上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案
2020-2021上海曹杨二中附属江桥实验中学高一数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021上海曹杨二中附属江桥实验中学高一数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．506．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}7．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,48．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 9．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<二、填空题13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.14．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.15．函数()12x f x =-的定义域是__________． 16．函数6()12log f x x =-的定义域为__________． 17．10343383log 27()()161255-+--+=__________．18．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 19．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .20．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.三、解答题21．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？22．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.23．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.24．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?25．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？26．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22yx x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．8．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．15．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 16．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤< 故函数()f x的定义域为：(．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 17．【解析】18．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2.故答案为()1,2.【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.19．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则； 因为0x ≥时，，则 若时，令 若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则； 20．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题 解析：2【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以4x c =-2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.三、解答题21．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =，又由1t =时，11()42a -=，解得3a =， 所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.22．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．23．（1）2；（2）(]1,3.【解析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题. 24．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【解析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-， 当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+，当16x =时，156max y =，而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 25．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.26．(),1-∞-【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
2020-2021上海曹杨二中附属江桥实验中学高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021上海曹杨二中附属江桥实验中学高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--2．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S4．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．15．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．217．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ）A ．1B ．3C ．6D ．99．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2310．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-1二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .23．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．24．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值.作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可.选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零，所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．7．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =，所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
高中上海市曹杨二中高一上学期期中数学试题
上海市曹杨二中【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()f x =的定义域为__________ 2．函数2(26)1y x x =≤≤-的值域为____________ 3．函数()f x =__________4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >则，()(1)1f x x x =++，则()f x =________ 5．若函数2()(1)23f x m x mx =-++为偶函数，则()f π-________(2)f6．若函数1(1)a y x a x-=+>在区间(0,3)上单调减函数则a 的取值范围为_________ 7．关于x 的不等式322255x x x ax ++-≥在[1,12]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________8．已知函数2()2x f x a -=+的图像恒过定点________9．函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.10．已知函数f(x)=x 2-2x+3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为二、单选题11．已知函数131(),()3xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则在R 上（ ） A ．()f x 与()g x 都是增函数B ．()f x 与()g x 都是减函数C ．()f x 是增函数，()g x 是减函数D ．()f x 是减函数，()g x 是增函数12．函数22(1)3y x m x =+++在区间(,2]-∞上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤- B ．3m ≥ C ．3m ≤ D ．3m ≥-13．定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( ) A ．a<bB ．a>bC ．|a|<|b|D ．0≤a<b 或a>b≥014．函数(),()f x g x 的图象分别如图1、2所示.函数()()()h x f x g x =+. 则以下有关函数()h x 的性质中,错误的是（）A ．函数在0x =处没有意义；B ．函数在定义域内单调递增；C ．函数()h x 是奇函数；D ．函数没有最大值也没有最小值三、解答题15．已知1()f x x=，根据单调性定义证明()f x 在其定义域内为增函数. 16．用长为l 的铁丝完成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围城的面积y 关于x 的函数关系式()y f x =，并写出它的定义域.17．已知k ∈R ，试讨论关于x 方程()222110k x x ---+=实根的个数. 18．设2()44,[,1]()f x x x x t t t R =--∈+∈，函数()f x 的最小值为()g t .（1）求()g t 的解析式（2）画出函数()y g t =的大致图形（3）求函数()y g t =的最值19．已知函数2()2(0)f x x ax a =->（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<（2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求()M a 的解析式.参考答案1．{}61x x -≤<【解析】【分析】 使函数表达式有意义即265010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得265010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得61x -≤<， 所以函数的定义域为{}61x x -≤<， 故答案为：{}61x x -≤<【点睛】本题考查的是求函数的定义域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用x 的取值范围即可求解.【详解】由26x ≤≤，所以115x ≤-≤， 所以11151x ≤≤-，所以22251x ≤≤-， 225y ∴≤≤，所以函数的值域为2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了求函数的值域，属于基础题.3．12⎤⎥⎣⎦ 【分析】首先求出函数的定义域，再结合二次函数的单调性即可求解.【详解】()f x =210x x ∴-++≥，210x x ∴--≤x ≤≤， 函数21y x x =-++对称轴是：12x =，12x ≤≤，函数21y x x =-++单调递增，当1122x +≤≤，函数21y x x =-++单调递减， ∴函数()f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：12⎤⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，注意求单调区间需在定义域内进行求解，此题属于基础题.4．()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【分析】由题意已知0x >的解析式，此题求整个定义域内的解析式，不妨设0x <，变形得到0x ->，而x -适合已知的解析式，结合函数的奇偶性可求得0x <的函数解析式，然后运用奇函数的定义可求得()00f =，则函数的整个定义域上的解析式即可求解.【详解】设0x <，则0x ->，则2()(1)11f x x x x x -=--+=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则2()1f x x x -=-+，所以()21f x x x =-+-， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，综上()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩，故答案为：()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，需熟记奇函数的特性，属于基础题. 5．<【分析】根据函数为偶函数求出参数m ，进而求出解析式，根据二次函数的单调性即可判断出大小.【详解】函数2()(1)23f x m x mx =-++为偶函数，()()f x f x ∴=-，即()22(1)23(1)23m x mx m x mx -++=---+，整理可得40mx =，所以0m =，所以2()3f x x =-+，对称轴：0x =，开口向下，所以函数在()0,∞+单调递减，所以()()(2)f f f ππ-=<，故答案为：<【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、利用函数的单调性比较大小，属于基本知识的考查. 6．10a ≥【分析】3≥即可求解.【详解】由对勾函数的性质可知： 函数1(1)a y x a x-=+>在(上单调递减，在)+∞上单调递增， 因为函数1(1)a y x a x -=+>在区间(0,3)3， 解得10a ≥，故答案为：10a ≥【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键是求出函数的单调区间，属于基础题.7．(],10-∞【分析】分离参数a ，把不等式变形为2255a x x x x ≤++-，只需a 小于等于2255x x x x ++-的最小值即可.【详解】 由322255x x x ax ++-≥，112x ≤≤， 则2255a x x x x≤++-，而2510x x +≥=，当且仅当[]51,12x =∈取等号， 且250x x -≥，等号当且仅当[]51,12x =∈时成立； 所以2min25510a x x x x ⎡⎤≤++-=⎢⎥⎣⎦，等号当且仅当[]51,12x =∈时成立； 故10a ≤故答案为：(],10-∞【点睛】本题考查了不等式在某个区间内恒成立求参数的取值范围，求解时可采用分离参数法，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，注意应用时验证等号成立的条件，此题属于中档题.8．()2,3【分析】利用指数函数恒过定点()0,1的性质即可求解.【详解】因为01a =，则令20x -=，即2x =，代入2()2x f x a -=+，则()0223y f a ==+=，所以函数2()2x f x a-=+的图像恒过定点()2,3，故答案为：()2,3【点睛】 本题考查了指数函数的性质，需熟记指数函数恒过定点()0,1，属于基础题.9．(1,0)-，(0,1)【分析】 函数221(1,1)1()=1(1)(11,0)x x x x f x x x x x x ⎧><-⎪-⎪=⎨-⎪--<<≠⎪⎩或且然后分段分析函数的单调性,得出答案. 【详解】 函数221(1,1)1()=1(1)(11,0)x x x x f x x x x x x ⎧><-⎪-⎪=⎨-⎪--<<≠⎪⎩或且, 所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减，在(1,0)-和(0,1)上单调递增.故答案为：(1,0)-，(0,1)【点睛】本题考查绝对值的定义，分段函数的单调性，属于中档题.10．[]1,2【解析】由题可知函数是开口向上，对称轴为1的二次函数，所以函数的最小值在对称轴取得，即()12f =，而最大值只能在区间端点值取得，由因为()03f =，所以根据对称性得()23f =，所以m 的取值范围是12m ≤≤11．C【分析】利用幂函数与指数函数的性质即可求解.【详解】由函数()13f x x =，在定义域内为单调递增； 函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在定义域内为减函数； 故选：C【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数的性质，需熟记性质，属于基础题.12．A【分析】利用二次函数的图像与性质，只需对称轴()12x m =-+≥，解不等式即可.【详解】函数22(1)3y x m x =+++，开口向上，对称轴()1x m =-+， 所以函数在(],1m -∞--上单调递减，因为函数在区间(,2]-∞上是减函数，即(](,1,2]m -∞⊆-∞--，从而可得()12m -+≥，解得3m ≤-，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 13．C【解析】因为f(x)= f(|x|)，所以由f(a)<f(b)得f(|a|)<f(|b|)，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以|a|<|b|，选C.点睛：函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．14．B【详解】由图1知()f x 为奇函数，定义域为{|0}x x ≠，由图2知()g x 为奇函数，x ∈R 所以，h(x)函数在0x =处没有意义, 函数()h x 是奇函数，没有最大值也没有最小值． 在定义域内不单调．错误的是B.15．证明见详解【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，任取120x x <<，判断()()12f x f x -小于零，由增函数的定义即可求解.【详解】由1()f x x=，则函数的定义域为()0,∞+， 任取120x x <<，则()()1221121111f x x x x f x x ⎫-=-⎪⎭-=()121212121x x x x x x x x ⎛⎫-=+=-⎪⎪⎭， 120x x <<，则120x x -<，120x x <，()()120f x f x ∴-<，即 ()()12f x f x <，所以()f x 在其定义域内为增函数.【点睛】本题考查了利用函数的单调性定义证明函数的单调性，证明步骤：取值、作差、变形、定号，属于基础题.16．242y x lx π+=-+；定义域为0,2l π⎛⎫ ⎪+⎝⎭【分析】 下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围城的面积y 关于x 的函数关系式()y f x =，根据实际意义，可写出它的定义域.【详解】如图：由题意，半圆半径为x ，则2AB x =，弧长DC x π=()122CB DA l x x π==--， 22242222l x x x y x x lx πππ--+∴=⋅+=-+， 由()201202x l x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩，解得02l x π<<+， 故函数的定义域为0,2l π⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积，属于基础题.17．当14k >时，0个； 当14k =时， 4个； 当104k <<时，8个；当k 0<时，2个；【分析】 令21,0x y y -=≥，将原式变为20y y k -+=，讨论k 的取值，从而确定一元二次方程根的个数，进而确定方程的实根x 的个数.【详解】 设21,0x y y -=≥，因此原式变为20y y k -+=； （1）当14k >时，此时方程20y y k -+=无解，即方程根的个数为0； （2）当14k =时，方程20y y k -+=有两个相等的解，解得12y =， 2112x ∴-=或2112x -=-，此时实数x 的个数有4个； （3）当104k <<时，方程20y y k -+=有两个不相等的实根12,y y ，且 10y >，20y >，211x y -=，方程有4个实数根，221x y -=，方程也有4个实数根，此时方程的实数根共8个；（4）当0k =时，方程20y y k -+=的两个为120,1y y ==，2110x y -==有2根，2211x y -==，方程有3个实数根，此时方程的实数根共5个；（5）当k 0<时，方程20y y k -+=有两个不相等的实根12,y y ，且一正一负，不防设210,0y y ，由121y y +=，故21y >，当是取10y <时，x 无值；当取21y >时，则2211x y -=>，则221x y -=或221x y -=-当221x y -=时，实数x 的个数有2个，当221x y -=-，实数x 的个数有0个，此时方程的实数根共2个； 综上所述，当14k >时，0个； 当14k =时， 4个； 当104k <<时，8个；当k 0<时，2个；【点睛】本题考查了根据参数的范围求方程根的个数以及一元二次方程的根的分布，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．（1）()2244,28,1227,1t t t g t t t t t ⎧-->⎪=-≤≤⎨⎪--<⎩；（2）作图见详解； （3）()y g t =最小值为8-，无最大值【分析】（1）由于函数2()44f x x x =--对称轴为2x =，分对称轴在闭区间的左边、中间、右边三种情况，分别求得函数()f x 的最小值，可得()g t 的解析式.（2）根据（1）中的解析式，作出分段函数的图像即可.由（2）的图像，观察即可求得函数()y g t =的最值.【详解】（1）由于函数2()44f x x x =--对称轴为2x =，当2t >时，函数()f x 在闭区间[],1t t +上单调递增，故函数()f x 的最小值为()2()44g t f t t t ==--； 当21t t ≤≤+，即12t ≤≤时，故函数()f x 的最小值()()28g t f ==-；当12t +<，即1t <时，函数()f x 在闭区间[],1t t +上单调递减，故函数()f x 的最小值为()2()127g t f t t t =+=--； 综上所述，()2244,28,1227,1t t t g t t t t t ⎧-->⎪=-≤≤⎨⎪--<⎩，（2）作出()g t 的图像，如图所示：（3）由（2）的图像，函数()y g t =的最小值为8-，无最大值.综上所述，函数()y g t =的最小值为8-，无最大值.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分段函数的图像以及分段函数的最值，考查数形结合的思想，属于中档题.19．（1）()()1,13,5-；（2）()a a M a a a ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩【分析】（1）当2a =时，把等式3()5f x -<<化为不等式组2345x x -<-<，求出解集即可. （2）由二次函数的图像与性质，讨论0a >时，|()|5f x ≤在[0,()]x M a ∈上恒成立时，()M a 最大，此时对应的方程()5f x =±根的情况，从而求出()M a 的解析式.【详解】（1）当2a =时，函数2()4f x x x =-，∴不等式3()5f x -<<可化为2345x x -<-<， 解得1315x x x ⎧⎨-<<⎩或，∴不等式的解集为()()1,13,5-. （2）0a >时，()222()2f x x ax x a a =-=--， ∴当25a -<-，即a >要使|()|5f x ≤区间[0,()]M a 上恒成立，要使得()M a 最大，()M a 只能是225x ax -=-的较小的根，即()M a a =；当25a -≥-，即0a <≤要使|()|5f x ≤区间[0,()]M a 上恒成立，要使得()M a 最大，()M a 只能是225x ax -=-的较大的根，即()M a a =综上，()a a M a a a ⎧>⎪=⎨+<≤⎪⎩【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图像与性质，综合性比较强，属于中档题.。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题(解析版)
因 ，且
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 的上确界为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查基本不等式“1”的代换，在用基本不等式时，一定要注意“一正，二定，三相等”原则，考查学生的逻辑推理与转化能力，属于中档题.
