三角变换及解三角形(易错练兵)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点试卷 (word版含答案)

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2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章三角函数、解三角形3-1含答案

（时间：40分钟）1．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C项．2．已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析设扇形所在圆的半径为R，则2＝错误!×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P（2sin30°,－2cos30°）,那么sinα＝（)A．错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!答案 C解析因为P(1，－3)，所以r＝错误!＝2。

所以sinα＝－错误!。

4．sin2·cos3·tan4的值（)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵错误!＜2＜3＜π＜4＜错误!，∴sin2＞0,cos3＜0，tan4＞0。

∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角,P（x,5)为其终边上一点，且cosα＝错误!x，则x＝（）A．错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案 D解析依题意得cosα＝错误!＝错误!x＜0,由此解得x＝－错误!，选D.6．若420°角的终边所在直线上有一点（－4，a)，则a的值为________．答案－4错误!解析由三角函数的定义有:tan420°＝错误!。

又tan420°＝tan（360°＋60°）＝tan60°＝错误!，故错误!＝错误!，得a＝－4错误!。

7．点P从（－1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．答案错误!解析设点A(－1，0），点P从(－1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q,则∠AOQ＝错误!－2π＝错误!(O为坐标原点),所以∠xOQ＝错误!，cos错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，点Q的坐标为错误!。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章三角函数、解三角形3-2含答案

(时间：40分钟）1．已知cos 错误!＝错误!,且α∈错误!，则tan α＝( )A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．±错误! 答案 B解析 ∵sin α＝－错误!，cos α＝－错误!,∴tan α＝错误!，选B.2．已知sin 错误!＝m ，则cos 错误!＝（ )A ．mB ．－mC ．1－m 2D ．－1－m 2 答案 C解析因为sin 5π7＝sin 错误!＝sin 错误!,所以sin 错误!＝m ，且错误!∈错误!，所以cos 错误!＝错误!. 3．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是（ )A ．13B ．错误!错误!C ．错误!错误!D ．错误!错误! 答案 B解析由tan(π－α）＋3＝0得tan α＝3,即错误!＝3，sin α＝3cos α,所以sin 2α＝9（1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝错误!。

又因为α为锐角，所以sin α＝错误!错误!.4．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ,sin B －cos A ）在( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，∴A ＋B ＞90°，即A ＞90°－B .∵0°<A <90°，0°<90°－B 〈90°。

∴sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ，cos A ＜cos （90°－B )＝sin B 。

∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0。

∴点P 在第二象限，故选B.5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈错误!，则sin θ－cos θ的值为( ） A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．－错误!答案 C解析 (sin θ＋cos θ）2＝错误!，∴1＋2sin θcos θ＝错误!，∴2sin θcos θ＝错误!,由（sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－错误!＝错误!，可得sin θ－cos θ＝±错误!。

高三数学易错三角函数与解三角形多选题易错题难题综合模拟测评学能测试试题

高三数学易错三角函数与解三角形多选题易错题难题综合模拟测评学能测试试题一、三角函数与解三角形多选题1．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.2．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.3．将函数()2πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x的图象，则下列说法正确的是（）A．π34g⎛⎫=⎪⎝⎭B．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点；对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.6．已知函数)2()lg11( 2.7)x x f x x x e e e -=++-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（）A ．1B 2C ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)2()lg1x x g x x x e e -=++-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)2()lg1x x g x x x e e -=++-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到【答案】ABC 【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan6πϕ==，故A 正确；对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确；对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N 为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案.【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+，故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误. 故选：AB .【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a ，进而得到n b ；利用10n n b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a 2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n n n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n << 又n *∈N ，5n ∴=或6故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．。

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解(最新整理)

