《合情推理》文字素材1(新人教B版选修1-2)
新课标人教B版 选修1-2] [整理]人教B版选修1-2直接证明
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求证：AB=CD，BC=DA
A
D
14
32
B
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4
又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般形式为：
本题条件
21 5
21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
练一练：
1、求证： 6 7 2 2 5
2、求证：a a 1 a 2 a 3(a 3)
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
练一练：
已知a、b、c为不全等的正数，
求证：b c - a c a b a b c 3
a
b
c
例2在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三 角形．
点评：解决数学问题时，
文字语言
只需证：10 2 21 20
只需证：21 5
只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
（ 3 7）2 （2 5）2
10 2 21 20
方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果 索因法）．特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
高中数学 选修1-2 4.合情推理与演绎推理
4.合情推理与演绎推理教学目标 班级______姓名_________1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.理解演绎推理的意义，掌握演绎推理的基本模式，能进行简单推理.3.了解合情推理与演绎推理的区别和联系.教学过程一、合情推理.1.归纳推理：（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.【B A ⊆，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】（2）特征：部分⇒整体；个别⇒一般.（3）举例：①铜、铁、铝等金属能导电⇒一切金属都能导电；②哥德巴赫猜想：336+=；538+=；5510+=；......8631391002+=......⇒任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.2.类比推理：（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.【A 、B 具有相同性质P ，且A 具有特征Q ⇒B 具有特征Q 】（2）特征：相似⇒相似.（3）举例：①加法运算与乘法运算都满足交换律，且加法运算满足结合律⇒乘法运算满足结合律； ②平面内和空间内，平行于同一条直线的两条直线相互平行，且平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行⇒空间内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.3.合情推理：根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.（1）归纳推理与类比推理都属于合情推理；（2）合情推理能帮我们猜测和发现结论，能为我们提供证明的思路和方向；（3）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.二、演绎推理.1.定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，称为演绎推理.【B A ⊇，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】2.特征：一般⇒特殊；整体⇒部分.3.举例：①所有的金属都能导电，铀是金属⇒铀能导电；②所有奇数都不能被2整除，101是奇数⇒101不能被2整除.4.结构：演绎推理三段论：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（应用三段论解决问题时，若大前提是显而易见的，则可省略）5.在演绎推理中，只要大前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。
数学知识点人教B版选修(1-2)2.1.1《合情推理》word学案1-总结
学案16 §2.1.1 合情推理一、知识目标（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。
掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
二、新课讲授1．归纳推理<1>、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由 的推理.讨论： (i) 归纳推理有何作用？(ii)归纳推理的结果是否正确？<2>. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（2）已知 )2,1(0n i a i ，⋯⋯=>考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥.可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .(3). 观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ <3>、例题讲解例1.已知数列{}n a 的第1项a 1=1，且 ),3,2,1(11 =+=+n a a a nn n ，试归纳出这个数列的通项公式。
例2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?巩固练习：（1） 对于任意正整数n ，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？ 1（2）已知数列}{n a 满足11=a ，)12111--+=n n n a a a （，（)2≥n 求}{n a 的通项公式。
人教B版高中数学选修1-2 2-1-1 合情推理 学案 精品
2.1.1 合情推理（学案）一、知识梳理（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、情境导学探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出. 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理。
三、典例解析2，例1、观察下列等式：1+3=4=21+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.四、当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ） A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ） A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = （ ）.A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆. 5.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.6. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .。
人教版高中数学选修(1-2)-2.1《合情推理》参考课件
⑴ 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个 奇质数之和；
⑵ 没有发现反例 。
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为 归纳推理(简称归纳).
例:观察下图,可以发现
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
1+3+…+(2n－1)=n2
归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理
“火星上是否有生命”
表2-1
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发数明学行家星波三利大亚运曾动指定出律“的类开比普是勒一曾个说伟类大比的 引推路理人是,「求自解然立奧体妙几的何参往与往者有」赖和于自平己面「几最何好的类 比的问老题师.」”
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别 到一般的推理。
例如：
金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们 受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼 此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
人教B高中数学选修1-2全套ppt课件：2.1.1合情推理
【问题导思】 已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； 1 (2)三角形的面积等于高与底乘积的 . 2
1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．
【提示】 四个面的面积．
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第
1 (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 3
2．以上两个推理有什么共同特点？ 【提示】 素得出结论的． 都是根据三角形的特征，类比四面体相关元
【自主解答】 法一 5件首饰的珠宝数依次为：1＝1×1， 6＝2×3，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠 宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n×(2n－1)＝ 2n2－n(颗)． 法二 设第一件宝石数a1＝6， 第n－1件工艺品所用的宝石数an－1， 第n件工艺品所用的宝石数an， 则an－an－1＝5＋4(n－2)， ∴an－1－an－2＝5＋4(n－3)，
2．过程与方法 让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生 积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培 养学生归纳推理、类比推理的思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养 成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的 良好品质，善于发现问题，探求新知识．
