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=. (1)若该方程有一个根是2x =,求m 的值;(2)求证:无论m 取什么值,该方程总有两个实数根. 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】(1)直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程,解方程即可得到答案; (2)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】(1)解:∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =,∴224210m m −+−=,∴32m =;(2)证明:由题意得,()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥,∴无论m 取什么值,该方程总有两个实数根.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根;一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值.例8.(2023秋·江苏扬州·九年级校考期末)关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于2,求k 的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】(1)计算一元二次方程根的判别式,根据根的判别式进行判断即可得证;(2)根据公式法求得方程的解,得出122,1==+x x k ,根据题意列出不等式,解不等式即可求解. 【详解】(1)证明:关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=,∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥,∴此方程总有两个实数根; (2)∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ,∵方程有一个根小于2, ∴12k +<, 解得1k <.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.一、单选题1.(2023·江苏徐州·统考一模)关于一元二次方程2430x x ++=根的情况,下列说法中正确的是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根 D .无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得.【详解】解:2430x x ++=其中1a =,4b =,3c =,∴2Δ441340=−⨯⨯=>,∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键. 2.(2023·江苏徐州·校考一模)关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根,则k 的值可以是( ) A .4 B .5 C .6 D .7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根,∴()2440k ∆=−−≥,∴4k ≤,∴四个选项中只有A 选项符合题意, 故选A .【点睛】本题主要考查次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.3.(2023秋·江苏盐城·九年级统考期末)若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根,则k 的值可以是( ) A .5− B .4− C .3− D .2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根,∴()2440k ∆=−+<,∴4k <−,∴四个选项中,只有A 选项符合题意, 故A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.4.(2023春·江苏盐城·九年级统考期末)若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根,则k 的值可以是( ) A .2 B .1 C .0 D .1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根,∴()2240k ∆=−−<,∴1k >,∴四个选项中,只有选项A 符合题意, 故选A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.5.(2023秋·江苏·九年级统考期末)若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根,则k 的取值范围为( ) A .0k > B .4k > C .0k < D .4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根,∴()2416440b ac k ∆=−=−−<,解得:0k <故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠,,,为常数)的根的判别式24b ac ∆=−,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当0∆>时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程没有实数根. 二、填空题6.(2023·江苏常州·校考一模)若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根,则实数k 的取值范围是______. 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算,即可得到答案.【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根, ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩,即1k ≥且2k ≠. 故答案为:1k ≥且2k ≠.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质,从而完成求解.7.(2023·江苏常州·统考一模)若关于x 的方程20x x m −+=(m 为常数)有两个相等的实数根,则m =______.【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=,求出m 的值即可.【详解】解:关于x 的方程20(x x m m −+=为常数)有两个相等的实数根,∴△2(1)40m =−−=,解得14m =.故答案为:14.【点睛】本题考查的是根的判别式,孰知当△0=时,一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键.8.(2023·江苏盐城·校考二模)已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1,则a 的值为________.【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=,解方程即可得到a 的值.【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1,∴将1x =代入方程240x ax ++=,得140a ++=,解得:5a =−, 故答案为:5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解,理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键.9.(2023·江苏宿迁·模拟预测)关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根,则m 的取值范围是______. 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时,当10m −≠,即1m ≠时,两种情况讨论求解即可. 【详解】解:当10m −=时,即1m =时,原方程即为210x −+=,解得12x =,符合题意;当10m −≠,即1m ≠时,∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥,解得2m ≤且1m ≠; 综上所述,2m ≤, 故答案为:2m ≤.