对称性原理. 二. 有限对称群的表象及其群论原理(唐有祺)思维导图
群论与分子的对称性【完美版PPT】
在一个分子上所进行的对称操作的完全组合构成一个“对 称群”或“点群”。
点群具有一定的符号:如C2、C2v、D3h、Oh、Td等。 其中，任何具有一条C2轴，2个对称面和恒等操作这四种 对称操作组合的分子属于 C2v“点群”。
群论与分子的对称性
参考书
1、《高等无机化学》，郑化桂 倪小敏 编著，中国科学技术大学出版社
，2006
对i的求2和、遍《及所配有的位对化称操学作类进。展》，游效曾，孟庆金，韩万书主编. 2000，高等教育 出版社 两个氢氧键偶极矩矢量加和产生的水分子的键偶极矩矢量的方向是由H到O。
（5）属于同一类的对称操作具有相同的特征标
6、 Doug1as R. E., McDaniel D.H, and Alexander J., Con－cepts and
Models of inorganic Chemistry, 2rd ed., Wiley New York, 1983
7、 JollyW. J., Modern Inorganic Chemistry, Mc Graw Hill, New York,
C2
水分子有1C2、2sv
水分子有二个通过分子的主轴的垂直对称面sv（三个原子 所在的平面，垂直于这个平面且平分H－O－H角的平面）。
(5) n重旋转－反映轴（非真旋转轴）Sn 如果绕一根轴旋转2/n 角度后，对垂直于这根轴的一平面进行反映，产生一个不可分
辨的构型，那么这个轴就是n重旋转一反映轴，称作映轴。
(2) 对称中心（反映中心）i 如果每一个原子都沿直线通过 分子中心移动，达到这个中心的另一边的相等距离时能遇到
对称——重要的物理思维方法
对称——重要的物理思维方法大千世界千差万别、千变万化，却又和谐统一、协调。
上下、左右、阴阳、正负……互相对应，构成一个对立统一的整体．反映客观世界的这种内在一致性、规律的不变性,这种平衡的美感,这就是对称。
这种对称可以帮助我们认识物理世界的规律性,探索未知世界的奥秘,学好物理学。
一、对称性普遍存在于物理学中对称性普遍存在于各种物理现象、过程和规律之中，它反映了物理世界的和谐与优美。
概括起来说，中学物理中的对称主要表现为时空对称、数学对称和抽象对称。
１、时空对称时空对称表示物理现象（或系统）在时空变换下的不变性。
主要包括：空间对称、时间对称、时间和空间同时对称。
杠杆的平衡、平面镜的成像、磁场的两极、电荷的正负、光的可逆性等表现物质的直观形象在空间的对称；做匀速运动的物体，通过空间任一位置的速度都相等，相干光在干涉空间任一区域都保持相等的条纹亮度。
做匀加速直线运动的物体，通过空间任一位置的加速度都相等，表现了物质在运动过程中的空间对称。
物体沿光滑斜面上滑和下滑、竖直上抛和下落等表现出了时间的对称，弹簧振子的振动则同时表现出了时间和空间的对称：振子在平衡位置两侧任意相对称的位置上受到的合外力、具有的速度和加速度的大小相同，通过对称轨迹的时间、位移大小、合外力的冲量、合外力所做的功相同，等等。
我们不难看出，物质运动对时空表现出的对称，其含义已大大超出轴对称、中心对称等几何对称的概念，它是对运动时空中的某一点或某一时刻表现出某种重复或特定的序，例如量值的恒定、周期性的复现、过程的可逆、互斥的存在等等。
２、数学对称数学对称表示物理内容在数学形式（图与式）上的对称性或不变性。
例如，简谐运动的振动图象、交变电流的图象都是正弦图象，它们具有的对称性表现为物理内容在数学图形上的对称。
动量定理△Ｐ＝Ｆ×ｔ与动能定理△Ｅk＝Ｆ×ｓ之间，万有引力定律与库仑定律之间具有的对称性以及机械能守恒定律E K1+ E P1= E K2+ E P2具有的对称性表现为物理内容在数学表达式上的对称性。
《对称性原理》课件
05 对称性原理的证明方法
代数证明方法
代数方法：通过代数运算和证明，得出对称性原理的结论 代数方程：建立代数方程，求解方程，得出对称性原理的结论 代数变换：通过代数变换，得出对称性原理的结论 代数结构：研究代数结构，得出对称性原理的结论
几何证明方法
