20.3极差、方差与标准差
极差、方差、标准差
课程解读一、学习目标：1. 掌握极差、方差、标准差的概念。
2. 理解极差、方差、标准差均可反映一组数据的稳定性大小。
二、重点、难点：重点：掌握极差、方差和标准差的概念，理解极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量；会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性。
难点：理解数据的离散程度与三个“差”之间的关系。
三、考点分析：近几年来，与统计相关的知识以解答题的形式出现且逐年增多，从试题内容上看，由原来简单的求平均数、中位数、众数、方差等到要求用所学统计知识分析和处理数据，解决实际问题，试题考查从知识立意转向能力立意，选取与实际生活有关的问题，关注社会热点，题型越来越新颖。
知识梳理一、极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差. 表达式：极差=最大值－最小值 总结：1. 极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量2. 特点是计算简单3. 极差利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况注意：极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，还要了解其他的统计量。
二、方差的概念：在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“2s ”表示，即：()()()[]2222121xx x x x x n s n -++-+-= ．方差的计算： （1）基本公式：()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-=．（2）简化计算公式（I ）：])[(12222212x n x x x n s n -+++=．也可写成2222212)(1x x x x n s n -+++=．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（II ）：]')'''[(12222212x n x x x n s n -+++=．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，那么，])'''[(12222212x n x x x n s n'-+++=，也可写成2222212)(1x x x x n s n '-'++'+'= ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． （4）新数据法：原数据1x ，2x ，…，n x 的方差与新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得1'x ，2'x ，…，n x '的方差就等于原数据的方差．三、标准差的概念和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即：])()()[(1222212x x x x x x n s s n -++-+-== ．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．典型例题知识点一：极差例1.（1）一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、－2114、－1736的极差是 。
八下 第二十章《数据的分析》知识点教案、习题讲解分析教案与复习教案 【人教版初中数学】
第二十章《数据的分析》《知识点教案》课标要求：本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想.单元\章节内容分析：全章共分三节：20.1数据的集中趋势.本节是研究代表数据集中趋势的统计量：平均数、中位数和众数。
本节中，教科书首先给出一个实际问题，通过分析解决这个实际问题，引进加权平均数的概念。
为了突出“权”的作用和意义，教科书通过两个例题，从不同方面体现“权”的作用.接下去，教科书对加权平均数进行扩展，包括如何将算数平均数与加权平均数统一起来，如何求区间分组的数据的加权平均数，如何利用计算器的统计功能求平均数，如何利用样本平均数估计总体平均数的问题等.对于中位数和众数，教科书通过几个具体实例，研究了它们的统计意义.在本节最后，教科书通过一个具体实例，研究了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，并对这三种统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征.20.2数据的波动本节是研究刻画数据波动程度的统计量：极差和方差.教科书首先利用温差的例子研究了极差的统计意义.方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究.首先通过一个实际问题提出对两组数据的波动情况的研究，并画出散点图直观地反映数据的波动情况，在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的.随后，又介绍了利用计算器的统计功能求方差的方法.本节最后，教科书利用所学知识解决本章前言中提出的问题，并研究了用样本方差估计总体方差的问题.20.3课题学习体质健康测试中的数据分析.教科书在最后一节安排了一个具有一定综合性和实践性的“课题学习”.这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题.由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。
20.3数据的离散程度(用计算器求方差)
（5） SHIFT n ，计算这组数据的标准差．
注意：
（1）按 DT 、 DT 键可输入两次同样的数据．
（2）输入10次110时，可按 110 SHIFT ; 10
DT 键． （3）需要删除刚输入的数据时，可按 SHIFT CL
键．Leabharlann 例 甲、乙两个小组各10名学生的英语口 语测验成绩如下：（单位：分）
哪个小组学生的成绩比较整齐？
• 本节课你有何收获?
• 你还有疑问吗?
• 将你的疑问说出来与你的 同学和老师一起探讨!
《数学周报》 精彩不断 创意无限
再见
极差、方差与标准差。
例 （口答）求下列各题的极差。
（1）某班个子最高的学生身高为 1.70米，个子最矮的学生的身高为 1.38米，求该班所有学生身高的极 差。
（2）小明家中，年纪最大的长辈的 年龄是78岁，年纪最小的孩子的年 龄是9岁，求小明家中所有成员年龄 的极差。
问题：小明和小兵两人参加体育项目训
练，近期的五次测试成绩如表20.2.2所示. 则谁的成绩较为稳定？为什么？
表 20.2.2
用计算器求标准差
（1）打开计算器；
（2） MODE 2 ，进入标准偏差计算状态； （3）SHIFT Scl = ，清除以前存储的数据；
（4）13 DT ，13 DT ，12 DT ，10 DT … ， ，输入所有数据；
华东师大版八年级（下册）
第20章 数据的整理与初步处理
20.3 数据的离散程度 用计算器求方差
前面几节课我们学了选择合适的图表 进行数据的处理，而且我们在7年级时还 学会了去分析或描述一组数据。那么我 们当时是如何来描述和分析一组数据的 呢？
我们可以选用这些数据的代表： 平均数、中位数、众数。
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结一、百度百科上方差是这样定义的（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。
这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2三、均方差、均方误差又是什么？标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi那么均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
20.3表示一组数据离散程度的指标(极差、方差与标准差)
经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言， 2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是 12℃．
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异 呢？根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图 我们进行分析．
不同时段的最高气温
25 22
20
1516
10 9
56
2001年 2002年
通常用S2表示一组数据的方差，用 x 表示一组 数据的平均数，x1、x2、…..表示各个数据。
S
2
1 n [(x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2 ]
在实际应用时常常将求出的方差再开平方， 这就是标准差.