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.10.(2023·江苏·模拟预测)请填写一个常数,使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根.【答案】7(答案不唯一)【分析】设这个常数为a ,根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案. 【详解】解:设这个常数为a ,∴方程250x x a −+=没有实数根,∴()2540a ∆=−−<,∴254a >,∴7a =满足题意,故答案为:7(答案不唯一).【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.11.(2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末)请填写一个常数,使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根. 【答案】1(答案不唯一)【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>,即可得出关于c 的不等式,求解即可得出答案.【详解】解:1a =,4b =−,设常数为c ,()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为:1(答案不唯一).【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当0∆>时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键. 三、解答题12.(2022秋·江苏淮安·九年级统考期末)求证:关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根. 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯,再判断出的符号,即可得出结论. 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−,m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−:当0∆>,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=,方程有两个相等的实数根;当Δ0<,方程没有实数根. 13.(2023·江苏盐城·校考一模)已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=. (1)求证:方程总有两个实数根;(2)若该方程有一实数根大于4,求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可;(2)利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−,,再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可.【详解】(1)解:∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=,∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥,∴方程总有两个实数根;(2)解:∵210x ax a −+−=,∴()()110x x a −+−=,∴10x −=或10x a +−=, 解得1211x x a ==−,,∵该方程有一实数根大于4, ∴14a −>, ∴5a >.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,灵活运用所学知识是解题的关键. 14.(2023秋·江苏南通·九年级统考期末)关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根.(1)求m 的取值范围;(2)当m 取最小整数时,求x 的值. 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =,21x =【分析】(1)由0∆>得到关于m 的不等式,解之得到m 的范围,根据一元二次方程的定义求得答案; (2)由(1)知1m =−,还原方程,利用因式分解法求解可得.【详解】(1)解:由题意得:2(23)4(1)0m m m +−+>, 解得:98m >−且0m ≠;(2)由(1)知,m 最小整数为1−,此时方程为:20x x −+=,解得:10x =,21x =.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式,解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系.【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】(1)根据根的判别式符号进行求解;(2)根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案. 【详解】(1)由题意得:()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根, 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−(2)当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式.一、单选题1.(2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习)一元二次方程2440x x +−=的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根 B .有两个不相等的实数根 C .没有实数根 D .无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】解:由题意得,()24414320∆=−⨯⨯−=>,∴原方程有两个不相等的实数根, 故选B .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.2.(2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习)关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .可能有实数根,也可能没有 C .有两个相等的实数根 D .没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=,∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>,∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根,故答案为:A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.3.(2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习)若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根,则k 的取值范围是( ) A .0k > B .0k ≥ C .0k < D .0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根,可知240b ac −≥,求出解即可.【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根,∴240b ac −≥,即224[(1)]0k −−−≥, 解得0k ≥. 故选:B .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键.即当240b ac −>时,一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根;当240b ac −=时,一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根;当240b ac −<时,一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根.5.