三、解答题
17.记关于 的不等式 的解集为P,不等式 的解集为Q，若 求实数 的取值范围.
（1）若 比3远离0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ．
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义得到不等式 ，解这个不等式可得 的取值范围．
（2）只要证明 即可，利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．
【详解】（1）因为 比3远离0，所以 即 ，
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件求出 t＜x＜2（a+b） t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．
【详解】因为A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，
∴|x （a+b t）|＜a+b⇒ t＜x＜2（a+b） t，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b t=0
设b和c都是整数，若 有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数 的解析式，使得其所有项的系数和最小．
【答案】(1) ， ， ， ；(2)
【解析】
【分析】 由题意可得 ，设 ，则 ，求得t，进而得到x的值；
，即为 ，由题意不妨设四个根分别为 ， ， ， ，可得四个根的和为 ，即 ；再由韦达定理，消去d，可得b，c的方程，结合b，c为正整数和 取得最小值，化简运算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式．
2023-2024学年上海市曹杨中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
上海市曹杨中学2023学年第一学期高一数学期中试卷总分：150分考试时间：120分钟一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）1.已知01x <<，则(1)x x -的最大值为______．2.设集合}2A =，{}3,5,B y =-，若A B ⊆，则xy =_______.3.不等式131x ≤+的解集为__________．4.已知集合(){}210A x x =-≤，(]1,2B =，则A B ⋃=_______.5.若()34log log 1x =，则x =______．6.已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________.7.化简：()223411620,0a b a b a b >>=⎫⎪⎭__________．（结果用根式表示）8.已知：1x >-，则411x x -++的最小值是_________．9.集合(){}2,,R |P x y y x x ==∈，集合(){}2,2,R |Q x y y x x ==-+∈，则P Q = ________．10.设2log 3,27b a ==，试用a ，b 表示42log 56=_________．11.()lg lg 2lg 23x y x y +=-，则yx 的值为____________．12.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个iM 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，16、16每小题满分5分）13.不等式()()210x x --≥的解集为（）A.[][)2,12,-+∞B.(][),12,-∞⋃+∞C.[][)2,02,-⋃+∞ D.(][),21,-∞-+∞ 14.若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A.2a b +≥B.2b a a b+≥C.()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D.22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭15.已知a R ∈，条件2:10p ax ax -+＞的解集为R ；条件:04q x ＜＜，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B ⋃=R ，则实数k 的取值范围是（）A.6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B.6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D.6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.设全集{}{}2R,|60,|||3U P x x x Q x x a ==--=-≤<（1）若集合P Q Q ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q U ⋂=，求实数a 的取值范围.18.已知方程2210x mx m -+-=的两个实根为12,x x （1）用含m 的代数式表示1211+x x 和12x x -；（2）若该方程的两个实根都小于1，求实数m 的取值范围．19.已知关于x 的不等式2430ax x -+>的解集为()(),1,b -∞⋃+∞，其中1b >．（1）求,a b 的值；（2）当0,0x y >>，且满足1a bx y+=时，有223x y k k +≥+++恒成立，求k 的取值范围．20.（1）求不等式321x x -≥+的解集；（2）已知4a <，若4x x a -+-的最小值为3，求实数a 的值；（3）若不等式212122a a a ax a ax ++-≥++-对于任意非零实数a 恒成立，求实数x 的取值范围．21.已知有限集{}()123,,,,2,N n A a a a a n n =⋯≥∈，若A 中元素满足1212n n a a a a a a =++⋯+ ，则称集合A为“复活集”．（1）判断集合11,22⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由：（2）若12,a a 均为正数，且{}12,a a 为“复活集”，求12a a 的取值范围，（3）若()N 1,2,3,0,3i i a i a n ∈=≠=时，求“复活集”A ．上海市曹杨中学2023学年第一学期高一数学期中试卷总分：150分考试时间：120分钟一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）1.已知01x <<，则(1)x x -的最大值为______．【答案】14【分析】直接使用基本不等式，即可求得结果.【详解】因为()()2111144x x x x -≤+-=，当且仅当1x x =-，即12x =时取得最大值.故答案为：14.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题.2.设集合}2A =，{}3,5,B y =-，若A B ⊆，则xy =_______.【答案】18【分析】根据A B ⊆得到23y =⎧⎪=，计算可得；【详解】解：因为}2A =，{}3,5,B y =-，若A B⊆所以23y =⎧⎪=解得29y x =⎧⎨=⎩，所以18xy =故答案为：18【点睛】本题考查集合的包含关系求参数的取值，属于基础题.3.不等式131x ≤+的解集为__________．【答案】()2,1,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据不等式即可求出解集.【详解】由题意，在131x ≤+中，1301x -≥+，即3201x x +≥+，∴()()321010x x x ⎧++≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或23x ≥-，故答案为()2,1,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭.4.已知集合(){}210A x x =-≤，(]1,2B =，则A B ⋃=_______.【答案】[]1,2【分析】计算{}1A =，再计算并集得到答案.【详解】(){}{}2101A x x =-≤=，(]1,2B =，[]1,2A B = .故答案为：[]1,2.【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题.5.若()34log log 1x =，则x =______．【答案】64【分析】利用对数运算法则直接计算即可.【详解】()34log log 1x =，则4log 3x =，故64x =.故答案为：64.6.已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________.【答案】1或18-【分析】结合已知条件，求出2(1)320a x x -+-=的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【详解】若A 恰有两个子集，所以关于x 的方程恰有一个实数解，①当1a =时，23x =，满足题意；②当0a ≠时，810a ∆=+=，所以18a =-，综上所述，1a =或18a =-.故答案为：1或18-.7.化简：()223411620,0a b a b a b >>=⎫⎪⎭__________．（结果用根式表示）【分析】直接由分数指数幂以及根式互相转换计算即可.【详解】由题意()21221122133333334121123362a ba b a b a b ab b a a ⋅====⎫⋅⎪⎭8.已知：1x >-，则411x x -++的最小值是_________．【答案】2【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即得.【详解】由1x >-，得10x +>，因此441(1)22211x x x x -+=++-≥-=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以当1x =时，411x x -++取得最小值2.故答案为：29.集合(){}2,,R |P x y y x x ==∈，集合(){}2,2,R |Q x y y xx ==-+∈，则P Q = ________．【答案】{(1,1),(1,1)}-【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可.【详解】依题意，由222y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}P Q =- .故答案为：{(1,1),(1,1)}-10.设2log 3,27ba ==，试用a ，b 表示42log 56=_________．【答案】31b a b +++【分析】应用换底公式把对数的底数都换成2，再应用对数的运算性质运算即可.【详解】227log 7b b =⇒=，所以()()3322224222222log 72log 56log 7log 23log 56log 42log 732log 7log 3log 21b a b ⨯++====⨯⨯++++，故答案为：31b a b +++11.()lg lg 2lg 23x y x y +=-，则yx的值为____________．【答案】49【分析】根据真数大于零可求得,x y 的取值范围，再由()223xy x y =-解方程即可求得结果.【详解】因为()lg lg 2lg 23x y x y +=-，所以可得()20023023x y x y xy x y >⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪=-⎩，即2291340y xy x -+=，两边同时除以2x 得291340y y x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即9410y y x x ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得49y x =或1yx =（舍）；所以49y x =故答案为：4912.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=- .故答案为：-1二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，16、16每小题满分5分）13.不等式()()210x x --≥的解集为（）A.[][)2,12,-+∞B.(][),12,-∞⋃+∞C.[][)2,02,-⋃+∞ D.(][),21,-∞-+∞ 【答案】A【分析】分段去绝对值符号，再解一元二次不等式即得.【详解】当0x >时，不等式()()210x x --≥化为(2)(1)0x x --≥，解得1x ≤或2x ≥，因此01x <≤或2x ≥；当0x ≤时，原不等式化为(2)(1)0x x ---≥，即(2)(1)0≤x x +-，解得21x -≤≤，因此20x -≤≤，所以原不等式的解集是[][)2,12,-+∞ .故选：A14.若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A.2a b +≥B.2b aa b+≥C.()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D.22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据特殊值，先判断ABC 错误，再由作差法比较，即可判定D 正确.【详解】若1a =，1b =-，则012a b +=<=，22b a a b +=-<，()1104a b a b ⎛⎫++=< ⎪⎝⎭，即ABC 都错；D 选项，因为22222222222222244a b a b a b a b ab a b ab+++---+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭202a b -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭显然恒成立，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查判所给不等式是否正确，考查作差法比较大小，属于基础题型.15.已知a R ∈，条件2:10p ax ax -+＞的解集为R ；条件:04q x ＜＜，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先由210ax ax -+>恒成立，分别讨论0a =、0a ≠，可得04a ≤<，再结合“04a ≤<”与“04a <<”的关系判断即可.【详解】解：①当0a =时，10>恒成立，即0a =满足题意，②当0a ≠时，210ax ax -+>恒成立，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上可得210ax ax -+>恒成立，则04a ≤<，则:04p a ≤<，:04q a <<，由p 不能推出q ，q 能推出p ，则p 是q 的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及充分必要条件，重点考查了简易逻辑及分类讨论的数学思想方法，属基础题.16.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B ⋃=R ，则实数k 的取值范围是（）A.6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B.6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D.6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【分析】根据题意可知213x ≤-<，解绝对值不等式求出集合A ，分类讨论k 的取值范围，求出集合B ，由A B ⋃=R ，列出满足条件k 的不等式组，解不等式即可求解.【详解】由题意可得213x ≤-<，解得213x ≤-<或312x -<-≤-，所以34x ≤<或21x -<≤-，所以(][)2,13,4A =--⋃{}{}()(){}22222111502111502530B x x kx k x x kx k x x kx k =-+-<=-+>=-->，当0k >时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，由A B ⋃=R ，则53342k k ≤<<，解得6453k ≤<；当0k =时，{}0B x R x =∈≠，此时A B ⋃=R 不成立，故0k =不取；当0k <时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞⎪⎝⎭，则52312k k -<<≤-，解得2235k -<≤-，综上所述，实数k 的取值范围是6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：D【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.设全集{}{}2R,|60,|||3U P x x x Q x x a ==--=-≤<（1）若集合P Q Q ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q U ⋂=，求实数a 的取值范围.【答案】17.01a ≤≤；18.5a ≤-或6a ≥.