高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.2三角函数的图象和性质导学案苏教版必修

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高中数学高一必修第一章《三角函数的图象与性质》教育教学课件

点是 (0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键
点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1) .
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
填要点·记疑点
3.正弦、余弦曲线的联系
根据引诱公式cos x＝sin x＋π2 ，要得到y＝cos x的
第一章三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
MORESHI POWERPOINT 主讲老师：
CONTENTS
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
明目标、知重点
• 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. • 掌控“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能
用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. • 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
明目标、知重点
摸索2 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x， x∈R的图象？答由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
摸索2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法简称“五点法”.

高中数学第一章基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准．题型三函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。

三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教

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中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
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2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____．解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段如图所示，求此函数的解析式．
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解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2，所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
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法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．

《1.3.2三角函数的图象与性质(二)》教学案

《1．3.2三角函数的图象与性质（二）》教学案第2课时正切函数的图象与性质●三维目标 1．知识与技能(1)能画出y ＝tan x 的图象，并能借助图象理解y ＝tan x 在(－π2，π2)上的性质．(2)会利用正切函数的单调性比较函数值大小．(3)理解正切函数的对称性． 2．过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃． ●重点难点重点：正切函数的图象与性质．难点：理解正切函数在(－π2，π2)上的性质，并会运用性质解决简单问题．教学方案设计●教学建议 1．正切函数的性质建议教师引导学生根据正、余弦函数的图象和性质研究正切函数的性质． 2．正切函数的图象建议教师在教学中，让学生先画出在区间(－π2，π2)内的图象，体会正切函数图象的形态，并对图象进行平移，观察函数的性质，有条件的话，可以借助多媒体演示作图的过程和图象的变化趋势．提醒学生对正切函数图象的理解并记忆正切函数的性质． ●教学流程创设问题情境，引导学生探究正切函数的图象和性质.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握正切函数定义域、值域的应用，并总结在求定义域、值域时注意的事项.⇒通过例2及其变式训练，解决利用正切函数的单调性求函数的单调区间和比较正切值大小问题.⇒通过例3及其互动探究，掌握与正切函数有关的函数图象变换问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. 课前自主导学1．说出正切函数y ＝tan x 的定义域与值域．【提示】定义域为{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }，值域为R . 2．正切函数的奇偶性如何？【提示】正切函数的定义域关于原点对称，又由tan (－x )＝－tan x 可知，正切函数y ＝tan x 为奇函数．正切函数的图象与性质例1 (1)函数y ＝log 12tan (π4－x )的定义域是________． (2)求函数y ＝tan 2(3x ＋π3)＋tan (3x ＋π3)＋1的定义域和值域．【思路探究】 (1)列出使函数有意义的不等式，再求解即可．(2)求定义域可把3x ＋π3看成一个整体，结合函数y ＝tan x 的定义域求解，利用换元法求值域．【自主解答】 (1)由题意tan (π4－x )＞0，即tan (x －π4)＜0，∴kπ－π2＜x －π4＜kπ，∴kπ－π4＜x ＜kπ＋π4，k ∈Z .【答案】 (kπ－π4，kπ＋π4)(k ∈Z )(2)由3x ＋π3≠kπ＋π2，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |x ≠k π3＋π18(k ∈Z )}，设t ＝tan (3x ＋π3)，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12)2＋34≥34， ∴原函数的值域是[34，＋∞)．规律方法1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．2．求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．变式训练(1)函数y ＝1tan x (－π4＜x ＜π4)的值域是________． (2)求函数y ＝1x 的定义域．【解】 (1)∵－π4＜x ＜π4， ∴－1＜tan x ＜1，即1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)要使y ＝1an x 有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，tan x ＞0，tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，k π＜x ＜k π＋π2k ∈Z ，x ≠k π＋π4k ∈Z∴函数y ＝1x 的定义域为(kπ，kπ＋π4)∪(π4＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z ).例2 (1)求函数y ＝tan (－12x ＋π4)的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 (1)将函数转化为y ＝－tan (12x －π4)，然后把12x －π4看成一个整体，利用y ＝tan x 单调区间求解．(2)把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较．【自主解答】 (1)y ＝tan (－12x ＋π4)＝－tan (12x －π4)．由kπ－π2＜12x －π4＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－π2＜x ＜2kπ＋32π(k ∈Z )．∴函数y ＝tan (－12x ＋π4)的单调递减区间是 (2kπ－π2，2kπ＋32π)(k ∈Z )．(2)tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π)．又∵π2＜2＜π， ∴－π2＜2－π＜0， ∵π2＜3＜π， ∴－π2＜3－π＜0，显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)内是增函数，∴tan (2－π)＜tan (3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法1．求y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－π2＜ωx ＋φ＜kπ＋π2求得x 的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．变式训练(1)比较大小：tan 1与tan 4. (2)求函数y ＝tan (π2x ＋π3)的单调区间．【解】 (1)∵tan 4＝tan [π＋(4－π)]＝tan (4－π)，－π2＜4－π＜1＜π2且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增函数，∴tan (4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4. (2)由kπ－π2＜π2x ＋π3＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k －53＜x ＜2k ＋13(k ∈Z )．∴函数y ＝tan (π2x ＋π3)的单调增区间是(2k －53，2k ＋13)(k ∈Z ).例3 【思路探究】画y ＝tan x 图象→y ＝|tan x |图象→研究性质【自主解答】由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x k π≤x <k π＋π2k ∈Z ，－tan x －π2＋k π<x <kk ∈Z ，其图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为[kπ，π2＋kπ)(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋kπ，kπ)(k ∈Z )，周期为π. 规律方法1．用图象法研究三角函数性质，体现了数形结合思想方法，其优点是直观、形象，但前提是必须正确作出相应函数图象，本题可采用对称的办法通过变换作出函数图象． 2．只有熟练掌握正切函数的图象和性质才能更好地研究与正切函数有关的一些函数的图象和性质．互动探究将本例中的函数y ＝|tan x |改为y ＝tan |x |解答同样的问题．