所以 BC 5 .
1
π
2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=– ，∴B∈（，π），∴sinB=
1 cos2 B 4
2．【2018 全国二卷 15】已知 sin α cos β 1 ， cos α sin β 0 ，则 sin(α β) __________．
3.【2018
全国三卷
15】函数
f
x
cos
3x
π 6
在0
，π
的零点个数为________．
4.【2018 北京卷 11】设函数 f（x）= cos(x π)( 0) ，若 f (x) f ( π) 对任意的实数 x 都成立，则 ω
交 AC 于点 D，且 BD 1，则 4a c 的最小值为
．
7.【2018 浙江卷 13】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a= 7 ，b=2，A=60°，则 sin B=___________，c=___________．
II
三．解答题 1.【2018 全国一卷 17】在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 .
sin 45 sin ADB
5
由题设知， ADB 90 ，所以 cos ADB
1 2
23 .
25 5
IV
（2）由题设及（1）知， cos BDC sin ADB 2 .在△BCD 中，由余弦定理得 5
BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos BDC 25 8 2 5 2 2 2 25 . 5
6
4
的最小值为__________．
5．【 2018 江苏卷 7】已知函数 y sin(2x )( ) 的图象关于直线 x 对称，则的值

2018年高考数学(理)备考黄金易错点(word版含答案)

1．(2016·全国卷乙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．解析：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．2．(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.证明：由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3， x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 4．(2016·全国卷甲)已知函数f (x )＝x －12＋x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |. 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.2当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |. 5．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(2)证明由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.6．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；3当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．7．解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1.8．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，并说明等号成立的条件．解因为a ，b ，c 均为正实数，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立；12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a，当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加，得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．9．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6) ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3 【变式探究】已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3； (2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．【名师点睛】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【锦囊妙计，战胜自我】含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．易错起源2、不等式的证明例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1 x －y 2 ＝(x －y )＋(x －y )＋1 x －y 2 ≥33x －y 21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518. 【变式探究】(1)若a ，b ∈R，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．【锦囊妙计，战胜自我】1．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．易错起源3、柯西不等式的应用例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 【变式探究】已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．【锦囊妙计，战胜自我】柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数(教师版)

三角函数一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。

解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。

成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。

图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。

3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

三角变换及解三角形(易错练兵)-2018年高考数学(文)备考黄金易错点试卷 (word版含答案)

1．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913D.139答案 B2．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由已知可得，b ＝c2cos A ＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.38B.36C.34D.32答案 C5．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A 解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π， ∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.6．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案：A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74B.34C.73 D.13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， ∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 答案：A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6 C.π4 D.π3解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，则sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，即sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A ·cos C ＝0， ∴cos A sin C ＋sin A sin C ＝0，∵sin C ≠0， ∴cos A ＋sin A ＝0，即tan A ＝－1，即A ＝34π.由asin A ＝c sin C 得222＝2sin C，∴sin C ＝12，又0<C <π4，∴C ＝π6，故选B.答案：B9．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A.332B.32C.34D.334答案：A10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39 解析：由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ，∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.答案：A11．化简：2sin π－α ＋sin2αcos2α2＝________.12． cos10° 1＋3tan 10° cos50°的值是________．解析：依题意得cos10° 1＋3tan10° cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin 10°＋30° cos50°＝2sin40°sin40°＝2.答案：213．如图，一栋建筑物的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.解析：在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin15°＝30－103sin 45°－30° ＝30－1036－24＝20 6.易知∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°. 在△AMC 中，由正弦定理得MCsin45°＝206sin30°，解得MC ＝40 3.在Rt △CMD 中，CD ＝MC ×sin60°＝60，故通信塔CD 的高为60 m. 答案：6014．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 815．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析根据图示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin45°＝AMsin60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MN AM＝sin60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 16．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sinC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝34，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B2＝32sin2B －32sin2C ，整理得32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ，即sin(2B －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6，由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)，得2B －π6＋2C －π6＝π，即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.17．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12. 由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12.令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3，cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12.。

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

三角函数的图象和性质-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析

1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象,了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性热点题型一三角函数的定义域及简单的三角不等式例1、(1)函数f（x)＝－2tan错误!的定义域是（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!（2)不等式错误!＋2cos x≥0的解集是________.（3）函数f(x)＝错误!＋log2(2sin x－1）的定义域是________。

【答案】（1）D （2)错误!（3）错误!∪错误!∪错误!【解析】（1）由正切函数的定义域，得2x＋错误!≠kπ＋错误!,即x≠错误!＋错误!（k∈Z)，故选D.（2)由错误!＋2cos x≥0，得cos x≥－错误!，由余弦函数的图象,得在一个周期[－π，π］上,不等式cos x≥－错误!的解集为错误!，故原不等式的解集为错误!。