(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ) A .1k >−B .1k <C .1k >−且0k ≠D .1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义,以及一元二次方程根的判别式得出不等式组,解不等式组即可求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根,∴0k ≠且0∆>,即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>, 解得1k >−且0k ≠. 故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠,,,为常数)的根的判别式24b ac ∆=−,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当0∆>时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程没有实数根. 二、填空题5.(2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习)请填写一个常数,使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根. 【答案】1【分析】设这个常数为a ,利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程,解方程即可得到答案. 【详解】解:设这个常数为a , ∵要使原方程有两个相等的实数根, ∴()2=240a ∆−−=,∴1a =,∴满足题意的常数可以为1, 故答案为:1.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系:当0∆>时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程无实数根.6.(2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习)方程220x x m −+=没有实数根,则m 的取值范围是______. 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<,代入即可得出答案.【详解】方程220x x m −+=没有实数根,4410m ∴∆=−⨯⨯<, 1m ∴>,故答案为:1m >.【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根,熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键.三、解答题7.(2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=. (1)若该方程的一个根为2−,求a 的值及该方程的另一根; (2)求证:无论a 取何实数,该方程都有实数根. 【答案】(1)3a =,该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】(1)先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值,再利用因式分解法解方程即可;(2)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】(1)解:∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−,∴4210a a −+−=, ∴3a =,∴原方程即为2320x x ++=,∴()()120x x ++=,解得=1x −或2x =−, ∴方程的另一个根为1−;(2)解:∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=,∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥,∴无论a 取何实数,该方程都有实数根.【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义,解一元二次方程,一元二次方程判别式,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠,若240b ac ∆=−>,则方程有两个不相等的实数根,若240b ac ∆=−=,则方程有两个相等的实数根,若24<0b ac ∆=−,则方程没有实数根.8.(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根. (1)求m 的取值范围;(2)若m 为正整数,求出此时方程的根. 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =,23x =【分析】(1)由二次项系数非零及根的判别式0∆≥,可得出关于m 的一元一次不等式组,解之即可得出m 的取值范围;(2)由(1)的结论,结合m 为正整数,可得出m 的值,再其代入原方程,解之即可得出结论.【详解】(1)解:∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根,∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩, 解得:43m ≤且0m ≠,∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠;(2)∵43m ≤且0m ≠,且m 为正整数, ∴1m =,∴原方程为2430x x −+=,即()()310x x −−=, 解得:11x =,23x =.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是:(1)利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥,找出关于m 的一元一次不等式组;(2)代入m 的值,求出方程的解.9.(2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习)已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=(m 为常数,且0m ≠)(1)求证:方程总有实数根; (2)若该方程有两个实数根;①不论m 取何实数,该方程总有一个不变的实数根为______; ②若m 为整数,且方程的两个实数根都是整数,求m 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−;②1m =±或2m =±【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式求解即可;(2)①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案;②根据①所求两实数根,结合m 为整数,且方程的两个实数根都是整数进行求解即可. 【详解】(1)解:由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>,∴方程总有实数根; (2)解:①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根,∴2422m x m −±==, ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−,,∴不论m 取何实数,该方程总有一个不变的实数根为2−, 故答案为:2−;②由①得,方程的两个实数根为12222mx x m −==−,,∵m 为整数,且方程的两个实数根都是整数, ∴2222m m m −=−为整数,∴1m =±或2m =±.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,公式法解一元二次方程,熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键.10.(2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习)已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=. (1)证明:不论m 为何值时,方程总有实数根; (2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根. 