利用几何图形的对称性，如轴对称、中心对称等 通过几何图形的变换，如旋转、反射等，来证明对称性原理 利用几何定理，如平行线、垂直线等，来证明对称性原理 通过几何图形的性质，如面积、周长等，来证明对称性原理
03 对称性原理的基本概念
轴对称
轴对称的定义： 如果一个图形沿 着一条直线折叠 后，两侧的图形 能够完全重合， 那么这个图形就 是轴对称图形。
轴对称的性质： 轴对称图形的对 称轴是图形的对 称中心，也是图 形的对称轴。
轴对称的应用： 在几何学、物理 学、化学等领域 都有广泛的应用。
轴对称的种类： 包括线对称、点 对称、面对称等。
了对称性
对称性在数学 中的地位不可 替代，它是数 学研究的重要
工具和方法
对称性在数学 中的地位不断 提升，越来越 多的数学家开 始关注对称性 在数学中的作
用和意义
对称性原理的提出
提出者：杨振宁 和李政道来自提出时间：1956 年
目的：解释弱相 互作用中的宇称 不守恒现象
影响：推动了物 理学的发展，改 变了人们对宇宙 的认识
对称性原理的未来发展
应用领域：物理、 化学、生物、数 学等学科
研究方法：理论 研究、实验验证、 数值模拟等
发展趋势：从微 观到宏观，从简 单到复杂，从静 态到动态
挑战与机遇：解 决实际问题，推 动学科发展，促 进技术创新
07 总结与展望
对称性原理的重要性和意义
2.1对称性原理—物质世界最高层次的规律
时间反演 自由落体 速度 加速度 竖直上抛
第 2章 对称性原理—— 物质世界最高层次的规律
对称性无处不在
水滴落在水面上荡起的对称波纹
孔雀羽毛中的对称性
对称成为社会文化的组成部分
对称就是美
2.1 对称性
2.1.1 物质世界中的对称性和人类的早期认识
无机世界
有机世界
人类文明
1. 数学中的对称性 A+B =B+A A + (B + C) = (A + B) + C
6. 时间平移 如果一个物体,在时间上平移某一时间间隔后,和原
来的完全相同,则称该物体具有时间平移不变性,或时间 平移对称性。 静止不变的体系：对任意t 都具有时间平移不变性 周期性变化的体系：如右图中的单摆
7. 时间反演 时间反演就是把 t 变成 – t 的变换。
具有时间反演不变性的现象，称为具有 时间反演对称性。
开始时，首先画一个大写字 母“Y”，接着在“Y”的两个分岔上 再分别画上两个“Y”，大小大约是 原来的一半。紧接着，再在每个 “Y”的分岔上再画上更小的“Y”。 再接下来就按照上面的方法，不停 地添加越来越小的“Y”，直到整个 图形看上去象一棵树。
植物中整体与局部的相似性
分形用于自然景物制图时非常有用。在自然界中，从小溪的流水， 到袅袅的炊烟，还有连绵的山脉，很多景物如果用通常的方法，都很 难做出优美逼真的图画来。但是，如果使用分形技术，则一切都变得 非常容易。下面的三幅图是外国科学家作品:
z
该形体具有平移对称性。
2. 转动平移
如果某一物体绕某一固 定轴转动某一角度，从表面 上看该物体和未转动前完全 相同，这种对称叫做转动对 称，或轴对称。
大学物理：对称性
质点系所受合外力矩为零时，其总角动量 为恒矢量。
药物设计应用举例：一种新开发的用于磁共振成像的水 溶性造影剂，避免其中金属原子对人体的潜在危害。
钪（Sc）原子
氮原子
水分子
钆（Gd）原子
文学创作中的对称
天 连 水 尾 水 连 天 雾 锁 山 头 山 锁 雾
凉 风 动 水 碧 莲 香
长 日 夏 凉 风 动 水
水 动 风 凉 夏 日 长
香 莲 碧 水 动 风 凉
对称性与守恒定律
从十分复杂的实验中所引导出来的一些 对称性，有高度的单纯与美丽。这些发展给 了物理学工作者鼓励与启示。他们渐渐了解 到自然现象有着美妙的规律，而且是他们可 以希望了解的规律。
－－－杨振宁
结构框图 对称性 概念 对称性 原理 对称性与 守恒定律 对称性的 自发破缺
由简单到复杂，由感性到理性，由具体到抽象，初 步理解关于对称性的基本概念，认识对称性思想方 法的重要意义。
黑白－对应于原子磁矩的正反取向－描述磁有序结构 对称性－磁空间群
黑白－更多颜色－n维对称群－描述准周期结构
二、对称性原理
对称性与自然规律之间是什么关系?
