2013年江苏省高中数学优秀课评比课件——对数
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件--李英(对数)
李英
一、问题情境
问题1：指数式中各个量的名称是什么？
问题2：你会已知两个量求第三个量吗？
(1)2 x
3
(2) x 8
3
(3)2 8
x
问题3.1:若 (2) x 8改为：
3
(2') x 7
3
x 7
3
问题3.2：
某种放射性物质不断变化为其他物
质，每经过1年这种物质剩留的质量
x ?
x x
由 y 3x 在R上单调递增
由3 7 3
1 2
由 y 0.84 x 在R上单调递增
由0.844 0.5 0.843 得 3 x 4
得1 x 2
二、构建数学
问题4：（3）这样的 x如何表示呢？
对 数(logarithm)
纳皮尔（苏格兰） 1550-1617
3
3
3 7 x log3 7
x
表示一个数,3的这个数次方是7,且 1 log3 7 2 .
数的表示方法的的定义：N a
log a N b
一般地，如果a ( a > 0 , a ≠ 1 )的b次幂 等于N，即 那么就称b叫做以a为底N的对数， 记作: .
（1）log5 125 3;
log （2）
3 2; 3
3
（3）log10 a 1.699;
log10 a lg a
（4）log e 6 3(e=2.71828...). log e 6 ln 6
问题7：
观察练习1，你能发现怎样的规律？
1 1 log10 100 2 ,log 25 5 ,log 2 1 ,log 5 1 0 , 2 2 log 3 3 1 , log 1 3 1 ,log a 1 0 ,log a a 1 .
高中数学苏教版必修1课件：3.2.1对数(第1课时)对数的概念
③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303. 思路点拨：利用 ax＝N⇔x＝loga N(a>0 且 a≠1)进行互化．
[解] (1)①24＝16⇒log216＝4.
②3－3＝217⇒log3217＝－3.
③5a＝20⇒log520＝a.
④12b＝0.45⇒log120.45＝b.
(2)①12－4＝16. ③10－2＝0.01.
思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
[解] (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即 32x＝33， ∴2x＝3，∴x＝32. (2)∵ex＝e2，∴x＝2. (3)5log5(2x－1)＝2x－1＝25，∴x＝13. (4)∵log2(log3(log4 x))＝0，∴log3(log4 x)＝20＝1， ∴log4 x＝31＝3，∴x＝43＝64.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以 log(－2)16＝4.( ) (2)对数式 log32 与 log23 的意义一样． (3)对数的运算实质是求幂指数． (4)等式 loga1＝0 对于任意实数 a 恒成立． (5)lg 10＝ln e＝1.( )
1
(3)3log3 5＋3log3 5；(4)( 2)2(log29－log23)．
[解] (1)原式＝23÷2log2 3＝8÷3＝83.
(2)原式＝eln 2·eln 5＝2×5＝10.
(3)∵3log3 5＝ 5，3log315＝15，
∴原式＝
5＋15＝5
5＋1 5.
(4)原式＝(( 2)2)log29－log23＝2log29－log23
3．设 a＝log3 7，b＝log3 28，则 32a－b＝________.
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件——对数邢硕炜
某种最初质量为1的放射性物质不断变化为其他 物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的 84%. (1)写出这种物质的剩留量y关于时间x的函数关系式； (2)经过多少年这种物质的剩留量是原来的一半？
经过x年 剩留量 0.84x= 0.5
x=log0.840.5
小结反思
1.数学知识：对数的定义
指数
应用探究 ■(1) log31=0 ■ (5) lg1
■ (4) log 2 1 =0 ■ (7) ln1
应用探究
写出下列各对数的值：
■ (9) log5 52 =－2 ■ (10) 2log2 3=3
■ (11) log3 35=5
■ (12) 7log7 0.6=0.6
观察上述各式，进行适当分类，归纳一 般性结论.
ab=N，
那么就称b是以a为底N的对数，记作
logaN=b，
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数.
指数
对数
ab=N
logaN=b
底数
幂
真数
课外阅读
我总是尽我的精力和 才能来摆脱那种繁重而单 调的计算.
——纳皮尔（苏格兰）
合作交流
活动一：写几个指数式，并分别改写成对数式； 活动二：写几个对数式，并分别改写成指数式.