【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法（1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝A tan（ωx＋φ）的定义域。

（2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。

2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。

(2）利用三角函数的图象求解.【举一反三】函数y＝错误!的定义域为________。

【答案】错误!【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0。

利用图象，在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示。

在［0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为错误!，错误!，再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为错误!。

热点题型二三角函数的值域与最值例2、(1）函数y＝－2sin x－1,x∈错误!的值域是（) A．[－3，1] B．[－2，1］C．（－3，1] D．(－2，1](2）函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( ）A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2,－2【答案】(1）D（2）D【提分秘籍】三角函数最值或值域的三种求法（1）直接法：利用sin x,cos x的值域。

(完整版)2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是． 6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（△）求∠A ；（△）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cosβ的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.12-2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A ．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

2018高考数学易错类型专题突破及易错题分项集训专题7 解三角形

专题七解三角形易错盘点 1.正余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，走三角变形之路；也可以把角的关系转化为边的关系，走代数变形之路，我们必须视情况灵活选用．2.在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根．3.解斜三角形的实际应用问题时，要注意近似计算的要求．4.已知三角形三边求助于三个内角有两种途径：若用余弦定理求出一个角，再用正弦定理求另一个角时，最好用余弦定理求出三角形的最大角，这样一来，用正弦定理求出的另一角一定是锐角；若两次用余弦定理求三角形的二个角，通常先求两个较小边所对的角，这样做，计算较为简单一些．点击典型、易错试题【典例1】在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B,则角B 的值为( )A. 6πB. 3πC.6π或56πD. 3π或23π错解由已知条件可得222tan a c b B +-=,∴222cos 22tan 2tan a c b B ac ac B B+-===,整理可得sin B =, ∴3B π=, 故应选B. 错因分析错解中没有注意公式的适用条件,而是盲目地将角B 的范围缩小,仅得出一解.正解由已知条件可得222a cb +-=,∴222cos 2a c b B ac +-===,整理可得sin B =,∴233B ππ=或, 故应选D ．跟踪训练已知关于x 的方程02sin 2cos cos 22=+⋅-CB A x x 的两根之和等于两根之积的一半，则ΔABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案:C 【典例2】若BC ，则ABC S ∆的最大值．错解由AB=2,BC,可猜想得AB=BC=2时,直角三角形ABC ∆的面积最大,其最大值为2. 错因分析错解中错误的使用了特殊化思想方法,由BC 错误的将AC 联想为直角三角形的斜边而猜想结论.这一种做法没有理论依据,在解题中是不可行的. 正解设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x+-+-==244xx-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x+>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值跟踪训练ABC △的内角A B C，，的对边分别为ab c ，，，若120c b B ===，则a 等于（）AB ．2 C D 答案D【典例3】在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos bc A ca B +cos ab C +的值为 .错因分析本题多属数据计算错误较多,解三角形的题目中数据计算及公式化简过程的运算量较大,极易出现运算错误现象.要注意解题过程中的规范化要求,可以降低错误率.正解由余弦定理可得cos cos cos bc A ca B ab C ++222222222222b c a c a b a b c +-+-+-=++22222234661222a b c ++++===.跟踪训练△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 、的对边，若a ，b ，c 成等差数列，54sin =B ，且△ABC 的面积为23，则b=答案:2【典例4】在△ABC 中，若3C B ∠=∠，则c b的取值范围为_____跟踪训练在ABC ∆中,已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --=,则角B的大小为( )A. 0150 B. 030 C. 0120 D. 060答案:A【典例5】在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=2626，090θ<<)且与点A 相距1013海里的位置C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.错因分析在研究三角形的实际应用中,除了应用三角函数公式外,三角形中的正弦,余弦定理,三角形的面积公式,三角形的边国关系射影定理等均需要灵活应用,来解决这类问题.正解（I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ=2265261().2626-= 由余弦定理得BC=222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=所以船的行驶速度为10515523=（海里/小时）. （II ）解法一如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）,BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1= 22AB=40, x 2=AC cos1013cos(45)30CAD θ∠=-=,y 2=AC sin 1013sin(45)20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40.又点E （0，-55）到直线l 的距离d =|05540|357.14+-=<+所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=22240210510132402105⨯+⨯-⨯⨯⨯=31010.从而2910sin 1cos 1.1010ABC ABC ∠=-∠=-= 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin .sin(45)AB ABCABC ∠-∠1040210402210210⨯==⨯ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离. 