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】(1)求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出m 的值.【详解】(1)(1)证明:①1m =−时,该方程为一元一次方程220x −+=,有实数根1x =;②1m ≠−时,该方程为一元二次方程,2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−,不论m 为何值时,2(1)0m −…, ∴0∆…, ∴方程总有实数根;综上,不论m 为何值时,方程总有实数根.(2)解:解方程得,(3)(1)2(1)m m x m +±−=+, 11x =,221x m =+,方程有两个不相等的正整数根,m 为整数,0m ∴=.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:0∆>⇔方程有两个不相等的实数根;0∆=⇔方程有两个相等的实数根;0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键.【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后,再求出x 的值,代入求值即可.【详解】解:221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=,∴21x x −=,∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−, 对于210x x −−=来说,1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=,∴x =,∴12x x ==,∴当x =时,原式12x =−,当x =时,原式12x =−=.【点睛】此题考查了分式的化简求值,解一元二次方程等知识,熟练掌握运算法则是解题的关键. 12.(2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习)解下列方程:2231x x +=【答案】x x ==12,【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式,然后用公式法求解即可;【详解】解:原方程可化为:22310x x +−=a b c ===−231 , ,()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12,【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键. 13.(2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习)已知关于x 的方程220x mx m +−=−.(1)当该方程的一个根为1−时,求m 的值及该方程的另一根;(2)求证:不论m 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.【答案】(1)1=2m ,方程的另一根为32(2)见解析【分析】(1)把1x =−代入原方程求得m 的值,进一步求得方程的另一个根即可;(2)计算出根的判别式,进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可.【详解】(1)解:把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ,把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为:1=2m ,方程的另一根为32;(2)证明:∵方程220x mx m +−=−,∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质,对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−:当0∆>,方程有两个不相等的实数根;当0∆=,方程有两个相等的实数根;当0∆<,方程没有实数根;熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键. 14.(2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习)用指定方法解下列一元二次方程:(1)2820x x −−=(配方法)(2)2320x x ++=(公式法)【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−,22x =−【分析】(1)将常数项移至方程的右边,然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后,再开方,即可得出结果;(2)利用公式法计算即可.【详解】(1)解:2820x x −−=移项,得:282x x −=,配方,得:2228424x x −+=+,即()2418x −=,由此可得:4x −=±14x =+24x =−(2)解:2320x x ++=1a =,3b =,2c =,224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>,方程有两个不等的实数根,3131212x −±−±===⨯,即11x =−,22x =−.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程.解一元二次方程的基本思路是:将二次方程转化为一次方程,即降次.。
解一元二次方程的方法公式法
解一元二次方程的方法公式法要解一元二次方程,我们可以使用求根公式法,也叫做二次公式法。
该方法利用了二次方程的性质,通过求解方程中的系数来求得方程的根。
一元二次方程可以表示为:ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c是已知系数,x是未知数。
我们首先来推导二次公式的具体形式。
设方程的两个根分别为x1和x2,那么根据二次方程的性质,我们有以下两个关系式:x1+x2=-b/a,(1)x1*x2=c/a。
(2)我们要将x1和x2表示为a、b、c的函数,可以将(1)式两边同时乘以x2,将(2)式两边同时除以x2,得到:x2*(x1+x2)=-b/a*x2,(3)x1*x2/x2=c/a。
(4)根据(4)式,我们得到了一个等式x1=c/a,接下来我们将(1)式和(3)式代入求得的x1中,可以得到:x2*(x1+x2)=-b/a*x2化简得到:x2^2+(x1*x2)=-b/a*x2由于x1*x2=c/a,我们可以写成:x2^2+c/a=-b/a*x2移项得到:x2^2+(b/a)*x2+c/a=0然后将方程两边同时乘以a,得到:a*x2^2+b*x2+c=0。
经过推导,我们得到了一个等价的二次方程a*x2^2+b*x2+c=0,其中x2是方程的根。
类似的,我们可以得到一个与x1有关的等价的二次方程。
综上所述,我们可以得到一元二次方程求根的公式:x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这个公式就叫做一元二次方程的求根公式或二次公式。
我们只需将方程的系数a、b、c代入公式中,就能求得方程的根。
需要注意的是,当方程无实根时,也就是判别式(b^2 - 4ac)小于零时,公式中的√(b^2 - 4ac)将导致虚数根的出现。
下面我们通过几个例子来演示一元二次方程的求根过程。
例1:解方程x^2-4x+3=0。
根据二次公式x1=(-(-4)+√((-4)^2-4*1*3))/(2*1)=(4+√(16-12))/2=(4+2)/2=3x2=(-(-4)-√((-4)^2-4*1*3))/(2*1)=(4-√(16-12))/2=(4-2)/2=1所以方程的根是x1=3和x2=1例2:解方程2x^2+5x-3=0。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法:设一元二次方程为ax^2+bx+c=0,其中a、b、c为已知常数,且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式,则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2,即方程的根为这两个值。
例如,对于方程x^2+5x+6=0,可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0,因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法:求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0,其中a、b、c为已知常数,且a≠0。
