2019-2020学年人教A版高中数学必修三新课改地区版课件：2.3 变量间的相关关系

[典例精析]
下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相
关关系吗？求回归直线方程有意义吗？
年平均气温 12.51 12.74 12.74 13.69 13.33 12.84 13.05
(℃)
年降雨量 (mm)
748 542 507 813 574 701 432
[解] 以 x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量，可得相
提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法．
二、归纳总结·核心必记 1.变量之间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定 性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全 用解析式来表达．
2.两个变量的线性相关 (1)散点图 将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示 两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图． (2)正相关
如何变化？
[解]
(1)∵－x ＝4，－y ＝5，
5
x2i ＝90，
5
xiyi＝112.3，
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
解析：选 C 在从散点图来看，图①中的点自左上方向 右下方分布，说明变量 x 与 y 负相关；图②中的点自左下方向 右上方分布，说明 u 与 v 正相关.
4．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(单位：
万元)有如下的统计资料：
使用年限x 维修费用y
2
3
4
5
6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知 y 与 x 成线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程^y＝bx＋a 的系数 a，b； (2)所求的回归直线必过点 P(－x ，－y )吗？ (3)使用年限为 10 年时，试估计维修费用是多少？ (4)若设备的使用年限 x 每增加一年，则所支出的维修费用 y
(1) 任 意 两 个 统 计 数 据 是 否 均 可 以 作 出 散 点 图？ 提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关
性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标， 均可画出它的散点图．
(2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？ 提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所
给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出 的回归直线方程无意义．
解：两变量之间的关系有三种：函数关系、相关关系 和不相关．
①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系． ②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函 数关系，但是具有相关性，因而是相关关系． ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不 是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明 显变化了，因而他们不具备相关关系．
探究点三 线性回归方程的求法及应用 [思考探究] 观察探究点二中的背景实例． 根据表格中的数据，能否估计出房屋面积为 120 m2 时的销 售价格？如何估计？ 名师指津：能．可根据散点图作出一条直线，求出直线方 程，再进行预测．根据两个变量的取值，画出散点图后作出一 条直线，利用最小二乘法求出此直线方程，代入相关数据即可 对另一个变量取值进行估计．
表所示：
年收入 x(万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出
y(万元)
0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
(1)根据表中数据，确定该地家庭的年收入和年饮食支出的
相关关系，并求出回归方程；
(2)当该地某家庭的年收入为 9 万元时，预测其年饮食支出．
7
7
7
7
附注： x2i ＝280， (xi－ x )2＝28，xiyi＝3 496，yi2＝454 92.
i＝1
i＝1
i＝1i＝1Biblioteka [解] (1)散点图如图所示．
(2)依题意得： x ＝3＋4＋5＋76＋7＋8＋9＝6， y ＝66＋69＋73＋871＋89＋90＋92＝80，
7
xiyi－7 x y
解：(1)由题意知，年收入 x 为解释变量，年饮食支出 y 为预测变量，画出散点图如图所示．
从图中可以看出，年收入和年饮食支出有线性相关关系， 因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．
10
10
因为 x ＝6， y ＝1.83，x2i ＝406，xiyi＝117.7，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
[典例精析]
某商场经营某种商品，在某周内所获纯利润 y(元)与该周每天销售
的这种商品数 x(件)的一组数据如下表：(运算结果保留小数点后一位)
x3
4 56 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 92 (1)画出散点图； (2)求纯利润 y 与每天销售的件数 x 之间的回归直线方程； (3)估计当每天销售的件数为 12 时，一周内获得的纯利约为多少？
i＝1
＝
，
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
^a＝ y －^b－x .