【分析】（1）（2）解不等式化简集合,P Q ，再利用给定运算的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】解不等式260x x --<，得23x -<<，即{|23}P x x =-<<，解不等式||3x a -≤，得33a x a -≤≤+，即{|33}Q x a x a =-≤≤+，由P Q Q ⋃=，得P Q ⊆，因此3233a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是01a ≤≤.【小问2详解】由（1）知，{|23}P x x =-<<，{|33}Q x a x a =-≤≤+，由P Q U ⋂=，得P Q =∅ ，因此32a +≤-或33a -≥，解得5a ≤-或6a ≥，所以实数a 的取值范围是5a ≤-或6a ≥.18.已知方程2210x mx m -+-=的两个实根为12,x x （1）用含m 的代数式表示1211+x x 和12x x -；（2）若该方程的两个实根都小于1，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21mm -，；（2）0m <.【分析】（1）利用韦达定理求解即得.（2）根据给定条件，结合韦达定理建立不等式组，再解不等式组即得.【小问1详解】方程2210x mx m -+-=的两个实根为12,x x ，显然2244(1)(21)30m m m ∆=--=-+>，于是12122,1x m x x x m +==-，所以1212121121x x m x x x x m ++==-，12x x -=.【小问2详解】由（1）知，恒有0∆>，12122,1x m x x x m +==-，由方程的两个实根都小于1，得1210,10x x -<-<，则1212(1)(1)0(1)(1)0x x x x -+-<⎧⎨-->⎩，即1212122()10x x x x x x +<⎧⎨-++>⎩，因此221210m m m <⎧⎨--+>⎩，解得0m <，所以实数m 的取值范围是0m <.19.已知关于x 的不等式2430ax x -+>的解集为()(),1,b -∞⋃+∞，其中1b >．（1）求,a b 的值；（2）当0,0x y >>，且满足1a b x y+=时，有223x y k k +≥+++恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =，3b =（2）21k -≤≤【分析】（1）由一元二次不等式的解集求参数即可；（2）应用基本不等式“1”的代换求2x y +最小值，结合不等式恒成立有253k k +≥+++，再解一元二次不等式求k 的范围.【小问1详解】因为关于不等式2430ax x -+>的解集为()(),1,b -∞⋃+∞，所以方程2430ax x -+=的两根为1和,0b a >，将1x =代入得1a =，将x b =代入2430b b -+=，解得3b =或1b =（舍），所以1a =，3b =；【小问2详解】因为131x y +=，所以()136225y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭5≥+=5+，当且仅当6y x x y =，即61,32x y =+=时，等号成立，因为223x y k k +≥+++恒成立，所以253k k +≥+++，即220k k +-≤，解得21k -≤≤．20.（1）求不等式321x x -≥+的解集；（2）已知4a <，若4x x a -+-的最小值为3，求实数a 的值；（3）若不等式212122a a a ax a ax ++-≥++-对于任意非零实数a 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）2|3x x ⎧≤⎨⎩或}4x ≥（2）1（3）[]22-,【分析】（1）将不等式等价转换为一元二次不等式，从而即可求解.（2）对x 分类讨论即可得到()min 44a x x a+-=--，结合已知即可求解.（3）将原不等式等价转换为min112222x x a a ⎛⎫++-≥++- ⎪⎝⎭，然后证明引理：,R u v ∀∈，恒有2u v u v u ++-≥，结合引理即可求解.【详解】（1）由题意()()()()22220332132121x x x x x x ⇔-≥+⇔--+-≥≥+()()()()42303240x x x x ⇔--≥⇔--≥，解不等式()()3240x x --≥得23x ≤或4x ≥，所以不等式321x x -≥+的解集为2|3x x ⎧≤⎨⎩或}4x ≥.（2）由题意4a <，当4x a ≥>时，()()42424444x x a x a a a x x a =-+-=--≥⨯-+-=---，当4a x ≤<时，()()444a x x x x a a =--+-+=---，当4x a <<时，()()4244244x x a x a a a a x x a =----=-++⨯-+>++=---，综上所述，当且仅当4a x ≤≤时，()min 434x x a a =--+=-，解得14a =<符合题意，故实数a 的值为1.（3）由题意不等式212122a a a ax a ax ++-≥++-对于任意非零实数a 恒成立，等价于112222x x a a++-≥++-，所以只需min 112222x x a a ⎛⎫++-≥++- ⎪⎝⎭，我们先来证明如下引理：,R u v ∀∈，恒有2u v u v u ++-≥，因为()()u v u v u v u v +-≥+-，所以()()()()222222u v u v u v u v u v u v u v u v ++-++-≥++-++-，即()()()2224u v u v u v u v u ++-≥++-=⎡⎤⎣⎦，从而2u v u v u ++-≥，等号成立当且仅当()()u v u v u v u v +-=+-即u v ≥，引理得证.由以上引理得4112222a a +-⨯+≥=，即min 41122a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++-，所以min 4112222x x a a ⎛-⎫≤= ⎪⎝⎭++-++，且注意到42222x x +-⨯+≥=，等号成立当且仅当2x ≤即22x -≤≤，因此224x x ++-=，等号成立当且仅当22x -≤≤，综上所述：实数x 的取值范围为[]22-,.21.已知有限集{}()123,,,,2,N n A a a a a n n =⋯≥∈，若A 中元素满足1212n n a a a a a a =++⋯+ ，则称集合A 为“复活集”．（1）判断集合11,22⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由：（2）若12,a a 均为正数，且{}12,a a 为“复活集”，求12a a 的取值范围，（3）若()N 1,2,3,0,3i i a i a n ∈=≠=时，求“复活集”A ．【答案】（1）是，理由见解析；（2）(4,)+∞；（3）{1,2,3}A =.【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得.（2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得.（3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得.【小问1详解】因为15151515·12222-+---=+=-，所以集合1515,22⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭是“复活集”.【小问2详解】由{}12,a a 为“复活集”，设1212a a a a t +==，因此12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个不等正根，于是240t t ∆=->，且0t >，解得4t >，所以12a a 的取值范围是(4,)+∞.【小问3详解】不妨设A 中元素(1,2,3)i a i =满足123a a a <<，且N i a *∈，显然12312333a a a a a a a =++<，则123a a <，而12N a a *∈，即有122a a =，因此121,2a a ==，则3323a a =+，解得33a =，所以“复活集”{1,2,3}A =.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决.。
2020-2021上海曹杨中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021上海曹杨中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-5．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20196．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．612．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．14．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．15．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______． 18．103383log ()()1255---+=__________．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题21．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．24．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.25．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．26．已知函数()f x A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.4．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．6．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A .本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2．本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.14．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.15．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.16．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m---，且 24(2)(2)04m m m m --->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-.综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.18．【解析】19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．三、解答题21．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数.(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <. ∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1.(2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.24．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭25．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷(含简答)
2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷一. 填空题1. 已知0<a <b ,则ab a+2b+2 (填“>”或“<”)2. 已知等式(2x +3)x+2020=1(其中x 为整数)成立,则x =3. 已知集合M ={x|x(4−x)<0},N ={x|(x −1)(x −6)<0,x ∈Z},则M ∩N =4. 若3a =7b =63,则2a+1b 的值为5. 不等式(x +2)(x +1)2(x −1)3(x −2)≤0的解集为6. 已知a =lg5,用a 表示lg2和lg20,分别为7. 已知关于x 的不等式|2x−a|x+a>0的解集为M ,且2∉M ,则a 的取值范围是8. 设a,b ∈R ,已知关于x 的不等式(a +b)x +(b −2a)<0的解集为(1,+∞) ,求不等式(a −b)x +3b −a >0的解集为9. 已知集合A ={x|x 2−5x +4≤0},B ={x|x 2−2ax +a +2≤0},若B ⊆A ,则a 的取值范围 10. 设x ∈R,则f(x)=|x −1|+|2x −1|+⋯+|9x −1|+|10x −1|取到最小值时,x = 11. 已知关于x 的不等式2−2x ≤kx 2+k ≤3−2x 有唯一解,则实数k 的取值集合为 12. 已知x,y ∈[0,+∞)且满足x 3+y 3+3xy =1,则x 2y 的最大值为 二. 选择题13.若a 、b 是满足ab <0的实数,那么下列结论中成立的是( ) A. |a −b |<|a|−|b| B. |a −b |<|a |+|b| C. |a +b |>|a −b| D. |a +b |<|a −b| 14.已知a,b,c ∈R ,则下列四个命题正确的个数是( )①若ac 2>bc 2,则a >b ; ②若|a −2|>|b −2|,则(a −2)2>(b −2)2③若a >b >c >0,则1a<1b<1c; ④若a >0,b >0,a +b >4,ab >4,则a >2,b >2;A.1B.2C.3D.415.已知p:{a >−3b >−3,q:{a +b >−6ab >9,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.满足5x +12√xy ≤a(x +y)对所有正实数x 、y 都成立,实数a 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对三. 解答题17.已知关于x 的不等式ax−5x 2−a <0的解集为M . (1)a =4时,求集合M ;(2)若3∈M 且5∉M,求实数a 的取值范围.18.已知a,b,c∈R+,求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)19.某工厂生产某产品x件所需成本费用为P元,且P=1000+5x+110x2,而每件售出的价格为Q元,其中Q=a+xb(a,b∈R).(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求a、b的值.20.设函数f(x)=|x+1|−|x|的最大值是m.(1)求m的值;(2)若正实数a、b满足4a+3b=m,求12a+b +1a+b最小值及此时a、b的值;(3)若正实数a、b满足a+b=2m，求a2+2a +b2b+1的最小值及此时a、b的值.参考答案一.填空、选择题三.解答题17.(1) M={x|x<−2或54<x<2}; (2) [1,53)∪(9,25].18.略19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;(2)a=25,b=30.20.(1) m=1;(2)最小值为3+2√2,此时a=3√2−42,b=3−2√2;(3)最小值为2+2√23, 此时a=6−3√2,b=3√2−4.。