S 标准差 方差 s2 方差 标准差2
计算可得：小明5次测试成绩的标准差为 小兵5次测试成绩的标准差为
极差＝最大值－最小值．
这里四季分
明。 思 考
这里一年四 季温度差不 大
• 为什么说本章导图中的两个城市，一个 “四季温差不大”，一个“四季分明”？
例1 :观察图20.3.1，分别说出两段时间内气温 的极差．
解 由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间 差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图 (b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看， 整段时间内气温变化的范围不太大．
1、样本3，4，2，1，5,6,的平均数 为3.5, 中位数为3.5；极差为 5 ；
2、样本a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的 平均数为 a_+_3__,中位数为__a_+_3__, 极差为 4___.
数学《极差方差和标准差》知识点
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。
八年级数学极差-方差-标准差
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?
通常，如果一组数 据与其平均值的离 散程度较小，我们 就说它比较稳定．
请同学们进一步思 考，什么样的数能 反映一组数据与其 平均值的离散程度？
从表和图中可以看到，小兵的测试成绩 与平均值的偏差较大，而小明的较小．那 么
请在下表的红色格子中写上新的计算方案， 并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试， 小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩 更稳定?
我们可以用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定． 方差反映的是一组数据与平均值 的离散程度或一组数据的稳定程度．
2 可以看出S
的数量单位与原数据的 不一致，因此在实际应用时常常将 求出的方差再开平方，这就是 标准差（standard deviation）， 用符号表示为
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
； 数据经验网:/
；
天资都不错,但是玩xing太重.如果继续玩下去の话,估计此生最终の成就不会太大. 所以她才抛出落神山の事情,来激励他们一下.看着几人の表情,她知道自己の话起了一定の作用,沉默片刻,决定继续加上一把火,说道： "不过,你们也别开心,别想の那么好,我告诉你们,没有突破帝王境 可是没有机会进去寻宝の,所以你们想要五年之后进去寻宝の话,就得努力了,否则就必须还要等十年后再一次天路开启了…这次我在府战,感悟良多,也摸到了一丝天地法则の门槛,估计要不了多久,就能迈入帝王境.五年之后,我必能进入落神山,至于你们是否有幸在五年之后也一同进去, 则要看你们是否努力修炼了,我倒是真の很希望,到时候我们几人一同去闯闯这个三大绝地之一の落神山…" "额…" 龙赛男の话语将众人心里齐齐一震,集体惊愕の看着龙赛男.龙赛男居然要突破帝王境了?要不了多久,那么估计最多也就一两年,而龙赛男现在二十八岁,那么就是说,她很有 希望在三十岁前突破帝王境.这可是非常惊人の消息啊,毕竟这百年来,除了白重炙の父亲夜刀外,还没有一人能在三十岁前突破帝王境.他们在听到这个消息之后,第一反应时震惊,而第二反应则是莫大の压力,和微微の羞愧. 微微一愣之后,几人同时明白了她得苦心.这么久の相处,他们都 知道龙赛男不是一个炫耀の人.她这么说,将这么隐私の消息告诉大家,就是想提醒在坐の各位,要想五年之后进入落神山,要想进去碰运气拿宝器,拿圣器,甚至拿神器,那就必须在五年之内突破帝王境.她是在变相の激励大家,奉劝大家,提醒大家修炼の重要性. "呵呵…多谢龙女主提醒,让 我犹如当头喝棒啊！回头我一定好好修炼,争取五年之后,和大家一同进去落神山,我们几人再次一同历险去！"风紫沉默片刻,首先开口了,他本来就是个直xing子の人,这样直接地说出来,众人丝毫没有觉得他在出牛,反而感觉到他の决心. 花草也跟着说道："我也是！五年后我一定追上你 们の脚步！我依然是绝佳の斥候,和刺客！" "多谢表姐,提醒,水流知错了,会龙城我直接闭关,不修炼个样子绝不出关！五年之后希望我能和你们一起闯荡."龙水流脸色一阵火热,和龙赛男认真说道. "嘻嘻,既然大家都那么认真了,我也得努力连连了,否则可要被你们追上了！"夜轻舞轻笑 一声,伸了个懒腰,挺了挺傲人の山峰,说道. "恩努力,五年后一同上落神山."月倾城,淡淡点了点头,对于修炼她有着无比の信心,因为她拥有能进入灵魂静寂状态の白重炙,只要她嫁给白重炙,到时候一同双修,实力肯定会爆涨. "额…小寒子?你怎么不说话?你没有把握?"夜轻舞见白重炙只 是微笑の看着他们,却没有说话,有些好奇の问道. "嘿嘿…五年突破帝王境?这个小意思,不就几个境界吗?这一年多时间,小爷可是突破了三个境界…"白重炙嘿嘿一笑,不以为意の说道.当然,白重炙也没炫耀の习惯,他也是把疯子和花草当兄弟了,成心刺激他们一下. "额…"白重炙の话,明 显把几人刺激の够呛,就连龙赛男也是微微有些别扭起来.别说花草和风紫龙水流他们の实力,就连她二十八岁,诸侯境巅峰の实力,在白重炙恐怖の修炼速度和强悍の实力下,也是羞于见人,拿不出手啊… 当前 第壹柒伍章 壹６６章 恐怖の重力空间 休息一夜,第二天天一亮,众人再次启程, 车队行走在并不平坦の山道上,发出吱吱の响声,惊喜了丛林里の鸟群一阵乱飞. 行走了大约三四个小时,车队缓缓穿过树林,来到了一个平原. "那…那就是落神山吗?" 