【解】由y ＝tan |x |得y ＝⎩⎨⎧tan x x ≥0且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，－tan x x <0且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，根据y ＝tan x 的图象，作出y ＝tan |x |的图象如图：由图象可知，函数y ＝tan |x |是偶函数，单调增区间为[0，π2)，(kπ＋π2，kπ＋32π)(k ＝0，1，2，…)；单调减区间为(－π2，0]，(kπ－32π，kπ－π2)(k ＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．易错易误辨析忽视正切函数的定义域致误典例求函数y ＝1tan xx －3 的定义域．【错解】要使y ＝1tan x x －3有意义，必须满足⎩⎨⎧tan x ≠0，tan x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k k ∈Z ，x ≠k π＋π3k ∈Z∴函数y ＝1tan xx －3的定义域为{x |x ≠kπ且x ≠kπ＋π3，k ∈Z }．【错因分析】忽略了保证正切函数有意义，即y ＝tan x 中x ≠kπ＋π2，k ∈Z .【防范措施】求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋kπ，k ∈Z . 【正解】要使y ＝1tan xx －3有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k k ∈Z ，tan xx －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋kk ∈Z ，x ≠k k ∈Z ，x ≠k π＋π3k ∈Z∴函数y ＝1tan x x －3的定义域为(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，kπ＋π3)∪(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z )．1．正切函数的图象的作法 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁． (2)三点两线法“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π4，1)；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 2．准确理解正切函数的性质(1) 正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }，这与正弦、余弦函数不同． (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π.一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的周期为T ＝πω.(3)正切函数y ＝tan x 无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间．(4)正切函数y ＝tan x 是奇函数，正切函数的图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，正切函数的图象无对称轴，正、余弦函数图象既中心对称又轴对称. 当堂双基达标1．函数y ＝tan (x ＋π4)的定义域为________．【解析】 x ＋π4≠kπ＋π2，k ∈Z ， ∴x ≠kπ＋π4，k ∈Z .【答案】 {x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z } 2．函数y ＝tan x3的周期为________．【解析】由公式得T ＝π13＝3π.【答案】 3π3．函数y ＝3tan (12x ＋π4)的增区间为________．【解析】 kπ－π2＜12x ＋π4＜kπ＋π2，k ∈Z ，∴kπ－3π4＜12x ＜kπ＋π4，k ∈Z ， ∴2kπ－3π2＜x ＜2kπ＋π2，k ∈Z . 【答案】 (2kπ－3π2，2kπ＋π2)，k ∈Z4．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．【解】定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π2，k ∈Z }；值域为R ；周期为π2.图象如下：课后知能检测一、填空题1．下列说法正确的有________．(填序号) ①y ＝tan x 是增函数；②y ＝tan x 在第一象限是增函数；③y ＝tan x 在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k ∈Z )上是增函数； ④y ＝tan x 在某一区间上是减函数．【解析】根据正切函数的单调性，可知③正确．【答案】 ③2．(2013·南通高一检测)函数y ＝lg (3tan x －3)的定义域为________．【解析】由y ＝lg (3tan x －3)得3tan x －3＞0，即tan x ＞33， ∴kπ＋π6＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z ，∴y ＝lg (3tan x －3)的定义域为(kπ＋π6，kπ＋π2)(k ∈Z )．【答案】 (kπ＋π6，kπ＋π2)(k ∈Z )3．函数y ＝tan (2x ＋π4)的单调递增区间是________．【解析】由kπ－π2＜2x ＋π4＜kπ＋π2(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8(k ∈Z )．【答案】 (k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ) 4．比较大小：tan π5________tan 13π10. 【解析】 tan 13π10＝tan (π＋3π10)＝tan 3π10. ∵y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2. ∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10. 【答案】＜5．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象是图1－3－3中的________．图1－3－3【解析】函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x － sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.【答案】 (4)6．y ＝tan x2满足下列哪些条件________．(填序号) ①在(0，π2)上单调递增； ②为奇函数； ③以π为最小正周期；④定义域为{x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z }．【解析】令x ∈(0，π2)，则x 2∈(0，π4)，所以y ＝tan x 2在(0，π2)上单调递增正确；tan (－x2)＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋kπ，k ∈Z 得，定义域为{x |x ≠π＋2kπ，k ∈Z }，所以④不正确．【答案】 ①②7．函数y ＝3tan (2x ＋π3)的对称中心是________．【解析】 2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z . 【答案】 (k π4－π6，0)(k ∈Z )8．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围是________．【解析】 y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，∴ω＜0且π|ω|≥π⇒－1≤ω＜0. 【答案】 [－1，0) 二、解答题9．求下列函数的定义域．(1)y ＝3－tan x ；(2)y ＝tan x ＋lg (1－tan x )．【解】 (1)由3－tan x ≥0，得tan x ≤ 3.在(－π2，π2)内满足不等式的范围是(－π2，π3]．又y ＝tan x 的周期为π，故原函数的定义域为(kπ－π2，kπ＋π3)，k ∈Z .(2)函数y ＝tan x ＋lg (1－tan x )有意义，等价于⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x ＞0，所以0≤tan x ＜1.由正切曲线可得kπ≤x ＜kπ＋π4，k ∈Z .故原函数的定义域为{x |kπ≤x ＜kπ＋π4，k ∈Z }．10. 已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．【解】 ∵－π3≤x ≤π4， ∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5.11．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg |tan x |.【解】 (1)要使函数有意义，需满足：tan x ≠0，且tan x 有意义，即x ∈(kπ－π2，kπ)∪(kπ，kπ＋π2)，k ∈Z ，可知定义域关于原点对称．又对于定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－tan x －1tan x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2＋k k ∈Z ，|tan x |＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k k ∈Z ，x ≠k k ∈Z ，∴函数f (x )的定义域为(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，π2＋kπ)，k ∈Z ，定义域关于原点对称．又对任意x ∈(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，π2＋kπ)，k ∈Z ，都有f (－x )＝lg |tan (－x )|＝lg |－tan x |＝lg |tan x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数.教师备课资源备选例题观察正切函数图象，写出下列不等式的解集：(1)tan x ＞0；(2)|tan x |≤1.【思路探究】画出正切函数在(－π2，π2)内的图象，结合图象求解集．【自主解答】 (1)设y ＝tan x ，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式tan x ＞0的解集为{x |kπ＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z }．(2)设y ＝|tan x |，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为{x |kπ－π4≤x ≤kπ＋π4，k ∈Z }．规律方法解决与正切函数的图象有关的问题，关键是正确画出正切函数的图象，然后根据正切函数图象的性质进行求解，求解过程中注意整体思想的应用．备选变式不等式tan (2x －π6)≥－1的解集为________．【解析】令u ＝2x －π6，由tan u ≥－1及相应图象可知：kπ－π4≤u <kπ＋π2，即kπ－π4≤2x －π6<kπ＋π2. ∴k π2－π24≤x <k π2＋π3(k ∈Z )．∴原不等式解集为{x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }．【答案】 {x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }。