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．不等式|x|﹣1＜0的解集是．2．不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则b＝．3．计算：＝．4．“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是．5．不等式的解集是．6．a∈R，则的最小值是，此时a＝．7．不等式（m﹣1）x2﹣2x+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是．8．设p：x＜2，q：x＜a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．9．已知，则a2+a﹣2＝．10．已知x，y均为正实数，且，则x+y的最小值是．11．已知a＞1，a lgb＝100，则lg（ab）的最小值为．12．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数m的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab214．条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜B．v＝C．＜v＜D．v＝16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．对任意a，使得P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．对任意a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1不是Q2的子集三、解答题：（36分）17．解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．19．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如图所示．（1）将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？20．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若a＝2，f（x）≤0的解集为[n，3]，求实数b的值；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]，使f（x）＞0，求实数b的范围；（3）集合，若A＝B≠∅，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：（每题4分，共48分）1．不等式|x|﹣1＜0的解集是（﹣1，1）．解：不等式|x|﹣1＜0，即|x|＜1，∴﹣1＜x＜1，故不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．2．不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则b＝5．解：若不等式x2﹣bx+6＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则2，3分别为方程x2﹣bx+6＝0的两根故2+3＝5＝b故答案为：53．计算：＝5．解：＝（）+1＝（）﹣2+1＝4+1＝5，故答案为：5．4．“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是存在x0∈R，使得．解：命题为全称命题，“对于任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是存在x0∈R，使得，故答案为：存在x0∈R，使得．5．不等式的解集是{x|x＜﹣3或x≥}．解：根据题意，⇒（2x﹣1）（x+3）≥0且（x+3）≠0，解可得x＜﹣3或x≥，即原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x≥}；故答案为：{x|x＜﹣3或x≥}．6．a∈R，则的最小值是2，此时a＝0．解：＝＝+，令＝t，（t≥1），∴y＝t+，在[1，+∞）上为增函数，∴t＝1时，该函数取得最小值为2，此时a＝0．故答案为：2，0．7．不等式（m﹣1）x2﹣2x+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（2，+∞）．解：①当m﹣1＝0，即m＝1时，则﹣2x+1＞0不恒成立，②当m﹣1≠0，即m≠1时，则，解得m＞2，综上所述，m的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．8．设p：x＜2，q：x＜a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a＜2．解：依题意，因为p是q的必要不充分条件，所以（﹣∞，2）⫌（﹣∞，a），所以a＜2，故答案为：a＜2．9．已知，则a2+a﹣2＝34．解：∵，（等式两边同时平方），∴a﹣2+a﹣1＝4，即a+a﹣1＝6，∴a2+a﹣2+2＝36，即a2+a﹣2＝34，故答案为：34．10．已知x，y均为正实数，且，则x+y的最小值是2．解：x，y均为正实数，且，则：，、当且仅当x＝时，等号成立，故答案为：2．11．已知a＞1，a lgb＝100，则lg（ab）的最小值为．解：对a lgb＝100两边取以10为底的对数，可得lgalgb＝2，因为，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．12．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数m的取值范围是．解：设的两根分别为x2，x3，首先Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1，因为三个根可以作为一个三角形的三条边的长，所以x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，由韦达定理得x2x3＝m，x2+x3＝2＞1，所以把|x2﹣x3|＜1两边平方，得，即4﹣4m＜1，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2解：A．取a＝﹣2，b＝1，则不成立．B．若0＜a＜1，则a3﹣a＝a（a2﹣1）＜0，∴a3＜a，因此正确．C．若a＞b＞0，则a（b+1）﹣b（a+1）＝a﹣b＞0，∴a（b+1）﹣b（a+1）＞0，∴，正确；D．若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，而b可能为0，因此cb2＜ab2不正确．故选：BC．14．条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由可得，由也得到．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：A．15．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜B．v＝C．＜v＜D．v＝解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v＝＝∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a＝＝＝∴v＞a综上可得，故选：A．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．对任意a，使得P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．对任意a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1不是Q2的子集解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集，故A错误，B正确；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集，故C错误，D错误．故选：B．三、解答题：（36分）17．解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．解：当a＝0时，不等式为x﹣1＜0，解得x＜1；当a≠0时，不等式化为a（x﹣）（x﹣1 ）＞0，若a＜0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＜0，且＜1，解得＜x＜1；若a＞0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＞0；当a＝1时，＝1，不等式化为（x﹣1）2＞0，解得x≠﹣1；当0＜a＜1时，＞1，解不等式得x＜1，或x＞；当a＞1时，＜1，解不等式得x＜，或x＞1；综上，a＜0时，不等式的解集是（，1）；a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；0＜a≤1时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；a＞1时，不等式的解集是（﹣∞，）∪（1，+∞）．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．解：（1）由题设|x2﹣1|＞1，即∴x2﹣1＜﹣1或x2﹣1＞1，即x2＜0或x2＞2；解得x＜﹣，或x＞，即x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．证明：（2）对任意两个不相等的正数a、b，有a3+b3＞2ab，a2b+ab2＞2ab．∵|a3+b3﹣2ab|﹣|a2b+ab2﹣2ab|＝（a+b）（a﹣b）2＞0，∴|a3+b3﹣2ab|＞|a2b+ab2﹣2ab|，即a3+b3比a2b+ab2远离2ab．19．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如图所示．（1）将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？解：（1）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，因为x﹣3＞0，，所以3＜x＜300．所以定义域为{x|3＜x＜300}．（2）＝1515﹣300＝1215，当且仅当，即x＝30时上式等号成立，当温室的边长x为30米时，总面积y取最大值为1215平方米．20．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若a＝2，f（x）≤0的解集为[n，3]，求实数b的值；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]，使f（x）＞0，求实数b的范围；（3）集合，若A＝B≠∅，求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x）≤0的解集为[n，3]，且f（x）＝x2+2x+b是二次函数，所以f（n）＝f（3）＝0，解得b＝﹣15．（2）存在x∈[﹣2，3]，使得f（x）＞0，则当f（x）max＞0（x∈﹣2，3]）时即可，因为f（x）＝x2+ax+b是开口向上的二次函数，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（3），①若f（x）max＝f（﹣2），则f（﹣2）＝﹣2a+b+4＞0⇒b＞2a﹣4，因为对任意a∈[﹣1，1]都成立，b＞（2a﹣4）max＝2×1﹣4＝﹣2，即b∈（﹣2，+∞），②若f（x）max＝f（3），则f（3）＝3a+b+9＞0⇒b＞﹣3a﹣9，因为对任意a∈[﹣1，1]都成立，b＞（﹣3a﹣9）max＝﹣3×（﹣1）﹣9＝﹣6，即b∈（﹣6，+∞），因为要存在x∈[﹣2，3]，使得f（x）＞0，所以f（﹣2）和f（3）中只需要一值大于0即可，b∈（﹣2，+∞）∪（﹣6，+∞）⇒b∈（﹣6，+∞），即实数b的取值范围为（﹣6，+∞）．（3）设C＝{t|t＝f（x），x∈A}，D＝{t|f（t）≤}，因为A＝B，所以C⊆D，且当t∈∁D C时，f（x）＝t无解，因为f（x）＝x2+ax+b≥f（﹣）＝﹣+b，所以C＝{t|﹣+b≤t≤0}，设D＝[t1，t2]，且t1＜t2，f（t1）＝f（t2）＝，则∁D C＝{t|t1≤t＜﹣+b或0＜t≤t2}，因为f（x）≥﹣+b，所t1≤t＜﹣+b时，f（x）＝t无解，若t2＞0，又因为A＝{x|f（x）≤0}≠∅，所以当0＜t≤t2时，f（x）＝t一定有解，所以{t|0＜t≤t2}＝∅⇒0≥t2，由因为C⊆D，0≤t2，所以t2＝0，即f（0）＝⇒b＝，令f（x）＝x2+ax+＝⇒x＝﹣a或0，所以D＝[t1，t2]＝[﹣a，0]，又因为C⊆D且A＝{x|f（x）≤0}≠∅，所以⇒，所以≤a≤5，即a取值范围为[，5]．。
上海市曹杨二中2020-2021学年高三上学期期中数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高三上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若22z i =-(其中i 为虚数单位)，则=z ___.2．函数()f x 的定义域是__________．3．已知向量(1,0,3)(3,1,0).a b ==，则a 与b 的夹角_____.4．函数1()3(0)x f x x -=<的反函数是-1()f x =____.5．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.6．幂函数223()=mm f x x --(m ∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数,则m ＝ ．7．(n x展开式的二项式系数之和为256，则展开式中2x 的系数为_____. 8．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈点(1,0)是其函数图象的对称中心，y 轴是其函数图象的对称轴，则ω的最小值为_____.9．有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____. 10．记[]x 为不大于x 的最大整数，设有集合[]{}{}2|2=|2A x x x B x x =-=<，,则A B =_____.11．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_________．12．已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______.二、单选题13．抛物线28y x =的焦点坐标（ ）A ．()0? 2，B ．()2? 0，C ．()4? 0，D ．()0?4， 14．己知,m n 是空间中两直线，α是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．已知//m a ，若//n α，则//n mB ．已知//m α，若n m ⊥，则n α⊥C ．已知m α⊥，若n m ⊥，则//n αD ．已知m α⊥，若//n m ，则n α⊥ 15．己知函数()(1cos )sin f x m x x =+-，则（ ）A ．仅有有限个m ，使得()f x 有零点B ．不存在实数m ,使得()f x 有零点C ．对任意的实数m ，使得()f x 有零点D ．对任意的实数m ,使得()f x 零点个数为有限个 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,()1,0,a λλ=>且21(1)n n n a a n ++=-,若201920192101020192019S a μ-=-，则20191+λμ的最小值（ ）A ．B ．4CD ．三、解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，12,4,BC CC M ==为棱1CC 上—点.(1) 若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的大小；(2) 若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ,过1F 作斜率不为零的直线l 与椭圆交于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，椭圆上一点P 与12,A A 连线的斜率之积121.4PA PA k k =-（点P 不是左右顶点）. （1）求该椭圆方程；（2）已知定点()0,1M ,求椭圆上动点N 与M 点距离的最大值.19．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H 的值（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大20．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R .（1）若2a =时,()0f x ≤的解集为[],3n 时，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,1a ∈-,存在[]2,3x ∈-,使()0f x >，求实数b 的范围；（3）集合{}5|()0,|(())4A x f x B x f f x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅,求实数a 的取值范围.21．已知数列{}n a 和{}n b ,记()1122...m m m S a b a b a b =-+-++-.(1)若21,2n n a n b n =-=-，求()()13,S S ；(2)若12,213n n n a b n -==-，求()m S 关于m 的表达式； (3)若数列{}n a 和{}n b 均是项数为*(3,)m m m N ≥∈项的有穷数列.，现将{}n a 和{}n b 中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到1,2,3,...,2m .求证：对于给定的m ，()m S 的所有可能取值的奇偶性相同.参考答案1．【解析】【分析】将z 的共轭复数写出来,再算出模即可【详解】22z i =+z故答案为【点睛】本题考查了共轭复数和复数的模,注意计算的正确即可,属于基础题.2．(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 3．3arccos10 【分析】根据向量的夹角公式求出a 与b 的夹角的余弦值,即可得出a 与b 的夹角.【详解】 ∵3cos ,1010a ba b a b ⋅===⨯⋅ ∴a 与b 的夹角为3arccos 10故答案为：3arccos10【点睛】 本题考查了向量的夹角公式,注意算出非特殊三角函数值在写夹角的时候要用反三角函数表示,不能直接写三角函数值,属于基础题.4．31log 10,3x x ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出()f x 的值域,即为-1()f x 的定义域,再将y =()f x 中的x 和y 调换位置,化简变形用x 表示y ,即可得-1()f x 的表达式 【详解】0x <1011333x y --∴=<= 13(0)x y x -∴=<的值域为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13(0)x y x -∴=<的反函数是13y x -=,10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简得31log 10,3y x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即-1()f x =31log 10,3x x ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为31log 10,3x x ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了反函数-1()f x 的计算,反函数的定义域是原函数的值域,当定义域不是R 时,一定要写出定义域.