(2)最小二乘法 通过求 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn －a)2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法 ．
三、综合迁移·深化思维
提示：有关系，但这种关系具有不确定性．
（2） 若把下雪量和小麦产量看作两个变量，则 这两个变量之间的关系是确定的吗？若不是确定的， 那会是什么关系？
名师指津：这两个变量之间的关系是不确定的，这两个 变量之间的关系是相关关系．
(3)怎样理解两个变量之间的关系？ 名师指津：两个变量间的关系分为三类： ①确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系； ②相关关系，变量间确实存在关系，但又不具备函数关系 所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是 相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之 间的关系； ③不相关，即两个变量间没有任何关系．
[类题通法] 用线性回归方程估计总体的一般步骤
(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； (2)如果散点在一条直线附近，用公式求出^a，^b，并写出 线性回归方程(否则求出的回归方程是没有意义的)； (3)根据线性回归方程对总体进行估计．
[针对训练] 3．某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下
3.回归直线方程 (1)回归直线方程 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则所求回归方程是^y＝^bx＋^a，其 中^b是回归方程的斜率，^a是截距．
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
^b＝i＝1
其中
n
xi－ x 2
i＝1
∴^b＝
7
＝3 429860－－77××63×6 80＝374≈4.9，
x2i －7 x 2
i＝1
∴^a＝ y －^b x ≈80－4.9×6＝50.6， ∴回归直线方程为^y ＝4.9x＋50.6. (3)当 x＝12 时，^y＝4.9×12＋50.6＝109.4， ∴当每天销售的件数为 12 时，一周内获得的纯利润约 为 109.4 元．
探究点二 散点图 [思考探究] 下表为某地搜集到的新房屋的销售价格 y(单位：万元)和房 屋的面积 x(单位：m2)的数据：
x 115
110
80
135 105
y 44.8 41.6 38.4 49.2
42
(1)能否以 x 为横坐标，以 y 为纵坐标在平面直角坐标系 中作出表示以上数据的点？此图称为什么图形？
①画出散点图；
②判断 y 与 x 是否具有线性相关关系．
[解析] (1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数 关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关 系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系．
[答案] ②④ (2)[解] ①散点图如图所示．
i＝1
所以^b＝
10
＝117.470－6－101×0×6×621.83≈0.172.
x2i －10 x 2
i＝1
所以^a＝ y －^b x ≈1.83－0.172×6＝0.798. 所以回归方程为^y ＝0.172x＋0.798. (2)当 x＝9 时，^y＝0.172×9＋0.798＝2.346. 故当该地某家庭的年收入为 9 万元时，预测其年饮食支出为 2.346 万元．
[典例精析] (1)下列关系中，属于相关关系的是________(填序号)．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． (2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x(岁) 身高y(cm)
123 4 5 6 78 87 98 108 115 120
②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为 y 与 x 具有线性相关关系．
[类题通法] 相关关系与函数关系区别
函数关系是一种确定的关系，而相关关系是两个变量 间一种不完全确定的关系．函数关系是一种因果关系，而 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
[针对训练] 1．在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系.
应的散点图，如图所示：
因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有 相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．
[类题通法] 用散点图判断两个变量 x 与 y 的相关关系
(1)判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系，常 用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从 整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性 相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过 大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失 真，导致得出错误结论．
[针对训练] 2．对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)， 得散点图①；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
名师指津：能，如图所示，此图称为散点图．
(2)从散点图看应怎样描述房屋的销售价格与房屋面积之 间的变化关系？
名师指津：从大体上看，面积越大，销售价格越高，但 不是正比例函数关系．
(3)怎样认识散点图？ 名师指津：①散点图与相关性的关系： 散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点 的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论． ②散点图与正、负相关性的关系： 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称这 两个变量正相关，即两个变量具有相同的变化趋势；如果散点图 中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称这两个变量负相关， 即两个变量具有相反的变化趋势．
一、预习教材·问题导入
根据以下提纲，预习教材 P84～P91，回答下列问题． (1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？ 提示：相关关系． (2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？ 提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点 散布的位置是从左上角到右下角的区域． (3)求回归直线方程的主要方法是什么？
(3)根据^a＝ y －^b x 及回归直线方程^y ＝^bx＋^a，判断点 ( x ， y )与回归直线的关系是什么？
提示：由^a＝ y －^b x 得 y ＝^b x ＋^a，因此点( x ， y )在回 归直线上．
探究点一 变量间的相关关系 [思考探究] 瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦 盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚， 春天小麦就长得越好． (1)下雪与小麦丰收有关系吗？
在散点图中，点散布在从 左下角到 右上角的区域，对于
两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (3)负相关
在散点图中，点散布在从 左上角 到右下角的区域，对于
两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
(4)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 ， 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回 归直线，这条直线的方程叫做 回归直线方程 ，简称 回归方程 ．