在RtQPE∆中，PE =QE·sinsin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠=515357.5⨯=< 所以船会进入警戒水域.跟踪训练如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．答案: 在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABCRt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．易错题分项集训卷4.在ABC ∆中，ccb A 22cos 2+=（a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC ∆的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，.10103cos ,21tan ==B A 若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为（）A ．255 B ．355 C ． 455 D ． 55 6.如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）32128.ABC ∆的两个顶点A 、B 的坐标分别是(,0),(,0)(0)a a a ->，边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于k ．①若k=-1，则ABC ∆是直角三角形；②若k=1，则ABC ∆是直角三角形； ③若k=-2，则ABC ∆是锐角三角形；④若k=2，则ABC ∆是锐角三角形．以上四个命题中正确命题的序号是．9.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，π3C =，则B = ．10.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为,,a b c .若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则::a b c = , ∠B 的大小是 .14.在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．15.已知ABC △的周长为1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．16.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？1A2A120 105 乙参考答案及错因分析专题七解三角形4.A 解析: 由21cos cos222A b c A c ++=⇒ 22212222b c a b c b c bc c c+-+++=⇒= 222242bc b c a b c bc c++-+⇒=222c a b ⇒=+,所以三角形ABC 为直角三角形,故选A.错因分析: 考生用特殊化思想去解三角形的判断问题,此种效果往往不理想,要准确判断三角形的形状需要推导已知条件中的等量关系.5.D 解析:由10103cos =B 知B 为锐角.31tan =∴B ,故tan tan()C A B π=-- tan tan tan()11tan tan A BA B A B+=-+=-=--⋅ (1)由（1）知︒=∠135C ，故c 边最长，即c=1，又B A tan tan >，故b 边最短 102sin ,sin ,102B C == 由正弦定理C cB b sin sin =得 55sin sin ==C B c b 即最短边的长为55.错因分析:在解题过程中已知条件所给的两个正切值中隐含了两个角A 与B 的范围及两角的大小,需要挖掘该条件,从而确定该三角形中的最短边,从而能够求得最短边的长.6.D 解析:过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由AB BC AC ==知2222()149a b b a -+=+=+=边长，即得2223,28,a ab b ab ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得23b a =或4b a =-,代入得29a =-(舍去)或213a =,∴△ABC 的边长是222193a +=,故应选D ．错因分析:考生不能够正确使用等边三角形这一条件,对于三条平行直线的使用方法不灵活也是出错率较高之处.8.①③解析: ①若,1-=k 即BC AC ⊥,所以ABC ∆是直角三角形正确.②若1=k ,推不出ABC ∆是直角三角形;③若2,21-==k k k ,由夹角公式0211tan 21122112>-=--=+-=∠k k k k k k k k BCA所以BCA ∠为锐角,结合图形分析知ABC ∆为锐角三角形正确.④结合③的方法可推得BCA ∠为钝角,所以ABC ∆为锐角三角形,错.综上所述正确命题的序号为①③.错因分析:很多考生只填了序号①,漏填了序号③,其实本题中需要正确使用夹角公式,并作出合理的判断,灵活的运算技巧在很大程度上可以迅速帮助我们走出解题的误区.9.56π解析:由余弦定理可得2221373cos 2223a cb B ac +-+-===-, ∵(0,)B π∈, ∴56B π=. 错因分析:有不少考生判断错误而得出了两解,另有不少考生运算错误得出锐角的结论.10. 5:7:8 , 3π解析: 据正弦定理sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，故sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==,故5,7,8a k b k c k ===, 由余弦定理可得3B π∠=.错因分析:考生对边角代换的方法及使用仍然不灵活,解题中不能迅速将条件关系替换为边长这比的关系而出现解题延时的现象.14.解析:（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即17AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin A =．由sin sin AB BCC A=得：sin 2sin ABC AB C==所以，最小边2BC =错因分析: 在解题过程中已知条件所给的两个正切值中隐含了两个角A 与B 的范围及两角的大小,需要挖掘该条件,从而确定该三角形中的最短边,从而能够求得最短边的长.15.解析:（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=， 2BC AC AB +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC△的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =．错因分析:边角代换使用不灵活,解三角方程中不能够快速将角度关系转化为边长关系.16.解析:解法一：如右图，连结11A B ，由已知22102A B =122030210260A A ==，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)220102=+-⨯⨯ 北1B2B 1A2A120 105 甲200 =．12B B ∴=因此，60=里/小时）．解法二：如右图，连结21A B，由已知1220A B=，122060A A==112105B A A=∠，cos105cos(4560)=+cos45cos60sin45sin60=-4-=，sin105sin(4560)=+sin45cos60cos45sin60=+4+=．在211A A B△中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A=+-2220220=+-⨯100(4=+．1110(1A B∴=．由正弦定理1112111222sin sinA BA AB B A AA B=∠∠2(13)42+==，12145A A B∴=∠，即121604515B A B=-=∠，2(1cos15sin1054+==．在112B A B△中，由已知12A B=，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B A B A B A B=++22210(1=++210(1-⨯+⨯200=．12B B∴=乙船的速度的大小为6020⨯=海里/小时．答：乙船每小时航行海里．错因分析:错误之一方位角标记错误使解三角形出现错误; 错误之二不能快速选择正余弦定理解哪一个在三角形,对于条件的推理与分析不到位.1A2A120105。