真数
2.思想方法：等价转化、数形结合、归纳总结
作业：课本74页3、4、5题
对数
ab=N
logaN=b
底数
幂
真数
2.思想方法：等价转化、数形结合、归纳总结
作业：1.课本74页3、4、5题 2.拓展延伸：你能利用本节课所学知识计算
loga ab ，aloga N ( a＞0 且a ≠1，N>0 ) 的值吗？
2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——对数的概念教案
课题：对数的概念教材：《普通高中课程标准实验教科书》必修一教学目标:1、知识目标（1）理解对数的概念，了解常用对数与自然对数；（2）掌握对数式与指数式的相互转化。
2、能力目标（1）培养学生的分析转化意识；（2）渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。
3、情感目标通过与指数的类比以及对数概念的建立，树立事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度。
教学重点：对数的概念,指数式与对数式的相互转化。
教学难点：对数概念的理解。
教学方法与教学手段：启发式教学、讲练结合法；利用多媒体教学。
教学过程：一：复习回顾指数式：a b=N中，a是____, b是_____,N是_____,其中a,b,N什么范围？二：新课引入1.如果我们拿出一张纸对折，纸就变成了两层，再对折，就变成了四层，继续对折……设折x次时有N层，问折多少次时有128层？如何列式子？如何解决？折纸次数x 1 2 3 4 ……层数N 2 4 8 16 ……我已经知道一共有128层，你们能计算折了多少次吗？这个问题可以转化为已知x2=128求x= ?问题2：2、求下列各式中x 的值x (1) 2=32 1164x⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) x (3) 2=7 x=5 x=-2 x=?上述问题，实质就是已知 底数 和 幂 的值，求 指数三、讲授新课：请同学们阅读课本72-74页，介绍对数的背景。
一、对数的概念一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 就是b a =N 那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作b N a =log ，a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数注意：①底数的限制:a>0且a ≠1②对数的书写格式③ log 同“+” ⨯“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知底数和它的幂值求指数的运算，这种运算叫对数运算，只不过对数运算的符号写在数的前面。
对数的概念PPT课件经典实用
没有。（a、b、N的要求：a>0且a≠1和N>0）
是。（对数实质是一个实数）
log21=0 log22=1 （1的对数为0，底的对数为1 即： loga1=0 logaa=1）
教学目标
对数的概念PPT课件
教学重难点和关键
重点：对数的定义，熟练掌握指数式与对数式的互化。 难点：对数概念的理解。 关键：利用对数式和指数式的互化，a、b、N三者的对应和比较 。
对数的概念PPT课件
问题发现法作为一种启发式教学方法，从实际问题出发，提出问题，分析问题，解决问题，启发学生通过主动思考，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中我引导学生从实例出发启发出对数的定义，引发学生对学习新概念的重视和关注。 本节课采用多媒体辅助与讲练结合法，多媒体辅助教学能激发学生的学习兴趣，增大课堂教学容量，而通过一些指数式和对数式互化题型层层深入进行讲练，对进一步理解两种式子的对照和对数定义起很大的作用，使学生能求一些简单的对数，及对a、b、N能知二求一。
对数的概念PPT课件
2、对数式和指数式的对应：
为学习提供感性认识,培养学生观察能力和运动变化的观点.
< >
底数
底数
指数
对数
真数
幂值
此对应始终保持底数不变，指明转化的实质是b、N位置的变化.
对数的概念PPT课件
解决新课引入时的问题：
简述对数的历史
对数的概念PPT课件
3、提问及说明：
学生可能出现的解答方法：⒈估算法 ⒉利用计算器 ⒊借助图象求近似值
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件--王健(对数)
课题：对数授课教师：王健教材：苏教版必修1【教学目标】l.知识与技能:（1）理解对数的概念和意义；（2）能熟练地进行指数式与对数式的互化,理解两个对数恒等式；（3）了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法。
2. 过程与方法:(1) 通过探究使学生感受化归的数学思想；(2) 通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力。
3. 情感、态度与价值观:（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；（2）通过阅读对数发展史，增强学生的数学素养。
【教学重、难点】（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化。
【教学方法与手段】情境导学、启发引导、质疑讨论、迁移创新。
【教学过程】一、做好伏笔，温故知新：1.在指数式N a b =中，a 称为 ，b 称为 ，N 称为 ；2.若0>a 且1≠a ，则=0a ，=1a 。
二、问题情境，引出课题：求下列各式的x 值（1）273=x （2）2515=x （3）32=x 探析：1.3个问题的共性都是已知 和 的值，求 的值。
即指数式N a b =中，已知 和 的值，求 的值。
（这里0>a 且1≠a ）。
2.32=x 的解引发我们对=x ？的思考：①在R x ∈内，这样的方程有解吗？②既然有解，x 的值是多少呢？3.对数产生背景介绍。
4.介绍对数的文化意义。
三、概念理解，新知建构：1.对数的定义——一般地，如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底 N 的对数（logarithm ），记作N b a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.对数概念的理解：①利用对数形式表示32=x 中x 的值。