1 S ·pa V pa 3 △BCD P－ BCD 证明如下： ＝ ＝ ， ha 1 VA－BCD S ·ha 3 △BCD pb VP－ ACD pc VP－ ABD pd VP－ABC 同理， ＝ ， ＝ ， ＝ . hb VA－BCD hc VA－BCD hd VA－BCD ∵VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝ VA－BCD， pa pb pc pd ∴ ＋ ＋ ＋ ha hb hc hd VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC ＝ ＝1. VA－BCD
高中数学新人教B版选修1-2合情推理
■orER ZHANG合情推理与演绎推理2.12抽象问謹情境化 新知无师自通推理.归纳推理（乙）（乙）[对应学生用书P11]（3）推理一般分为合情推理与演绎推理图（甲 推理2.合情推理（1）根据一个或几个已知事实（或假设）得岀一个判断，这种思维方式就是推理1.推理的概念与分类合情推理提示：由图知：a i = OA i = 1前提为真时，结论可能为真的推理, 叫做合情推理.常用的合情推理有归纳推理和类比 问题1:图（甲）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 A 7A 8= 1,把图（乙）中的（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 （或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结 ______直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1, OA 2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA 1= A 1A 2= A 2A 3试计算 a 1, a 2, a 3, a 4的值 OA n 的长度构成数列{a n }a 2 = OA 2 = J OA 2 + A 1A 2= , 12+ 12= J 2, a 3 = OA 3 = \/OA 2 + A 2A 3 = ^（x/2 J + 12 = V 3a4 = OA4 = OA3 + A3A4 = ® 2 + 1 =申=2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a.}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n= n.(n € N +)问题3:直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论.归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程.⑵归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).mro 类比推理已知三角形的如下性质(1) 三角形的两边之和大于第三边；1(2) 三角形的面积等于高与底乘积的2.问题1:试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.1(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的3.问题2:以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征.问题3:以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是.归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理.类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).［归纳-升华-领悟］----------------------------- 、1. 归纳推理的特点：(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.2. 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现.⑵类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能.3. 归纳推理和类比推理都属于合情推理.运駅/点巫也也：T-W总瑟［对应学生用书P12］数、式中的归纳推理［例1］根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式:(1) a i = 1, a n + 1 = 2a n+ 1(n€ N +);. a n(2) a1 = 1, a n+1 = ~(n€ N + ).1十a n［思路点拨］由a1求a 由a2求af由a3求af分析a2、a3、a4的结构特征猜想通项公式［精解详析］(1)由a n + 1 = 2a n+ 1 及a〔= =1 得a2= 2 x 1 + 1 = 3,a3= 2X 3 + 1 = 7, a4= 2X 7 + 1 = 15,a5= 2X 15+ 1 = 31.由a1= 1 = 21—1, a2= 3= 22—1,a3= 7= 23—1, a4= 15 = 24—1, a5= 31 = 25—1, 可归纳猜想a n= 2n—1(n€ N +).⑵当n = 1 时，a1= 1，由a n+1= an (n € N +)得1 + a nB A W01a i 1 a2=1 + a i = 2， a 22 1a3=右==3，1+ 2 1 a 331 a4=右=4. 1+ 31可归纳猜想：｛a n ｝的通项公式a n = n［一点通］归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1) 通过条件求得数列中的前几项；(2) 观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式.1. 将全体正整数排成一个三角形数阵：4 5 6 7 89 1011 1213 1415根据以上排列规律，数阵中第 n 行(n 》3)的从左到右的第3个数是.解析：前1行共1个数； 前2行共1 + 2= 3个数； 前3行共1 + 2+ 3= 6个数；前4行共1 + 2+ 3+ 4= 10个数； 前5行共1 + 2+ 3+ 4+ 5= 15个数；前 n — 1 行共 1 + 2+ 3+ 4+ - + (n — 1)= 因此，第n 行第3个数是全体正整数中第答案： 2 n — n +62•在数列｛a n ｝中，a 1= 1且S n , 5+1,23成等差数列，计算 生，S 4并猜想S n 的表达式.解：依题意得 2S n + 1= S n + 2S 1, S 1 = a 1 = 1. 当 n = 1 时，2S 2= S| + 2S 1,个数.c 3 3…£ = 一 S*i = —；2 2 1 23 7当 n = 2 时，2S 3= S 2 + 2S i =㊁ + 2 =㊁；Ss =4；7 15当 n = 3 时，2S 4= S 3 + 2S i = 4 + 2 =才,B. 31D . 36［思路点拨］解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块 “公共”的有菱形纹正六边形.［精解详析］法一：有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 + 5X (6 — 1)= 31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块"公共”的菱形纹正六边形 )，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为： 6 + 5X (6 —1)= 31.答案：B［一点通］解决图形中归纳推理的方法(1) 从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2) 从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化.猜想S n =2n - 12“-1 (n € N +).几何中的归纳推理 [例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(C . 32 第一牛图秦)第二个图案第三个图案- S A PBC + S A FAC + S ^PAB = S ^ABC ,3.如图，第n 个图形是由正（n + 2）边形“扩展”而来（n = 1,2,3，…），则第n 个图形中 的顶点个数为（）解析：第一个图形共有12= 3X 4个顶点，第二个图形共有20 = 4X 5个顶点，第三个图 形共有30= 5X 6个顶点，第四个图形共有 42= 6 X 7个顶点，故第n 个图形共有（n + 2）X （n+ 3）个顶点.答案：B 4.把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形（如下图），则第七个三角形数是.解析：第七个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+ 5 + 6 + 7= 28. 答案：28类比推理的应用［例3］ （12分）如图所示，在平面上，设 h a , h b , %分别是△ ABC 三条边上的高，P 为证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.A . (n + 1)(n + 2) C . n△ ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a , P b ，P c ，可以得到结论瓷+瓷+穿1［精解详析］1?BC p a；BC h a& PBCS^ABC’ ,△ 1 3同理, P b= S^PAC P c = FAB h b SS BC ' h c S^ ABC(2分)-S A PBC+S A FAC+S^PAB = S^ABC,类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 h a , h b ,h e ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离， P 为四面体内 任意一点，P到相应四个面的距离分别为 P a ，P b ，P e ，P d ，可以得到结 论計壯計h d =1.(8分)•' V p -BCD + V p - ACD + V p -ABD + V p -ABC = V A -BCD ，• P a +P b + 囚+ Pd • h a h b h e h dVp -BCD+Vp - ACD+Vp -ABD+Vp - ABC=1.V A -BCD［一点通］(1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元 素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2) 平面图形与空间图形类比如下：平面图形 占八、、线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体""暑値臬制"和5•实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a b = b a ， a b = b a ，(a + b) e = a c + b e ， (a + b) e = a e + b e. 则由①(a b) e = a (b e)，②若 0， a e = a b ，贝U b = e ，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？ 