余弦定理课件
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《余弦定理》课件八(21张PPT)(人教A版必修5)
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
24
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
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小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高中数学《余弦定理》课件
20
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解析 (1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得 a∶ b∶c＝7∶5∶3，∴边 a 最大．又 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23，
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课堂互动探究
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【跟踪训练 3】 在△ABC 中，若(a－ccosB)sinB＝(b －ccosA)sinA，判断△ABC 的形状．
解 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
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拓展提升 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法 一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用 解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
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【跟踪训练 2】 (1)在△ABC 中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__1_2_0_°___；
(2)在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长．
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
《余弦定理》课件
例1：在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82 ∴a≈41(cm) 故由正弦定理可得
∵c<a，故C是锐角 ∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°
（2）已知a=2，b= ，c=
，求A. 45o
➢比较 已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.
解：由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B 72 82 c2 2 8 c cos60 整理得 c2 8c 15 0 解得 c 3或c 5
练习：已知在△ABC中，a=1，b=
c=3
，B=60o，求c.
解三角形问题的四种基本类型：
（1）知两角及一边： 求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： 需要判断解的个数 求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边；
②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
余弦定理
谢智强 舞阳中专
解：∵由正弦定理可得
又∵c<b ∴C是锐角
先确定角的范围
再确定角具体数值
解：∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 思路2：依条件可知，
C
a b
Ac=？BFra bibliotek解题小结：
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
高一数学余弦定理课件.ppt
思考：
如果已知一个三角形的两条边及其 夹角，根据三角形全等的定理，该三角 形大小形状完全确定，那么如何解出这 个三角形呢？
2.余弦定理
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c. （1）向量法
设
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c
2
x
．
因为 y AB BC AC ，
所以
y
4 sin
x
4 sin
2
x
2
3
0
x
2 3
，
（2）因为 y 4 sin x
cos
x
1 2
sin
x
2
3
4
3
sin
x
2
3
x
5
，
所以，当 x ，即 x 时， y 取得最大值 6 3 ．
b2 ac ，求 B 。
B=P/3
1． 17．(2008 年高考全国卷Ⅰ-文科)（本小题满分 12 分）
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B 3，bsin A 4 ． （Ⅰ）求边长 a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l ．
17．解：（1）由 a cos B 3与 bsin A 4 两式相除，有：
3 a cos B a cos B b cos B cot B 4 bsin A sin A b sin B b
又通过 acos B 3知： cos B 0 ，则 cos B 3 ， sin B 4 ，则 a 5 ．
a b 2 3，ab 2
c2 a 2 b2 2ab cosC
高中数学《余弦定理》公开课PPT课件
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余
弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°， ∴∠CDB＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
[点评] 判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
变式训练2
在△ABC中，已知cos2
A 2
＝
b＋c 2c
(a，b，c分
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30°，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×c 2ac ＝
32×2＋32×322－3 32＝12.
∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
[点评] 1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属 于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值．
解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
高中数学《余弦定理》精品PPT课件
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB
c
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 课件(共47张PPT)
a2＋b2－c2
(3)sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝2R
cos C＝____2_a_b_____
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时， 使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)若 2a＋b＝2c，求sin C. [解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
已知B＝150°.
①若a＝ 3c，b＝2 7，求△ABC的面积；
②若sin A＋ 3sin C＝ 22，求C.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sina A＝sinb B可
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
余弦定理_PPT课件
人教版A版 高中数学必修5 第一章《解三角形》
1.1.2 余弦定理
复习回顾
1.正弦定理
abc sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用
C
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
b
a
另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另
A
B 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下： 若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解; 若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
＝2R
（R为△ABC 外接圆半径）
补充作业
O
∴cosA＝ AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
＝2
√365
,
∴ A≈84°.
A C
x
加深提高： 1.在ABC中，已知 a 7，b 10， c 6，试判断 ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3：5：7， 求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
延伸变形：
cos
A
b2
c2
a2
，
2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1.1.2 余弦定理
复习回顾
1.正弦定理
abc sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用
C
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
b
a
另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另
A
B 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下： 若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解; 若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
＝2R
（R为△ABC 外接圆半径）
补充作业
O
∴cosA＝ AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
＝2
√365
,
∴ A≈84°.
A C
x
加深提高： 1.在ABC中，已知 a 7，b 10， c 6，试判断 ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3：5：7， 求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
延伸变形：
cos
A
b2
c2
a2
，
2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 。 2ab
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
余弦定理-教学课件
余弦定理
推论
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c________，
a2＋c2－b2 cos B＝_____2_a_c_______，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_______
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
且 C＝60°，则 ab 的值为
√A.43
B.8－4 3
2
C.1
D.3
解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C ＝(a＋b)2－2ab－2abcos C， 得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C) ＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4， ∴ab＝43.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
12345
5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度， 工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C 的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点 间的距离为 3km.
解析 在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°. 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos C ＝12＋12－2×1×1×cos 120°＝3. ∴AB＝ 3 km. 即 A，B 两点间的距离为 3 km.
√A.π6
B.π3
C.π3或23π
D.π6或56π
解析 ∵a2－b2＋c2＝ 3ac， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝ 23aacc＝ 23， 又 B 为△ABC 的内角，∴B＝π6.
12345
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋ cacos B＋abcos C，则△ABC是_直__角___三角形.(填“锐角”“直角”或 “钝角”) 解析 由余弦定理得 c2＝bc·b2＋2cb2c－a2＋ac·a2＋2ca2c－b2＋ab·a2＋2ba2b－c2， 即c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形.
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北师大版数学教材 必修5
D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
北师大版数学教材 必修5
D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
北师大版数学教材 必修5
(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
北师大版数学教材 必修5
（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
北师大版数学教材 必修5
在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理
北师大版数学教材 必修5
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理的数学描述：
北师大版数学教材 必修5 第二章:解三角形
§1.2 余弦定理
陕西师大附中 王全
wangquan1978@
一、复习回顾
北师大版数学教材 必修5
我们知道，对于三角形的三条边长和三个内角，如果给定其中的三个 独立条件，那么就可以求出这个三角形的其它边长或内角。
问题1 对于一个三角形，给定其中三个独立条件的情况有哪几种？
五、定理剖析
1.勾股定理是余弦定理的特例. 2.余弦定理的推论：
北师大版数学教材 必修5
3.余弦定理的作用：
③已知两边及夹角 ④ 已知三边
六、定理应用
北师大版数学教Biblioteka 必修5问题5 请阅读教材第50页中例5的解答过程,你认为有哪些问题应关注？
七、拓展整合
例4 请用余弦定理解答教材第46页的例2.
① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③已知两边及夹角
④已知三边
问题2
在以上几种情况中，哪些比较适合用正弦定理来求解？
二、提出问题
问题3
北师大版数学教材 必修5
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8, C＝60 °, 求边AB的长.
三、合作探究
问题4 合作交流： (1)交流你们的解法，完善你们的解法；