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质

题型一题型二题型三题型四题型五
解:(1)定义域为 R.
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin
x≠-1.∴x≠2kπ−
π 2
,
��
∈Z.
∴函数的定义域为
2��-
π 4
的单调递增区间是
��π-
π 8
,��π
+
3π 8
, ��∈
Z.
(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得
2�� 3
π
−
1π8≤x≤23��
π
+
5π 18
,
��∈Z,
所以函数 y=cos
3��
+
π 6
的单调递减区间是
2�� 3
x
在(0,π)上单调递减,
∴cos
π 8
>
cos
π 7
,
即cos
-
π 8
> cos 137π.
(2)sin
21π 5
=
sin
4π
+
π 5
= sin π5,
sin
42π 5
=
sin
8π
+
2π 5
= sin 25π.
∵0<
π 5
<
2π 5
<
π 2
,
且y=sin
x在

高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ；偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为之并；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当 0,非奇非偶当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包；一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。

1.3.2 三角函数的图象和性质(6)

页1.3.2 三角函数的图象和性质(6)教学过程：（一）复习：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。

2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

（二）新课讲解：例1：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭答：T π=。

（2）tan 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答：3T π=。

说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=．【练习】P71．练习4．例2：求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象；再将 tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的图象。

例3：用图象求函数y =的定义域。

解：由tan 0x -≥ 得 tan x ≥，利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，第 2 页共 2 页五、课堂练习：1．“t a n 0x >”是“0x >”的既不充分也不必要条件。

2．与函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ D ）()2A x π= ()2B x π=-()4C x π=()8D x π=3．函数y =(),24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦．4．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 5．函数tan cot y x x =-的奇偶性是奇函数，周期是2π．六、小结：正切函数的性质。

人教A版高中数学必修一《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

所以 f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈52π，3π.
1．设函数 f(x)＝sin(2x－π3)，则 f(x)的最小正周期为( )
A．π2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B.函数 f(x)＝sin(2x－π3)的最小正周期 T＝22π＝π，故选 B.
2．已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，则 a 等于________．解析：因为 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，所以 f(0)＝ sin 0－|a|＝0，所以 a＝0.
【解】 (1)令 z＝x＋π3，因为 sin(2π＋z)＝sin z，所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3，所以 T＝2π.
(2)法一(定义法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3) ＝12cos(2x＋π3＋2π) ＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)，即 f(x＋π)＝f(x)，所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π.
f(x)的最小正周期为
π，且当
x∈0，π2时，f(x)＝sin
x，则
5π
f
3
等于( )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3 ＝ 23. 【答案】 D
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f53π的值．解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－ 23.
1．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0，
2)时，f(x)＝2x2，则 f(7)＝( )