解：猜想：①(a b) e = a (b e)， ②若 a 工 0， a e = a b ，贝U b = e ，证明如下：1S ABCD P aP a 3 V P - BCD h a 1V A - BCD’BCD h aP b V P - ACD P e V P -ABD P d V p - ABCh b V A - BCD’h e V A -BCD 'h d V A -BCD’P »+ P e _ S A PBC + S A FAC + S A PABSx ABC1. （4分）同理,（10分） （12 分） h b h eA这两个结论都不正确.①式左边表示与e共线的向量，右边表示与a共线的向量，e与a不一定共线，就不一定相等.②a e= a b，|a||e| eos〈a，e>= |a| |b| eos〈a，b>，可得|e| eos〈a，e>= |b| eos〈a，b>，则c , b 在a 方向上的投影相等，b , c 不一定相等.6.如图所示，在△ ABC 中，a = b c os C + c c os B ,其中a , b , c 分别为角 A , B , C 的 对边•写出对空间四面体性质的猜想.解：如图所示，在四面体 P —ABC 中，S i ,色，S 3, S 分别表示△ PAB , △ PBC , △ PCA , △ ABC 的面积，a 3, 丫依次表示面FAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想 S = S i cos a+ S 2 cos 3+ S 3 cos 丫［方法-规律 —J 、结］ --------------------------1•用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事 例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.2•进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.3•多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. ⑵这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3) 这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.1. 观察下列各式： 1= 12,2+ 3+ 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6+ 7= 52,4+ 5 + 6 + 7+ 8+ 9+ 10 =72,…，可以得出的一般结论是( )2A . n +(n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n - 2) = n2B. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 2) = (2n — 1)2C. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 1) = n2D. n +(n + 1) + (n + 2) + …+ (3n — 1) = (2n — 1)解析：观察很容易发现规律： n +(n + 1) + (n + 2)+…+ (3n — 2) = (2n — 1)2.应用阪YINGYQNG课下训练经典化，贵衽触类旁通［对应学生用书P15］答案：B2. 已知｛b n｝为等比数列，b5 = 2,贝V Sb2b3…b g= 29若｛a n｝为等差数列，a5= 2,则｛a n｝的类似结论为()9. a i + a2+•…+ a9= 29A . a i a2a3…a?= 2BC. a i a2…a9 = 2x 9D. a i + a2+…+ a9= 2 x 9答案：D3 •用火柴棒摆“金，如图所示：鱼”①②③按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A. 6n —2B. 8n—2C. 6n + 2D. 8n+2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1= 8= 6 + 2.又a2= 14= 6X 2 + 2, a3= 20 = 6x 3 + 2,…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n + 2.答案：C4•平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A•空间中平行于同一直线的两直线平行B •空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：Dx5. (山东高考)设函数f(x)= ― (x>0)，观察：x I 2xfi(x)= f(x)= x + 2，xf2(x) = f(fl(x))= 3x+ 4，xf3(x) = f(f2(x))= 7x| 8，xf4(x)= f(f3(x))=亦x i品，根据以上事实，由归纳推理可得：当n € N +且n>2 时，f n(x)= f(f n-i(x))=.X —、 xf 2（x ） = 22— 1 x + 22，f3（x ）= 23- 1 X + 23， f4（x ） = 24— 1x + 24， X ____ f n （x ） = 2n — 1 x + 2n . 6. 给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3 — 2) 180 °四边形的内角和为(4 — 2)180°五边形的内角和为(5 — 2) 180°所以凸n 边形的内角和为(n — 2) 180°;(2) 三角函数都是周期函数， y = tan x 是三角函数，所以y = tan x 是周期函数；(3) 狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的， 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4) 在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断.因为 (1)(3)都是归纳推理， ⑷是类比推理，而 ⑵不 符合合情推理的定义，所以⑴(3)(4)都是合情推理.答案：⑴⑶⑷17. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1 且 S n - 1+ S + 2 = 0(n > 2)，计算 S 1，S 2, S 3 , S 4,并猜想S n 的表达式.解：当 n = 1 时，S 1= a 1= 1 ；1 1当 n = 2 时，&=一 2 一 S 1 = — 3，…S 2=—：； S 2 31 5 3当 n = 3 时，§ = — 2 — S 2= — 3，二 S 3=— 5；1 7 5当 n = 4 时，(=—2 — &=_?二 S 4=—刁.S 4 5 72n — 3解析：由已知可归纳如下:f l （x ） = 答案: X ___2n — 1 x + 2n x猜想：S n= —2n—1 (n€ N +).&已知椭圆具有以下性质：已知 M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 点P 的位置无关的定值. PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM , k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与 2 试对双曲线 x a 解：类似的性质为: 已知 M , N 是双曲线 2 y = 1(a > 0, b > 0)写出类似的性质，并加以证明. 2 x —2 a 2 -y2= 1(a > 0, b > 0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线 PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM ，k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M 、P 的坐标为(m , n), 2 2•••点M(m , n)在已知双曲线拿—y 2= 1上, 2 2 , 2 .m n 2 b 2 2•-孑-^= 1，得 n =尹-b ,(x . y),贝U N 点的坐标为(-m ,— n). 同理 y 2= O^x 2- b 2 2 2 二 y — n 2 —m 2). 2 2 y — n y +n y ― n 贝U k pM k PN = - = 2~x — m x + m x — m a x — m 2 2 2 b 2 x — m 2= -2 • ~2。
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理》梳理探究1
数学人教B选修1-2第二章2.1.1 合情推理1．结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义．2．能利用归纳推理和类比推理进行一些简单的推理，认识合情推理在数学发现中的作用．1．合情推理前提为真时，结论____为真的推理，叫做合情推理．________和____________是数学中常用的合情推理．(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．(2)合情推理的结论具有或然性，既可能为真，也可能为假．(3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向，对于数学的创新和发现十分有用．【做一做1】下列说法正确的是()A．由合情推理推出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判断正误2．归纳推理(1)概念根据一类事物的________具有某种性质，推出这类事物的________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称____)．归纳是从____到____的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些________；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(3)归纳推理的几个特点：①归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．②归纳是依据若干已知的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性．③归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论．运用归纳推理得出结论时要注意以下两点：(1)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题越可靠；(2)通过大量的实例去分析，才能归纳出比较可靠的一般性结论(命题)．【做一做2－1】数列2,5,11,20,x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…中，可得到一般规律为__________．3．类比推理(1)概念根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的______或______；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果；②类比是从一类事物的特殊属性推测另一类事物的特殊属性；③类比的结果有猜测性，不一定正确．