②将指数式932=化为对数式为29log 3=；将对数式212log 4=化为指数式 为2421=。
总结：由对数的定义可知，N a b =与N b a log =两个等式所表示的是a ，b ，N 这 三个量之间的同一关系，并且说明了指数式和对数式是可以互化的。
2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——对数教案
课题：对数授课教师：丁曼教材：苏教版必修一3.2.1一、教学目标：1、理解对数的概念；2、能熟练地进行指数式与对数式的互化；3、了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法；4、了解对数恒等式；5、了解对数的发明历史以及对数能够简化运算；6、学会用科学计算器计算常用对数和自然对数；7、让学生感受化归与转化的思想，能用相互联系的观点辩证地看问题，培养他们数学地分析问题的意识。
二、教学重点、难点：重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。
三、教学方法与教学手段：教学方法：问题解决法、讨论法、类比分析与发现.教学手段：采用多媒体辅助教学.四、教学过程设计（一）创设情境，问题导入由十六、七世纪科学所遭遇的复杂运算问题的解决，引出对数的发明，简单说明对数的起源、意义、作用，引发学生的学习兴趣。
揭示了对数是一种运算后，由学生学习过的运算加、减、乘、除、乘方、开方等入手，引入对数。
28,x x =等于多少，学生很快得出答案，那么在3.1.2节例4中谈到的元素衰变问题，如果特别的经过多少年元素剩下原来的一半，我们可得到0.840.5,x =这里的x 已经超越了我们的经验，此时必须扩充装备，问题已经转化为用底数和幂表示指数，由指数函数的特征我们知道x 存在且唯一，此处数学上记作0.84log 0.5x =，读作：以0.84为底0.5的对数。
（二）动脑思考，探索新知让学生将b a N =表示为对数关系式，同时认读符号。
认读后将字母名称的变化情况带学生明确。
给出定义：(0,1)log ,b a a a a b N a N b a N N b a N >≠==一般的，如果的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数，记作其中，叫做对数的底数，叫做真数。
从定义中可看到 log (0,1)b a a N N b a a =⇔=>≠提问：a 的范围和N 的范围是什么情况？学生思考回答，体会指数式和对数式的等价。
江苏省高中数学优秀课评比教案《对数》说课稿
课题：3．2．1 “对数”说课稿授课教师：无锡市辅仁高级中学张长贵教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1尊敬的各位领导、专家，上午好．我是来自无锡市辅仁高级中学的张长贵，我今天说课的内容是苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1的 3.2.1《对数》．说课分为以下几个部分：一、教材分析◇地位作用分析本节课是苏教版必修一第3章中《对数函数》的第一课时．本章学习的主要内容为指数函数、对数函数和幂函数．教材从实际背景出发，建立了指数函数、对数函数和幂函数的模型，研究了它们的概念、表示、图像和性质，及其在现实生活中的广泛应用.本节课的内容安排在指数函数后，对数函数前，是指数和指数函数的回顾、深化和延续，同时又是学习对数运算性质和对数函数的基础，在整章内容的学习中起到承上启下的作用．◇教学目标分析基于以上认识，确定本节课的教学目标如下：1．通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性，让学生在实际背景中了解对数的意义，经历对数概念的形成过程；2．帮助学生理解对数的概念，引导学生认识对数与指数的相互联系，会熟练地进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；3．引导学生发现关于对数的几个常用结论，了解常用对数和自然对数，了解对数的发明历史，培养学生的探究意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力．◇重点难点分析重点：对数的概念，指数式与对数式的互化；难点：对数概念的理解．二、学情分析本节课的教学对象来自江苏省四星级高中无锡市辅仁高中，他们思维活跃，精力旺盛，学习数学的积极性较高．在本节内容的学习之前，他们已经学习了指数与指数幂的运算，同时通过指数函数的学习，对指数函数的图像和性质有了一定的认识和理解，能联系生活实际，找到指数函数在生活中的运用，初步体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，具备了学习本节内容所需的知识储备和能力储备．三、教法分析数学是一门培养和发展人的思维的学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”．基于此，本节课运用引导发现和讲练结合的教学方法，教学设计力求体现新课程关于教师主导、学生主体的理念，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件、计算器等工具，通过多种数学学习活动形式，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，让学生在教师的引导下，学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，使之获得内心感受，形成数学技能，培养数学素养．四、过程分析为了实现本节课的教学目标，我把本节课的教学过程设计为以下几个阶段第一阶段：问题情境本节课立足于现实生活，从具体问题入手，为新知识找到生长点．对数是一个比较抽象的数学概念，但对数又是为了解决生产生活中的计算需要而必然产生的．我以第3．1．2节中例4“放射性物质剩留量”作为问题情境，引导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算． 由剩留量y 求出所经过的时间x 的设问让学生发现“已知底数和幂值求指数”的新问题，引发学生的认知冲突，激发学生的兴趣． 