自然规律反映了事物之间的因果关系，其对称性即： 等价的原因 等价的结果 对称的原因 对称的结果
对称性原理(皮埃尔· 居里)：
• 原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至 少有原因中的对称性那样多；
T 2
L g
2.空间平移对称
无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平移操作对称。 平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长的平移操作 (不变元)对称。
一个图形可以有很多不变元。
群论对称性
3．完备集（complete set）或基（basis）
若有线性无关矢量
a1
,
a
2
,,
a
m
R
，对任何
x
R
，均
有
x
x1
a
1
x2
a
2
x
m
a
m
存在，则a i 称为完备集
或基，m称为该空间的维数。
4．基（basis）
如果基矢量e , e ,, e 中，任意一个基均有
12
m
e i
1
，
且
(单位矩阵), 即Aˆ Aˆ 1, Aˆ 称
为么正矩阵
②正交变换（即实空间中的么正变换）
x
x
,
x
,
x
,
x
x,
x,,
x
12
n
12
n
n
n
令
x2 i
x2 1
i 1
i 1
即
a11a21 an1 a11a12 a1n x1
n xi2
i 1
x1, x2 ,, xn
a12a22 an2 a a 21 22 a2n x2
a
2
--------
a
的模（modulus）
**
if
a,b
0
，称
a
b
or a 的范数（norm）
--------orthogonal
2．Schwarz不等式 a,b R ，则 a,b
a ·b
。其中：a,
a
a,
b,b b
证明:
a,b
a
b,
a,b
大学物理多媒体课件第34章对称性原理.ppt
由分析力学、量子力学 严格证明：
空间平移不变性 对应 动量守恒定律
空间转动不变性 对应 角动量守恒定律
时间平移不变性 对应 能量守恒定律
等等（赵凯华新概念力学中有普物推导）
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10
四.对称性原理 原因中的对称性必然反映在结果中
结果中的对称性至少和原因中的对称性一样多 结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性
科学家谈物理 丛书值得一读
所以 一种对称性的发现比一种 特定的现象的发现意义还大
与外星人握手要小心噢！
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14
根据对称，
物理学的各个分支逐渐走向统一
万有引力 天上的 地 爱因斯坦想 把万有引力和电磁学统 夭折了 一起来的尝试 由于当 时不知道还有强作用和 弱作用
成。但用种的甘蔗榨出来的蔗糖分子则只有左型
的。现代生化实验确认：生物体内蛋白质几乎都
是由左型蛋白质组成，对高等的生物尤其如此。
有人做过如下 为什么只剩 实验：将人工合 下右型的？ 成的糖液(含等量 左右型糖分子） 作细菌培养
人工合成 的糖液
原来为了自己的生
命，动植物只吃与
自己对路的左型蛋
白。
优秀课件，精彩无限！
n 1,l ms 0
dW 2
dV
n 优秀课件，精彩无限！ 3, l 1; m 1 21
对称性是物理规律的整体特性，通过诺特尔 定理。我们可以寻找各种守恒量及粒子之间的 各种相互作用。
而对称性自发破缺的起源和机制，属于目前 理论物理最前沿的疑难问题。被称为二十一世纪 的乌云之一。
5
-x2
x2
-x1
x1
-x3
镜面
《群论对称性》课件
汇报人：
目录
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01
群论对称性的基本概 念
02
群论对称性的数学原 理
03
群论对称性与物理学 的关系
04
群论对称性的实际应 用
05
群论对称性的研究进 展与未来展望
06
添加章节标题
群论对称性的基 本概念
群论对称性的定义
群论：研究对称性的 数学分支
对称性：物体或系统 在某种变换下保持不
变的性质
群论对称性：研究物 体或系统在群变换下
的对称性
群：一组具有封闭性、 结合性和交换性的元
素集合
群元素：群中的元素， 可以是物体、系统或
其变换
群运算：群元素之间 的运算，如加法、乘
法等
群对称性：群元素在群 运算下的对称性，如旋
转对称、反射对称等
群论对称性的分类
单击添加项标题
线性群：线性变换构成的群
单击添加项标题
反射群：反射变换构成的群
单击添加项标题
特殊正交群：特殊正交变换构成的群
单击添加项标题
特殊酉群：特殊酉变换构成的群
单击添加项标题
旋转群：旋转变换构成的群
单击添加项标题
正交群：正交变换构成的群
单击添加项标题
酉群：酉变换构成的群
群论对称性的应用领域