根据求根公式,方程的根可以表示为:x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如,对于方程x^2+5x+6=0,根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1},计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法:配方法适用于一元二次方程中b较大的情况,通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下:1. 将一元二次方程写成标准形式:ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项,将方程分成两部分,将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方,使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减,消去中间项,得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式,其中d为常数,n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如,对于方程x^2+7x+12=0,可以通过配方法进行解答:1.将方程写成标准形式,即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分,即a为x^2的系数1,b为x的系数7,c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加,得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
用公式法解一元二次方程的一般步骤
用公式法解一元二次方程的一般步骤
根据因式分解与整式乘法的关系,把各项系数直接带入求根公式,可避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式法步骤
把方程化成一般形式ax²+bx+c=0,求出判别式△=b²-4ac的值;
当Δ>0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ<0时,方程无实数根,但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,),等式两边都除以a,得x2+bx/a+c/a=0。
(2)移项得x2+bx/a=-c/a,方程两边都加上一次项系数b/a的
一半的平方,即方程两边都加上b2/4a2。
(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2-c/a,即(x+b/2a)2=(b2-
4ac)/4a。
(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号),最终可得
x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
一元二次方程配方法步骤
(1)把原方程化为一般形式;
(2)方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是非负数,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。
1元二次方程公式法
1元二次方程公式法一元二次方程公式法是求解一元二次方程的一种方法,它是通过对方程中的系数和常数项进行代入求解的算法。
本文将详细介绍一元二次方程公式法的原理和步骤,并结合示例进行说明。
一元二次方程的一般形式为:ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c为已知系数,且a ≠ 0。
一元二次方程公式法的基本思想是通过代入法,将方程转化为一个简单的形式,从而求得方程的解。
步骤如下:步骤1:将一元二次方程进行整理。
将方程的系数和常数项代入方程的一般形式中,得到ax^2 + bx + c = 0。
步骤2:计算方程的判别式。
方程的判别式D = b^2 - 4ac,判断方程的解的类型:-当D>0时,方程有两个不等实数解;-当D=0时,方程有两个相等实数解;-当D<0时,方程无实数解。
步骤3:根据判别式的结果计算方程的解。
-当D>0时,方程有两个不等实数解。
解的公式为x1=(-b+√D)/(2a),x2=(-b-√D)/(2a)。
-当D=0时,方程有两个相等实数解。
解的公式为x1=x2=-b/(2a)。
-当D<0时,方程无实数解。
步骤4:得到方程的解。
根据步骤3的计算结果,得到方程的解。
以下通过示例来说明一元二次方程公式法的具体步骤:例1:求解方程2x^2-3x-2=0。
步骤1:整理方程。
根据方程的一般形式,可得出a=2,b=-3,c=-2步骤2:计算判别式。
判别式D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25步骤3:计算解。
由于D>0,方程有两个不等实数解。
解的公式为x1=(-(-3)+√25)/(2*2)=(3+5)/4=8/4=2x2=(-(-3)-√25)/(2*2)=(3-5)/4=-2/4=-0.5步骤4:得到解。
方程2x^2-3x-2=0的解为x1=2,x2=-0.5通过这个例子,我们可以看出一元二次方程公式法的实际应用。
通过代入法,将方程化简为简单的形式,然后根据判别式的值计算解。
一元二次方程解法的公式
一元二次方程解法的公式一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程,其中a、b、c为已知数,x为未知数。
解一元二次方程的方法有很多种,其中最常用的方法是使用公式法。
公式法是指通过求解一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
这个公式叫做“二次方程求根公式”,也叫做“根公式”。
二次方程求根公式是这样的:x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a其中,±表示两个解,√表示开方,b²-4ac叫做判别式。
这个公式的意义是,对于任意一个一元二次方程ax²+bx+c=0,我们可以通过这个公式求出它的两个解x1和x2。
具体来说,我们需要先计算出判别式的值,如果判别式大于0,则方程有两个不相等的实数根;如果判别式等于0,则方程有一个实数根;如果判别式小于0,则方程没有实数根,但有两个共轭复数根。
接下来,我们可以根据公式计算出方程的两个解。
需要注意的是,如果判别式小于0,则需要使用复数的运算方法来计算解。
例如,对于方程2x²+3x-5=0,我们可以先计算出判别式的值:b²-4ac = 3²-4×2×(-5) = 49因为判别式大于0,所以方程有两个不相等的实数根。
接下来,我们可以使用公式计算出方程的两个解:x1 = (-3 + √49) / 4 = 0.5x2 = (-3 - √49) / 4 = -2因此,方程2x²+3x-5=0的两个解分别为0.5和-2。
二次方程求根公式是解一元二次方程的重要工具之一。
通过这个公式,我们可以快速、准确地求解一元二次方程的根,从而解决各种实际问题。
用公式法求解一元二次方程
CHAPTER 03
使用公式法求解一元二次方 程
求解方程的步骤
1. 写出方程的标准形式
首先,我们要确保方程是一元二次方程的标准形式,即 $ax^2+bx+c=0$。
2. 计算判别式
判别式$\Delta=b^2-4ac$,它可以帮助我们确定方程的 根的类型。
3. 代入求根公式
如果判别式$\Delta\geq0$,则方程有实数根,可以代入 求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解;如果 $\Delta<0$,则方程有复数根。
实例解析二:利用公式法解决实际问题
01
02
03
04
05
问题描述:一个自由落 体运动,物体从高度 $h$ 处自由落下,求物 体落地所需时间 $t$。
• 分析:自由落体运动 的位移公式为 $s = \frac{1} 通过公式变换,可得 一元二次方程 $\frac{1}{2}gt^2 - h = 0$。
二次方程的理解和掌握。
学习其他求解一元二次方程的方 法,如因式分解法、配方法等,
提高解题的灵活性和多样性。
在学习的过程中,注重理论与实 践相结合,多做练习和实际应用 ,提高数学素养和解决问题的能
力。
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通用性
公式法可以用于求解所有形式的 一元二次方程,不像配方法或因 式分解法那样依赖于方程的特定