引导学生利用指数函数的图像和性质分析得出5.084.0 x 中的x 存在且唯一，引导学生用旧知识解决新问题，反映了知识的系统性和知识之间的有机联系，体现数形结合的思想，同时为引入对数的概念打下基础．第二阶段：建构数学对数概念的建构和理解是本节课教学的重点也是难点.我通过以下几个环节力求突出这一重点突破这一难点.◇基础知识的落实1． 明确指数式和对数式中a ，b ，N 的名称与位置变化，找出它们之间的关系．2． 对数符号是学生学习的一个困难． 从听、说、读、写多角度入手，为学生做好示范．注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误，进一步强化学生对对数符号的认识和理解．◇概念本质的解读明确指数式和对数式中a ，b ，N 是同一个量，重点理解指数式与对数式的相互关系，体现了等价转化这个重要的数学思想．◇重要性质的探究1．引导学生利用互化关系和已学过的指数幂的相关知识来认识a ，b ，N 的范围，促进学生加深对定义的理解．突出负数和零没有对数，为后续对数函数的教学打下基础．2．在该部分教学中让学生就具体的对数进行表述．让学生在理解的基础尝试使用对数的定义探究出对数的一些基本性质．上述两个过程的目的是借助性质的探究深化对数概念的理解，体会指数式与对数式的互化关系．这个过程中教师要注意发挥学生的主体性，培养学生积极探索的习惯．第三阶段：数学运用例1例2的目的是让学生进一步熟悉对数式与指数式的互化，加深对数概念的理解，教师要让学生说让学生写，规范读法和写法．例3的教学是本节课的一个高潮点．一个方法是将对数化为指数处理，回扣了对数的定义． 通过思考题的设置，借助练习与讨论的方式，让学生自己提炼出结论b a b a =log （1,0≠>a a ，R b ∈）并进行证明，培养学生分析问题、观察归纳的能力．同时引导学生利用发现的结论来回扣例3．重要结论的发现和证明过程恰恰又是对数概念的深层次运用，将例题和练习完美融合，从概念到例题，从练习再回到例题，交替螺旋上升，始终围绕着本节课教学重难点—对数概念的理解来做文章．本段教学教师还注重培养学生观察归纳类比的能力．两个特殊对数的介绍过程中融合计算器的使用．有些对数值即使利用定义转化到指数式还是不能明确其大小，因此鼓励学生使用计算器进行探索发现，感受现代信息技术在数学中的作用，促进学生的学习．学生可能对常用对数和自然对数的名称感兴趣，但限于课堂教学时间的有限性，因此通过推荐书目的阅读，指导学生查阅有关资料、书籍，多了解一些数学文化方面的知识，激发学生学习数学的兴趣．第四阶段：课堂总结课堂小结不应该是知识点的简单罗列，本节课的小结的设计是首先师生共同对教学内容进行梳理和概括．然后将课本第79页的《阅读》内容有机地融合到课堂总结中，通过数学史的学习既让学生了解了对数的发明历史，又向学生介绍了对数在简化运算中的价值，感受数学对推动社会发展的作用，激发学生学习数学的热情，将本节课与后续的运算性质和对数函数模型等内容连贯起来．五、教学感悟本节课中几点成功之处：1.立足现实生活，创设具有实际意义的问题情境，让学生经历数学概念的发生和发展过程，为学生建构和理解数学概念奠定了良好的基础.2.充分发挥了学生的主体地位，通过多种形式的教学活动，让学生“仔细看”、“动脑想”、“动手写”、“动口说”，调动了学习的积极性3.注重信息技术与教学内容的整合，通过计算器的使用，感受现代技术手段在数学中的作用，帮助学生认识数学的本质.4.将数学文化的渗透与课堂总结有机地结合在一起，在总结本节课的研究学习过程的同时，结合课本中的阅读材料，帮助学生体会对数的作用和价值.通过本节课的教学，我深刻体会到充分理解教材的编写意图，用好教材，是上好数学课的基础和关键.由于本人教学经验不足，教学水平有限，尚存在诸多不足之处，恳请各位专家批评指正．谢谢！。
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件——《对数》说课稿
• 教学水平有限，在部分环节的处理上存在 一些不足，恳请各位专家予以指导.
a N
b
互化
log a N b
底数—底数
幂—真数
深 化 概 念 理 解
体 会 互 化 关 系
◇性质结论的探究培 养 探来自究 能 力发 挥 学 生 主 体
第三阶段
数学运用
提炼结论（分析问题、观察归纳的能力 ）
◇探究结论
引导学生利用定义证明结论 应用结论 回扣例3，总结出对数求值问题 的两种方法 引导学生，回归定义，将对数式 转化为指数式，体现转化与化归 的思想
◇例3
◇例1 例2
交替螺旋上升，始终围绕着本节课教学的重难点—对数概 念的理解来做文章.
常用对数 指导学 生查阅 《不可 思议的e 》和《 漫话e》
lg 12 , lg 0.84
的值是多少？
转化为指数式？
自然对数
卡西欧计算器的使用
点题， 呼应
0.84 0.5, 则 x log 0.84 0.5
第二阶段
建构数学
明确指数式和对数式中a，b，N的 名称与位置变化 对数符号是学生学习的一个困难． 从听、说、读、写多角度入手，强 化学生对对数符号的认识和理解
◇基础知识的落实
◇概念本质的解读
同一关系，两种写法， 一个本质，相互转化
第二阶段
指数—对数
建构数学
利用对数式与指数式之 间的关系，紧扣定义， 引导学生探究a，b，N 的范围，促进学生加深 对定义的理解．明确负 数和零没有对数这一重 要性质 通过设计一组练习，让 学生在理解对数定义的 基础上，尝试运用定义 探究出“1的对数为0”和 “底数的对数为1”两个 结论，让学生体会定义 在解题中的作用和价值
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件--王震(对数)