2018届高考理科数学二轮复习《三角恒等变换与解三角形》检测试卷及答案解析

课时跟踪检测（八）三角恒等变换与解三角形A 级1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5 2．(2018届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A.23B.14C.34D.164．(2017·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( )A.34 B ．1C.32D ．2 5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75B ．－75C.15D ．－156．(2017·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D ．23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋37．(2017·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．28．(2017·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3C. 6 D ．69．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 2210．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－3411．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－4512．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π213．(2017·南京模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.16.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.B 级1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2θ＝( )A.45B.35C ．－35 D ．－452．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a 2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π34．(2017·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3C. 2 D. 35．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.6．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sinA ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1 B.12C ．3 D.322．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．6 33．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.课时跟踪检测（八）三角恒等变换与解三角形1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15. 2．(2018届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( ) A.23 B.14 C.34D.16解析：选B ∵a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝13，∴sin A ＝14. 4．(2017·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2 解析：选C y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32. 5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75C.15D ．－15解析：选B 因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－75.6．(2017·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3. 7．(2017·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B＝2. 8．(2017·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac .① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22解析：选D f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos 4x ＋34.因为4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减，由f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．11．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45 D ．－45解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 12．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.13．(2017·南京模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13. 答案：1314．(2017·长沙模拟)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝⎛⎭⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°) ＝252(3－1)．在△BCD 中，∠DCB ＝90°＋θ，所以25sin 45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin 45°＝252(3－1)cos θ，解得cos θ＝3－1. 答案：3－1[B 级——中档小题强化练]1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2θ＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选C 法一：由tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos 2θ＝15，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.法二：因为tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 2．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a 2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定解析：选B 由已知并结合正弦定理得，sin A cos A ·cos B sin B ＝sin 2A sin 2B ，即cos B cos A ＝sin Asin B ，∴sin A cosA ＝sinB cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π3解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 4．(2017·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.5．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：15166．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ，且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADC ，且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADB ，∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42，当AC ＝22时，AD 取最小值2，此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528， ∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝7. 答案：7[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B.12解析：选A 根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，A ＝120°.因为△ABC 外接圆半径为12，所以由正弦定理得b ＋c ＝sin B ·2R ＋sin C ·2R ＝sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°)，故当B ＝30°时，b ＋c 取得最大值1.2．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C 由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan A tan A －2， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．3．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________. 解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠BCA ，即32＝12×2×6×sin ∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12. 因为∠BAC ＞∠BDC ＝π4，所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠ABC ，即622＝CD12，解得CD ＝ 3.答案：3。