(2)提高类比所得结论的可靠性，应尽量满足下列条件：①类比对象的共同属性或相似属性尽可能多些；②这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性；③这些共同(或相似)属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的； ④需推测的未知属性应该和共同(或相似)属性属于同一类型．【做一做3－1】下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理【做一做3－2】若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N ＋)是等比数列，且c n ＞0，则数列d n ＝__________(n ∈N ＋)也是等比数列．1．归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题．2．类比推理的一般步骤是什么？剖析：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)，一般情况下，类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论具有或然性，既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理．题型一 归纳推理【例题1】根据所给数列前n 项的值23，415，635，863，1099，…，猜想数列{a n }的通项公式． 分析：根据数列中前n 项的值给出数列的一个通项公式，主要是对数列各项的特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律，猜想出通项公式．反思：归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径，通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长分别交对边于点A ′，B ′，C ′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明．分析：考虑到用“面积法”证明结论时把O 点与三角形的三个顶点分别连接起来，把原三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似的结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．反思：平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．题型三 推理的综合应用【例题3】有一个雪花曲线序列，如图：其产生规则是：将正三角形P 0的每一边三等分，而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条线段，便得到第1条雪花曲线P 1；再将P 1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第2条雪花曲线P 2；……；把P n －1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第n 条雪花曲线P n (n ＝1,2,3,4，…)．(1)设P 0的周长为L 0，求P n 的周长；(2)设P 0的面积为S 0，求P n 的面积．反思：合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．题型四 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误．解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13. 错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积的乘积的12. 反思：类比的原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，我们可以从不同的角度出发确定类比对象，如围成几何体的几何元素的数目、位置关系等．1使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小正整数是( )A ．1B ．2C ．4D ．52下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 3(2012东北四校一模)给出下列不等式：1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，则按此规律可猜想第n个不等式为__________． 4如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想__________．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为__________．答案：基础知识·梳理1．可能 归纳推理 类比推理【做一做1】B 由合情推理的概念可知选项B 正确．2．(1)部分对象 所有对象 归纳 特殊 一般 (2)①相同性质【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32.【做一做2－2】n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N ＋) 第一个式子，左边一个数是1，右边结果是12；第二个式子，左边三个数相加，从2开始，右边结果是32；第三个式子，左边五个数相加，从3开始，右边结果是52；第四个式子，左边七个数相加，从4开始，右边结果是72；……第n 个式子，左边(2n －1)个数相加，从n 开始，右边结果是(2n －1)2.总结结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋(2n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N ＋)，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N ＋)．3．(1)两类不同事物 (2)①相似性 一致性【做一做3－1】B【做一做3－2】n c 1·c 2·c 3·…·c n 在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)，然后再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质．找出等差与等比数列在运算上的相似性，等差↔等比，求和↔求积，除法↔开方，可猜想：d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n .典型例题·领悟【例题1】解：23＝2×11×3；415＝2×23×5；635＝2×35×7；863＝2×47×9；1099＝2×59×11；…… 于是猜想通项公式a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1). 【例题2】解：在四面体V －BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于E ，F ，G ，H 点，则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1.证明：在四面体O －BCD 与V －BCD 中，设点O ，V 到平面BCD 的距离分别为h 1，h ，则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD·h ＝V O －BCD V V －BCD ， 同理有：OF DF ＝V O －VBC V D －VBC ；OG BG ＝V O －VCD V B －VCD ；OH CH ＝V O －VBD V C －VBD， ∴OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O －BCD ＋V O －VBC ＋V O －VCD ＋V O －VBD V V －BCD ＝V V －BCD V V －BCD＝1. 【例题3】解：(1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得L n ＝43L n －1，n ∈N ＋， 所以L n ＝43L n －1＝…＝(43)n L 0，n ∈N ＋.(2)由雪花曲线的构造规则比较P 0和P 1，易得P 1比P 0的每条边增加了一个小等边三角形，其面积为S 032，而P 0有3条边，故有S 1＝S 0＋3·S 032＝S 0＋S 03. 再比较P 2与P 1，可知P 2在P 1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132·S 032，而P 1有3×4条边，故有S 2＝S 1＋3×4×S 034＝S 0＋S 03＋4S 033. 类似地，有S 3＝S 2＋3×42×S 036 ＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035， 故可猜想S n ＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035＋43S 037＋…＋4n －1S 032n 1 ＝S 0＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 1－49S 0＝⎣⎡⎦⎤85－35⎝⎛⎭⎫49n S 0. 【例题4】错因分析：错解的原因有两个，其一是“三角形周长”的类比，其二是“12”的类比．第一个“a ＋b ＋c ”可类比为“S 1＋S 2＋S 3＋S 4”；第二个“12”应类比为“13”． 正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13. 随堂练习·巩固1．D 2．D3．1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋124．S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3如图，在△DEF中，由正弦定理，得dsin D＝esin E＝fsin F，于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3.5．32因为等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝12x x=＝12＝22，所以所求的值为6×22＝3 2.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、合情推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.2.合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.合情推理中，当前提为真时，结论可能为真，也可能为假.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.方法点拨合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为3.归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一半结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具.归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.