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(��∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ��的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
��
=
−
2 2
,
则sin
题型一题型二题型三题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,

三角函数图象与性质

5、已知下图是函数
y A sin( x ) 的图象
2
1 –1
(1)求、的值；
(2)求函数图象的对称轴方程.
y
11 12
O
x
–2 2 0 6 ⑴ y 2sin(2 x ) 6 11 2 6 12
注意：当0<x<1,arcsinx,arccosx表示一个锐角，而-1<x<0时，arcsinx表示一个锐角的负值，arccosx表示一个钝角,两者不要混淆。 x>0时arctanx表示一个锐角。 x<0时arctanx表示一个锐角负值。
注意: 在给出三角函数值求角时,需注意反三角表示的角的范围对于不满足反三角范围的角,我们利用诱导公式,对角 k 的整数倍,(整数倍需注意) 练习册:P43 P44 3 5
内容提要
函数图像变换
向上(b>0)或向下(b<0) 移︱b︱单位向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱ φ︱单位 y=f(x)+b图象
y=f(x+φ)图象
y=f(x)图象
点的纵坐标变为原来的A倍 y=Af(x)图象横坐标不变点的横坐标变为原来的1/ω倍 y=f(ωx)图象纵坐标不变
3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
⑷函数的图象可以由函数 y 2 sin 2 x, x R的图象经过怎样的变换得到。
解：y sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x 1 sin 2 x 2 cos 2 x
1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 ⑶ 当2 x 2k , 即x k (k Z )时, y最大值 2 2 4 2 8 ⑷ y 2 sin 2 x 图象向左平移 8 个单位 y 2 sin( 2 x ) 4 图象向上平移2个单位 y 2 2 sin( 2 x ) 4

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件新人教A版必修4

(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ，单调递增区间为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二正切函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π