形式。
精确性
只要计算准确,公式法可以给出精 确解,而不会产生近似误差。
系统性
公式法是一种系统性的解题方法, 无需过多的思考和试探,只需按照 公式步骤进行计算即可。
公式法的缺点
计算复杂性
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
1.理论介绍:首先,我们要了解一元二次方程的公式法求解。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程,它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用。公式法求解是通过判别式来判断方程的根的情况,并利用特定公式来求解。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。假设有一个物体自由落下,不计空气阻力,我们如何根据下落时间和重力加速度来计算落地时的速度?通过公式v^2 = 2gh,我们可以将这个问题转化为一元二次方程的求解。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考,如“一元二次方程在工程学中如何应用?”
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
一、教学内容
本节选自教材第二章第三节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下三个方面:
1.一元二次方程的一般形式:ax^2 + bx + c = 0(a, b, c是常数且a ≠ 0)。
2.求解一元二次方程的公式:x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。
4.通过小组合作与交流,培养学生的团队协作能力和表达沟通能力,增强合作意识与集体荣誉感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容:一元二次方程的公式法求解过程及其应用。
-公式法求解一元二次方程的一般步骤,包括确定a、b、c的值,计算判别式b^2 - 4ac,根据判别式的值选择合适的求解方法。
-应用公式法解决实际问题,如物体自由落体运动、投资收益计算等。
一元二次解方程的公式法
一元二次解方程的公式法一、引入对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),我们尝试采用配方法求解:二、公式法及其两个用途通过上面解一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0(a≠0),当b²-4ac≥0时,方程有解,那么解出来的根一定是:这个叫做求根公式我们发现,任何一个一元二次方程的根只和系数a,b,c有关,也就是说只要确定了系数,就可以得到方程的根,这就是公式法的第一个用途——根据系数直接确定方程的根另外我们发现:当b²-4ac>0时,方程有两个不等实根当b²-4ac=0时,方程有两个相等实根当b²-4ac<0时,方程无实根我们经常把△=b²-4ac叫做根的判别式(△是希腊字母,读作“德尔塔Delte”),利用它我们可以判别一元二次方程根的个数,这也是公式法的第二个用途。
三、利用公式法求解的一般步骤【公式法法求解的一般步骤】:①将方程化为一般形式②确定a,b,c的值③判断△=b²-4ac的符号④当b²-4ac≥0时(有实根),我们将a,b,c代入得到方程的两个根当b²-4ac<0时(无实根),我们直接判定方程无实根【理解】1、在利用(代入)求根公式之前,要有两个准备工作:一是必须先把方程化为一般式,因为只有这样才能确定a,b,c二是判定△=b²-4ac的符号,当△≥0时才能代入求根公式,而当△<0时,直接得到方程无实根即可2、由于在判断△符号的过程中,已经把△的值求出,所以在后续的求解中,直接代入即可。
另外当△=0时,求根公式中的根号部分为0,此时直接代入x=-b/2a即可3、我们发现,对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),当a、c异号时即ac<0时,△=b²-4ac中b²≥0,-4ac>0,所以此时一定有△>0,即方程有两个不等实根,如例题中的方程5x²-4x-1=0,由于a、c异号所以方程必然有两个不等实根,这在做小题时,是个不错的技巧。
公式法解一元二次方程的格式
公式法解一元二次方程的格式咱们在学习数学的时候,经常会碰到一元二次方程,这玩意儿有时候还真能把人给绕晕。
不过别怕,今天咱们就来好好聊聊用公式法解一元二次方程的格式,把这个难题给拿下!先来说说什么是一元二次方程,它一般长这样:ax² + bx + c = 0(a≠0)。
就比如说 2x² + 3x - 5 = 0 ,这就是一个标准的一元二次方程。
那公式法到底是啥呢?其实就是依靠一个神奇的公式来求解方程的根。
这个公式就是:x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。
咱们来实际操作一下,就拿刚才那个方程 2x² + 3x - 5 = 0 来说。
这里 a = 2,b = 3,c = -5 。
先算Δ = b² - 4ac ,也就是 3² - 4×2×(-5) = 9 +40 = 49 。
因为Δ > 0 ,所以方程有两个不同的实数根。
接下来把数值代入公式,x = [-3 ± √49] / (2×2) ,也就是 x = [-3 ± 7] / 4 。
所以 x₁ = (-3 + 7)/ 4 = 1 ,x₂ = (-3 - 7)/ 4 = -5/2 。
我记得我以前教过一个学生,叫小明。
这孩子特别聪明,但就是有点粗心。
有一次做作业的时候,用公式法解一元二次方程,前面步骤都对,算到最后一步居然把正负号给弄混了。
我就跟他说:“小明啊,这正负号可不能马虎,就像你走路,方向错了可就到不了目的地啦!”打那以后,小明每次做这种题都会特别小心,再也没错过。
再来说说用公式法解题的时候要注意的格式问题。
首先,一定要先把方程化成一般形式,确定好 a、b、c 的值,并且要写清楚。
计算Δ的时候,步骤要清晰,不能跳步。
代入公式的时候,也要一步一步来,别图快。
还有啊,有些同学总是在计算上出错,比如说开根号算错,或者分数运算出错。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是一种常见的数学问题,它可以表示为ax^2 + bx + c= 0的形式,其中a、b、c是已知常数。
解一元二次方程的方法有多种,下面将介绍其中三种常用的求解方法:求根公式法、配方法和图像法。
一、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种直接且简便的方法。
根据一元二次方程的求根公式,我们可以得到以下表达式:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±代表两个解,√代表开平方。
根据这个公式,我们可以依次求出一元二次方程的解。
二、配方法配方法也是解一元二次方程的有效方法,适用于形式不易使用求根公式的情况。
配方法的基本思想是通过适当的变换将一元二次方程转化为完全平方差或差的平方的形式。
具体而言,我们可以通过进行常数项的平方与展开,将一元二次方程转化为完全平方差的形式,例如:(x + p)^2 = q通过这种变换后,我们可以很容易地求出一元二次方程的解。
三、图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法,通过绘制一元二次方程的图像,我们可以很直观地获取方程的解。
在图像中,当方程图像与x轴相交时,对应的点就是方程的解。
通过观察图像的交点数量,我们可以判断方程有几个实数解、无解或者有复数解。
通过以上三种求解方法,我们可以高效地求解各种形式的一元二次方程。
在实际问题中,我们可以根据具体的情况选择合适的方法来解决问题。
总结:一元二次方程的求解方法有求根公式法、配方法和图像法。
求根公式法通过使用一元二次方程的求根公式计算得到方程的解;配方法通过适当的变换将方程转化为完全平方差的形式来求解;图像法通过观察方程的图像来判断方程的解的性质。
在实际应用中,根据实际情况选择合适的方法可以高效地解决问题。
公式法解一元二次方程
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式。 并写
出a,b,c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的
时刻,让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时,一元二次
b b2 4ac x 2a
例 2 解方程: x 3 2 3 x
2
