专题09 高考立体几何试题中的角度问题-高考数学(理)母题题源系列(新课标2专版) Word版含解析

【母题原题1】【2017新课标卷II,理19】如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值．（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点,AB 的方向为x 轴正方向,AB 为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则()0,0,0A ,()1,0,0B ,()1,1,0C,(P,(1,0,PC =,(1,0,0)AB =, 设()(),,01M x y z x <<,则()1,,,(,1,BM x y z PM x y z =-=-, 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而()0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量, 所以cos ,sin 45BM =︒n2=,即()22210x y z -+-=． ① 又M 在棱PC 上,设PM PC λ=,则,1,x y z λ===． ②由①②解得1212x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩(舍去),1212x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．所以(122M -,从而(1)22AM =-．【考点】 判定线面平行、面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,②利用方程思想进行向量运算,要认真细心、准确计算．（2）设m ,n 分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与<m ,n >互补或相等,故有|cos θ|＝|cos<m ,n >|=⋅m nm n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 【母题原题2】【2016新课标卷II,理19】如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB =5,AC =6,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF =54,EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置,OD '=（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.又D H EF '⊥,而OHEF H =,所以D H ABCD '⊥平面.（Ⅱ）如图,以H 为坐标原点,HF 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系H xyz -,则()0,0,0H ,()3,1,0A --,()0,5,0B -,()3,1,0C -,()0,0,3D ',(3,4,0)AB =-,()6,0,0AC =,()3,1,3AD '=.设()111,,x y z =m 是平面ABD '的法向量,则0AB AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩m m ,即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩,所以可取()4,3,5=-m .设()222,,x y z =n 是平面ACD '的法向量,则0AC AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩n n ,即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩,所以可取()0,3,1=-n .于是cos ,25⋅<>===m n m n m n, sin ,<>=m n 因此二面角B D AC '--【考点】线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β,a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质,常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【母题原题3】【2015新课标卷II,理19】如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==．过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ,(10,0,0)FE =,(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量,则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-,故 45cos ,n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α．【考点】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．DD 1C 1A 1E FA BCB 1A 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置,坐标法是求解空间角问题时常用的方法,但因其计算量大的特点很容易出错,故坐标系的选择是很重要的,便于用坐标表示相关点,先求出面α的法向量,利用sin cos ,n AF θ=<>求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【命题意图】 高考对本部分内容的考查以应用为主,重点考查利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及空间想象能力、运算能力及分析问题解决问题的能力.【命题规律】 高考试题立体几何解答题通常分2问,第一问一般是证明线面位置关系,第二问多是求求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,该问一般是利用空间向量求解,从近几年高考试题来看,该题属于得分题,第一问失分的主要原因是步骤不规范,第二问失分的主要原因是运算失误. 