方法点拨归纳推理的前提与结论只具有或然性联系，其结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实践检验.其一般步骤为:通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.4.类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性和其中一类对象的某些已知特征，推测另一类事物具有与这些类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.运用类比推理常常是先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.方法点拨类比推理的一般步骤为:找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).二、演绎推理1.演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时，结论必然为真.演绎推理是由一般到特殊的推理.数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.常见的演绎推理包括:假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理等，演绎推理的一般形式是三段论推理.2.假言推理如果一个推理的规则能用符号表示为“如果p q，p真，则q真”，那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是，通过判断结论的充分条件为真，判断结论为真.方法点拨假言推理的步骤可以概括为:确定命题p能够推出命题q；判断命题p是否为真，如果p为真，则q为真.3.三段论推理如果一个推理规则能用符号“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”,那么这种推理规则叫做三段论推理.三段论推理都是由三个命题组成的，两个前提，一个结论；第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象，这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论.如在民事审判中，以现行有效的法律规定作为大前提，以经过法庭审理查明的事实作为小前提，按照三段论的推理规则，最后得出判决结论的方法，是增强判决书说理性的好方法.任何一个三段论推理都有而且仅有三个词项,每个词项在三个命题中重复出现一次.三段论推理可以表示为,大前提:M是P；小前提:S是M；结论:S是P.在三段论推理中，尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华用集合的观点来分析，三段论的推理依据是:如果集合M中的每一个元素都具有属性P，且S是M的子集，那么集合S中的每一个元素都具有属性P.4.关系推理如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b，b≥c，则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.方法点拨关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在关系a≥b；论证式子b和c存在关系b≥c，从而推出a≥c.5.完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.误区警示在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明. 三、合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明.问题·探究问题1 如何理解归纳推理?导思:根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.探究:归纳推理的基本形式是:∵A1具有性质F,A2具有性质F,…,A n具有性质F,(A1,A2,…,A n都属于A)∴A类事物都具有性质F.归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.例如:f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+2.∵f(1)=2,f(2)=2,…,f(100)=2.∴由此归纳猜想f(n)=2(n ∈N *).但这一结果是错误的,事实上f(101)≠2,可见不完全归纳推理得出的结论不可靠,还需要进一步作出判断.问题2 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.导思:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线共面以及向量基本定理等几个方面,来进行类比. 探究:(1)从定义的角度考虑平面向量是平面内既有大小又有方向的向量;空间向量是空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广. (3)从运算律、数量积的角度考虑 平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a +b =b +a (加法交换律)；②(a +b )+c =a +(b +c )(加法结合律)；③λ(a +b )=λa +λb (数乘分配律).数量积的性质:①a ·e =|a |c os 〈a ,e 〉(e 是单位向量)；②a ⊥b a ·b =0；③|a |2=a ·a . 数量积的运算律:①(λa )·b =λ(a ·b )；②a ·b =b ·a (交换律)；③a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律). (4)从向量共线,共面的角度考虑共线向量定理:向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b =λa .共面向量定理:如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a +y b .(5)从向量基本定理角度考虑平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2表示平面向量的一组基底.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a +y b +z c ,其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,a ,b ,c 都叫基向量. 典题·热题例1已知数列｛a n ｝的第1项a 1=1,且a n+1=nna a +1(n=1,2,3, …),试归纳出这个数列的通项公式.思路解析：数列｛a n ｝的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列｛a n ｝的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1;当n=2时,a 2=21111=+; 当n=3时,a 3=3121121=+;当n=4时,a 4=4131131=+;……通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出a n =n1. 方法归纳 归纳推理得出的一般性结论可能为真也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明，数列中的证明可以使用数学归纳法,也可以使用数列的基本通项公式及求和公式证明. 例2已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,a 1=32-且S n +nS 1+2=a n (n≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式.思路解析：先化简递推关系式:n≥2时a n =S n -S n-1, ∴S n +n S 1+2=S n -S n-1, nS 1+S n-1+2=0. 解：当n=1时,S 1=a 1=32-. 当n=2时,21S =-2-S 1=34-,∴S 2=43-.当n=3时,31S =-2-S 2=45-,∴S 3=54-.当n=4时,41S =-2-S 3=56-,∴S 4=65-.猜想:S n =21++-n n (n ∈N *). 方法规纳 在归纳推理中，所得的结论的正确性常常要用数学归纳法来加以严格证明.例3如图,点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥B 1B 交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.思路解析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，由已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面，选取三棱柱的直截面的三角形作类比对象. (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，∴BB 1⊥平面PMN. ∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN. (2)解：在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ∙-+=.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2-2PN·MN·cos ∠MNP⇒PM 2·CC 12=PN 2·CC 12+MN 2·CC 12-2(PN·CC 1)·(MN·CC 1)·cos ∠MNP, 由于11B BCC S =PN·CC 1，11A ACC S =MN·CC 1，11A ABB S =MP·BB 1， ∴αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ∙-+=.例4（2005广东高考）设平面内有n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)= ______________；当n ＞4时，f(n)=______________.思路解析：通过观察不难发现每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. 由f(2)=0，f(3)=2，f(4)=5，f(5)=9，…可得每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(3)-f(2)=2，f(4)-f(3)=3，f(5)-f(4)=4，…,f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=212)]1(2)[2(=-+-n n (n+1)(n-2).答案：521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题主要考查观察、分析、归纳推理、累加求通项公式等知识，是一个很灵活的题目，在解题的过程中要善于观察发现规律，通过规律来解决问题揭示本质. 例5用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足.求证:AB 的中点M 到D 、E 的距离相等.