专题2 三角函数与解三角形-2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案

专题二三角函数与解三角形2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案【高考考场实情】三角函数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．三角函数在高考考查中一般有两种情形：其一，三道选择、填空题，共15分；其二，一道选择、填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，只考选择、填空题时, 常有一道稍难题；解答题必在第17题位置，难度适中．【考查重点难点】高考对三角函数的考查重点是基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，侧重考查任意角三角函数概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，突出考查形如sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，考查两角和与差的三角函数公式及简单的三角恒等变换，重点考查正弦定理和余弦定理及其应用．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．【存在问题分析】（一）概念理解不透彻【指点迷津】本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等。

【例1】（2016年课标卷Ⅱ理7）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A ．ππ()26k x k =-∈Z B ．ππ()26k x k =+∈Z C ．ππ()212k x k =-∈Z D ．ππ()212k x k =+∈Z【名师点睛】本题有两个考查重点，即三角函数的复合变换和三角函数的性质．三角函数的复合变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为π2sin(2)12y x =+，或者将对称轴方程写为π2π()2x k k =+∈Z 等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程．（二）整体意识较薄弱【指点迷津】在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等．【例2】（2016年课标卷Ⅱ理9）若π3cos()45α-=，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．15- D ．725-【名师点睛】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，没有发现已知式的角π4α-与待求式的角2α的联系；利用两角差的公式，将πcos()4α-展开得到sin cos αα+导致问题复杂化．其实“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径．（三）恒等变形欠灵活【指点迷津】化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误。

专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破-2018年高考数学理考纲解读与热点难点突破含解析精品

专题06 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破） 2018年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32 【答案】A【解析】函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A. 2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43 C.43D.34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增【答案】C【解析】函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin2x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C.4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图16所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图16A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32 D ．1＋32【答案】A5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2] 【答案】A【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.6．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( ) A.513B ．－513C.313 D ．－313【答案】D【解析】根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313. 7．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32 B ．12 C ．－12 D ．－32【答案】D8．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称【答案】B【解析】由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B. 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图19A ．±223B ．223C ．－223 D.13【答案】C【解析】由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B＝asin A，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32【答案】B【解析】由正弦定理，得b 3cos B ＝a sin A ＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.11．在△A BC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为( ) A.22B. 2 C ．2 D ．4【答案】C12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C.332D ．3 3 【答案】C【解析】∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.13．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.14．如图21，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )图21 A.223 B.24 C.64 D.63【答案】C【解析】∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A .∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝BD sin C，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C. 15．设角A ，B ， C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cosA ，则sin A ∶sinB ∶sinC ＝( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 【答案】D【解析】∵A >B >C ，∴a >b >c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a＝cos A ，∴3b 20a ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 3n20n ＋1＝n 2＋n －12－n ＋122n n －1，即3n 20n ＋1＝n n －42n n －1，化简得7n 2－27n －40＝0，(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝－87舍.又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 故选D17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D. 3 【答案】D18．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________. 【答案】23【解析】由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3，∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝∠C ，且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 面积的最大值为__________. 【答案】55【解析】法一：由∠B ＝∠C 得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43，得7a 2＋2b 2＝43，则2b 2＝43－7a 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2b ，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a 22b ＝83－15a 22b，则△ABC 的面积为S＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 23－15a2＝141515a23－15a2≤1415×15a 2＋3－15a22＝1415×43＝55，当且仅当a 2＝8330时取等号，则△ABC 的面积的最大值为55.法二：由∠B ＝∠C 得b ＝c ，所以7a 2＋b 2＋c 2＝43，即为7a 2＋2c 2＝43，则△ABC 面积为12ac 2－a 24＝141515a2c 2－a 2≤1415×832＝55，所以最大值为55.20．如图23，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．图23【答案】(6,43]【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DAsin θ＝DC－θ，则DA ＋DC ＝4[sinθ＋sin(120°－θ)]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin θ＋32cos θ＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.21．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【解析】f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z)．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z)．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.22．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．【答案】π【解析】∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.23．已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【答案】35【解析】∵tan α＝2， ∴sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35. 24．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.图17【答案】－ 325．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R)的对称轴方程．【解析】(1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，2分则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，3分且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)为f (x )的单调递增区间.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，7分当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.10分由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z)，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.12分 26．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图18所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图18(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．【解析】(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分又cos ∠POQ ＝x P 5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1. ∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分 (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，10分 ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分 27．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R. (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值； (2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－35.8分 ∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452 ＝－1010.12分 28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2 b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C .(1)求B 的大小；(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．【解析】(1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C .由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，1分化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分 ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.4分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24.8分由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，10分 ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.12分 29．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c. (1)求a b的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．【解析】(1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，1分 ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )，∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ).3分∵A ＋B ＋C ＝π，4分∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3.①8分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，②10分由①②得b 的取值范围是(3，3).12分30．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减． (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形．(2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ，∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ，即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c .10分又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.12分 31．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及 sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.33．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13. 因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin∠ACB，所以23sin B ＝AB π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB233sin B ，所以AB ＝4.。