【答题模板】解答本类题目,以2017年试题第二问为例,一般考虑如下三步： 第一步：建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标 建立空间直角坐标系A xyz -,确定A ,B ,()1,1,0C ,P ,PC ,AB 坐标第二步：求出两平面法向量的坐标 先确定()0,0,1=n 是底面ABCD的法向量,再设()000,,x y z =m 是平面ABM 的法向量,根据0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 求得(0,2)=m ．第三步：利用公式求二面角 根据cos ,⋅=m nm n m n确定二面角M AB D --的余弦值． 【方法总结】1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a＝0，n·b＝0.2．利用向量法证明立体几何问题,可以建坐标系或利用基底表示向量；建立空间直角坐标系时,要根据题中条件找出三条互相垂直的直线. 3．两条异面直线所成角的求法设a ,b 分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值． 4.直线与平面所成角的求法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n 的夹角为β,则sin θ＝|cos β|＝|a·n||a||n|.5．求二面角的大小(1)如图①,AB ,CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB →,CD →〉．(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 6.利用向量求空间角的详细步骤 第一步：建立空间直角坐标系． 第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标． 第四步：计算向量的夹角(或函数值)． 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．7.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想． 8.易错警示(1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求,但二者不完全相同,两异面直线所成角的取值范围是,而两向量所成角的取值范围是,所以当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,注意|a·n||a||n|是所求线面角的正弦值.(3)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．(4)用空间向量求解立体几何问题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴,导致建系不规范．(5)将向量的夹角转化成空间角时,要注意根据角的概念和图形特征进行转化,否则易失分．1．【2017宁夏石嘴山市二模】如图,在以为顶点的多面体中,平面,平面,,.（1）请在图中作出平面,使得,且,并说明理由；（2）求直线和平面所成角的正弦值.∴四边形为平行四边形,∴.又平面,平面,∴平面.∵平面,平面,∴.又平面,∴平面,即平面.（2）过点作并交于,∵平面,∴,即两两垂直,以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系. 在等腰梯形中,∵,∴,则.∵,∴,∴.设直线和平面所成角为, 又∵,∴,故直线和平面所成角的正弦值为.2．【2017东北三省三校第二次联考】如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为4的正方形,平面SAD ⊥平面SCD , SA SD ==（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段DS 上一点,若二面角S BC E --的平面角与二面角D BC E --的平面角大小相等, 求SE 的长．【解析】 (Ⅰ)∵平面SAD ⊥平面SCD , DC AD ⊥,∴DC ⊥平面SAD ∵DC ⊂底面ABCD ,∴平面SAD ⊥底面ABCD (Ⅱ)取AD 中点M ,连接SMSA AD SM AD =⇒⊥,又因为平面SAD ⊥底面ABCD ,所以SM ⊥平面ABCD 以M 为原点,,,MD AB MS 方向分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系平面ABCD 的法向量()10,0,1n =, 平面BCS 的法向量()2,,n x y z =, ()()()0,0,1,1,2,0,1,2,0S B C -, ()()2,0,0,1,2,1BC BS ==-则20{20x x y z =-+=,∴()20,1,2n =设()2,0,2DE DS λλλ==-,所以()22,0,2E λλ- 由上同理可求出平面BCE 的法向量()30,,2n λ=由平面BCD 、BCS 与平面BCE 所成的锐二面角的大小相等可得13231323n n n nn n n n ⋅⋅=⋅⋅,∴4λ=∴SE =3．【2017内蒙古包头市十校联考】如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD,PD ∥QA,．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q —BP —C 的余弦值．（2）依题意有B （1,0,1）,4．【2017重庆市一中一模】在四边形ABCD 中,对角线,AC BD 垂直相交于点O ,且4OA OB OD ===,3OC =．将BCD ∆沿BD 折到BED ∆的位置,使得二面角E BD A --的大小为90︒（如图）．已知Q 为EO 的中点,点P 在线段AB 上,且AP =（1）证明：直线//PQ ADE 平面；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值．【解析】由题90AOE ∠=︒,故,,OA OB OE 两两垂直,从而可建立如图直角坐标系O xyz -,则()0,4,0B ,()0,0,3E ,()0,4,0D -,()4,0,0A ．5．【2017辽宁锦州质检一】在四棱锥P ABCD -中, 2DBA π∠=, //AB CD =, PAB ∆和PBD ∆都是边长为2的等边三角形,设P 在底面ABCD 的射影为O ．