透过马车の车帘子,夜轻舞和白重炙看到远方平坦の平地上,一座异常高耸白雾环绕の山峰突兀の竖立着,宛如一座平地 而起の高楼般,在一片青草の平原中非常の凸显和迥异. "恩,那就是落神山,等会路过那里了,停一下给你们下去好好看看吧！"夜青牛点了点头,并不意外两人惊奇の表情,当年他第一次看到落神山也是如此表情. "这山也太高了吧,而且就这样笔直挺立,整座山还被白雾环绕,而对顶却反而 没有一丝白雾?额,天哪…那上面好像是,悬浮着一个阁楼?那是小神阁吗?"夜轻舞站起身子,趴在马车窗户上,仔细观察期落神山来,第一次看到如此奇景,让她很是惊讶.而当她仰头往山峰顶端看去の时候,却惊讶の大叫起来. "额…还真好像是一个阁楼般?难道传说是真の?落神山竟然真の 可以到达小神阁?"白重炙也看到了这一奇异の情况,张大了嘴巴,睁着眼睛不敢相信般,整个落神山都被白雾环绕,微微山顶有半截,可以清晰の看到山顶の景色,而封顶竟然悬浮着一个阁楼摸样の建筑物. "嘿嘿,之所以我们那么肯定,只要能过去第三关就能达到小神阁,现在你们相信了吧, 千万年来,这个传说从来没有人怀疑过,就是因为封顶の小神阁,の确是实实在在存在の,而且落神山の许多奇妙之处,也证明了这一点！"夜青牛点了点头,叹道. "太神奇了,の确太神奇了！小神阁竟然可以看到?那为什么没人直接飞上去?闯入小神阁,直接拿取宝物哪?"夜轻舞抽动了一下她 の小鼻子,疑惑不解の问道. "傻丫头,要是有那么容易,小神阁早就不存在了！"白重炙看着夜轻舞抖动鼻子可爱の摸样,眼中闪过一丝温柔,调笑道. "呵呵,小舞,你最近脑袋有点转不过弯来哦,小寒子说の对,要是那么容易,落神山早就毁了,传说中,只要得到小神阁の至宝,那么落神山将会 自动毁灭.至于为什么没人直接飞上去,这点就是刚才我说过の落神山の奇妙之处,只要靠近落神山,没人都会受到一种无形の禁制之力,没有人能飞,只能用脚一步步の走,而且里面の重力非常强大,等会你们亲自去体验一下就知道了…"夜青牛宠爱の摸了摸夜轻舞の头,耐性の为她解释道. "额,平叔,开快点,我要去落神山哪里好好玩玩！"夜轻舞朝白重炙飞了个白眼,转头朝坐在马车前の夜平说道. …… 望山跑死马,虽然远远就可以看到高高地落神山,但是车队在疾驰一个多小时之后才在众公子女主の终于赶到山脚之下. "原地休整,给他们玩半个小时吧！" 夜青牛淡淡の 声音从马车内传出,各马车内长老齐齐淡淡一笑,都下令停止了前行,而马车内の公子女主们,早就在马车停止の那一刻,跳下了马车,准备下去好好观察一下这闻名已久の落神山. 白重炙也微微一笑,跟着夜轻舞の脚步,跳下马车,准备朝落神山那边走去.好好观察一下这让父亲夜刀陨落の绝 地. 只是…当他刚跳下马车の时候,竟然感觉身体竟然比平常中了许多倍般,一股巨力猛然朝他身子压下,脚落地の时候,他の腿不由自主の一弯,险些坐在了地上,而且身体血液也感觉流动の缓慢了几分,胸口一阵气闷,浑身不舒服. "什么情况?敌袭?" 白重炙第一时间,战气高速运转,战智 直接合体,全身四顾开始探查起四周の情况起来. 只是…四周并没有出现陌生人,而他发现同时下地の夜轻舞和风紫花草,也是脸惊容,正紧张の四处观望着,显然他们也遇到了同时の情况. "哎呀！" 这时龙水流,刚刚跳下马车,估计是下得太仓促,竟然没站稳,直接一屁股坐在了地上.而他 也在第一时间从手中掏出了剑,开始紧张の四处观望起来. "都别紧张…"龙赛男慢条斯文の从另外一辆马车上走了下来,看着剑拔弩张の众人,微微一笑道："这是落神山奇妙の环境之一,这里の重力是平常の地方の十倍,你们适应一下就没事了！" "额…"白重炙也利马反应过来,好像夜青 牛早上和他说过,这里重力比平常地方强,他当时还没怎么在意,只是没想到,这里の重力竟然达到这么恐怖の地步.在马车上没注意到,此刻下来竟然让人感觉行走都困难,而且刚才一跳,血液都感觉逆流一般,浑身不舒服. 此刻龙赛男一提醒,白重炙连忙解除战智合体,战气运转几个周天,开 始调整身体状态起来.夜青牛和这么多帝王境在一旁,如果有人来刺杀の话,他们早就发现了.而此刻他们依旧安静の坐在马车上,就
极差方差标准差(整理)
北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。
3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。
4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。
接近这组数据的平均数的一个常数。
二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。
解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。
（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。
什么是标准差和方差
什么是标准差和方差
首先，让我们来了解一下方差。
方差是一组数据与其平均值之间差异的平方和的平均值。
方差的计算公式为，方差 = Σ(xi μ)² / n，其中Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的平均值，n代表数据的个数。
方差的计算过程可以帮助我们了解数据点与平均值之间的离散程度，方差越大表示数据点之间的差异越大，方差越小表示数据点之间的差异越小。
接下来，让我们来了解一下标准差。
标准差是方差的平方根，它用来衡量数据的离散程度或者波动程度。
标准差的计算公式为，标准差 = √方差。
标准差通常用来描述数据的分布情况，标准差越大表示数据的波动越大，标准差越小表示数据的波动越小。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来衡量数据的稳定性和可靠性。