高中数学三角函数的图象和性质

三角函数（二）解析式：cos,y x x=∈R图象：余弦曲线，见附图2定义域：R；值域：[1,1]-；周期：2π；奇偶性：偶函数；单调增区间：[(21)π,2(1)π]()k k k++∈Z；单调减区间：[2π,(21)π]()k k k+∈Z．余弦函数性质解析式：tan,y x x=∈R，且ππ/2,x k k≠+∈Z图象：正切曲线，见附图３定义域：{}π/2π,x x k k≠+∈Z；值域：(,)-∞+∞；周期：π；奇偶性：奇函数；单调增区间：(π/2π,π/2π)()k k k-++∈Z正切函数性质正弦型函数解析式：sin()y A xωϕ=+（,,Aωϕ都为常数）图象：由正弦函数图象经过适当的平移和横纵坐标的伸缩变换得到周期：2π/Tω=；频率：1//2πf Tω==初相：ϕ；值域：[,]A A-；性质正弦函数解析式：sin,y x x=∈R图象：正弦曲线，见附图１定义域：R；值域：[1,1]-；周期：2π；奇偶性：奇函数；单调增区间：[π/22π,π/22π]()k k k-++∈Z；单调减区间：[π/22π,3π/22π]()k k k++∈Z．性质知识框架yxO2ππ-π-2π附图1-2π-ππOy2πx附图2-π/2π/23π/2-3π/2-ππOyx附图3三角函数的图象和性质三角函数要求层次重难点sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法函数sin()y A x ωϕ=+的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质 C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()y A x ωϕ=+的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.(一) 知识内容1.三角函数的图象<教师备案>会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并能够在此基础上利用诱导公式画出余弦函数和余切函数的图象.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R例题精讲高考要求yxO2ππ-π-2πy =sin xx-2π-ππOy2πxy =cos x-π/2π/23π/2-3π/2-ππOyxy =tan x板块一：三角函数的图象①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x=的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位而得到的．这种由sin y x =的图象变换为sin()y x ϕ=+的图象的变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．【说明】本题的所有变换都是针对x 和y 来的，也就是说所有的转换都是用在x 和y 身上的，他们的系数也不包括在内．例如()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，如果先把sin y x =各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）变成sin y x ω=，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x ω=，而最后才所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位，这样得到就是sin ()y A x ωϕ=+，而不是sin()y A x ωϕ=+．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x 和y 做的” 这句话的意义．(二)典例分析【例1】 ⑴如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（） A ．π6B ．π4C ．π3 D ．π2⑵在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【变式】函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…(11)f =【变式】方程1sin 22x =在[2π,2π]-内解的个数为．【变式】如图，方程sin 2sin x x =在区间(0,2π)内解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，若有10个互不相等的正数i x 满足()2i f x =，且10πi x <(1,2,3,10)i =⋅⋅⋅，求1210x x x ++⋅⋅⋅+的值【变式】 ⑴求方程lg sin 0x x -=的解的个数；⑵求方程100sin x x =的解的个数．【变式】函数2y x x =-与cos(10π)y x =的图象交点有个．【例3】已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，求()f x 的值域．【变式】函数cos(sin )y x =的值域为_______【变式】 ⑴求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域．⑵求函数223sin sin y x x=+(π,)x k k ≠∈Z 的值域． .【变式】 (1sin )(3sin )2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合【例4】已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【变式】已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-.⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【例5】如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【变式】右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><<的图象的一部分，试求此函数的解析式.【变式】函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【解析】设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在π0,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2n()n *∈N ， ⑴sin 3y x =在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为；⑵sin(3π)1y x =-+在π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为．【例6】设π()sin (0)53kf x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．【变式】圆222x y k +=至少覆盖函数π()xf x k的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围．【变式】已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.【变式】求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【变式】已知函数()b x a x x a x a x f ++⋅+=22cos 33cos sin 2sin 3⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 的值域为 [23，-]，求a 、b 的值．【变式】求证函数()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期是π2．【例7】已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）．（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．(一）知识内容<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折 ()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移a 个单位的解析式变化为例：设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．函数变换可以用下图表示：板块二：三角函数图象变换1（二）典例分析【例8】⑴已知a是实数，则函数()1sinf x a ax=+的图象不可能．．．是（）⑵已知函数()πsin4f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0xω∈>R，的最小正周期为π，为了得到函数()cosg x xω=的图象，只要将()y f x=的图象（）A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度⑶函数πsin()4y x=+的最小正周期为＿＿＿，单调增区间为__________________．【变式】已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【变式】设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数【变式】设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【例9】已知函数R ∈+⋅+=x x x x y ，1cos sin 23cos 212．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例10】已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）．（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．