课题：3.2.1对数（第1课时）授课教师：宜兴市汇文中学 王震教材：苏教版 必修1一、教学目标1、知识与技能：⑴理解对数的概念；⑵理解指数式和对数式的相互关系，会熟练地进行指数式和对数式的互化； ⑶了解常用对数和自然对数以及这两种对数的记法；⑷了解对数恒等式；⑸了解对数的发明史.2、过程与方法：⑴通过具体实例说明研究对数的必要性；⑵通过探究对数的概念以及对数式与指数式的关系，使学生感受化归与转化思想，培养学生分析、归纳能力；⑶通过独立思考以及师生之间，生生之间的互相交流，培养学生独立学习与合作交流的能力.3、情感态度与价值观：通过对数概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生能用相互联系的观点辩证地看问题，培养学生数学地分析问题的意识；通过让学生了解对数发明史及其对简化运算的作用，使学生了解对数的发展历史，体现数学的文化价值，感受数学知识的产生和发展源于实践以及数学对推动社会发展的作用.二、教学重点、难点1、教学重点：对数的概念，指数式和对数式之间的关系以及指数式和对数式的相互转化.2、教学难点：对数概念的理解和对数恒等式的证明.三、教学方法和教学手段：启发式、自主探索、多媒体整合教学.四、教学过程㈠回顾旧知 激发新疑（课前欣赏尼加拉瓜发行的《改变世界面貌的十个数学公式》）在第3.1.2节的例题4中，我们已经知道，若该物质最初的质量是1，则经过x 年，该物质剩留量：0.84x y =()0x >.通过这个式子，你能不能求出3年后该物质剩余量吗？是多少？4年后呢？ 由此，已知底数和指数可以求幂本题研究的是一种放射性物质，在物理学中研究放射性物质，通常要研究它的半衰期.那么，经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半？上述问题也就是求满足0.840.5x =中的x ，是一个：已知底数和幂的值求指数的问题，要解决这个问题，首先要学习本课内容：对数（书写课题）㈡数海拾贝 知识溯源16、17世纪，欧洲人热衷于探索新大陆和远洋贸易，为此需要更为准确的天文知识. 在天文学的研究中，需要大量繁琐的计算，为了改进数字计算方法苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）发明了对数,并于1614年在《论述对数的奇迹》中，介绍了他的方法和研究成果.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明.法国著名数学家、天文学家拉普拉斯（place ，1794-1827）曾说：对数可以缩短计算时间，“在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.恩格斯曾经把“笛卡尔的坐标系”、“纳皮尔的对数”、“牛顿和莱布尼茨的微积分”共同称为17世纪的三大数学发明.那么，让众多学者评价如此之高的对数是如何定义的呢？㈢共同研究 建构新知对数的概念一般地，如果a （0a >且1a ≠）的b 次幂等于N ，即b a N =，那么就称b 是以a 为底N 的对数（logarithm ），记做log a N b =，其中，a 叫做对数的 底数 ，（base of logarithm ）N 叫做 真数 （proper number ）.由对数定义可知，b a N =与log a b N =两个等式所表示的是a ，b ，N 这3个量之间的同一个关系的不同表达方式.为什么说是同一关系?例如，239=⇔3log 92=； 41log 22=⇔1242=.(板书) 为什么说是不同表达方式？㈣直接应用 内化概念初步理解了对数的概念，我们发现对数式和指数式可以互化，那么指数式如何改写成对数式呢？我们来看例题1.例1 将下列指数式改写成对数式：⑴4216=； ⑵31327-=； ⑶520a =； ⑷10.452b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 解 ⑴2log 164=. ⑵31log 327=-. ⑶5log 20a =. ⑷12log 0.45b =.例题1的⑶⑷，指数部分含有未知数，我们通过将指数式改写成对数式，可以求出指数，其实是个解方程的过程，所以要解决本节开头提出的问题，只要计算 的值.指数式可以改写成对数式，那么对数式怎么改写成指数式？我们看例2. 例2 将下列对数式改写成指数式：⑴5log 1253=； ⑵log 32=-； ⑶10log 1.699a =-.解 ⑴35125=.⑵23-=. ⑶ 1.69910a -=.例题2的⑶，真数部分含有未知数，通过将对数式改写成指数式，可以求出真数，那么这种指对互化能否求对数的值呢？我们看例题3……例3 求下列各式的值：⑴2log 64； ⑵9log 27.解 ⑴由6264=，得2log 646=.⑵设9log 27x =，则根据对数定义知927x =，即2333x =，得32x =， 所以93log 272=. 由例题3什么样的对数式我们能直接求出值？黑板上有没有你暂时不能求值的对数式？这样底数和真数没有直接关系的对数式求值，在后续学习中我们会研究其求值方法，我们还可以用计算器计算这些对数式的值.（引例3.98，例1的⑶⑷分别为1.86，1.15）我们再来看两个底数和真数有特殊关系的对数式：log ?a a =，log 1?a =（板书）㈤延伸拓展 了解特例在数学学科中，我们学习和使用的数是几进制的？⑴通常将以10为底的对数称为常用对数.为了方便起见，对数10log N 简记为lg N ，如10log 2，10log 12可简记为：lg 2，lg12.⑵在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，称为自然对数. 2.71828e = 是个无理数.正数N 的自然对数log e N 简记为ln N ，如l o g 2e，log 15e 分别记为ln 2，ln15.（板书常用对数和自然对数，及其简记符号）本节课学习到现在为止，我们理解了一个概念（对数的概念），掌握了一种互化（指数式和对数式的互化）！同学们自己做几个题，检验一下学习成果.㈥当堂训练 牛刀小试练习：求下列各式的值：⑴4log 64； ⑵7log ⑶21log 8；⑷13log 9； ⑸lg1000； ⑹21lne. ㈦深入研究 提升能力我们再用这个互化来研究一下例题4……例4 已知0a >，1a ≠，0N >，b R ∈.⑴2log a a = ，5log a a = ，3log a a -= ，15log a a = ，……一般地，log b a a = ，请证明这个结论；⑵证明：log a N a N =.证明：⑴设b a N =，则log log b a a b N a ==，所以log b a a b =.（板书该结论）⑵设log a N b =，则log a N b N a a ==，所以log a N a N =.（板书该结论，指明为对数恒等式，并引出底数为e 的特殊形式）展示1917年尼加拉瓜“改变世界面貌的十个数学公式”，引导学生发现纳皮尔指数对数公式和另两个含有对数运算的公式）这套邮票说明：对数的发明，对人们研究科学和了解自然起了重大作用，今天我们对对数做了初步的研究，请同学们回顾并总结本节课学习了什么内容？ ㈧自主小结 巩固所学⑴课堂小结回顾、讨论并总结本节课学习了什么内容.学习1个概念，掌握1个互换，给出1组结论.