13.人教版 高中数学 第十三章 导数(文) 知识网络图及导读分析

第十三章 导数(文)
编写：王建宏
【网络图】
1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='
→∆=)()(lim
)(000
00
.
2.常见函数导数公式:0='C （C 为常数）；'
[()]0Cf x =；'1()()n n x nx n Q -=∈；
'''()u v u v ±=±.
3.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '(切线的斜率必存在)相应地，切线方程是000()()y y f x x x '-=-.
4.导数的应用：利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数.
5.求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根(此时只是可能极值点)；③列表检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.
6.求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值. 【网络导读】
导数的方法: 包括导数的定义、求导公式,四则运算、求导法则、复合函数求导法则和微分的计算.导数在函数研究上的应用主要涉及函数单调性的判断、极大(小)值的判断求解,以及函数最大(小)值的求解.
重要的数学思想方法: (1)极限思想方法; (2)数形结合思想; (3)转化与化归思想. 【易错指导】
易错点1：常用的求导公式记忆不牢,求复合函数的导数没有分清函数的复合关系. 利用函数的单调性构造不等关系.要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制.
易错点2：误认为()0 ((,))f x x a b '<∈是()f x 在(,)a b 内单调递减的充分必要条件,导致
错误结论.
例题1函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，
导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数
)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
【解析】导函数与x 轴有四个交点,第三个交点左
右两侧函数值均为正,故该点不是极值点.由于极小值点左边的函数单调递减,右边单调递增,即其导函数值应左负右正,其导函数的图象与x 轴的交点左方图象在x 轴下方,右方的图象在x 轴上方,仅第二个交点开区间),(b a 内有极小值点,(第一、四个交点为 故应选A. 【点评】本题考查了导函数的图象中原函数的极值点的图象特征.考查了考生对原函数与导函数关系的理解与掌握情况.不少考生对于导数的几何意义掌握不牢而失分.
例题2半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2
,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变
量，
则(πr 2)`＝2πr ○
1， ○
1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○
2 ○
2式可以用语言叙述为： 。

【解析】（
3
4
πR 3）`＝4πR 2， 用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

【点评】本题考查了从平面到空间的数学理论的类比,考查了考生的类比能力及推广应用数学知识的能力、归纳猜想的数学素养及数学直观意识.本题中不少考生因类比能力不强,数学直觉意识淡薄而失分.
例题3已知函数f(x)=d cx bx ax +++2
33
1
,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-
0,2a
b
］上，处取得最大植在1')(x x f ，在处取得最小值2x ，将点依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C
(I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a ,d 的值
【解析】(I)解: 2b a c =+
22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++
令()0f x '=,得1c x x a
=-=-
或 0,00a d a b c
>>∴<<<
1,1c c
a a ∴>-<- 当1c
x a
-<<-时, ()0f x '<;
当1x >-时, ()0f x '>
所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =- (II) 2()2(0)f x ax bx c a '=++>
()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为b
x a
=-
由1b a
>知2|(1)()||0()|b b b
a a a ---<-- ()f x '∴在2[1,0]b
a
-上的最大值为(0)f c '=
即1x =0 又由
21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b x a =-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a
'-=-=-即
01
()(1)3
f x f a =-=-
2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴----
由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-
即
又由三角形ABC 的面积为32+得
1(1)()223
b a
c a -+⋅+=+
利用b=a+d,c=a+2d,得2
22(2)3d d a
+
=
联立(1)(2)可得3,d a ==解法2: 2()2(0)f x ax bx c a '=++>
2(1)0,(0)b
f f c a
''-
== 又c>0知()f x 在2[1,0]b
a
-上的最大值为(0)f c '= 即: 1x =0 又由
21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b x a =-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a
'-=-=-即
01
()(1)3
f x f a =-=-
2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴----
由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-
即
又由三角形ABC 的面积为32+得
1(1)()223
b a
c a -+⋅+=+
利用b=a+d,c=a+2d,得2
22(2)3d d a
+
=
联立(1)(2)可得3,d a ==【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础
知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力.本题中不少考生对于条件中极小值点与极大值点的信息挖掘不够,出现思维障碍.。