思路解析：解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提. 证明：(1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB=90°，(小前提) ∴△ABD 是直角三角形.(结论) 同理,△ABE 也是直角三角形.(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提)∴DM=21AB(结论). 同理,EM=21AB.∴DM=EM.方法归纳 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括:大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.例6求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路解析：本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.证明：y=1221122)12(+-=+-+xx x . 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x)+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x )=2-(121+x +1222+∙x x) =2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. 任取x 1,x 2∈R ,且x 1＜x 2.则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222-x )=2(12112112+-+x x ) =2·)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1＜x 2,从而12x＜22x,12x-22x＜0, 所以f(x 1)＜f(x 2),故f(x)为增函数.例7(2005辽宁高考)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1|=2a.点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足2TF ∙=0,|2TF |≠0. (1)设x 为点P 的横坐标，证明|F 1|=a+x ac； (2)求点T 的轨迹C 的方程.思路解析：本题主要考查平面向量、椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力，其中数形结合是解析几何解决问题的常用方法.(1)证明：设点P 的坐标为(x,y),由P(x,y)在椭圆上，得|F 1|=2222222)()(x ab bc x y c x -++=++=22222222222)(22x a c a a cx x a c c b cx x a b a +=++=+++-.由x≥-a ，知a+x a c ≥-c+a ＞0.所以|F 1|=a+x ac. (2)解：设点T 的坐标为(x,y),当|PT |=0时，点(a ，0)和点(-a ，0)在轨迹上. 当|PT |≠0且|2TF |≠0时， 由|PT |·|2TF |=0，得PT ⊥2TF .又||=|2PF |，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，||=21|F 1|=a ，所以有x 2+y 2=a 2. 综上所述，点T 的轨迹方程是x 2+y 2=a 2.方法归纳 求轨迹时可以从两个方面来解:设动点的坐标，利用题目给出的条件整理得出方程；观察曲线的几何特征，直接由曲线的定义得出.。
(选修1-2)2.1.1合情推理(归纳推理)
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
实验观察
(1)从特殊到一般；
大胆猜想
(2)具有创造性； (3)具有或然性。
验证猜想
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
1、根据给出的数塔猜测 1234569 7
1 9 2 11
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F）
6 4 8 5 5 9
顶点数（V）
8 4 6 6 5 9
棱数（E）
12 6 12 9 8 16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数， 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn 22n 1 的前五项：F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 F4 65537
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理》梳理探究2
2．1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？【做一做1－1】 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大 【做一做1－2】 根据所给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112 D ．1 111 113根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．如人们看到天空中乌云密布、燕子低飞等现象时，会做出即将下雨的判断，这就是推理．数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出新命题的思维过程；推理的结构一般分为前提和结论两部分，前提即已知的事实(或假设)，结论是由已知命题推出的新命题；推理的一般形式为前提⇒结论．如：推理可以写成：“因为……，所以……”“如果……，那么……”“根据……，可知……”等，其中“因为”“如果”“根据”等的后面是前提，“所以”“那么”“可知”等的后面是结论．【做一做2】 已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n ·a n ＋1＝1(n ∈N *)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2 011＝__________.答案：1．部分对象 全部对象 个别事实 归纳 某些类似特征 某些已知特征 这些特征 类比 部分到整体 个别 一般 特殊 特殊思考讨论 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．【做一做1－1】 A 由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．【做一做1－2】 B 根据所给出的数塔的构成规律，经分析、比较，可猜测123 456×9＋7的值是由7个1排成的正整数，故选B.2．观察 分析 联想 归纳 类比 猜想【做一做2】 3 由a 1＝3，a 1－a 1a 2＝1，得a 2＝23；由a 2＝23，a 2－a 2a 3＝1，得a 3＝－12；由a 3＝－12，a 3－a 3a 4＝1，得a 4＝3，所以a 1＝a 4＝3，因此可归纳出数列{a n }的项从a 1开始呈周期性变化，最小正周期为3.而a 1a 2a 3＝3×23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1,2 011＝670×3＋1，故A 2 011＝(－1)670×a 2 011＝a 1＝3.1．归纳推理的特点及一般步骤是什么？ 剖析：(1)归纳推理的特点．①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是属于未知的一般现象，该结论往往超越了前提所包含的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实还需经过逻辑证明和实践检验，因此归纳推理的结论不一定正确，不能作为数学证明的工具．③一般地，如果归纳的个别现象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．④归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现新的事实，获得新的结论．(2)归纳推理的一般步骤．①实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同的性质．②概括、推广：从已知的相同性质中推测出一个明确表述的一般性结论． ③猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．④证明：证明结论的真伪．2．类比推理的特点及一般步骤是什么？剖析：(1)类比推理的特点．①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性，是以已有的认识为基础，类比出新的结果．②类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．如果类比的两类对象的相似性越多、相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．③由于类比推理得到的结论也具有猜测性，结论是否正确还需经过逻辑证明和实践的检验，因此类比推理也不能作为数学证明的工具；但它却具有触类旁通、提供线索、比较思考、举一反三等一系列启迪思维的作用，而且也能帮助我们加快、加深对新概念、新公式、新规律的理解、记忆及应用．④类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．在数学中，我们可以从已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题，获得新发现．(2)类比推理的一般步骤．①观察、分析：找出两类事物之间的相似性或一致性．②类比、联想：用一类事物的性质去推测另一类事物的类似性质，形成一个一般性命题．③猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．④证明：证明结论的真伪．3.数学中常见的类比有哪些？剖析：数学中常见的类比：直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等．①一个平面把空间分成两部分②空间中的两个平面无公共点，则它们互相平行③空间中垂直于同一个平面的两个平面平行④空间中平行于同一个平面的两个平面平行⑤平行六面体(相对面平行且全等)⑥长方体(对角面全等)⑦正方体(外接球、内切球的球心重合)⑧正四面体(外接球、内切球的球心重合)⑨等体积法题型一数列中的归纳推理【例题1】已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项a n的表达式．分析：由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→由a4求a5→分析a1，a2，a3，a4，a5的结构特征→猜想通项公式a n反思：归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能在求数列的通项或前n 项和的问题中，经常用到归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想出结论．其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项，寻求项的规律，猜测数列的通项公式．