【变式】函数()sin 2sin f x x x =+，[0,2π]x ∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是．【例11】已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．【变式】已知函数π()sin ()4f x a x a b ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x的最大值为1．⑴求()f x 的解析式；⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．【变式】函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为．（一）知识内容函数siny x=cosy x=tany x=coty x=定义域R R{|,,}2x x R xk kππ∈≠+∈Z且{|,,}x x R x kkπ∈≠∈Z且值域[1,1]-[1,1]-R R奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数|sin|1x≤有界函数|cos|1x≤无界函数无界函数周期性（最小正周期）2πT=2πT=πT=πT=单调性ππ[2π,2π]22π3π[2π,2π]22(π)k kk k-+++∈Z在在[(21)π,2π],[2π,(21)π]()kk kkk-+∈Z在π[(π,2ππ]2()kkk-+∈Z在[(π,ππ]()k kk+∈Z在最值π2π,2x k=+max1y=;π2π2x k=-,min1y=-(k∈Z)2π,x k=max1y=;(21)πx k=+,min1y=-(k∈Z)无无对称轴ππ(2x k k=+∈Z)π(x k k=∈Z)无无对称点(π,0)()k k∈Zπ(π+,0)2(kk∈Z)(π,0)(k k∈Z)π(π+,0)(2k k∈Z)板块三：三角函数的性质（二）典例分析<教师备案>本板块的例题主要涉及三角函数的定义、同角三角函数关系、利用同角三角函数的基本关系进行三角函数的化简、诱导公式的应用以及三角函数与二次函数的综合等知识内容，解题关键是三角函数的值域.1.定义域值域【例1】求使1cos 1ax a+=-有意义的a 的取值范围.【例2】求函数22sec tan sec tan x xy x x-=+的值域.【点评】由于R ∈x tan ，故此类问题与)(22R ∈'+'+'++=x c x b x a cbx ax y 一类问题相同，可去分母，移项，然后利用Δ≥0解之.【变式】求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.【点评】注意本题值域的求法，是把sin x 看成函数，把y 看成自变量.实际是利用原函数的定义域来求值域.巧妙的利用了三角函数的性质.2.函数解析式【例3】设f (x )满足ππ2(sin )3(sin )4sin cos ()44f x f x x x x -+=-≤≤，求()f x 的表达式.【例4】若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.【例5】把曲线π:2sin 24C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线π4x =对称.求a 的最小值.【例6】定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π[0,]2x ∈时，()sin f x x =，则5π()3f 的值为（） A . 12- BC. D .12【例7】设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,2()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤则()15π4f -= .3.利用三角函数性质【例8】已知π4x ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例9】函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（）A.1B.1,C.D.1,【例10】求下列不等式x 的取值范围.⑴2sin 10x +≥；⑵π2cos(3)106x +-≤.【变式】当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围.【点评】注意题中变量的转化，题中的自变量不一定必须得是自变量，也可以把它当值域考虑.【变式】设1(0)2x ∈-，，1cos(sin π)a x =，23sin(cos π),cos π(1)a x a x ==+,比较321a a a ，，的大小.【例11】关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围（一）知识内容本板块主要讲解三角函数与二次函数的结合，其中关于参数的取值范围是本讲的重点也是难点，关键在于最值是否取到.（二）典例分析【例12】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【变式】已11πlg[9cos()]126x -+≤，求函数2cot 2cot 5y x x =-+的值域.【变式】求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.【变式】求函数3(2cos )(5cos )y x x =+-的最大（小）值及取得最大（小）值时x 的值.板块二：三角函数与二次函数【例13】求函数253sin cos 82y x a x a =++-π(0)2x ≤≤的最大值【变式】函数2()12cos 2sin 2f x a x x a =---的最小值为()g a ，a ∈R .⑴求()g a ⑵若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值【例14】若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，且0a >，求,a b 的值【例15】若2sin cos 0x x a ++=有实数根，试确定实数a 的取值范围.【变式】为使方程2cos sin 0x x a -+=在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是( )A.11a -≤≤B.11a -<≤C.10a -<≤D.54a -≤【例16】已知定义在(,4]-∞上的减函数()f x ，使得27(sin )(12cos )4f m x f m x -+-+≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .【点评】利用三角函数的值域求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域.【变式】已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,αβ∈R 有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .（一）知识内容1.定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的数T ，使得当x 取定义域中的任意一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个函数的周期，如果函数()f x 的所有正周期总存在最小值0T ，则称0T 为这个函数的最小正周期.2.说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT n n ∈≠N 均为此函数的周期；若函数()y f x =的最小正周期是T ，则函数()y f x ωϕ=+的最小正周期是T ω. 3.对称轴为x a =的函数，对称中心为(,)a b 的函数的解析式问题函数()y f x =周期为T ⇔如果点(,)x y 在图象上，则(,)x T y +也在图象上⇔()()y f x f x T ==+ 板块四：三角函数的周期性关于一般的轴对称：函数()y f x =关于直线x a =对称⇔如果点(,)x y 在图象上则它关于直线x a =的对称点(2,)a x y -也在图象上⇔()(2)y f x f a x ==-关于一般的中心对称：()y f x =关于点(,)a b 对称⇔如果点(,)x y 在图象上，则它关于点(,)a b 的对称点(2,2)a x b y --也在图象上⇔2()(2)b f x f a x -=- 4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：⑴若定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =，x b =()a b >，则这个函数必定是周期函数，2()T a b =-是它的周期.证：[2()][(2)]f a b x f a a b x -+=+-+[(2)](2)f a a b x f b x =--+=-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--= ∴()f x 以2()a b -为周期⑵若函数()f x 在R 上的图象关于某点0(,)A a y 与某直线x b =()a b ≠对称，则此函数为周期函数，4T b a =-是它的周期.证：图象上任一点(,())x f x 关于点0(,)A a y 的对称点0(2,2())a x y f x --也在图象上，即有0(2)2()f a x y f x -=-，且()()f b x f b x -=+，则0()2(2)f x y f a x =-- 02[(2)]y f b b a x =---+02[(2)]y f b b a x =-+-+02(22)y f b a x =--+[2(22)]f a b a x =--+[(34)]f b b a x =--+[(34)]f b b a x =+-+[4()]f b a x =-+ ∴()f x 是以4()b a -为周期的函数（二）典例分析【例17】 ⑴设函数ππ()2sin()25f x x =+,若对任意x ∈R ,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值( )A.4B.2C.1D.12⑵已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________.