2018高考数学(文)备考黄金易错点专题07 三角变换及解三角形(易错起源)

2018高考数学（文）备考黄金易错点专题07 三角变换及解三角形（易错起源）1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知()sin sin sin co s0B AC C+-=，a=2，c C=A.π12 B.π6C.π4D.π3【答案】B2.【2017课标3，文6】函数1ππ()s in()c o s()536f x x x=++-的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：c o s c o s sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16s in s in s in 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.3.【2017课标II ，文3】函数π()s in (2)3f x x =+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.π2【答案】C 【解析】由题意，故选C.4.【2017课标3，文4】已知4sin c o s 3αα-=，则sin 2α=（）A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A5. 【2017山东，文4】已知3c o s 4x =,则co s 2x =A.14-B.14C.18- D.18【答案】D【解析】由3c o s 4x =得2231c o s 22c o s 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.5.【2017山东，文7】函数in 2c o s 2y x x=+ 最小正周期为A.π2B.2π3C.πD. 2π【答案】C【解析】因为πin 2c o s 22s in 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 7.【2017浙江，13】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,A E B C B F C D ⊥⊥，△ABE 中，1c o s 4B E A BC A B∠==，1c o s ,s in 44D B C D B C ∴∠=-∠==，B C 1s in 22D S B D B C D B C ∴=⨯⨯⨯∠=△又21c o s 12s in ,s in 44D B C D B F D B F ∴∠=-∠=-∴∠=c o s s in 4B DCD B F ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，c o s 4B DC ∠=．8.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________．【答案】13【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.9.【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________.【答案】75°10.【2016高考新课标2文数】若3c o s ()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15（C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237c o s 22c o s 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且c o s 2c o s 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 (1)2425(2)C(2)因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45B ．－45C ．－35D.35(2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【锦囊妙计，战胜自我】解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．。

专题04三角函数-备战2018年高考数学(理)之纠错笔记系列(原卷版)

----③单调性：根据y=sin t 和 t=x的单调性来研究，由+2 kx2k , k Z 得单调增22区间；由+2kx2k , k Z 得单调减区间.22④对称性：利用y=sin x 的对称中心为(k ,0)( k Z )求解，令xk kΖ ，求得x.利用 y=sin x 的对称轴为x k(k Z )求解，令xk +kΖ ，得其对称轴.22三、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式〔1〕 C()： cos()cos cos sin sin〔2〕C()： cos()cos cos sin sin〔3〕 S()： sin()sin cos cos sin〔4〕S()： sin()sin cos cos sin〔5〕 T()： tan()tan tan(,,πkπ,k Z ) 1 tan tan2〔6〕 T()： tan()tan tan(,,πkπ,k Z )1 tan tan2 2．二倍角公式〔1〕S： sin 22sin cos2〔2〕C2： cos2cos2sin212sin 22cos 21〔3〕T2： tan 2 2 tan2(kππ且kππ, k Z )1 tan224公式的常用变形：〔 1〕tantantan()(1tan tan) ； tan tantan tan tan tan1)tan(1 tan()〔 2〕降幂公式：sin2 1 cos 2； cos2 1 cos2； sin cos 1sin 222223〔 3〕升幂公式：1cos 22cos 2； 1cos22sin 2； 1 sin2(sin cos) 2；1 sin 2(sin cos )2〔 4〕辅助角公式： a sin x b cos x a2b2sin(x) ，其中cos ab2,sin b，a2a2b2 btana3．半角公式〔 1〕sin1cos22〔 2〕cos1cos22〔 3〕tan1cos sin1cos1cos1cos sin2此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下列图：四、正、余弦定理及解三角形1．正弦定理〔1〕内容：在△ABC中，假设角 A，B，C 对应的三边分别是a， b，c，那么各边和它所对角的正弦的比相24① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25① sin A a , sin C c , sin B b, a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B;sin B b sin A a sin C c②a b c a b a c b c a b csin A sin B sin C sin A sin B ;sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C③a : b: c sin A :sin B :sin C ;a=b=c=2 R ，其中R为△ ABC 的外接圆的半径.④正弦定理的推广：sin B sin Csin A1．正弦定理解决的问题（1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC中，a，b和A时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25----31 / 31 等，即 a = b = c .正弦定理对任意三角形都成立．sin A sin B sin C〔2〕常见变形：① sin A a , sin C c , sin B b , a sin B b sin A, a sin C csin A,b sin C c sin B; sin B b sin A a sin C c② ab c a b a c b c a b c sin A sin B sin C sin A sin B ; sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C ③ a : b: c sin A :sin B :sin C ;a =b =c=2 R ，其中R 为△ ABC 的外接圆的半径. ④正弦定理的推广： sin B sin C sin A1．正弦定理解决的问题（ 1〕两角和任意一边，求其他的边和角；（ 2〕两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在△ABC 中，a ，b 和A 时，三角形解的情况2．余弦定理〔1〕内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两25。