题型二几何中的归纳推理【例题2】根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．反思：图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题，归纳的途径有两条：一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素，如本题中的线段)的数目来归纳；二是按图形变化的特点来归纳．题型三类比推理的应用【例题3】请用类比推理完成下表：元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论类比得到空间中的相关结论．平面图形与空间图形类比如下：题型四 易错辨析【例题4】 已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x ＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的__________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．错解：由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，知两个方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0同解，故两个不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＜0同解，即“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的充要条件．故填：充要．错因分析：类比推理是不严格的推理，所得的结论正确与否有待于进一步证明．解题时若直接使用类比所得的结论进行推理则容易出现错误．错解中将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了等式与不等式的本质区别．反思：本题的错解误将类比所得的结论作为推理依据，从而得到错误的结论．因此在用类比推理求解问题时，关键在于准确确定类比物，建立类比项．如果不抓住类比的本质及规律则会出现错误的推广．答案：【例题1】 解：(1)当n ＝1时，由已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，得a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．【例题2】 509 分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律，得出猜想．图形①～④中线段的条数分别为1,5,13,29.因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【例题3】 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 本题由前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上可知：【例题4】 正解：当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则得M ＝，N ＝R ，即由“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”不能推得“M ＝N ”；当M ＝N ＝时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2，即由“M＝N ”不能推得“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”．综上可知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件．故填：既不充分也不必要．1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128 2．下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c)与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c)与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(a b)n 与(a ＋b)n 类比，则有(a ＋b)n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c)与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c3．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.图(甲) 图(乙)4．(2012东北四校一模)给出下列不等式：1＋12+13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为__________．答案：1．B 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，猜想x ＝26＋1＝65. 2．D根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2a 3＝OA 3…，故可归纳推测出a n 4．1＋12＋13＋…＋1121n +-＞12n +。
人教B版高中数学选修(1-2)-2.1《合情推理》教学课件2
例1
已知数列an的第1项a1
1, 且an1
an 1 an
n 1,2, ,试归纳出这个数列的通项公式.
分析 数列的通项公式表示的是数列an的第n
项an与序号之间的对应关系.为此,我们先根据已知
的递推公式,算出数列的前几项.
数,那么其他偶数是否也有类似的规律呢? 显然,第一个等于两个奇质数之和的偶数是6,即 6 3 3,再看看超过6的偶数 : 8 3 5,10
5 5,12 5 7,14 7 7,16 5 11, 1000
29 971,1002 139 863,
据说哥德巴赫无意中观察到:
3 7 10,3 17 20,13 17 30, 他有意把上面的式子改写成 :
10 3 7,20 3 17,30 13 17.
其中反映出这样一个规律 : 偶数 奇质数 奇质数. 于是哥德巴赫产生了一个想法: 10,20,30都是偶
思考 科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 在提出上述猜想过程中,科学家对比了火星与地球 之间的某些相似特征,然后从地球的一个已知特征 (有性命存在)出发,猜测火星也可能具有这个特征.
数学研究中也常常进行这样的推理.例如,在研究 球体时,我们会自然地联想到圆.对于圆,我们已经 有了比较充分的研究,定义了圆的一些概念,发现 了圆的一些性质(表2 1).由球与圆在形状上和概 念上都有类似的地方,即具有完美的对称性,都是 到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推 测对于圆的特征,球也可能具有.
已经知 例如,圆有切线,切线与圆交于一
高中数学 2.1.1 合情推理素材 新人教B版选修1-2
2.1.1 合情推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维过程．由于数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式．推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理．（1）归纳推理所谓归纳推理就是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F ，而作出该类事物都具有属性F 的结论的推理，其推理形式是：∵A 1具有性质F ，A 2具有性质F ，……，An 具有性质F ，1()n A A A A F⋃⋃⊂∴L 类事物都具有性质 归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察，而缺乏对全体对象的考察，因而所得的结论具有偶然性，只能称之为归纳猜想，其正确与错误是需要严格论证的． 例如：f (x) = (x-1)(x-2) …(x-100)+2.∵f(1)=2,f(2)=2,…,f(100)=2由此归纳猜想f(n)=2(n ∈N +）是错误的，事实上f(101)≠2,可见不完全归纳推理得出的结论不可靠，还需要进一步作出判断．（2）类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征．推出另一类对象也具有这些特征的推理形式，也称为类比法，类比推理是以比较为基础的，在对两个或两类对象的属性进行比较时，若发现它们有较多的相同点或相似点，则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去．由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而作出有关另一个特殊属性的结论的，因此类比推理是从特殊到特殊的推理．②类比法的类型(i)简单类比 仅仅依据两个研究对象在形式或现象方面的某些相同或相似，而推出它们在其它某方面相同或相似的方法，称为简单类比．简单类比的结构模式为 对象A ：具有属性a 1,a 2,…,a n ,m对象B ：具有属性a 1/, a 2/ ,…,a n ////1122(,,n n a a a a a a L //与与与相同或相似）对象B ：具有属性m （m 与m 相同或相似）由于简单类比侧重于外在形式和表面现象的比较，较少涉及事物的本质方面，因而其类比猜想的可靠性较差．(ii)科学类比 为了提高类比猜想的可靠程度，一般来说需要增加作为推理基础的相同方面的属性，因为相同属性越多，推出属性相同的可能性就越大；同时，要提高类比属性与推出属性的相关程度，二者联系愈密切，结论就愈可靠．于是，便出现了科学类比的方法．如果所研究的两个对象有较多相同或相似的属性，而且这些属性之间具有因果关系R,由此推出它们有其它相同或相似的属性及关系R /，这种方法就是科学类比．科学类比的结构的模式为：对象A ：具有属性a 1,a 2,…,a n , m 和关系R对象B ：具有属性a 1/, a 2/ ,…,a n / ///1122(,,n n a a a a a a L //与与与相同或相似）对象B ：具有m 和关系R与简单类比不同的是，科学类比重视因果关系．由于因果关系往往反映了事物的本质与内在联系，因而通过科学类比形成的猜想具有较大的可靠性．③类比推理的作用类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法．这是因为，类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物，也不象演绎法那样受到一般原理的严格制约．运用类比推理，不仅可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，而且既可以比较事物的本质属性，也可以比较非本质属性．同时，类比推理比归纳推理时更富于想像，因而也就更具有创造性．事实上，人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理、公式都是通过类比提出来的，工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具．。
高中数学新人教B版选修1-2 合 情 推 理