物理学：在量子力学、粒子物理、凝聚 态物理等领域有广泛应用
晶体结构：晶体中原子或分子排列的规律性
群论对称性：描述晶体结构对称性的数学工具
群论对称性与晶体结构的关系：群论对称性可以描述晶体结构的对称性，如旋转对称、反射对称 等
应用：群论对称性在晶体学、固体物理、材料科学等领域有广泛应用，如晶体结构分析、晶体生 长、晶体缺陷研究等
《群论对称性》课件
一、群论对称性简介1.1 群论的定义群论是数学的一个分支，研究了具有某种对称性的数学结构。
一个群是由一组元素及它们的运算组成的集合，满足封闭性、结合律和单位元的性质。
1.2 对称性的概念对称性是指物体或结构在某种变换下保持不变的性质。
在群论中，对称性是指一个对象在某个变换作用下，仍然与原对象相同或等价。
1.3 群论对称性的应用群论对称性在数学、物理、化学等领域中具有重要意义。
例如，在物理学中，对称性原理可以帮助我们理解和解释自然界的规律。
二、群的基本性质2.1 封闭性如果一个集合中的元素经过某种运算后仍然在这个集合中，这个集合就具有封闭性。
对于群而言，封闭性是基本性质之一。
2.2 结合律结合律是指在群中，任意三个元素经过某种运算后的结果与它们的顺序无关。
即(a b) c = a (b c)。
2.3 单位元单位元是一个特殊的元素，它与其他元素相乘或相除后，结果仍然是原来的元素。
对于群而言，单位元是使群保持不变的元素。
三、群的分类3.1 循环群循环群是最简单的群之一，它的所有元素都可以表示为一个元素的循环乘积。
循环群可以分为奇循环群和偶循环群。
3.2 交换群交换群是指群中任意两个元素交换后，结果仍然是原来的元素。
交换群也称为阿贝尔群。
3.3 非交换群非交换群是指群中任意两个元素交换后，结果不再是原来的元素。
非交换群在数学和物理学中具有重要意义。
四、群的作用4.1 群的表示群的表示是指将群的作用映射到某个空间上的方法。
群的表示可以是线性的，也可以是非线性的。
表示理论在数学、物理学和计算机科学等领域中具有重要意义。
4.2 群的作用在数学中的应用群的作用在数学中可以用于解决方程、几何问题等。
例如，在代数几何中，群的作用可以帮助我们理解和解释空间的性质。
4.3 群的作用在物理学中的应用群的作用在物理学中可以用于描述粒子的对称性。
例如，在量子力学中，粒子的状态可以通过群的表示来描述。
五、群论的对称性与宇宙的规律5.1 群论在宇宙规律中的应用群论对称性可以帮助我们理解和解释宇宙中的规律。
《对称性与群论》PPT课件
sin
0
cos
0
0 1精 选PPT
30
cos 0 sin
cn( y )
0
1 0
sin 0 cos
1 0
0
cn( x)
0 cos sin 0 sin cos
5、非真转动的相应矩阵 (sn )
矢量
r
rx.y.z
绕子轴转动
(
2
)
角，再对面反映
精选PPT
n
31
z
y
x
精选PPT
28
反映操作 v 和相应矩阵
x
x
100 x
v(xz) y = -y = 0 -1 0 y
z
z
001 z
x
-x
-1 0 0 x
v(yz) y = y = 0 1 0 y
z
z
00 1 z
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X=rcosθ X’= rcos(θ +ф)
=rcosθcos ф - rsinθsin ф = xcos ф -ysin ф
4.2.1群的定义： ① 集合中任意二元素之“积”，任意一个元素的平方也是 群中的一个元素（封闭性）。
λa = b Є G
or a2 ＝ C Є G
② 群中包含一个单位元素E，对于任意元素A都有：
AE = EA = A。 ③ 群中每一元素A必有一个逆元素A-1，A-1也是群的元素。
（ A-1A = AA-1 = E）
C2 E
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4.2.2群的乘法表 将群元素之间的关系的结合关系排列成一张表
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Hale Waihona Puke 15点群：分子对称群至少有一个点在对称操作 下保持不变，故称点群
0 群论 分子点群的思维导图
1 从客观上分析对称因素和对称操作2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:j n h h j n i n C C S σσ==2.5 反演 使各分量都改变符号,即2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。