例如，在投资领域，我们可以用标准差来衡量不同投资组合的风险，标准差越大表示投资组合的风险越高；在质量管理中，我们可以用方差来衡量产品质量的稳定性，方差越小表示产品质量越稳定。
此外，方差和标准差还经常用来进行数据的比较和分析。
通过比较不同数据集的方差和标准差，我们可以了解它们的差异性和稳定性，从而做出更合理的决策。
总之，标准差和方差是统计学中非常重要的概念，它们在描述数据分布和变异程度方面起着关键作用。
通过对数据的方差和标准差进行分析，我们可以更好地理解数据的特征和规律，为决策提供更可靠的依据。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用标准差和方差这两个概念。
极差 方差 标准差
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的 变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对 其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方 法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组 数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变 化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感 的指标。 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据 的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单 位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
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2.分别计算下列各组数据的平均数、极差、
方差： (1) 3, 4, 5, 6, 7； (2) 23, 24, 25, 26, 27； (3) 6, 8, 10, 12, 14. 观察上述各组数据之间的规律，以及各组数 据的平均值、方差之间的联系，用算式表示 你猜想出的结论．
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫 做这组数据的极差，极差反映的是这组数据 的变化范围或变化幅度．
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2.方差和标准差的符号和计算公式是怎样 的？它们反映了这组数据哪方面的特征
80 70 60 成绩 （分） 甲
乙
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一 二 三 四 五 月 月 月 月 月
1.从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛， 预赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下： 甲：9， 8， 9， 9， 8，9.5， 10，10， 8.5， 9； 乙：8.5， 8.5，9.5， 9.5，10， 8， 9，9，8，10． 则甲的平均数是 ，乙的平均数是 你认为派 去参加比赛比较合适？ 请结合计算加以说明． ．
极差、方差、标准差
（2）3 3 3 6 9 9 9；
小明的烦恼
在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语 成绩分别如下（单位：分） 数学 英语 70 80 95 85 75 90 95 85 90 85
通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？ 对小明的学习你有什么建议？
平均数:都是85 方差:①数学 110; ②英语 10
建议：英语较稳定但要提高; 数学不够稳定有待努力 进步!
数据的单位跟方差的单位是不一致的，方 差的单位是数据单位的平方，为了使单位 一致，可用方差的算术平方根，我们把它 叫做标准差：
_ _ _ 1 2 2 2 s ( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
方差的算术平方根叫做标准差
极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映 数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值 之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感. 方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据 与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的 变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情 况更敏感的指标.
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么 差异呢？根据上表提供的数据,绘制出相应的 折线图,我们进行分析．
不同时段的最高气温
25
22 20
1516 10 2001年 2002年
9 56
0
日
日
日
日
日
日
日 27
21
22
23
24
25
26
通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比 较大-------从6 ℃到22℃ ，而2002年同期的气温 波动比较小---------从9 ℃到16 ℃.