本题属于基础题.5．()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【分析】 根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果 【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩ 故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】 本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题6．1【详解】因为幂函数223()=mm f x x --(m ∈Z)为偶函数，所以223m m --为偶数， 因为幂函数223()=m m f x x --(m ∈Z)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 所以223013m m m --<∴-<<因为m ∈Z ，所以m ＝17．1120【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为2256n =,求出n 的值,再写出二项式的通项公式为38821882rr r r r r r T C x C x --+==⋅⋅,当38=22r -时,即可求出2x 的系数 【详解】(n x+展开式的二项式系数之和为012...22568n n n n n n C C C C n ++++==⇒= (n x+展开式的通项公式38821882r r r r r r r T C x C x --+==⋅⋅ 当38=22r -时,4r =,即4422582=1120T C x x =⋅⋅则展开式中2x 的系数为1120故答案为：1120【点睛】本题考查了二项式展开式的二项式系数和,和二项式展开式的通项公式,属于基础题. 8．2π 【分析】因为y 轴是其函数图象的对称轴,所以0x =代入()2x k k Z πωϕπ+=+∈；(1,0)是其函数图象的对称中心,所以1x =代入()+x n n Z ωϕπ=∈,作差即可表示出ω的值,再根据0>ω,即可得ω的最小值.【详解】 y 轴是其函数图象的对称轴,()02k k Z πωϕϕπ∴⨯+==+∈……①∵(1,0)是其函数图象的对称中心()1++n n Z ωϕωϕπ∴⨯==∈……②②-①,得()()2n k n k Z πωπ∴=-+--∈0ω>∴当1n k -=时,ω有最小值2π 故答案为：2π 【点睛】本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式,属于基础题.9．35【分析】从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.【详解】从5条线段中任取3条,共有3510C =种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况； 即能构成三角形的概率是63=105, 故答案为：35 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.10．{-【分析】求A B 即需同时满足A 集合和B 集合的x 的取值范围,先根据{}{}=|2=|22B x x x x <-<<,比较容易得出解集, 再将B 集合的解集代入A 集合中,判断出可以成立的值,即可得A B【详解】 {}{}=|2=|22B x x x x <-<<当22x -<<时,[]2,1,0,1x =--,当[]2x =-时,[]2200x x x +==⇒=,不满足[]2x =-； 当[]1x =-时,[]2211x x x +==⇒=±,1x =-满足[]1x =-；当[]0x =时,[]222x x x +==⇒=,不满足[]0x =；当[]1x =时,[]223x x x +==⇒=x =[]1x =；即同时满足[]22x x -=和2x <的x 值有则A B ={-故答案为：{- 【点睛】本题考查了集合的计算,和取整函数的理解,针对两个集合求交集的情况,可先对较简单的或者不含参数的集合求解,再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.11．(5,7)【解析】试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为()11111662+=，可知第60个数对落在第11个与y x =-平行的直线上的，为()5,7.试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从()1,1点开始，各点分别落在与y x =-平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点1,2，()2,1，以此类推第三组有三个点……,则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为()5,7.考点：一般数列中的项12．2【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=”问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y x a y x a b b -⎧=⎪-⎪⇒-==≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tan b a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos 22tan 222cos cos a b θθθθθθ-=-==≥=所以2a b -的最小值为2 【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面 13．B 【解析】由抛物线方程28y x =知焦点在x 轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为4(,0)20)2即（，，所以选B 。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________2．满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆的集合M 的个数是______．3．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______. 4．已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________5．函数的定义域是 .6．若()23x x f x x -=+，()3x g x x +=，则()()f x g x ⋅=______． 7．已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______.8．已知正实数x y 、满足31x y +=，则13x x y+的最小值为_________. 9．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______ ．10．二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a 的取值范围是_________.11．如关于x 的不等式110x ax +-->对任意()0,1x ∈恒成立，则a 的取值范围为___．12．定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．二、单选题13．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N M ⋂= C ．M N M ⋃= D ．M N R = 14．设命题甲为“05x <<”，命题乙为“23x -<”，那么甲是乙的（ ） A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件15．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1616．若+,a b R ∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．14 D ．4-三、解答题17．记关于x 的不等式1101a x +-+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.18．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．（1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2． 19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20．已知一元二次函数()()200f x ax bx c a c =++＞，＞的图像与x 轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为()0c ，，且当0x c ＜＜时,恒有()0.f x ＞(1)求出不等式()0f x ＜的解(用a c 、表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a 的取值范围；(3)若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]11k ∈-，恒成立,求实数m 的取值范围. 21．已知二次项系数是1的二次函数()2f x x bx c =++．()1当2b =-，0c =时，求方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实根；()2设b 和c 都是整数，若()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数()y f x =的解析式，使得其所有项的系数和最小．参考答案1．{|72,}x x n n =+∈N【分析】设被7除余2的正整数为x ,即72x n =+,用描述法写成集合形式,即可得到答案.【详解】设该数为x ,则该数x 满足72x n =+,n N ∈∴所求的正整数集合为{|72,}x x n n =+∈N故答案为:{|72,}x x n n =+∈N .【点睛】本题考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解题关键.2．3【分析】列举满足条件得到集合得到答案.【详解】{}{}1,21,2,3,4M ⊆，则满足条件的集合有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,3,4. 故答案为：3.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求集合，属于简单题.3．(],1-∞【分析】由题意得出[][)1,4,m ⊆+∞，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】 :14x α≤≤，:x m β≤，若α是β的充分条件，[][)1,4,m ⊆+∞，则1m .因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.故答案为(],1-∞.【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.4．216x y = 【分析】正方形的周长x ,则边长为4x ,即可求得的面积y 关于周长x 的函数解析式. 【详解】正方形的周长为x ,则正方形的边长为4x (0x >) ∴正方形的面积为:216x y = 故答案为: 216x y =(0x >) .【点睛】本题考查了实际问题中的求解函数关系式,能够通过周长求得正方形边长,是求出面积关于周长解析式的关键.5．[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域6．1x -（3x ≠-，且0x ≠）【分析】结合函数定义域的求法，求得()()⋅f x g x .【详解】 ()f x 的定义域为{}3x x ≠-，()g x 的定义域{}0x x ≠.∴()()⋅f x g x 的定义域为{3x x ≠-且}0x ≠. ∴()()2313x x x f x g x x x x-+⋅=⋅=-+（3x ≠-且0x ≠）. 故答案为：1x -（3x ≠-，且0x ≠）【点睛】本小题主要考查函数定义域，考查函数解析式.7．50【分析】利用配凑法，结合基本不等式，求得xy 的最大值.【详解】 依题意2211212025022222x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当210x y ==时等号成立.故xy 的最大值为50.故答案为50.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．7【分析】用 “1”的代换的方法对所求表达式进行化简，再利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意133333117x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当331,4y x x y x y ===时，取得最小值为7.故答案为7【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 【分析】由条件可得a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=c a ． b =-a ＞0，c =-2a ＞0，可得要解得不等式即x 2+12x -12＞0，由此求得它的解集． 【详解】∵关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，∴a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=c a． ∴b =-a ＞0，c =-2a ＞0，∴a c =-12，b c =12． 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0，即x 2+12x -12＞0，即（x +1）（x -12）＞0， 故x ＜-1或x ＞12， 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 故答案为()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 10．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()231x a f x x +-=+，根据()20f <，求得a 的取值范围. 【详解】构造函数()()231x a f x x +-=+，依题意可知()f x 有两个零点12,x x ，且122,2x x <>，所以()20f <，即()4231210a a +-+=-<，解得12a <，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】 本小题主要考查根据二次函数零点分布，求参数的取值范围，属于基础题.11．13a -<≤【分析】先去绝对值，变成不等式组恒成立，再转化为最值可解决．【详解】解：因为()0,1x ∈，所以原不等式可化为：11ax x -<+，111x ax x ∴--<-<+，211a x a ⎧<+⎪∴⎨⎪>-⎩对任意()0,1x ∈恒成立，21123x +>+= 13a ∴-<≤，故答案为13a -<≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数的问题.属中档题．12．22t 【分析】先根据条件求出-t ＜x ＜2（a +b ）-t ；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a +b =t ，最后结合基本不等式即可求出a 2+b 2的最小值．【详解】因为A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴|x -（a +b -t ）|＜a +b ⇒-t ＜x ＜2（a +b ）-t ，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a +b -t =0所以a +b =t ．又因为a 2+b 2≥2ab所以2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2=（a +b ）2=t 2．所以：a 2+b 2≥22t ． 故答案为22t ． 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．13．B【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求,M N 两个集合的交集和并集，从而得出正确选项.【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<.故,M N N M N M ⋃=⋂=，故B 选项正确. 故选B.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 14．A【分析】先求解出命题乙中不等式的解集，然后根据互相推出的情况判断出属于何种条件.【详解】 解不等式23x -<得15x -<<，因为05x <<可推出15x -<<，但15x -<<不可推出05x <<，所以甲是乙的充分不必要条件，故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，要熟记一个规则“小范围能推出大范围”，主要考查学生的理解能力，难度较易.15．