3.1 群的定义与性质 3.2 计算群的阶 3.3 分析子群3.4 分析是否是交换群3.5 分析是否是有限群还是无限群 3.6 分析其他4 列出群的乘法表，分析共轭类4.1 列出表4.2 分析共轭元素和共轭类5 以此类推，总结出所有的分子的对称性5.1 点群分类 下面的分类采用Schonflies 符号. 5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类 5.3 分子点群的判别 6 群的表示6.1 群表示的定义6.2 可约表示和不可约表示 6.3 特征标和不可约表示的性质 7 对称性分子轨道1 从客观上分析对称因素和对称操作恒等元及恒等操作 分别用E 、 E ^表示。
Equation旋转轴和旋转操作 分别用C n 、 C ^n 表示。
Circle 对称面与反映操作 分别用σ、σ^表示。
? 对称中心及反演操作分别用i 及i ^表示。
inversion旋映轴和旋转反映操作可用S n 及S ^n 表示。
spin2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x I z y x 010010001''' 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为)/360()1,2,1(n k k n k C k n ⋅-=对应旋转角度存在关系: I C C C C C C nn ji n i n j n j n i n ===+,满足可交换性与循环(周期)性将z 轴选定为旋转轴, 向量的z 分量不受影响.考虑(x,y)变化绕主轴旋转操作示意图 向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角ϕϕϕαϕϕϕαααcos sin )sin(sin cos )cos(sin cos ''y x r y y x r x r y r x +=+=-=+===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 1000cos sin 0sin cos )('''ϕϕϕϕϕ对于氨分子，n=3，旋转角为120°⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10002/12/302/32/1~)240(10002/12/302/32/1~)120(323313 C C C C2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,当主轴为z 轴时, σv 不改变向量的z 分量.设反映面的极角为θ,对于二维向量作用后各相关的极角如图所示.变换关系:)2cos()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos(''θθαθθθαθy x r y y x r x -=-=+=-=相应的矩阵表示:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x v 10002cos 2sin 02sin 2cos '''θθθθσ应用于氨分子,设σv 与yz 平面重合,则极角θa =π/2,的极角分别30°为和150°,相应的矩阵表示依次为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002/12/302/32/1,10002/12/302/32/1,100010001 垂直于主轴σh 的反映面操作,使z 改变符号,,而x,y 分量不变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x h 100010001'''σ 对于σd 的反映面操作,因其也包含主轴,矩阵表示的一般形式同于,而具体形式取决于它的极角.2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:j n h h j n i n C C S σσ==相应的矩阵表示为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⋅-⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x n j n j n j n j z y x S z y x j n 1000)/2cos()/2sin(0)/2sin()/2cos('''ππππ 2.5 反演 使各分量都改变符号,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x i z y x 100010001''' 22S C i h ==σ2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 10002cos 2sin 02sin 2cos '2'''θθθθ 该操作也可看成极角为θ的σv 映面操作与对称操作σh 的乘积：C2’= σh σv （ θ ）除了上面的6类对称操作外，还有其它一些操作，如旋转轴不为主轴的C3旋转操作，不包含主轴的σ映面操作等。