21.3极差、方差与标准差 第1课时 学案
21.3《极差、方差与标准差》第1课时学案教学目标：知识与技能：了解刻画数据离散程度的三个量的概念，能借助计算器求出相应标准差和方差。
过程与方法：能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并解决实际问题。
情感、态度与价值观：主动参与探究活动，开拓思路，在复杂的关系中寻找问题关键。
教学重点：理解识记方差公式，灵活运用方差公式解题。
教学难点：灵活运用方差公式解决实际问题。
研讨过程：一、情境导入1．某学校初三一班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)!统计如下：甲：65 94 95 98 98乙：62 71 98 99 100(1)分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数.(2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数.2．P150问题1（1）从表中可以看出，2001年2月下旬和2002年同期的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温总体上比2001年同期高吗?（2）比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请求平均数。
（3）经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢?本课我们来学习“表示一组数据离散程度的指标”二、探索新知1．极差根据两段时间的气温情况绘成折线图.观察它们有差别吗?通过观察，可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大)从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃.思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小?引导学生得出极差：我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为 .练习：1．求下列各题中的极差(1)某班里个子最高的学生身高为1.75米，个子最矮的学生身高为1.42米，求该班所有学生身高的极差.(2)小华家中，年纪最大的长辈的年龄是78岁，年纪最小的孩子的年龄是9岁，求小华家中所有成员的年龄极差.2．你也结合生活实际，编一道极差的题目. 问题2：(1)极差与数据变化范围大小的关系是什么?(2)为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”?3．方差、标准差.问题3：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定?为什么?(1)计算出两人的平均成绩.(2)画出两人测试成绩的折线图，如图. (3)观察发现什么?通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度?我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差 ，而小明的 .那么如何加以说明呢?可以直接将各数据与 的差进行累加吗? 试一试：(1)在下表中，写出你的计算结果.通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?(2)如果不行，请你提出一个可行的方案，在表中，格子中写上新的计算方案，(3)思考：如果一共进行7次测试，小明因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填人右表中：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.这个结果通常称为 .我们通常用S 2表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，x 1、x 2、…、x n 表示各个数据，方差的计算公式：问题4：观察S 2的数量单位与原数据单位一致吗?如何使其一致呢?教师总结：在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是 .即：练习：计算(1)小明5次测试成绩的标准差为( ). (2)小兵5次测试成绩的标准差为( ).问题5：从标准差看，谁的成绩较为稳定?与前面依据方差所得到的结论一样吗?三、回顾反思1．极差可反映出一组数据的变化范围.2．方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度、稳定性.四、当堂检测课本154页练习1、2题 教学反思：21.3《极差、方差与标准差》第2课时学案一、情境导入我们知道“表示一组数据离散程度的指标”有极差、方差和标准差极差：最大值一最小值方差：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”标准差＝方差，方差＝标准差2.用笔算的方法计算标准差比较繁琐，如果能够利用计算器，就会大大提高效率．二、探索新知以课本P155为例讲解示范，学生根据自己的计算器进行统计，教师巡回指导.课本155页练习1、2题三、回顾反思1．极差可反映出一组数据的变化范围.2．方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度、稳定性.3.计算器能大大提高我们统计的效率。
方差与标准差
区别： 区别： 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均” 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的 方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况， 方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映 一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标， 一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据 的变化都将影响方差的结果， 的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况 更敏感的指标。 更敏感的指标。 在实际使用时，往往计算一组数据的方差， 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数 据的波动大小。 据的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形， 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据 单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。 单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
现在可以判断了吗？试试看。 现在可以判断了吗？试试看。
标准差的定义
为了使得与数据单位一致， 为了使得与数据单位一致，可用方差的 算术平方根来表示（即标准差）： 算术平方根来表示（即标准差）：
1 2 2 [( x1 − x)2 + ( x2 − x) + L( xn − x) ] S= n
，S为标准差。 为标准差。 为标准差 一般来说，一组数据的方差或标准差越小， 一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数 据离散程度越小，这组数据就越稳定。 据离散程度越小，这组数据就越稳定。 特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据 特殊的：如果方差与标准差为零， 都没有偏差， 都没有偏差，即每个数都一样 。
P47 练习 1，2 ，
（探究题）已知数据x1、x2、x3、x4、x5的 探究题）已知数据
1 平均数是2， 平均数是 ，方差是 ， 那么另一组数据 3
2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的 ， ， ， ， 的 平均数和方差分别是（ 平均数和方差分别是（ D ） A、2， 、 ，
极差、方差、标准差2
极差和方差都是表示一组数据离散程 度的指标. 度的指标 极差大只能说明这组数据中的最大值 与最小值的离散程度大,但不表示其他数 与最小值的离散程度大 但不表示其他数 据的波动大小.极差不能准确的衡量数据 据的波动大小 极差不能准确的衡量数据 中的波动程度 方差反映一组数据的整体波动大小的指 标数,反映的是一组数据偏离平均值的大小 反映的是一组数据偏离平均值的大小. 标数 反映的是一组数据偏离平均值的大小 因此极差大的一组数据的方差并不一 定大. 定大
动脑筋 某旅游区上山有甲、 某旅游区上山有甲、乙两条石级 图中数字表示每一级的高度） 路（图中数字表示每一级的高度）
14
（1）整修前走这两条石 ） 级路中的哪一条更舒服？ 级路中的哪一条更舒服？ 15 为什么？ 为什么？ 14 （2）为方便游客，旅游区打算 甲 ）为方便游客， 重新整改修石级路， 重新整改修石级路，实际个数不 时走起 变，应把石级定为 来舒服。 来舒服。
13 13 15
14 15 11 13 14
17
乙
结束寄语
可以用一次的想法是一个决 窍,如果它可以用两次以 那就成为一种方法了. 上,那就成为一种方法了.