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1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A .15 B ．－15C ．5D ．－5解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A . 答案：A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C .12D ．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C . 答案：C4．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：∵a sin B ＝102，∴sin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π6的值是( ) A .45 B .435 C ．－45D ．－435解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435，所以32cos θ＋32sin θ＝435，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝435，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－45.故选C . 答案：C6．若sin 2α＝55，sin (β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4 D .5π4或9π47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A .74B .34C .73 D .13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， ∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 答案：A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos (A －C)＋cos B ＝1，a ＝2c.则C ＝( )A .π6或5π6B .π6C .π3或2π3 D .π3解析：cos (A －C)＋cos B ＝1，故cos (A －C)－cos (A ＋C)＝1,2sin A sin C ＝1. 又由已知a ＝2c ，根据正弦定理得，sin A ＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴C ＝π6或5π6.∵a>c ，∴A>C ，∴C ＝π6.答案：B9．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A .332B .32 C .34 D .33410．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a2sin A ＋b2sin B＝2c 2，sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39解析：由正弦定理，知a2sin 2A ＋b2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ， ∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36. 答案：A11．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913D.139答案 B解析由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan α·tan α－β ＝3.12．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析由已知可得，b ＝c2cos A＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.38 B.36 C.34D.32答案 C15．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A 解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.16．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋4sin 2αsin2α的值为________．答案334解析 1＋cos2α＋4sin 2αsin2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.18．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析根据图示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AMsin60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MN AM＝sin60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 19．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sinC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝34，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B2＝32sin2B －32sin2C ，整理得32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ，即sin(2B －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6，由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)，得2B －π6＋2C －π6＝π，即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，sin C ＝34，由正弦定理asin A ＝c sin C ，得c ＝32. 由c <a ，得C <A ，从而cos C ＝74，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×74＋12×34＝3＋218.所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×32×3×3＋218＝932(3＋7)． 20．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4. (1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.(1)求B ；(2)若b ＝27，△ABC 的面积S ＝33，求a ＋c 的值．解析：(1)由已知得a ＋c ＝2b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6，由正弦定理知sin A ＋sin C ＝2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin C cos π6＋cos C sin π6，即sin (B ＋C)＋sin C ＝sin B(3sin C ＋cos C)，整理得3sin B sin C －cos B sin C ＝sin C ，因为sin C>0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.22．已知点P(3，1)，Q(cos x ，sin x)，O 为坐标原点，函数f(x)＝OP →·QP →. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．解析：(1)由题易知，OP →＝(3，1)， QP →＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝3(3－cos x)＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，则x ＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为0<A <π，所以A ＝2π3，因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝334，所以bc ＝3.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得b2＋c2＝6，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2 3. 所以△ABC的周长为3＋2 3.。