解: 化简为一般式:x 2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b 4ac ( 2 3) 4 1 3 0
2 2
方程有两个相同的实数根 (-2 3) 0 2 3 x 3 21 2 即: x1 x2 3
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac>0时,一元二次 方程有两个不相等的实数根。 当 b2-4ac<0时,一元二次 方程没有实数根。 四、计算一定要细心,尤其是 计算b2-4ac的值和代入公式时, 符号不要弄错。
做一做
1.用公式法解下列方程:
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
做一做
1.用公式法解下列方程:
(4)4x2-6x=0
(5)6t2 -5 =13t
随堂 练习
2
2.用公式法解下列方程: (2)x2+1.5=-3x
1 (3) x 2 x 0 2
随堂 练习
3.用公式法解下列方程:
x2+2x=-½ , (x+1)2=½
2 2 2 2 , x2 . , x1 2 2
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用公式法求解一元二次方程 一、公式法公式法:求根公式:一般地,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),当b 2-4ac ≥0时,它的根是:2b x a-±=.上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式,只有确定方程是一元二次方程时,才可以使用.(2)应用公式法解一元二次方程时,要先把方程化成一般形式,确定二次项系数、一次项系数、常数项,且要注意它们的符号.(3)b 2-4ac ≥0是公式使用的前提条件,是公式的重要组成部分.一元二次方程的求根公式的推导:一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的过程. ∵a ≠0,∴方程的两边同除以a 得20b cxx a a++=. 配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ∵a ≠0,∴a 2>0,∴4a 2>0.∴当b 2-4ac ≥时,2244b ac a-是一个非负数.此时两边开平方得22b x a a+=,∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2--4ac有意义.(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ,b ,c 决定的,只要确定了a ,b ,c 的值,就可以代入公式求一元二次方程的根.【新课导读·点拨】因为a =1,b =-1,c =-90,所以()()2114190119212x ±--⨯⨯-±==⨯.故x 1=10,x 2=-9(不符合实际,舍去).所以全校有10个队参赛.【例1】解下列方程.(1)x 2-2x =0; (2)3x 2+4x =-1; (3)2x 2-4x +5=0. 分析:解:(1)x 2-2x -2=0,∵a =1,b =-2,c =-2,∴b 2-4ac =(-2)2-4X1×(-2)-12>0,∴21222322x ±±==,∴113x =+,113x =- (2)原方程可化为3x 2+4x +1=0,∵a =3,b =4,c =1,∴b 2-4ac =42-4×3×1=4>0, (3)2x 2-4x +5=0,∵a =2,b =-4,c =5,∴b 2-4ac =(-4)2-4×2×5=-24<0, ∴该方程没有实数根.二、一元二次方程根的判别式定义:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由b 2-4ac 来判定.我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“△”来表示,读作:“delta(德尔塔)”.对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),当b 2-4ac >0时,方程有两个不相等的实数根; 当b 2-4ac =0时,方程有两个相等的实数根; 当b 2-4ac <0时,方程没有实数根. 反之亦成立.【知识拓展】(1)根的判别式是△=b 2-4ac ,而不是24b ac =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的,因此,必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况,要注意方程中各项系数的符号.(3)如果一元二次方程有实根,那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,此时b 2-4ac ≥0.探究交流已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,当m取最大值时,求该一元二次方程的根.分析:根据根的判别式的意义可得△=4-4m≥0,解得m≤1,所以m的最大值为1,此时方程为x2+2x+1=0,然后运用公式法解方程.解:∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,∴△=4-4m≥0,∴m≤1,∴m的最大值为1,当m=1时,一元二次方程变形为x2+2x+1=0,解得x1=x2=1.【例2】一元二次方程x2+x+3=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定分析:判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.∵a=1,b=1,c=3,∴△=b2-4ac=12-4×1×3=-11<0,∴此方程没有实数根.故选C.##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,x2-2x--3=0.下列说法正确的是( )A.99帮有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=-8,则①没有实数解;②的判别式△=4+12=16,则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2-6x +c =0(c 是常数)没有实数根,那么c 的取值范围是______. ##答案## c >9##解析##∵关于xx 2-6x +c =0(c 是常数)没有实数根,∴△=(-6)2-4c <0,即36-4c <0,c >9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m =0. (1)当m =3时,判断方程的根的情况; (2)当m =3时,求方程的根. ##答案##解:(1)当m =3时,△=b 2-4ac =22-4×3=-8<0,∴原方程无实数根. (2)当m =-3时,原方程变形为x 2+2x -3=0.∵b 2-4ac =4+12=16,216122x -±==-±,∴x 1=1,x 2=-3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0. (1)求证方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC 的两边AB ,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.##答案##(1)证明:∵△=(2k +1)2-4(k 2+k)=1>0,∴方程有两个不相等的实根.(2)解:一元二次方程x 2-(2k+1)x +k 2+k =0的解为2112k x +±=,即x 1=k ,x 2=k+1,不妨设AB =k ,AC =k +1,当AB =BC 时,△ABC 是等腰三角形,则k =5;当AC =BC 时,△ABC 是等腰三角形,则k +1=5,解的k =4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程. (1)x 2+2x -2=0;(2) 23x+=;(3)21028n n -+=分析:方程(1)(3)可直接确定a ,b ,c 的值,方程(2)需先化为一般形式,再确定a ,b ,c 的值.解:(1)∵a =1,b =2,c =-2,∴b 2-4ac =22-4×1×(-2)=12>0,∴212x -±==-±11x =-+,11x =--(2)将方程化为一般形式,得230x -+=.∵a =1,b =-,c =3,∴(22441340b ac -=--⨯⨯=-<∴原方程没有实数根.