A【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论.【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．B【分析】 求122a b --的上确界，即求122a b--的最大值，即求12+2a b 的最小值，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，即可得到答案.【详解】 求122a b --的上确界，即求122a b--的最大值，即求12+2a b 的最小值， 因为1a b +=，且+,a b R ∈所以()12121259+2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即12,33a b ==时，等号成立， 所以12922a b --≤-，即122a b--的上确界为92-， 故选：B.【点睛】本题考查基本不等式“1”的代换，在用基本不等式时，一定要注意“一正，二定，三相等”原则，考查学生的逻辑推理与转化能力，属于中档题.17．()2,+∞【分析】解分式不等式求得集合P ，解绝对值不等式求得集合Q ，结合0,a P Q Q >⋂=，求得a 的取值范围.【详解】 由1101a x +-+＜得01x a x -<+，由于0a >，所以()1,P a =-.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤，故[]0,2Q =.由于0,a P Q Q >⋂=，所以2a >.也即实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本小题主要考查根据集合交集的结果求参数，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.18．（1）()(),22,-∞-+∞（2）详见解析 【分析】（1）根据定义得到不等式21030x -->-，解这个不等式可得x 的取值范围．（2）只要证明332222a b a b ab +->+-利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．【详解】（1）因为21x -比3远离0，所以21030x -->-即213x ->，所以213x ->或213x -<-（无解），所以24x >，故()(),22,x ∈-∞-⋃+∞．（2）0a >，0b >，a b ，222a b ab ∴+>，332a b +>，于是3322332222a b a b ab a b a b ab +--+-=+--，而()()()()23322220a b a b ab a b a b a b a b +--=--=-+>332222a b a b ab ∴+->+-，即33+a b 比22a b ab +远离2【点睛】本题考查不等式的证明，其基本方法有（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号； （3）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明． 19．40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-（舍去）. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20．（1）1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）(][){},22,0-∞-+∞.【分析】（1）利用()0f c =求得b 关于,a c 的表达式，进而求得不等式()0f x <的解集.（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得a 的表达式，进而求得a 的取值范围.（3）根据（1）中求得b 的表达式化简不等式2210m km b ac -+++≥.对m 分成0,0,0m m m =><三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）依题意可知()0f c =，即20ac bc c ++=①，由0c >，故①式可化为1b ac =--.所以()()21f x ax ac x c =-++()()1ax x c =--.令()0f x =，解得11x a=，2x c =.由于当0x c <<时，恒有()0f x >，所以1c a >.令()()()10f x ax x c =--<，解得1c x a <<.所以不等式()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）结合（1）可知，三个交点的坐标为()()10,,,0,,0A c B c C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1c a >.根据三角形的面积得1182c c a ⎛⎫⋅-⋅= ⎪⎝⎭，化简得21116168c a c c c ==≤=++，16,4c c c ==时等号成立，故a 的取值范围是10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. （3）由于1b ac =--，所以不等式2210m km b ac -+++≥可化为220m km -≥②.当0m =时，②成立.当0m >时，②可化为2m k ≥，而[]22,2k ∈-，所以2m ≥.当0m <时，②可化为2m k ≤，而[]22,2k ∈-，所以2m ≤-.综上所述，m 的取值范围是(][){},22,0-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21．(1) 0x =，2x =，1x =+1x =-(2)()222105f x x x =++ 【分析】()1由题意可得()22f x x x =-，设()t f x =，则()0f t =，求得t ，进而得到x 的值；()()20f f x ⎡⎤=⎣⎦，即为()222()0x bx c x bx c b c ++++++=，由题意不妨设四个根分别为3a d -，a d -，a d +，3a d +，可得四个根的和为42a b =-，即2b a =-；再由韦达定理，消去d ，可得b ，c 的方程，结合b ，c 为正整数和1b c ++取得最小值，化简运算和推理可得b ，c 的最小值，即可得到所求解析式．【详解】()1当2b =-，0c =时，()22f x x x =-，设()t f x =，则()0f t =，220t t ∴-=，解得0t =或2t =，当0t =时，()220f x x x =-=，解得0x =或2x =；当2t =时，()222f x x x =-=，解得：1x =+1x =-综上所述：()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实根有：0x =，2x =，1x =1x =()()20f f x ⎡⎤=⎣⎦，即为()222()0x bx c x bx c b c ++++++=， 即有()()()2222()20x bx c b x bx c bc c +++++++=， ()222(2)440c b c bc c b c =+-++=->，可得222c b x bx --++=，或222c b x bx ---+=，不妨设四个根分别为3a d -，a d -，a d +，3a d +，可得四个根的和为42a b =-，即2b a =-；又设()()22339a d a d a d -+=-=，()()2222c b ad a d a d ---+=-=-，消去d ，可得24168b c b =++，可得2248b b c --=，由b ，c 为整数，可得24b c -也为正整数的平方，设224b c k -=，k 为正整数，即有()22224225b b b k k ---=，即为22540k k b --=，由2532b +为正整数的平方，且54k +=， 由1b c ++取得最小值， 可得b 的最小值为22，8k =，224228420105c c =-==，，则()222105f x x x =++，其所有项的系数和最小．【点睛】本题考查二次方程的根的分布情况，考查韦达定理和求根公式的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于难题．。
2021-2022学年上海市曹杨高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题一、填空题1．集合{}1,2,3的子集个数为________． 【答案】8【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数． 【详解】方法一、列举法{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3φ ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n 时，其子集个数为2n ，所以集合{}1,2,3的子集个数为8． 【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题．2_______________. 【答案】12a【分析】将根式化成指数幂，结合指数幂的公式求解即可.1113133222()a a a a ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭. 故答案为：12a3．若集合(){},|33A x y y x ==-，(){},|21B x y x y =+=，则A B =___________. 【答案】{(1,0)}【分析】由3321y x x y =-⎧⎨+=⎩得10x y =⎧⎨=⎩，再由交集的定义即可求出答案.【详解】由3321y x x y =-⎧⎨+=⎩得10x y =⎧⎨=⎩，所以{(1,0)}A B =.故答案为：{(1,0)}.4．关于x 的不等式20ax +<的解集为(1,)+∞，则实数=a ________ 【答案】2-【解析】根据不等式的解集可得a<0，且2x a >-，由21a-=可得结果. 【详解】因为关于x 的不等式20ax +<的解集为(1,)+∞， 所以a<0，且2x a >-，所以21a-=，得2a =-. 故答案为：2-.5．命题“,0x R x x ∀∈+≥”的否定是_________. 【答案】0x ∃∈R ，000x x +<【解析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“,0x R x x ∀∈+≥”的否定是“0x ∃∈R ，0x x +<”. 故答案为：0x ∃∈R ，000x x +<6．已知正实数,a b 满足10ab =，则4a b +取到最小值时，=a ______________.【答案】【分析】根据基本不等式求解取最值时成立的条件即可.【详解】44a b +≥，当且仅当4a b =时取等号.又10ab =，所以b =a =故答案为：7．某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人 【答案】5【解析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.【详解】由Venn 图表示，A ，B ，C 分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn 图，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，故只参加数学竞赛的有247548名，只参加物理竞赛的有2875313名，只参加化学竞赛的有197345名，则没有参加任何一科竞赛的学生有50813575345名， 故答案为：5.【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn 图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题. 8．写出一个使得命题“任意的x ∈R ，230x ax a --+>恒成立”是假命题的实数a 的值____. 【答案】(6][2,)a ∈-∞-+∞（任意取一个值即可）【分析】先根据二次表达式恒成立求得(6,2)a ∈-，再根据假命题满足的条件判断即可. 【详解】当命题“任意的x ∈R ，230x ax a --+>恒成立”是真命题时，Δ0<，所以()()224(3)412620a a a a a a ∆=--+=+-=+-<，则(6,2)a ∈-，所以当上述命题为假命题时，(6][2,)a ∈-∞-+∞，任意取一个值即可. 故答案为：(6][2,)a ∈-∞-+∞（任意取一个值即可） 9．已知“()()20x m x m ---<”是“2101x x +<-”的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是______. 【答案】[211,]--【分析】分别求解不等式，结合必要非充分条件的取值范围包含关系判断即可. 【详解】()()20x m x m ---<解得2m x m <<+，2101x x +<-解得112x -<<.由必要非充分条件的取值范围包含关系可得2m x m <<+包含112x -<<，故12m ≤-且21m +≥，解得1[1,]2m ∈--.故答案为：[211,]--10．已知R a ∈，若关于x 的方程2230ax ax --=有两个不相等的正实数根12,x x ，则2212x x +的取值范围为_________. 【答案】(2,4)【分析】分情况讨论当0a =，0a ≠时，结合韦达定理与判别式可得3a <-，再根据韦达定理求解即可.【详解】当0a =时，不成立，舍去；当0a ≠时，若关于x 的方程2230ax ax --=有两个不相等的正实数根12,x x ，则由韦达定理1230x x a=->，故a<0.又2Δ4120a a =+>，所以3a <-. 由韦达定理得121232,x x x x a+==-，所以2221212116()24x x x x x x a +=+-=+， 因为3a <-，所以64(2,4)a+∈，所以2212x x +的取值范围为(2,4).故答案为：(2,4)11．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.1]2=，[ 1.3]2-=-，则用列举法表示集合33|[[]],22y y x x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭为___________.【答案】{0,1,2}【分析】312x -<<-，10x -≤<，01x ≤<，312x ≤≤，=1x -五种情况来讨论.【详解】①当312x -<<-时，[]2x =-，[]2(2,3)x x x =-∈，所以[[]]2y x x ==；②当10x -<<时，[]1x =-，()[]0,1x x x =-∈，所以[[]]0y x x ==； ③当01x ≤<时，[]0x =，[]0x x =，所以[[]]0y x x ==； ④当312x ≤<时，[]1x =，[]x x x =，所以[[]]1y x x ==； ⑤当=1x -时，[]1x =-，[]1x x =，所以[[]]1y x x ==. 所以33|[[]],{0,1,2}22y y x x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭. 故答案为：{0,1,2}12．若使集合()(){}21010,Z A x kx k x x =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】[5,2]--【分析】对k 进行分情况讨论，根据一元二次不等式解的特征可得当0k <时，101,Z A x k x x k ⎧⎫=+<<∈⎨⎬⎩⎭中的整数个数有有限个，结合不等式即可求解.【详解】若0k =时，1x <，有无数个整数解； 若0k ≠，则10()(1)0k x k x k--->，当0k >时，10kk +≥k ={10A x x k k=>+或}1,Z x x <∈,有无数个整数解；当0k <时，1010[()()] 6.3k k k k+=--+-≤-≈-，仅当k =101,Z A x k x x k ⎧⎫=+<<∈⎨⎬⎩⎭，所以，要使A 的元素最少，则21077100[5,2]k k k k k+≥-⇒++≤⇒∈--， 故实数k 的取值范围是[5,2]--. 故答案为：[5,2]--二、单选题13．已知正实数a 、b ，“22a b <”是“a b <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据22a b <与a b <的关系即可判断.【详解】因为a 、b 为正实数，所以若22a b <成立，则a b <成立； 反之也成立，所以“22a b <”是“a b <”的充要条件， 故选：C .14．若非零实数a b 、满足b a <， 则下列结论正确的是（ ） A ．2ab a < B ．22b a < C ．2211ab a b> D ．2b aa b+≥【答案】C【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，B ，D ；利用不等式的性质推理判断C 作答.【详解】非零实数a b 、满足b a <，取1,2a b =-=-，则224,2,1b ab a ===，即22b ab a >>，A ，B 不正确；取1,2a b ==-，502b a a b +=-<，D 不正确；显然220a b >，则由b a <得：2222b a a b a b <，即2211a b ab <，C 正确. 故选：C15．若R a b +∈、，且a b ，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A ．21112a baba b +->-+ B ．21112ab a ba b +->->+C ．21112aba ba b+->-+ D 21112ab a ba b +>->-+【答案】D【分析】构造函数()1=-f x x ，根据()f x 在1x >单调递增，在1x <单调递减，结合基本不等式可得22a b abab a b+>>+即可根据选项求解. 