对数的发明是伟大的，老师认为最能体现体现这对数价值的是：伽利略：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”对数最大的作用是简化计算，在后续“对数的运算性质”学习中，我们会逐渐研究. 本节课我们就学习到着，完成课后分层作业.⑵分层作业巩固练习：74P 练习1、2；探究练习：74P 练习6.五、教学设计说明本节课的内容是《高中数学必修1》第3章指数函数、对数函数和幂函数的第2节对数函数的第1小节对数的第1课时.于3.2对数函数这一节而言，是在学习了函数概念及其性质和指数函数后，在新的知识平台上系统研究的又一类基本初等函数；于3.2.1对数而言，是根式、分数指数幂学习的延续，也为后续3.2.2对数函数的学习做好准备工作；而本节课对数的第一课时对数的概念，承接了根式、分数指数幂的学习，也为对数的运算性质、换底公式，乃至对数函数的学习奠定了基础.本节课通过指数函数中的例题4引入，该例是指数函数和对数函数的重要背景.利用物理中对放射性物质半衰期的研究入手，用具体实例说明研究对数的必要性；然后通过对数发明史的介绍，激发学生学习兴趣；对数定义后与指数进行类比，帮助学生迅速理解对数的概念，同时点明本节课的重点：理解指数式和对数式的相互关系，会熟练地进行指数式和对数式的互化；然后通过例1、例2的指对数互换来巩固对数概念，帮助学生建立遇见指数式或对数式就互化的直觉；接着通过例题3帮助学生掌握这个互化；然后通过常用对数的数学史介绍引入两种特殊底数的对数；例题4第1小题使学生经历猜想和证明的过程，让学生体会数学的严密性，同时渗透换元法，然后由学生自己尝试对数恒等式的证明，再次巩固指数式和对数式的互化；最后组织学生回顾总结本节内容，通过介绍《改变世界面貌的十个数学公式》和伽利略的话，让学生感知对数发明的伟大，体会数学是人类发展不可或缺的内容，同时再次点明对数的简化计算的作用，为下节课的研究做好铺垫.整课力求最大限度的尊重教材、力图契合教材组织的主要形式，从问题情境入手，历经数学活动，意义建构，数学理论，数学运用和回顾反思，使学生数学地分析和解决问题.六、教后反思⑴“数海拾贝 知识溯源”环节中给出对数发明史过于仓促和简单，要加入人们发明数学符号的知识介绍：数，起源与生活.为了计数的需要产生了自然数，当要表示相反意义的数时，我们引进了？（负号“-”），当两个整数不能整除时，为了表示其商，我们引进了？（分式）；而非完全平方数开方时，我们引进了?(根号)……，每当遇到一个新的似乎是不可逾越的问题和障碍时，人类的聪明之处就在于他们会引入新的符号！⑵关于a 、b 、N 的范围，初稿时有涉及，但考虑0a >，1a ≠解释麻烦，有冲淡主题之嫌而删去，现在想来：a 的范围无需解释，指数函数中已经完成这个任务，但b 和N 的范围要提出让学生思考，可在a ，b ，N 三量名称对比表中顺势给出. ⑶例2⑶总结后引出例3有些牵强，改为：从例1发现指数式改写成对数式可以求指数式里的指数的值（也就是对数式里对数值），从例2发现对数式改写成指数式可以求对数式里的真数数的值，我们来使用互化来求一下值……⑷因时间安排问题例题4教师讲的过多，未能给学生足够的时间发表自己的看法，第2题的讲解应该展示学生过程加以分析，多喊几个学生表达看法.同时原设计中结论log b a a b =与log a N a N =实质是有指数式和对数式互代得到，漏讲！ ⑸从本组另外六位教师上课情况可以学习一个环节：例1与例2可由学生分组，一组写指数式，一组写对数式，交换互化；如学生未能写出含字母的互化，教师可添加.⑹从录像看，授课时部分时段语速过快，不利于学生听见，个别问题提的范围过大，指向不甚明确，要改进！。
2013年江苏省高中数学优秀课评比课件--沈培玲(对数)
§3.2.1 对 数 （简案）（一）教学目标：1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力；3.会求一些特殊的对数式的值。
【教学重难点】 重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点 ：（1）对数概念的理解；（2）化归思想的应用。
【教学方法与教学手段】（1）问题发现法与讲练结合法；（2）多媒体辅助教学。
【教学过程】【开场白】辅仁高中是个好地方，佳木葱茏，绿草如茵，人才辈出，学界泰斗钱钟书，宇航学家唐鑫源都是我们的校友，可谓“物华天宝，人杰地灵”，能在辅仁中学学习是一件非常幸福的事情。
今天我来到了辅仁中学，希望大家当我的向导，带我体检“幸福之旅”。
（一）引入【情景引入】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质的剩留的质量是原来的84%，假设该物质最初的质量是1，那么经过x 年这种物质的剩留量关于时间的函数关系式：y=0.84x ，由此，知道了经过的时间x ，就能求出该物质的剩留量y ；反过来，如果知道了y 的值，怎样求出相应的x 的值呢？比如：当y=0.5时，相应的x 的值是多少呢？介绍对数的数学史 （二）呈现新概念1、对数的定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
【学生活动一】 到黑板上在四线三格里规范写几个对数。
2、指对数关系式举几个具体的例子，加强对数符号的理解。
如321,5.084.0,32=⎪⎭⎫ ⎝⎛==xxx ，请用对数的形式写出相应的x 。
（四）应用新概念例1、将下列指数式写成对数式： （1）42=16 （2）33-=271 （3）a5=20 (4) b ）（21=0.45 例2、将下列对数式写成指数式： （1）3125log 5=；（2）23log 31-=；（3）699.1log 10-=a ； （4）b e =5log ， 71828.2=e ； 【学生活动二】例1、2得前两题师生共同解决，后两题学生板演。
2013版高考数学 3.2.1 第1课时 对数的概念课件 苏教版必修1
log 3 243 5
Байду номын сангаас
1 （2） 2 256
8
（3） 27 （4）
1 3
1 3
1 log 2 8 256 1 1 log 27 3 3
5 30
x
log 5 30 x
例2： 将下列对数式改写成指数式： （1）log 5 125 3
均增长7%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2011
年的2倍？
1 1 解:1. (1) 2
5
32
1 (2) 0.125 x ? 2
x
2. a(1+7%)x=2a
1 7%x 2 x ?