（1）证明： BC PB ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵和都是边长为2的等边三角形,∴2PA PD PB O P ABD π==∠=，为在底面的射影，所以O ABD ∆为的外心且O 为AD 中点,∵BD BA =∴BO AD ⊥,由可得四边形ABCD 为平行四边形, AD ∥BC ∴BO BC ⊥又∵,PO ABCD PO BC ⊥⊥面则又,BO PO O ⋂=∴BC POB ⊥面, PB POB ⊂面∴BC PB ⊥ （2）以点为原点,以所在射线分别为轴 ,轴,轴建系如图,∵,则,,,,,可求PO ,,,,设面的法向量为,则,,得,,取,则,故,于是,由图观察知为钝二面角,所以该二面角的余弦值为.6．【2017辽宁庄河市四模】如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且PAD ∆是边长为的等边三角形, PC =点M 是PC 的中点.（1）求证： PA 平面MBD ； （2）点F 在PA 上,且满足12AF FP = ,求直线DM 与平面FBD 所成角的正弦值. 【解析】(1)连AC 交BD 于点E , 连ME ,因为四边形ABCD 是矩形,所以点E 是AC 的中点,又点M 是PC 的中点, PA ME ∴ ,又PA ⊄ 平面,MBD EM ⊂ 平面MBD ,所以PA平面MBD.·0{·0m BD m BF == ,得230{13033x y x y z --=--+= ,令3,2x y ==- ,则z =-故(3,2,m =-- ,又13,22DM ⎛= ⎝⎭,设直线DM 与平面FBD 所成角为,则·cos ,2m DM sinm DM m DMθ====,故直线DM 与平面FBD 所成角的正弦值为 . 7．【2017黑龙江大庆实验中学仿真模拟】如图,在四棱锥P —ABCD 中,平面PAD ⊥底面ABCD ,其中底面ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,PA＝AB ＝BC ＝CD ＝2,PD ＝2,PA ⊥PD ,Q 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值.在△APD 中,PA ＝2,PD ＝2,PA ⊥PD ,所以AD ＝＝4,而BC ＝2,所以BC ＝AD .又BC ∥AD ,所以QN ∥BC ,且QN ＝BC , 故四边形BCQN 为平行四边形,所以BN ∥CQ .又BN ⊂平面PAB ,且CQ ⊄平面PAB , 所以CQ ∥平面PAB .（Ⅱ）如图,取AD 的中点M ,连接BM ；取BM 的中点O ,连接BO 、PO .由(1)知PA ＝AM ＝PM ＝2, 所以△APM 为等边三角形, 所以PO ⊥AM . 同理BO ⊥AM.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,所以PO ⊥BO.设平面AQC 的法向量为m ＝ (x ,y ,z ),则可得令y ＝－,则x ＝3,z ＝5. 故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3,－,5).设直线PD 与平面AQC 所成角为θ.则sin θ= |cos 〈PD ,m 〉|＝m mPD PD ⋅＝.从而可知直线PD 与平面AQC . 8．【2017重庆八中5月模拟】如图所示,正三角形ABC 所在平面与梯形BCDE 所在平面垂直, //BE CD ,24BE CD ==, BE BC ⊥, F 为棱AE 的中点.（1）求证：直线AB ⊥平面CDF ；（2）若异面直线BE 与AD 所成角为045,求二面角B CF D --的余弦值.因为ABC 为正三角形, M 为AB 中点, 所以CM AB ⊥,从而DF AB ⊥；又平面ABC ⊥平面BCDE , CD BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCDE BC =， ∴CD ⊥平面ABC ， ∵CD AB CD DF D ⊥⋂=，,∴AB ⊥平面CDF ．（Ⅱ）解：异面直线BE AD ，所成角即直线DA DC ，所成角,则45ADC ∠=︒, 又90ACD ∠=︒,则2AC CD ==, 以B 为原点,建立空间直角坐标系B xyz -, 如图2所示,则()()(()10,0,04,0,00,1,0,2,02,,2B E A C F ⎛ ⎝⎭，，，，.()1320202BF BC ⎛⎫== ⎪ ⎝⎭，，，，，.令4z =-,得()304n =-，，，由（Ⅰ）可知AB ⊥平面CDF ,所以(01AB =-，，为平面CDF 的一个法向量． 257cos AB n 〈〉=-，所以二面角B CF D --的余弦值为．9．【2017辽宁鞍山市最后一次模】如图所示,在三棱锥A BCD -中,侧面ABD , ACD 是全等的直角三角形, AD 是公共的斜边且AD =1BD CD ==,另一侧面ABC 是正三角形.（1）求证： AD BC ⊥；（2）若在线段AC 上存在一点E ,使ED 与平面BCD 成30︒角,试求二面角A BD E --的余弦值.（2）设(),,E x y z 是线段上AC 上一点,则0x z =>, 1y =,平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n =,(),1,DE x x =,要使ED 与平面BCD 成30︒角,由图可知, DE 与的夹角为60︒,所以()cos ,DE n DE nDE n⋅=⋅1cos602==︒=,则2x =,解得2x =,则1CE ==,故线段AC 上存在E 点,当1CE =时, ED 与平面BCD 成30︒角.E ⎝⎭, ()1,0,0B , ()0,0,0D , ()1,1,1A , ∴()1,0,0DE =, 2DE ⎛=- ⎝⎭,设平面BED 的法向量()1,,n x y z =,10．【2017辽宁沈阳三模】如图,将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,若AM ⊥平面ABD ,且AM =（1）求证： DM ⊥平面ABC ；（2）求二面角C BM D --的大小.【解析】（1）设BD 的中点为N ,连接,AN CN ,则,AN BD CN BD ⊥⊥,∵平面ABD ⊥平面CBD ,平面ABD ⋂平面CBD BD =, CN ⊂平面CBD , CN BD ⊥,∴CN ⊥平面ABD ,以A 为原点, ,,AB AD AM 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图,则()0,0,0A , ()2,0,0B , (C , ()0,2,0D , (M , ()2,0,0AB =, (AC =, (0,DM =-,∵0DM AB ⋅=, 220DM AC ⋅=-+=,∴DM AB ⊥, DM AC ⊥又AB AC A ⋂=,∴DM ⊥平面ABC .。