【详解】设()1=-f x x ，12a b x +=，2x ab =，32ab x a b =+，因为0,0,a b a b >>≠，2a bab +>，222ab ab ab a b ab<=+，所以123x x x >>， 如图，()f x 在1x >单调递增，在1x <单调递减，故当1231x x x >>>时，()f x 单调递增，所以()()()123f x f x f x >>，即21112a babab a b+->->-+，故A 正确，故当1231x x x >>>时，()f x 单调递减，所以()()()231f x f x f x <<，即21112a babab a b+-<-<-+，故C 正确，当1231x x x >>>时，如图()()()213f x f x f x <<，即21112ab a bab a b +->->-+，故B 正确，若1231x x x >>>，则()()23f x f x <，若1231x x x >>>则()()12f x f x >，所以不可能出现()()()132f x f x f x <<，所以D 错误，故选：D16．已知集合{}|N,015M x x x =∈<≤，1A 、2A 、3A 满足：①123A A A M ⋃⋃=；②每个集合都恰有5个元素.集合(1,2,3)i A i =中最大元素与最小元素之和称为i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则123X X X ++的值不可能为（ ） A ．37 B ．39C ．48D ．57【答案】A【分析】根据题意得到集合(1,2,3)i A i =的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使123X X X ++最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使123X X X ++最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合123,,A A A 中的元素，从而推得123X X X ++的取值范围，由此得解.【详解】因为集合{}{}5|N,011,2,,,153M x x x =∈<≤=，又因为集合123,,A A A 中，每个集合恰有5个元素，且123A A A M ⋃⋃=有15个元素， 所以集合123,,A A A 中没有重复元素，因为1是集合M 中数值最小的元素，15是集合M 中数值最大的元素， 所以在i A 的特征数构成中，必有1和15，不妨设111,15A A ∈∈，要使123X X X ++最大，则应该在集合1A 中首先放置数值较小的元素，即{}11,2,3,4,15A =， 所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设225,14A A ∈∈，接着在2A 中再次放置数值较小的元素，即{}25,6,7,8,14A =， 则{}39,10,11,12,13A =，此时123X X X ++有最大值为11551491357+++++=，即12357X X X ++≤；要使123X X X ++最小，则在集合1A 中首先放置数值较大的元素，即{}11,12,13,14,15A =， 所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设222,11A A ∈∈，接着在2A 中再次放置数值较大的元素，即{}22,8,9,10,11A =， 则{}33,4,5,6,7A =，此时123X X X ++有最小值为1152113739+++++=，即12339X X X ++≥， 综上：1233957X X X ≤++≤，显然，选项A 不满足1233957X X X ≤++≤，故A 正确；选项BCD 都满足1233957X X X ≤++≤，故BCD 错误. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使123X X X ++取得最值时，i A 中的元素情况，由此得解.三、解答题 17．已知集合26|02x A x x x -+⎧⎫=<⎨⎬++⎩⎭，()(){}|10B x x a x a =---≤(1)求集合A B 、；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(6,)A =+∞，[,1]B a a =+ (2)6a >【分析】（1）由二次函数的性质求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，结合包含关系即可求解.【详解】（1）对于A ：因为22y x x =++的180∆=-<，且开口向上，所以恒大于0. 所以606x x -+<⇒>，即(6,)A =+∞；[,1]B a a =+； （2）因为A B A ⋃=，则B A ⊆，则6a >. 18．已知不等式21214x x ++-<的解集为M ． （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+． 【答案】（1）{}11M x x =-<<；（2）证明见解析.【分析】（1）对x 分12x <-、1122x -≤≤、12x >三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，可得出不等式的解集M ；（2）证法一：由题意得出1a <，1b ≥，将不等式两边作差得出()1ab a b +-+=()()110a b --≤，由此可得出所证不等式成立；证法二：利用分析法得出所证不等式等价于()()110a b --≤，由题意得出1a <，1b ≥，判断出()()11a b --的符号，可得出所证不等式成立.【详解】（1）当12x <-时，不等式化为：21124x x --+-<，解得112x -<<-；当1122x -<<时，不等式化为：21214x x +-+<，解得1122x -≤≤；当12x >时，不等式化为：21214x x ++-<，解得112x <<.综上可知，{}11M x x =-<<；（2）证法一：因为a M ∈，b M ∉，所以1a <，1b ≥.而()()()11110ab a b ab a b a b +-+=+--=--≤，所以1ab a b +≤+； 证法二：要证1ab a b +≤+，只需证：10a b a b +--≤， 只需证：()()110a b --≤，因为a M ∈，b M ∉，所以1a <，1b ≥.所以()()110a b --≤成立，所以1ab a b +≤+成立.【点睛】本题考查利用分类讨论法解绝对值不等式，以及利用分析法和比较法证明不等式，证明时可结合不等式的结构合理选择证明方法，考查分类讨论思想和逻辑推理能力，属于中等题. 19．某渔业公司今年初用98万购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万的总收入，已知使用x 年（x 为正整数）所需（包括维修费）的各种费用总计为2210+x x 万元. (1)该船捕捞第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）; (2)该船捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年(2)7年后平均利润最大为12万【分析】（1）根据题意列式可得250982100x x x ---≥，再求解二次不等式即可； （2）根据年平均利润表达式结合基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意得2250982100240980x x x x x ---≥⇔-+-≥[10x ⇒∈，因为10 2.86≈，所以从第3年首次盈利；（2）由题意得22409898492402()40x x x x x x x-+-=--+=-++，因为4914x x+≥=，所以492()4012x x -++≤，当且仅当49x x =，即7x =时取等号，所以7年后平均利润最大，为12万. 20．已知集合{}12,,,n S a a a =(2,N)n n ≥∈，N S ⊆，120n a a a <<<<，对任意i j a a S ∈、，定义11(,)i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意i j a a S ∈、()i j a a ≠，都有21(,)i j d a a k≥，则称集合S 具有性质k F .如集合{}1,2,3,4、{}3,5都具有性质4F .记()d S 是集合{(,)|}i j i j d a a a a S ∈、中的最大值. (1)判断集合{}2,3,4A =和集合{}12,16B =是否具有性质4F （直接写出结论）； (2)若集合S 具有性质5F ，求证：11(,)(11)25i i d a a i n +≥≤≤-和1()25n d S -≥； (3)若集合S 具有性质F 6，求证：11n ≤. 【答案】(1)A 具有，B 不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据性质4F 的定义直接判断即可； （2）根据性质5F 的定义可得11(,)(11)25i i d a a i n +≥≤≤-，结合120n a a a <<<<与()d S 是集合{(,)|}i j i j d a a a a S ∈、中的最大值可得111111()n nd S a a a a =-=-，再根据裂项方法证明即可； （3）先假设12n ≥，再根据1(,)36i j d a a ≥分别推导1211,,a a a 的最小正整数值，进而推出矛盾即可.【详解】（1）对集合{}2,3,4A =，因为211112364-=>，2111134124-=>，211112444-=>，故A 具有性质4F .对集合{}12,16B =，211111216484-=<，故B 不具有； （2）因为集合S 具有性质5F ，所以对于i a 、1(11)i a i n +≤≤-有1(,)25i j d a a ≥； 因为120n a a a <<<<，所以1231111na a a a >>>>， 因为()d S 是集合{(,)|}i j i j d a a a a S ∈、中的最大值，则111111()n nd S a a a a =-=- 1223342111111111111()()()()()n n n na a a a a a a a a a ---=-+-+-++-+-111125252525n -≥+++=； （3）假设集合S 的元素个数大于11，即12n ≥因为集合S 具有性质F 6，所以1(,)36i j d a a ≥，因为10,N a S >⊆，所以11a ≥， 所以1211136a a -≥，所以21111353636a a ≤-≤，所以23635a ≥，所以22a ≥， 因为2311136a a -≥，所以3211111173623636a a ≤-≤-=，所以33a ≥， 以此类推，得44a ≥，55a ≥，66a ≥，78a ≥，811a ≥，916a ≥，1029a ≥，11150a ≥，所以11121112111(,)36d a a a a =-≥， 所以12111111103615036a a ≤-≤-<，与12N a ∈矛盾， 所以假设不成立，故11n ≤.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2020-2021学年曹杨二中高一上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
2020-2021年■杨二中高一上学期期中仿真密卷数学学科(满分150分.考试时何】20分钟》一填空」■(本大題共有108, 1-6毎題」分.7・12髯逼5分，共54分)I•用卅逸広花示战7除余2的"邂效的集存为 ____________2.満足亿2} uM u{hZ3,4}的俱合M的个蚊 ____________ .3 a«:KxS4.护.Y0祕？：s启岁的充分条tt.Wni的IR(ft范展为_________ -I.已^ill^ABCD为正方形.则英曲机y关干珂Kx的呦数駢托式为__________________5她y-^3-li-x：的审丈域芯________________ .6. »/(")■ —・•则/(")•&(“■_________"3 x:.已知“R yXX x+2y-20.WJxy的试火ffbt ___________8.已期正炙fix、y納足x+3y-LWjl-ll的!J"、值为___________ -“ v9.軒关于“的不零戌+氏+ 2・0的駢琪为{x|-l<r<2}.划关干x的不转式eUbyGX)的解1|通二次(A®y-.c2-r(<i-3)t+l的RKt与x軸的两个交点的横雙标分刖为心力且竝V= x t>X«<i的HUfi越川足___________ •II.蚀关Fx的不^rt|v+l|-|at-l|>oxj任倉诚芷.的取值范用为_____________________________ -第17页，共18页12•定义満足不尊式|r■吗BAO）的的集合叫做A的B领换•升卄b・『"为正常飲）的«+^«域• •"琢的M.</S + 6S的从小it为____________二.选择JB （本大題共有4 E,每題5分，共20分）13. «!ftA*W-{x|x2-.r<0}. N・{x|*2}•期（>』・ B. A/nAT-.V C. A/U J V-A/D. M\JN・RMiS命星甲为“EV” •命因乙为-|t-2|<3 - .W么甲是乙的（）』・充分而不0耍条件3・充分必要条件C.必翌而不充分条件D. 8E不充分也不必要条件15.已灿李空娥介M淸足：对frjBxe.M •总仔•升Af匚但丄二3.七5}・期織足条件的的个魏圧< ）A. 11B. 12C. 15D. 1616.he/?Ha*b-l.»|-2_-£的卜.越界为（）■<r bo 9』・： 2. C. i D. -4三•解签題（共5小E, 17-22 MftM 14分，20题16分，21 « 18分•共76 分）17.记人I的彳需心■缶V0的解集为♦•不4»«|r-]|<ltt«ftyjQ.若a>0 Pflg ・Q •术 1：斂<1 的取tlJOffl. ⑴求出不井式/VXo 的解(用6『茨示)：第17页•共18页2「〔：閒效0»MM 标轴的二个交戊为顶心的 血形的IW 枳为8•求。
2020-2021上海曹杨中学附属学校高一数学上期中第一次模拟试题带答案
2020-2021上海曹杨中学附属学校高一数学上期中第一次模拟试题带答案一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）7．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-8．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞， C ．[1,1)- D ．(3,1]--9．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．612．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．78二、填空题13．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15．函数的定义域是 .16．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.17．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 18．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 19．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.20．若4log 3a =，则22a a -+= ．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ） A ．a b a b -<- B ．a b a b -<+ C ．a b a b +>- D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 2．已知a 、b 、c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>.则111a b c<<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断命题①②③的真假；利用特殊值法判断④的真假． 【详解】①若22ac bc >，可知20c >，则a b >；所以①正确；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-；满足不等式的基本性质，所以②正确； ③若0a b c >>>，则111a b c<<；满足不等式的基本性质，所以③正确； ④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >．反例10a =，0.5b =，满足条件，不能推出结论，所以④不正确； 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，考查反例法的应用，是基础题．3．已知3:3a p b >-⎧⎨>-⎩，6:9a b q ab +>-⎧⎨>⎩，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件. 【详解】解：对于命题3:3a pb >-⎧⎨>-⎩，可得到6a b +>-，但是ab 与9没有关系，当命题6:9a b q ab +>-⎧⎨>⎩，整理(3)(3)3()999180a b ab a b ++=+++>+-=，即得到33a b >-⎧⎨>-⎩，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于基础题.4．满足()5x a x y +≤+对所有正实数x 、y 都成立，实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10D ．