1．归纳推理的特点： (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结 论超越了前提所包含的范围． (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践 检验，即结论不一定可靠． 2．类比推理的特点： (1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研 究的事物的属性，提出新问题作出新发现． (2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能． 3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．
2．在数列{an}中，a1＝1 且 Sn，Sn＋1,2S1 成等差数列，计算 S2， S3，S4 并猜想 Sn 的表达式． 解：依题意得 2Sn＋1＝Sn＋2S1，S1＝a1＝1. 当 n＝1 时，2S2＝S1＋2S1， ∴S2＝32S1＝32； 当 n＝2 时，2S3＝S2＋2S1＝32＋2＝72； ∴S3＝74；
②若 a≠0，a·c＝a·b，则 b＝c，
这两个结论都不正确． ①式左边表示与 c 共线的向量，右边表示与 a 共线的向量，c 与 a 不一定共线，就不一定相等． ②a·c＝a·b，|a||c| cos〈a，c〉＝|a| |b|cos〈a，b〉，可得|c| cos 〈a，c〉＝|b| cos〈a，b〉， 则 c，b 在 a 方向上的投影相等，b，c 不一定相等．
6．如图所示，在△ABC 中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b， c 分别为角 A，B，C 的对边．写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体 P—ABC 中，S1，S2，S3，S 分别 表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，
α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小． 猜想 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
高中数学《合情推理与演绎证明》文字素材1 新人教A版选修1-2
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2020湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看 作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
高中数学《合情推理与演绎推理》素材4 新人教B版选修1-2
合情推理与演绎推理教材精析一、要点透析1．归纳推理从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．〔1〕归纳推理的几个特点：①归纳推理的前提是几个的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的X围；②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具；③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．〔2〕归纳推理的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性〔特例的共性或一般规律〕；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题〔猜想〕；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．注：归纳推理的思维过程大致如以下图所示：2．类比推理由两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．类比推理是由特殊到特殊的推理．〔1〕类比推理的几个特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧认识为基础，类比出新的结果；②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．〔2〕类比推理的一般步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似性〔或一致性〕；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．注：类比推理的思维过程大致如以下图所示：3．演绎推理由一般性命题推演出特殊性命题，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．〔1〕“三段论〞是演绎推理的一般模式，包括：①大前提———的一般性原理；②小前提———所研究的特殊对象；③结论———揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到的判断．〔2〕演绎推理有以下几个特点：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．②演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．③演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．4．合情推理与演绎推理的区别与联系合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中为演绎推理确定了目标和方向；演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学活动中具有类似于“实验〞的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断〞和证明．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动发现活动的进程．二、X 例点悟例 1 设平面内有(2)n n ≥条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条线不过同一点．假设用()f n 表示这n 条直线交点的个数，那么(4)f =________；当4n >时，()f n = ________〔用n 表示〕． 分析：本例考查观察、分析能力及归纳推理、累加求通项等知识，是一道很灵活的题． 解：(2)0(3)2(4)5(5)9f f f f ====，，，．每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴(3)(2)2f f -=，(4)(3)3f f -=，(5)(4)4f f -=，…，()(1)1f n f n n --=-． 累加得(2)[2(1)]()(2)23412n n f n f n -+--=++++-=…1(1)(2)2n n =+-． 答案：5；1(1)(2)2n n +-． 评注：运用归纳推理可以发现一些新的命题，再运用相关的知识、方法证明它的真假，这是数学发明创新的一条重要途径．例2 用三段论证明函数3()f x x x =+在()-+∞，∞上是增函数．分析：证明此题所依据的大前提是增函数的定义，即函数()y f x =满足：在给定区间内任取自变量的两个值12x x ，，假设12x x <，那么有12()()f x f x <．小前提是3()f x x x =+，()x ∈-+∞，∞上满足增函数的定义．明确前提、条件是证明此题的关键．证明：设任意12()x x ∈-+，∞，∞，且12x x <，那么 ()()()33332122112121()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-()2221221121()()x x x x x x x x =-+++-()22212211()1x x x x x x =-+++22121213()124x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ∵2212131024x x x ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭，210x x ->， ∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >．于是根据“三段论〞得：函数3()f x x x =+在()-+∞，∞上是增函数． 评注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．。
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第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
典型例题
例1 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A ） 10 （B ） 13 （C ） 14 （D ） 100
解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C ）
例 2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
例3、观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：。
证明
000
2200
1cos 21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222ααααααα-+++-++++=++
练习
一、选择题
1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展
到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2+ C D 2 + BD 2
(B) (C) (D)AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 2
3、已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。
5、在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
三、解答题
6在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
参考答案
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
一、选择题
（1）（A）观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。
（2）分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边
体积面积；二面角平面角
面积线段长；……
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。
（3）由归纳猜想可得选（B）。
二、填空题
（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
三、解答题
6．分析根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 12分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.。