这是已知底数和幂的值，求指数! 你能看得出来吗？怎样求呢？
例1：将下列指数式改写成对数式： 注意互
（1） 2 4 16
化关系
log 2 16 4
1 log 3 3 27
1 （2） 3 27
3
（3） 5a 20
log 5 20 a
log 1 0.45 b
2
（4） ( 1 ) b = 0.45 2
把下列指数式改写成对数式：
(2)lne2 =2
（3） 10lg2 2
1.求下列等式中的x的值.
(1) log x 81 = 2
2.求下列各式的值.
x= 9
(2)10x+ lg2 = 2000
x= 3
(1)log6 216
3 = 2
(2)log0.5 1- log0.5 4
= 2
3、求下列各式中的x.
2 (1)log8 x ;(2)log2 (log5 x) 0;(3)log3 (lg x) 1. 3
对数课件(共18张PPT)
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.1 对数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 对数
学习目标
知识目标 能力目标
理解对数的概念，熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的性质与运算 法则，能够使用计算器求解对数值
学生运用分组探讨、合作学习，掌握对数与对数函数图象和性质，学会利用 计算器求对数的值，提高学生的数学运算能力
设经过b次分裂，可以列出等式： 2b=4096.
这是个已知底数和幂的值求指数的问题. 一般地，若ab＝N(a＞0，且a≠1,N＞0)，则称幂指
数b是以a为底N的对数．例如： 因为42＝16，所以2是以4为底16的对数； 因为43＝64，所以3是以4为底64的对数；
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
实质上，上述对数式，不过是指数式的另一种表达 形式而已.
例如：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
34=81 与4=log381 这两个式子表达的是同一关系.
拓展延伸 对数恒等式
我们来推导对数恒等式。 因为ab=N，根据对数的定义得b=logaN，于是得到 下面的对数恒等式:
aloga N N . 例如，2log2 32 32，10log10100 100 .
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2013版高考数学 3.2.2 第1课时 对数函数的概念、图象及性质课件 苏教版必修1
探究一：指数函数与对数函数的图象
作图：在同一坐标系下画出函数y log 2 x与函数y 2 x 的图象.
y
5 4 3 2 1
● ● ● ●
y=2x
●
y=x
●
●
y=log2x
●
-1
O -1
● ●
1
2
3
4
5
x
由图象可知：函数y 2x 与y log 2 x的图象关于直线y x 对称.
又因为 0 0.2 0.3, 所以 log 2 0.2 log 2 0.3.
2 考察函数 y log 0.3 x.因为它的底数是 0.3, 且 0 0.3 1, 所以y log 0.3 x在 0, 上是单调减函数.
又因为 0 1.8 2.1, 所以 log 0.3 1.8 log 0.3 2.1.
3 考察对数函数 y log 7 x.因为它的底数是 7, 且 7 1, 所以 y log 7 x在 0, 上是单调增函数.
又因为 0 5 7, 所以 log 7 5 log 7 7 1 .
同理, log 6 7 log 6 6 1, 所以 log 7 5 log 6 7 .
思考：当a 0且a １时，函数y log a x与函数y a x 的图象有什么关系？
一般地，当a 0且a １时，函数y log a x与函数y a x的 图象关于直线y x对称.
提升总结： 互为反函数的两个函数的性质： 1.如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数. 2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单 调性。
3.2.2 对数函数
省优获奖课件 高中数学 3.2.1对数(2)课件 苏教版必修1
18 20 200
19 10 110
20 0 0
数学建构：
表示法
列表法 图象法 解析法
优点
对应关系清晰明了 直观而形象 简单便于研究
缺点
不连续、容量小 对应关系不清晰 抽象
数学应用：
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2 1
2 4
3 2
4 4
x
1
2 4
3 2
4 3
f(x) 3
则f(f(1))＝ g(f(3))＝
7．已知函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)．
数学建构：
已知f(x＋a)求函数f(x)的解析式： (1)凑配； (2)换元f(x＋a) f(t)(t＝x＋a)； 注：用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x的取值范围.
小结：
1．函数的表示方法． 2．不同表示法的优缺点． 待定系数法 换元法 3．求函数的解析式y＝f(x) 凑配法 分类讨论法
高中数学 必修１
情境问题:
对数的定义： 一般地，如果a (a＞0，a≠1 )的b次幂等于N，即ab＝N．那么就称b为 以a为底的N的对数．记作：logaN＝b． 指数式 a＞0，a≠1 对数式
b R
N＞ 0 ab＝ N logaN＝b
(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求am+n的值． (2)设logaM＝m，logaN＝n，能否用m，n表示loga(M· N)呢？
32 (1)2 log 3 2 log 3 log 3 8 9
(2) log
2 ( 2 1) 1
(3) log3 ( 2 3 2 3 ) log 3 ( 2 3 2 3 ) log 3 2
省优获奖课件 高中数学 3.2.2对数函数(2)课件 苏教版必修1
数学应用：
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明 二者之间关系． y y＝log2(－x) y＝log2x x O
1
将函数y＝log2x的图象作关于y对称的图象，即为函数y＝log2(－x)的图象．
数学应用：
(3)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝－log2x的图象，并说明二 者之间关系． y y＝log2x x O 1 y＝－log2x 将函数y＝log2x的图象作关于x对称的图象，即为函数y＝－log2x的图象．
高中数学 必修１
情境问题：
对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函数． 对数函数的定义域为(0，＋)，值域为R ．
对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1，0)， 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋) 上递减； 当a＞1时，对数函数在(0，＋)上递增． y 如图所示曲线是对数函数y＝logax的图像， 已知a值取1.5，e，0.5，0.2，则相应于C1，C2， C3，C4的a的值依次为 ． O
C1
C2 1
x
C3 C4
数学应用：
例1 ．如图所示曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a值取0.2，0.5， 1.5，e，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次为 ． y
C1
C2
x
O
1
C3 C4
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者 之间的关系. y (1) y＝log3(x－2)； (2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2. O
y＝log3x－2
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性质 18世纪的欧拉（Euler,1707～1783)深刻地 揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源 于指数”.