【变式】已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( )A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ==【例18】 ⑴()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.5⑵函数πsin 3y x =在区间[0]t ，上恰好取得最大值，则实数t 的取值范围是 .【点评】⑴∵( 1.5)( 1.53)(1.5)f f f -=-+=，∴( 1.5)(1.5)f f -=-∴(1.5)0f =，从而有(4.5)0f =，∴()0f x =在(0,6)内至少还有两个根1.5和4.5 此题为高考题中的一道有问题的题目.【变式】函数()f x ，当(,)x ∈-∞+∞时，(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.⑴试判断函数()f x 的奇偶性.⑵试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，证明你的结论.【点评】由福建的错题，看广东的这道题，会发现福建的题目中为(2)0f =，而广东的为“只有(1)(3)0f f ==”.意味着福建的题目在含有数2的某个邻域(,)a b 内可以存在多个0(,)x a b ∈使0()0f x =，而广东题中可确信在[0,7]上有且只有(1)(3)0f f ==，即除1和3之外，再没有另外的数0[0,7]x ∈使0()0f x =反思广东题目的解答是否合理，由()y f x =在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==⇒()y f x =在[0,10]上只有两根是否合理，即能否判断()y f x =在[7,0]x ∈-或(]7,10上再没有根.以下对这个问题进行回答：假设()y f x =在(7,0)-上还存在一个根0x ，即存在0(7,0)x ∈-使0()0f x = ∴0(10)0f x +=，且010(3,10)x +∈，即()0f x =在(3,10)上有根，又∵()0f x =在[0,7]上只有(1)(3)0f f == ∴()0f x =在(]3,7无根∴010(7,10)x +∈，即()0f x =在(7,10)上有根，又∵()f x 关于7x =轴对称，∴()0f x =在(4,7)上有根与“()f x 在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==矛盾” ∴()y f x =在[)7,0-上没有根，同理，()y f x =在(]7,10没有根【变式】设()f x 是定义在R 上并以2为周期的函数，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =.⑴求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式；⑵作出()f x 的图象，并求(3)f -及(3.5)f 的值.【变式】函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【点评】本题可从sin y x =在一个周期内有几个最大值点入手，在长度为一个标准周期2π的区间内，在[)0,2π内只有一个最大值点π2x =，但在ππ[,2π]22+内有两个最大值π2x =和π2π2x =+，如果要出现连续的50个最大值，最少要包含49个周期的图象 .如：函数sin y x =在含49个周期的区间ππ,98π22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有50个最大值，在含49个多周期的区间π0,98π2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有50个最大值，一般地，只有在区间[0,]a ，ππ98π100π22a +<+≤上恰好有50个最大值.【例19】 ⑴若函数πsin()13y x ω=+-的最小正周期为π2，那么正数ω的值是( )A.8B.4C.2D.1⑵定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(,)a b ，(,)c b 都是对称()a c ≠，则( ) A.()f x 是以a c -为周期 B.()f x 是以2a c -为周期的函数C.()f x 是以12a c -为周期的函数 D.()f x 不是周期函数【变式】已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，1()2f x a +=试证：()f x 为周期函数.【例20】函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（）Ａ.π3Ｂ.ππ2k k +∈Z ，Ｃ.πk k ∈Z ，Ｄ.π2π2k k -∈Z ，【例21】 ⑴函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.⑵函数sin y x =的一个单调增区间是( ) A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，【例22】已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π223f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()0f =（）A.23-B.12-C.23D.12【变式】已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，且对于任意一个x 的值，都有()(1)(1)f x f x f x =-++求证：()f x 一定是周期函数【例23】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立.⑴函数()f x x =是否属于集合M .说明理由.⑵设函数()x f x a =(0a >且1a ≠)的图象与y x =的图象有公共点，证明()x f x a M =∈ ⑶若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围.【变式】函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不少于4次且不多于8次，试求k 的值.<教师备案>三角函数的周期性的一些结论，教师可根据学生情况处理以下题目，作为本讲的补充题.⑴两个周期函数之和，可能是周期函数，也可能是非周期函数设()sin f x x =，()sin πg x x =，()1h x =，则两个周期函数之和()()sin 1f x h x x +=+是周期函数，而()()f x g x +sin sin πx x =+是非周期函数.⑵一个周期函数与一个非周期函数的和，可能是周期函数，也可能是非周期函数.设()f x sin sin πx x =+，()sin g x x =-，()2sin h x x =-，则()()sin πf x g x x +=是周期函数，()()sin πsin f x h x x x +=-是非周期函数.⑶若函数1()f x 和2()f x 都是周期函数，最小正周期分别是1T ，212()T T T ≠，当12T T 是有理时，函数12()()y f x f x =+是周期函数，1T ，2T 得最小公倍数是它的一个周期.结论证明：在公共定义域D 上，奇函数1()f x 的最小正周期为1T ，偶函数2()f x 的最小正周期为2T ，且12T T =有理数，则12()()()f x f x f x =+的最小正周期是1T ，2T 的最小公倍数. 证：由已知12T T =有理数，可设1T p α=，2T q α=，这里,p q *∈N ，且(,)1p q =，α+∈R 对于任意的x D ∈，有1()()()f x pq f x pq f x pq ααα+=+++1122()()f x qT f x qT =+++12()()()f x f x f x =+=故()f x 是周期函数，1T ，2T 的最小公倍数pq α是它的一个周期；再设(0)T ≠是()f x 的任一周期，那么对于任意的x D ∈，都有x T M +∈，且()()f x T f x += 即1212()()()()f x T f x T f x f x +++=+ ① 由于数集D 是奇偶函数的定义域，必对称于原点，故也有()x T D -+∈，将()x T -+代入①式有1212()()[()][()]f x f x f x T f x T -+-=-++-+ 根据1()f x ，2()f x 的奇函偶性，由上式可得到1212()()()()f x f x f x T f x T -+=-+++ ②①±②可得到：11()()f x T f x +=，22()()f x T f x +=这表明()f x 的周期T 一定是1()f x 和2()f x 的公共周期，而1()f x ，2()f x 的公共周期中，最小的是1T ，2T 得最小正周期pq α，这就证明了1T ，2T 的最小公倍数是()f x 的最小正周期.【变式】求函数sin cos x x ⋅的最小正周期.【变式】若函数1()f x 和2()f x 都是定义在R 上的周期函数，最小正周期都是T ，对于函数12()()y f x f x =+，以下判断中，正确的是( )A.最小正周期是TB.有最小正周期，且t T <C.是周期函数，但可能没有最小正周期D.可能是非周期函数【变式】求函数()2sin33sin 4f x x x =+的最小正周期【变式】求20082007()(sin )(cos )f x x x =+的最小正周期【变式】求函数()f x =的最小正周期【例24】设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的1x ，2x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且(1)0f a =>，⑴求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭⑵证明()f x 是周期函数。