(3)∵a =1,b =-,18c =,∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭,∴224n ±==,∴124n n ==.规律方法小结:(1)用公式法解一元二次方程时,一定要先将方程化为一般形式,再确定a ,b ,c 的值.(2)b 2-4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分,b 2-4ac <0时,原方程没有实数根.(3)当b2-4ac =0时,应把方程的根写成122bx x a==-,的形式,用以说明一元二次方程有两个相等的根,而不是一个根.类型二 不解方程判定根的情况【例2】不解方程,判断下列方程的根的情况.(1)x 2-x -1=0; (2)2x 2+3x =-2; (3)-2x 2-3x +4=0. 解:(1)∵a =1,b =-1,c =-1,∴△=b 2-4ac =1+4=5>0, ∴该方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为2x 2+3x +2=0, ∵a =2,b =3,c =2,∴△=b 2-4ac =9-16=-7<0, ∴原方程没有实数根.(3)原方程可变形为2x 2+3x -4=0,∵a =2,b =3,c =-4,∴b 2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0,∴原方程有两个不相等的实数根.类型三 几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m 2.(所备材料全部用完)分析:设未知数,将矩形的长和宽表示出来,再根据矩形的面积公式列方程,解一元二次方程即可.解:设AB =x m ,则BC =(50-2x)m .根据题意可得x(50-2x)=300,解得x 1=10,x 2=15.当x =10时,BC =50-2×10=30>25,不符合题意,舍去, 当x =15时,BC =50-2×15=20<25,符合题意, 故AB =15 m ,BC =20 m.答:可以围成AB 的长为15 m ,BC 的长为20 m 的矩形.【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列方程求解,注意围墙MN 最长可利用25 m ,舍掉不符合题意的数据.类型四 用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x 的方程x 2-2mx +m 2-2=0. 解:∵a =1,b =-2m ,c =m 2-2, ∴()228422222212m b b ac m x m a --±-±-±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解,准确确定a ,b ,c 的值是解题的关键.类型五 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围.【例5】k 取何值时,关于x 的一元二次方程kx 2-12x +9=0. (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析:(1)当△=b 2-4ac >0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=b 2-4ac =0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△=b 2-4ac <0时,方程没有实数根.分别求出是的取值范围即可.解题时注意二次项系数k ≠0. 解:方程是一元二次方程,则k ≠0. (1)若方程有两个不相等的实数根,则△= b 2-4ac =144-36k >0,解得k <4.所以k <4且k ≠0. (2)若方程有两个相等的实数根,则△=b 2-4ac =144—36k =0,解得k =4. (3)若方程没有实数根,则△=b 2-4ac =144-36k <0,解得k >4.类型六 设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪? (2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗?请说明理由.分析:(1)设剪成的较短的一段长x cm ,则较长的一段长(40-x)cm ,这样就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可;(2)设剪成的较短的一段长优咖,则较长的一段长(40-m)cm ,这样就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程,如果方程有解就说明小峰的说法错误,否则正确. 解:(1)设剪成的较短的一段长x cm ,则较长的一段长(40-x)cm , 由题意,得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得x 1=12,x 2=28.当x =12时,40-x =40-12=28,当x =28时,40-x =40-28=12<28(舍去). ∴较短的一段长12 cm ,较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ,则较长的一段长(40-m)cm ,由题意,得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理,得m 2-40m +416=0,∵△=(-40)2-4×416=-64<0,∴原方程无解.∴小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.类型七 分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k -1)x 2+(k -2)x -2k =0.(23k >)分析:解含有字母系数的方程,往往要按字母的取值分类讨论.此题有两种情况,k =1和k ≠1,当且仅当k ≠1时,二次项系数不为零,才能用一元二次方程的求根公式来解.解:当k =1时,原方程为-x -2=0,∴x =-2. 当k ≠1时,∵a =k -1,b =k -2,c =-2k ,∴b 2-4ac =(k -2)2-4(k -1)(-2k)=9k 2-12k +4=(3k -2)2≥0, ∴x=11kx k =-,22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时,要讨论;次项系数是否为零.类型八 应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ,b ,c 分别是伽c 的三边长,当m >0时,关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根,则△ABC 是什么形状的三角形?分析:由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0,得到与m 有关的等式,由m >0得a ,b ,c之间的关系,从而判定三角形的形状. 解:将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=.因为原方程有两个相等的实数根, 所以()()()240b c c b m ∆=--+-=,即4m(a 2+b 2-c 2)=0,又因为m >0,所以a 2+b 2-c 2=0,即a 2+b 2=c 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形.类型九 探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2+bx +c =o(a ≠0).(1)当a ,c 异号时,试说明该方程必有两个不相等的实数根;(2)当a ,c 同号时,该方程要有实数根,还需要满足什么条件?请你写出一个a ,c 同号,且有实数根的一元二次方程,并解这个方程.分析:(1)只需说明b 2-4ac >0即可.(2)是一个开放性问题,写出的方程满足a ,c 同号,且b 2-4ac ≥0即可.解:(1)因为a ,c 异号,所以ac <O ,所以-4ac >0,所以b 2-4ac >0, 所以,当a ,c 异号时,该方程必有两个不相等的实数根.(2)当a ,c 同号时,该方程要有实数根,还需满足条件b 2-4ac ≥0. 例如方程x 2-4x +3=0,解得x 1=3,x 2=1.【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以,它满足的条件是a ,c 同号且b 2-4ac ≥0,而这样的方程有无数个,我们可以选取一些解答较方便的方程。