引入
模型
对数诞生了，但对数的真正价值在哪里？
恩格斯在他的著作《自然辨证法》中，曾经把笛卡尔的坐 标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17 世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯 （place,1749 ～1827）曾说：对数可以缩短计算时 间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
N叫做真数(proper number).
建构数学
问题：在对数式中，a ，b ，N的取值范围是什么？
指数—对数
ab N
互化
a 0, a 1
loga N b
b R
底数—底数
幂—真数
N>0 （负数和零没有对数）
3 9
2
1 log3 9 2； log 4 2 2
4 2.
1 2
课后巩固
课本第79页 习题3.2(1) 感受· 理解 1, 2, 3(1)(2)(3)(4), 4.
， , 1 .
(6) loga a
a 0，a 1
思 考
底数的对数为1， 1的对数为0, 即 loga 1 0 ， 即 loga a 1 .
log
1
数学运用
例1 将下列指数式改写成对数式：
指数式
对数式
（1） 24 16 （2） 3 3 1 27 （3） 5a 20
（4） ( 1 )b 0.45
2
数学运用
例2 将下列对数式改写成指数式：（口答）
指数式 （1） （2）
对数式
log5 125 3
log 1 3 2
3
（3）
a N
b
log10 a 1.699
互化
loga N b
定义是数学解题的重要依据.
数学运用
例3 求下列各式的值：
(1) log2 64 ；
通常将以10为底的对数称为常用对数（common logarithm），
e 2.71828 是一个无理数.
正数N 的自然对数 loge N 一般简记为 ln N , 如 loge 2 , e 15 分别记为 ln 2 , 15 等. log ln
课外阅读
问题 数学语言
运算类型
经过多少年, 剩留量为
两个等式所表示的是a,b,N这3个量之间的同一个关系. 两种写法可以相互转化.
建构数学
根据对数的定义，写出下列各对数的值(a 0，a 1) :
(1) log5 1
(2) log3 1 (3) loga 1
结论：
， (4) log5 5 ， (5) log3 3 提炼一般性结论 0 ，
(2) log9 27 .
练习
求下列各式的值：
(1) log4 64；
(3) log1 9 ；
3
(2) log7 7 ； 1 (4) log 2 ； 8
(5) log10 100 .
探
究
a 0 , a 1 , b R ,N 0.
loga a
b
b
a
loga N
N
b R ,N 0.
Soochow University
苏教版普通高中课程标准实验教科书必修1
对 数
执教：无锡市辅仁高级中学 张长贵
问题情境
• 课本第68页 例4 某种放射性物质不断变化为其他物质， 每经过1年，这种物质剩留的质量是原来 的84％.写出这种物质的剩留量关于时间 的函数关系式.
设该物质最初的质量是1，则经过x年， 该物质的剩留量
0.84 0.5, 则x ?
x
0.5
？
已知底数a和幂值N ，求指数b.
对 数
0.84x 0.5, 则 x log0.84 0.5
3.9755
课堂总结
真数 N 0 常用对数 自然对数
lg a ln a
性质
实例 引入 对数的概念 互化
两个“宠 儿”
ab N
loga N b
y 0.84 ( x 0)
x
问题情境
问题 数学语言
运算类型
y 0.84
3
x
经过了
年，剩留量是多少？
0.843 0.592704
指数运算 a b N （已知底数a和指数b，求幂值N） 经过多少年, 剩留量为 0.84x 0.5 ，则 x ? 0.5 ？
问题 数学语言
运算类型
loga N
结论： a 0 , a 1 ,
b
loga a b , a
N.
常用对数 与自然对数
如 log10 12 ,log10 0.84等. 为了方便起见，对数 log10 N 简记作 lg N , 如 lg12 , lg 0.84 等. 在科学技术中，常常使用以e为底的对数， 这种对数称为自然对数（natural logarithm）.
转化与化归的思想 四个结论
loga 1 0 loga a 1
特殊到一般； 归纳猜想证明
loga ab b
a loga N N
阅
读
对数是由苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550~1617） 发明的,纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没 对数的概念 有指数概念的情况下发明了对数，并于1614年在《论述对 实例 函数 运算 数的奇迹》中，介绍了他的方法和研究成果. loga N b ab N
（一种新运算）
（已知底数a和幂值N ，求指数b）
建构数学
定义概念：
对 数
读法
一般地，如果a (a 0，a 1)的b次幂等于N,即
a b= N ,那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），
记作 loga N b ，
写法
log aN
N loga
错误写法
其中，a叫做对数的底数(base of logarithm)，