祝同学们学习进步！ 祝同学们学习进步！
(3 解： ) x甲 = x乙 说明甲乙两名战士的平 均水平相当。
又因为 s 〉 s ，说明甲战士射击情况 波动大，
2 甲 2 乙
−
−
乙战士比甲战士射击情 况稳定。
老师的烦恼
王虎和李明谁的数学成绩更好
次数
1
2 79 84
3 81 89
4 84 79
5 85 81
6 82 91
7 83 79
8 86 76
哪种灯管的使用寿命长?哪种质量比较稳定 哪种灯管的使用寿命长 哪种质量比较稳定? 哪种质量比较稳定
人教版八年级下册数学数学课题学习体质健康测试中的数据分析同步练习解析版
20.3课题学习体质健康测试中的数据分析同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）A．平均数和众数 B．众数和极差C．众数和方差 D．中位数和极差选D2．在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．故选D．3．下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（）A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数解：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．故选C．4．表为甲班55人某次数学小考成绩的统计结果，关于甲班男、女生此次小考成绩的统计量，下列叙述何者正确？（）成绩50 70 90（分）10 10 10男生（人）5 15 5女生（人）15 25 15合计（人）A．男生成绩的四分位距大于女生成绩的四分位距B．男生成绩的四分位距小于女生成绩的四分位距C．男生成绩的平均数大于女生成绩的平均数D．男生成绩的平均数小于女生成绩的平均数解：由表可知，男生成绩共30个数据，∴Q1的位置是=7，Q3==23，则男生成绩Q1是第8个数50分，Q3是第23个数90分，∴男生成绩的四分位距是=20分；女生成绩共25个数据，∴Q1的位置是=6，Q3的位置是=19，则女生成绩Q1是第6、7个数的平均数70，Q3是第19、20个数的平均数70，∴女生成绩的四分位距是0分，∵20＞0，∴男生成绩的四分位距大于女生成绩的四分位距，故A正确，B错误；∵==70（分），==70（分），∴男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数，故C、D均错误；故选：A．5．刻画一组数据波动大小的统计量是（）A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数解：由于方差反映数据的波动情况，衡量一组数据波动大小的统计量是方差．故选B．6．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差解：知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．故选B．7．小颖随机抽样调查本班20名女同学所穿运动鞋尺码，并统计如表：尺码/cm 21.5 22.0 22.5 23.0 23.5人数 2 4 3 8 3学校附近的商店经理根据表中决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋，商店经理的这一决定应用了哪个统计知识（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差解：由表可知，运动鞋尺码为23.0cm的人数最多，所以经理决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋主要根据众数．故选A．8．小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.5 8.3 8.1 0.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选B．9．以下是期中考试后，班里两位同学的对话：小晖：我们小组成绩是85分的人最多；小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分以上两位同学的对话反映出的统计量是（）A．众数和方差 B．平均数和中位数C．众数和平均数 D．众数和中位数解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选D．10．下列说法不正确的是（）A．数据0、1、2、3、4、5的平均数是3B．选举中，人们通常最关心的数据是众数C．数据3、5、4、1、2的中位数是3D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是S甲2=0.1，S乙2=0.11，则甲组数据比乙组数据更稳定解：A、数据0、1、2、3、4、5的平均数是×（0+1+2+3+4+5）=2.5，此选项错误；B、选举中，人们通常最关心的数据是得票数最多的，即众数，此选项正确；C、数据3、5、4、1、2从小到大排列后为1、2、3、4、5，其中位数为3，此选项正确；D、∵S甲2＜S乙2，∴甲组数据比乙组数据更稳定，此选项正确；故选：A．二．填空题（共4小题）11．用于衡量一组数据的波动程度的三个量为极差、方差、标准差．解：极差、方差和标准差都是衡量一个样本一组数据波动大小的统计量．故答案为：极差、方差、标准差．12．有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是中位数（填众数或方差或中位数或平均数）解：因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为：中位数．13．某服装店销售一款新式女式T恤，试销期间对该款不同型号女式T恤的销售量统计如下表：型号X XL XXL XXXL销售量/件 1 8 5 1该店经理如果想要了解哪种型号女式T恤销售量最大，那么他应关注的统计量是众数．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故答案为：众数．14．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件，对它们的使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：4，6，6，6，8，9，12，13．乙：3，3，4，7，9，10，11，12．丙：3，4，5，6，8，8，8，10．三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年．请根据结果判断，厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：平均数，乙：中位数，丙：众数．解：（1）甲厂的抽检产品中，平均数为（4+6+6+6+8+9+12+13）÷8=8.75，所以他们选择了平均数8作为他们广告的依据；乙厂的抽检产品中，中位数是（7+9）÷2=8，所以他们选择了中位数8作为他们广告的依据；丙厂的抽检产品中，8出现的次数最多，所以他们选择了众数8作为他们广告的依据；故答案为：平均数，中位数，众数．三．解答题（共4小题）15．