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1.3.2 三角函数的图象与性质课堂导学三点剖析1.正弦函数、余弦函数的主要性质【例1】求下列函数的定义域：（1）y=236x -+lgcosx; (2)y=log sinx (cosx+21). 思路分析：利用三角函数单调性求解.解：（1）由⎩⎨⎧>≥-0cos ,0362x x 得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-.,2222,66Z k k x k x ππππ由上图可知不等式组的解集为［-6，-π23)∪(-2π,2π)∪(π23,6］. 故原函数的定义域为［-6，-π23)∪(-2π,2π）∪(π23,6］.(2)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠>,21cos ,1sin ,0sin x x x得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<-+≠+<<,322322,22,22πππππππππk x k k x k x k (k∈Z ).∴原函数的定义域为（2k π,2k π+2π）∪（2k π+2π,2k π+23π）k∈Z . 温馨提示求函数的定义域,就是求使函数式有意义的x 值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出. 【例2】比较下列各组中四个值的大小：（1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4.思路分析：转化到同一单调区间再比较. 解析：（1）∵0＜1＜2π＜2＜3＜π＜4＜π23, ∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3). 而0＜π-3＜1＜π-2＜2π,正弦函数y=sinx 在（0，2π）上为增函数， ∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3), cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜2π,余弦函数y=cosx 在（0，2π）上为减函数， ∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2), 即cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4; (2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 温馨提示①要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间. 2.正弦函数和余弦函数图象间的关系【例3】作函数y=x 2cos 1-的图象.思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 解：y=x 2cos 1-化为y=|sinx|, 即y=⎩⎨⎧+<<+-+≤≤,222,sin ,22,sin πππππππk x k x k x k x (k∈Z )其图象如下图.温馨提示①画y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π. 3.三角函数图象和性质综合应用【例4】作出函数y=|tanx|及y=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期. 思路分析：利用分段函数图象的画法. 解：（1）y=|tanx|=,0tan ,0tan ,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=|tanx|的图象如下：由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期T=π,函数是偶函数.函数的单调增区间是（k π,k π+2π）（k∈Z ）,减区间（k π-2π,k π）(k∈Z ). (2)y=tan|x|=,0,0,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=tan|x|的图象如下：由y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但y=tan|x|是偶函数，单调增区间［0, 2π）∪（k π+2π,k π+π23）（k∈N）.函数的单调减区间（-2π,0］∪（k π-π23,k π-2π)(k∈Z 且k≤0).各个击破类题演练1求y=225sin x x -+的定义域. 解：根据函数表达式可得⎩⎨⎧≤≤-∈+≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥.55),(22,025,0sin 2x Z k k x k x x πππ 作出下图.由图示可得，函数定义域为［-5,-π］∪［0,π］. 变式提升1求下列函数的定义域.（1）y=x x tan sin +;(2)y=)82cos(1tan )1sin 2lg(π+--+-x x x解：(1)⎩⎨⎧≥≥,0tan ,0sin x x 将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图由图显然可得函数定义域集合为 {x|2k π≤x＜2k π+2π,k∈Z }∪{x|x=2k π+π,k∈Z }. (2）由⎩⎨⎧≥-->-,01tan ,01sin 2x x cos(2x +8π)≠0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠+-≤>.,282,1tan ,21sin Z k k x x x πππ 可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠∈-≤<-+<<+.432,42,65262ππππππππππk x Z k k x k k x k 其中 ∴函数定义域为{x|2k π+2π＜x ＜2k π+43π,k∈Z }.类题演练2已知函数y=acosx+b 的最大值是1，最小值是-3，试确定f(x)=bsin(x+3π)的单调区间. 解：若a ＞0.则a+b=1,-a+b=-3,解得a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+3π).设k∈Z ,2k π-2π≤2x+3π≤2k π+2π时，f(x)单调递减，2k π+2π≤2x+3π≤2k π+π23的f(x)单调递增.于是，单调递减区间为［k π-π125,k π+12π］(k∈Z ),单调递增区间为［k π+12π,k π+π127］,k∈Z . 若a ＜0,则-a+b=1,a+b=-3,∴a=-2,b=-1.f(x)=-sin(-2x+3π)=sin(2x-3π). 其单调递增区间为［k π-12π,k π+125π］,k∈Z ,单调递减区间为［k π+π125,k π+π1211］,k∈Z .变式提升2函数y=2sin(x 26-π)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（） A.［0,3π］ B.［12π,127π］ C.［3π, 65π］ D.［65π,π］思路分析：利用三角函数的性质，求出y=2sin(6π-2x)在R 上的单调增区间，取特殊值验证即可解决此类问题.解：2sin(6π-2x)=-2sin(2x 6π-),当2k π+2π≤2x 6π-≤2k π+π23,即k π+3π≤x≤k π+65π (k∈Z ),当k=0时得在［0,π］上的单调增区间为［3π, 65π］.答案：C类题演练3 函数y=3sinx,x∈［-2π,23π］的简图是（）思路分析：用五点法作图即可得出答案. 答案：A 变式提升3函数y=-cosx 的图象与余弦函数的图象（）A.只关于x 轴对称B.只关于原点对称C.关于原点、x 轴对称D.关于原点、坐标轴对称解析：对于y=cosx 与y=-cosx ，当x 取相同值时，y 值相反，所以图象关于x 轴对称. 答案：A 类题演练4(2006全国高考Ⅰ，理5文6)函数f(x)=tan(x+4π)的单调增区间为（） A.(k π-2π,k π+2π),k∈Z B.(k π,(k+1)π),k∈Z C.(k π43π-,k π+4π),k∈Z D.(k π-4π,k π+43π),k∈Z解析：k π-2π＜x+4π＜k π+2π(k∈Z ),∴单调增区间为(k π43π-,k π+4π),k∈Z .答案：C变式提升4(2004天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(π35)的值为（）A.-21 B. 21 C.32- D.32解：f(π35)=f(π+π32)=f(π32)=f(π-3π)=f(-3π)=f(3π). ∵当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx,∴f(3π)=sin 3π=32. 答案：D 温馨提示三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非偶函数.如f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质，也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等.。