前三个答案都不对 【答案】B【分析】由已知分离参数可得，5121xax+==+t =(0)t >，然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．【详解】512()xa x y ++对所有正实数x ，y 都成立，5121x ax +∴==+，令t =(0)t >， 25121tat ++， 令2512()1tf t t +=+，0t >， 则222222(656)2(23)(32)()(1)(1)t t t t f t t t -+-+-'==-++，易得()f t 在2(3，)+∞上单调递减，2(0,)3上单调递增，故2()()93f t f ≤=，9a ∴即最小值为9故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用，属于综合题．二、填空题 5．已知0,a b <<则a b __________22a b ++ (填“>”或“<”) 【答案】<【分析】特殊值法即可求解. 【详解】令1,2a b ==，则123224a a b b +=<=+， 即22a a b b +<+， 故答案为：<【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，特殊值法，属于容易题. 6．已知等式()2020231x x ++=(其中x 为整数)成立，则x =_______【答案】2020-或1-或2- 【分析】根据指数幂的性质计算即可. 【详解】因为()2020231x x ++=，所以231x +=或231x +=-且2020x +为偶数或20200x +=且230x ，解得1x =-或2x =-或2020x =-， 故答案为：2020-或1-或2-【点睛】本题主要考查了指数的运算及性质，考查了分类讨论思想，属于容易题,7．已知集合{|(4)0}M x x x =-<，{|(1)(6)0,}N x x x x =--<∈Z ，则M N =________【答案】{5}【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合,M N ，再根据集合的交运算即可求解. 【详解】{{|(4)0}4M x x x x x =-<=>或}0x <，{}{}{|(1)(6)0,}16,2,3,4,5N x x x x Z x x x Z =--<∈=<<∈=，所以{}5MN =.故答案为：{5}【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 8．若3763,a b ==则21a b+的值为_______ 【答案】1【分析】将指数式化为对数式得3log 63a =，7log 63b =，代入可得，372121log 63log 63a b +=+，根据换底公式可求值. 【详解】由题意可得，3log 63a =，7log 63b =，∵6363363721212log 3log 7log 631log 63log 63a b +=+=+== 故答案为：1【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.9．不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【分析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集. 【详解】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.【点睛】本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过. 10．已知5,a lg =用a 表示2lg 和20,lg 分别为_______ 【答案】12a a --或【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】因为2lg5lg101lg +==， 所以21lg51lg a =-=-，20lg10lg 211lg52lg a =+=+-=-，故答案为：1a -，2a -【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，对数的运算，属于容易题. 11．已知关于x 的不等式20x a x a->+的解集为,M 且2,M ∉则a 的取值范围是_______【答案】(]{},24-∞-⋃ 【分析】由题意得当2x =时20x a x a->+不成立，求解此时a 的取值范围,求其在实数集上的补集即可. 【详解】因为x 的不等式20x a x a->+的解集为,M 且2,M ∉所以402a a->+不成立， 先解不等式402a a->+，由不等式可得20a +>且40a -≠， 解得2a >-且4a ≠， 所以402a a->+不成立时，2a ≤-或4a =，故答案为：(]{},24-∞-⋃【点睛】本题主要考查分式不等式解法的一些灵活运用，根据题目所给条件求得不成立的参数a 的取值范围再取补集即可，属于中等题型.12．设,,a b R ∈已知关于x 的不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞求不等式()30a b x b a -+->的解集为_______【答案】()--1∞，【分析】由不等式与方程的关系知1为()()20a b x b a ++-=的根，可得出,a b 关系，代入不等式求解即可.【详解】因为不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞ 所以20a b b a ++-=且0a b +<， 即2a b =且0b <，所以()30a b x b a -+->可化为0bx b +>， 解得1x <-，所以不等式的解集为(,1)-∞-， 故答案为：(,1)-∞-【点睛】本题主要考查了方程的根与不等式的解之间的关系，属于中档题.13．已知集合2{|540}A x x x =-+≤，2{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，则a 的取值范围________ 【答案】18(1,]7- 【分析】求出集合A 、B ，再由B A ⊆，讨论B =∅或B ≠∅，根据集合的包含关系即可求解.【详解】由集合{}2{|540}14A x x x x x =-+≤=≤≤，2{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，若B =∅，可得()()222424480a a a a ∆=--+=--<， 解得1a 2-<<，若B ≠∅，()()222424480a a a a ∆=--+=--≥，可得2a ≥或1a ≤-，{B x a x a =≤≤+，则42a a ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩①②，解不等式①可得187a ≤，解不等式②可得13a ≤≤，取交集得1817a ≤≤， 又0∆≥，可得2a ≥或1a ≤-，可得1827a ≤≤， 经验证，当187a =符合题意； 当2a =符合题意；1827a ∴≤≤， 综上所述，1817a -<≤， 故答案为：18(1,]7-. 【点睛】本题考查了由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14．设,x R ∈则()12191101f x x x x x =-+-+⋯+-+-取到最小值时,x =_______【答案】17【分析】对x 分类讨论去掉绝对值符号，分别求出所对应的最小值，即可得解，【详解】解：因为()12191101f x x x x x =-+-+⋯+-+- 当1≥x 时，()1211015510f x x x x x =-+-++-=-，所以当1x =时函数取值最小值45； 当110x ≤时，()()()()1211015510f x x x x x =-------=-+，所以当110x =时函数取得最小值4.5；当()111,2,91x n n n≤≤=+时，()()()()()1111101f x x nx n x x ⎡⎤=--++-++-++-⎣⎦()21012110n n n x ⎡⎤=-++++-+--⎣⎦()210551n n n x ⎡⎤=-+-+⎣⎦ ()221055n n n x =-+--+当6n ≤时2550n n --+> 因为()111,2,91x n n n≤≤=+，所以当17x >时，y 随x 增加而变大； 当7n ≥时，2550n n --+<，因为()111,2,91x n n n ≤≤=+，所以当17x <时，y 随x 增加而变小； 所以当17x =时，()f x 有最小值277故答案为：17【点睛】本题考查函数的最小值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题.15．已知关于x 的不等式22232x kx k x -≤+≤-有唯一解，则实数k 的取值集合为_______【答案】32⎧⎪-⎨⎪⎩【分析】不等式化为2223kx x k ++，讨论0k =、0k >和k 0<时，不等式有唯一解时对应k 的取值．【详解】不等式22232x kx k x -+-可化为2223kx x k ++； 若0k =，不等式2223kx x k ++可化为223x ，不满足有唯一解； 若0k >，则若不等式2223kx x k ++，令24434k k -=，解得k =，即k =若k 0<，则若不等式组2223kx x k ++，令24424k k-=，解得1=k即1k =- 综上知，k的取值集合是{1-．故答案为：{1． 【点睛】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．16．已知[0,)x y ∈+∞、且满足3331x y xy ++=.则2x y 的最大值为______ 【答案】427【详解】由已知得()()332231110x xy y x y x y xy x y ++-=+-+-+++=.又22110x y xy x y xy x y +-+++≥+++>，1x y ⇒+=.故()()32142241422327x x x x x x y x ⎡⎤++-⎢⎥=⨯⨯-≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当21,33x y ==时, 2x y 取得最大值427.三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M . （2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<， 所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a aa a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．已知,,a b c 均为正实数，求证: )a b c ≥++.【答案】证明见详解. 【分析】由于()()2222a ba b +≥+a b ≥+，同理可得a c ≥+b c ≥+，三式相加即可证明.【详解】∵222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， ∴()()2222222a baab b a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，，②.③①+②+③，得)a b c =++，当且仅当a b c ==的时等号成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式性质的应用，属于基础题. 19．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2110005,10P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),x Q a a b R b=+∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.【答案】（1）该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少；（2）25,30.a b ==【分析】（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a ，b 的值【详解】解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为211000510001000105255251010x x P x x x x x x++==+++==，当且仅当100010x x=， 即100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元．（2）利润22111()()(10005)()(5)10001010x y xQ x P x a x x x a x b b =-=+-++=-+--， 若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，∴满足5150112()1015030a b a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25a =，30b =．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键，属于中档题．20．设函数()1f x x x =+-的最大值是m .（1）求m 的值；（2）若正实数a b 、满足43,a b m +=求112a b a b+++最小值及此时a b 、的值； （3）若正实数a b 、满足2a b m +=，求2221a b a b +++的最小值及此时a b 、的值.【答案】（1） 1m =；（2）最小值为3+此时4,32a b ==-（3）最小值为23+ 此时64a b =-=. 【分析】（1）根据绝对值三角不等式：|1||||1|x x x x +-+-即可求出()f x 的最大值为1，即得出1m =；（2）由（1）可知431a b +=，所以()()11112222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭利用乘“1”法求出最小值； （3）由（1）得2a b +=，0a >，0b >，所以()22212113131b a b a a b a b ⎡⎤+++=+++⎢⎥++⎣⎦，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）根据绝对值三角不等式：|1||||1|x x x x +-+-即可求出()f x 的最大值为1，即得出1m =；（2）由（1）可知431a b +=，因为0a >，0b >， 所以()()11112222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()22212a b a ba b a b =+++++++33≥=++当且仅当()222a b a b a b a b =++++，即)2a b a b +=+，又431a b +=，所以a =3b =-所以112a b a b +++最小值为3+a =，3b =- （3）由（1）得2a b +=，0a >，0b >，所以()()22212221111b a b b a a b a b +++-+++=+++ ()221211111a b a b a b =++++-=++++()2112111331311b a b a a b a b ⎡⎤+++⎛⎫=++=+++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1223≥+⨯=当且仅当()211b a a b +=+，即64a b =-=时取等号； 【点睛】考查绝对值不等式的性质：||||||x a x b a b +-+-，以及基本不等式的应用，属于中档题．。
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2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷
一.填空题
1.已知,则(填“>”或“<”)
2.已知等式(其中为整数)成立,则
3.已知集合,则
4.若,则的值为
5.不等式的解集为
6.已知,用表示和分别为
7.已知关于的不等式的解集为,且,则的取值范围是
8.设,已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集为
9.已知集合,若,则的取值范围
10.设则取到最小值时,
11.已知关于的不等式有唯一解,则实数的取值集合为
12.已知且满足,则的最大值为
二.选择题
13.若是满足的实数,那么下列结论中成立的是( )
A. B.
C. D.
14.已知,则下列四个命题正确的个数是( )
①若,则; ②若,则
③若,则④若,则;
A.1
B.2
C.3
D.4
15.已知,则是的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
16.满足对所有正实数都成立,实数的最小值为( )
A.8
B.9
C.10
D.前三个答案都不对
三.解答题
17.已知关于的不等式的解集为.
(1)时,求集合;
(2)若且求实数的取值范围.
18.已知,求证：
19.某工厂生产某产品件所需成本费用为元,且,而每件售出的价格为元,其中.
(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?
(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求的值.
20.设函数的最大值是.
(1)求的值;
(2)若正实数满足求最小值及此时的值;
(3)若正实数满足，求的最小值及此时的值.
参考答案
一.填空、选择题
三.解答题
17.(1) ; (2) .
18.略
19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;
(2)
20.(1) ;
(2)最小值为,此时;
(3)最小值为, 此时.。