某校要从八年级甲、乙两个班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的两个班女生的身高如下（单位：cm）：甲班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170乙班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167（1）补充完成下面的统计分析表：班级平均数方差中位数甲班168 168乙班168 3.8（2）根据如表，请选择一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取．解：（1）甲班的方差=×[（168﹣168）2+（167﹣168）2+（170﹣168）2+…+（170﹣168）2]=3.2；乙班的中位数为168；补全表格如下：班级平均数方差中位数甲班168 3.2 168乙班168 3.8 168（2）选择方差做标准，∵甲班方差＜乙班方差，∴甲班可能被选取．16．某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：人员经理会计厨师服务员1 服务员2勤杂工月工资（元）4000 600 900 500 500 400（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由；若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法．解：（1）平均月工资=（4000+600+900+500+500+400）÷6=1150（元），（2）∵能达到这个工资水平的只有1人，∴平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，这组数据的众数是500元，才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平，原因是它符合多数人的工资水平．17．在洋浦一新开业的以经营男式皮鞋为主的鞋店当服务员的阿丽是个做事善于观察的小姑娘，上班一段时间后，她发现各种尺码的男式皮鞋销量并不均衡，于是她把这个发现记录下来交给了她的老板：尺码37 38 39 40 41 42 4312 15 22 28 32 30 4销量（双）你认为这个销售记录对老板管理鞋店生意有用吗？如果你认为有用，请说明你的理由，并请你帮这个老板策划一下如何利用这些信息？解：这个销售记录对老板有用，∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，∴鞋店老板最喜欢的是众数．∴建议老板进货时多进41号的男鞋．18．在八次数学测试中，甲、乙两人的成绩如下：甲：89，93，88，91，94，90，88，87 乙：92，90，85，93，95，86，87，92请你从下列角度比较两人成绩的情况，并说明理由：（1）分别计算两人的极差；并说明谁的成绩变化范围大；（2）根据平均数来判断两人的成绩谁优谁次；（3）根据众数来判断两人的成绩谁优谁次；（4）根据中位数来判断两人的成绩谁优谁次；（5）根据方差来判断两人的成绩谁更稳定．解：（1）甲的极差为：94﹣87=7分乙的极差为：95﹣85=10∴乙的变化范围大；∴乙的变化范围大．89，93，88，91，94，90，88，87 乙：92，90，85，93，95，86，87，92（2）甲的平均数为：（89+93+88+91+94+90+88+87）÷8=90，乙的平均数为：（92+90+85+93+95+86+87+92）÷8=90，∴两人的成绩相当；（3）甲的众数为88，乙的众数为92，∴从众数的角度看乙的成绩稍好；先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
衡量数据分散程度的常用指标
衡量数据分散程度的常用指标要衡量数据分散程度，常用的指标包括方差、标准差和极差。
1. 方差（Variance）：方差是数据分散程度的一个重要指标。
它是各个数据与数据均值之差的平方的平均值。
方差越大，表示数据分散程度越大。
方差的计算公式如下：V(X)=E[(X-E(X))^2]其中，X代表数据集合，E(X)代表数据的均值，E代表期望运算，^2代表平方运算。
通过计算每个数据与均值之差的平方，再对所有差值进行平均，即可得到方差。
2. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，是用来度量数据分布的离散程度的一个指标。
标准差越大，表示数据的变异程度越大。
标准差的计算公式如下：σ = sqrt(V(X))其中，σ代表标准差，sqrt代表开方运算，V(X)代表方差。
3. 极差（Range）：极差是一组数据最大值和最小值之间的差。
它是最简单的度量数据分散程度的指标，但是它没有考虑到整体数据的分布情况。
极差的计算公式如下：Range = Max(X) - Min(X)其中，Range代表极差，Max(X)代表数据的最大值，Min(X)代表数据的最小值。
这些指标可以在数据分析中提供关于数据分布的有用信息。
方差和标准差更适合正态分布的数据分析，因为它们可以捕捉到数据在均值附近的波动。
而极差则更适合非正态分布的数据分析，因为它可以直观地反映整体数据的离散程度和差异。
除了以上的指标，还有其他一些常用的衡量数据分散程度的指标，如离散系数（Coefficient of Variation）、四分位差（Interquartile Range）等。
离散系数用标准差除以均值，可以比较不同数据集的变异程度。
四分位差是指将数据分成四个等分，取第一四分位数和第三四分位数之差。
在实际应用中，根据具体的情况和数据分布特点选择合适的衡量指标来度量数据分散程度非常重要。
不同的指标在不同的数据集上可能会有不同的效果。
因此，在使用这些指标时需要结合实际情况进行综合考虑，以得到更准确的分析结果。
标准偏差和方差
标准偏差和方差标准偏差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来分析数据的稳定性和可靠性。
本文将对标准偏差和方差进行详细介绍，以便读者更好地理解这两个重要的统计指标。
标准偏差是用来衡量数据的离散程度的一个常用指标。
它表示一组数据的离散程度，标准偏差越大，说明数据的离散程度越高，反之则越低。
标准偏差的计算公式为，标准偏差 = 平均数数据值的平方和的平均数。
在实际应用中，我们通常会用标准偏差来评估一组数据的稳定性，以便更好地分析和理解数据的特点。
方差是另一个常用的衡量数据离散程度的指标。
它是一组数据与其平均值之差的平方的平均值。
方差越大，说明数据的离散程度越高，反之则越低。
方差的计算公式为，方差 = （数据值平均数）的平方和的平均数。
方差在实际应用中也扮演着重要的角色，它可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而做出更准确的分析和判断。
在实际应用中，标准偏差和方差经常会一起使用，以便更全面地评估数据的离散程度。
通过对标准偏差和方差的分析，我们可以更好地理解数据的特点，从而做出更准确的决策。
在统计学中，标准偏差和方差是两个非常重要的指标，它们可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，为我们的分析和决策提供重要的参考依据。
总的来说，标准偏差和方差是统计学中常用的两个指标，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
通过对这两个指标的分析，我们可以更好地理解数据的特点，从而做出更准确的分析和判断。
希望本文对读者能够有所帮助，更好地理解和应用标准偏差和方差这两个重要的统计指标。
方差 标准差
方差标准差方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在统计学中，我们经常需要对数据进行分析和比较，而方差和标准差就是帮助我们来理解数据分布和波动情况的重要工具。
首先，让我们来了解一下方差。
方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值。
在实际应用中，方差可以帮助我们衡量数据的离散程度，即数据的波动情况。
如果一组数据的方差较大，表示数据点偏离平均值较远，数据的波动较大；反之，如果一组数据的方差较小，表示数据点相对集中在平均值附近，数据的波动较小。
接下来，让我们来了解一下标准差。
标准差是方差的平方根，它和方差一样，也是用来衡量数据的离散程度的。
标准差的计算方法是先求出方差，然后再对方差进行平方根运算。
标准差的好处在于它和原始数据具有相同的量纲，因此更容易理解和比较不同数据集的波动情况。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和可靠性。
比如，在金融领域，投资者会用标准差来衡量资产的风险程度；在质量管理中，工程师会用方差来评估生产过程的稳定性。
总的来说，方差和标准差是非常重要的统计指标，它们可以帮助我们更好地理解和解释数据的波动情况。
除了用来衡量数据的离散程度外，方差和标准差还可以用来比较不同数据集之间的差异。
通过比较不同数据集的方差和标准差，我们可以得出它们的波动情况，从而进行更深入的数据分析和挖掘。
在实际工作中，我们经常会用方差和标准差来评估实验数据的可靠性，或者分析不同产品的质量差异。
需要注意的是，方差和标准差都是对数据波动情况的衡量指标，但是它们并不能告诉我们数据的分布情况。
在实际应用中，我们还需要结合其他统计方法来全面地分析数据，以便更好地理解数据的特点和规律。
综上所述，方差和标准差是统计学中重要的概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度，比较不同数据集的波动情况，评估数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用方差或者标准差来进行数据分析和比较，从而更好地理解和解释数据的特点。
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21.3极差、方差与标准差
备课人：张秀丽审阅人：学生姓名：____________时间：
【学习目标】：
理解极差和方差的意义和作用，并会求方差的值并分析数据信息，判断数据的波动性大小。
【自主学习】：
1、一组数据2，2，4，5，6的中位数是( )
A、2
B、4
C、5
D、6
2、为参加“初中毕业生升学体育考试”，小亮同学在练习投掷实心球时，测得5次投掷成绩分别为：8，8.2，，8.5，8，8.6(单位：m)，则这组数据的众数是、中位数是。
3、初二某班最高的同学为1.75米，最矮的同学为1.35米，则最高与最矮的同学身高差是。
归纳：一组数据中的最大数据与最数据的差叫做这组数据的差。
极差能够反映数据的变化范围。
(1)两队的参赛选手的平均年龄分别是多少？
(2)你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗？
解：x甲= ，x乙= ，即甲、乙两队参赛选手的平均年龄。
问题：从平均数能看出两队参赛选手的平均年龄波动大小吗？答：
P的两个图表，从图可以判断队选手的年龄与其平均年龄的偏差
参阅课本
139
较，队选手的年龄与其平均年龄的偏差较。
归纳：1、衡量数据的波动大小可以用 来表示。
方差的求法：设有n 个数据12,,n x x x …，中，各数据与它们的平均数
的差的平方分别是
，那么我们求它们的平均数，即用
，方差记作2s 。
方差的意义：方差越大，数据的波动越 ；方差越小，数据的波动越 。
5、标准差概念：
有时，需用到方差的算术平方根，即
把S 叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。
6、在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm ）分别是
甲团 163 164 164 165 165 165 166 167
乙团 163 164 164 165 166 167 167 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？(可用计算器)
解：甲、乙两团演员的平均身高分别是
【探究讨论】（自主学习不会的小组合作）
【成果展示】：（方法;小组解决不了的问题由已掌握）
【达标测评，拓展提升】：
≈=≈= 8 8 乙甲x x =-++-+-==8)166 ()166 ()166 (8
165 165 (165 22222222 乙甲）－＋（＋）－＋）－（＝s s 高更整齐。
芭蕾舞团的女演员的身可知，由乙甲 22s s
1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 。
2、一组数据
3、-1、0、2、X 的极差是5，且X 为自然数，则X= 。
3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.极差
4、一组数据X 1、X 2…X n 的极差是8，则另一组数据2X 1+1、2X 2+1…，2X n +1的极差是（ ）
A. 8
B.16
C.9
D.17
5、一组数据：-2 -1, 0, x, 1，
的平均数是0，则x = ，方差=2S 。
6、样本方差的作用是( )
A 、估计总体的平均水平
B 、表示样本的平均水平
C 、表示总体的波动大小
D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
7、已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、2
8、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差为 。
:
(1) 分别计算两组数据的平均数和方差；
(2) 从计算的结果看，在10天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的波动较小？
10、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
请你经过计算后回答如下问题：
（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？
（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？
【课堂小结】：（谈谈学习本节课收获或疑难问题）
【教（学）后记】。