乘法公式与因式分解
(完整版)乘法公式和因式分解知识点
乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。
3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
多项式的乘法公式与因式分解练习题
多项式的乘法公式与因式分解练习题一、多项式的乘法公式多项式的乘法是代数学中常见的基本操作之一。
当我们需要将两个或多个多项式相乘时，可以利用多项式的乘法公式来进行计算。
下面是多项式的乘法公式：(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b + c) * (d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf这种乘法公式适用于各种多项式的相乘情况，并且可以推广到更多的项数上。
通过使用乘法公式，可以将复杂的多项式相乘问题简化为逐项相乘再相加的形式，从而更方便计算。
例如，考虑以下乘法运算：(2x + 3) * (4x + 5)根据乘法公式，我们可以展开计算：(2x + 3) * (4x + 5) = (2x * 4x) + (2x * 5) + (3 * 4x) + (3 * 5)= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 15通过多项式的乘法公式，我们成功地将原问题转化为逐项相乘再相加的形式，并最终得到了结果。
除了使用乘法公式外，我们还可以通过因式分解的方法来简化多项式的乘法。
接下来，我们将介绍因式分解的概念，并通过练习题来加深理解。
二、因式分解练习题1. 将多项式完全因式分解：x^3 - 8解答：首先，我们可以通过观察发现，x^3 - 8 是一个形如 a^3 - b^3 的差的立方形式。
根据差的立方公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)将 x^3 - 8 表示为一个差的立方形式，可以得到：x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)因此，x^3 - 8 的完全因式分解为 (x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
2. 将多项式因式分解：4x^2 - 25解答：对于多项式 4x^2 - 25，我们可以使用差平方公式进行因式分解。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和方法。
乘法公式是指计算两个或多个数的乘积的规则，而因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在本文中，我将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用和相关的数学知识。
一、乘法公式乘法公式是数学中常用的计算乘积的方法。
常见的乘法公式包括加法乘法公式、减法乘法公式、平方差公式和立方差公式等。
1. 加法乘法公式加法乘法公式是指将一个数的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
2. 减法乘法公式减法乘法公式是指将一个带有减法的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
3. 平方差公式平方差公式是指将一个数的平方差转化为一个差的平方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的平方差可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
4. 立方差公式立方差公式是指将一个数的立方差转化为一个差的立方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的立方差可以表示为(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3。
这个公式也可以通过展开括号和合并同类项来证明。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在因式分解中，我们要找到多项式中的公因式，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
因式分解在解方程、求极值和简化计算等方面具有重要的应用。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、配方法和因式定理等。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式中的公因式提取出来，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取公因式4，然后将这个多项式分解为4(x+2)。
2. 配方法配方法是指将一个多项式分解为两个因子的乘积的规则。
整式乘法、乘法公式、化简求值、因式分解(一)
整式乘法、乘法公式、因式分解（一）1．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝．2．如果x+y＝5，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝，x2+y2＝．3．分解因式：2x2y﹣12xy+18y＝．4．若a＝2，a﹣2bc＝3，则2a2﹣4abc的值为．5．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b 均为整数，则a+3b＝．6．分解因式：4a2﹣25b2＝．7．分解因式9（a+b）2﹣（a﹣b）2＝．8．因式分解：16x3y﹣4xy＝．9．多项式3x﹣12x3分解因式的结果是．10．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝．12．因式分解：3x3﹣12x＝．13．把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：．14．分解因式：a2﹣b2+2b﹣1＝．15．如果多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a ＝，b＝．16．分解因式：x2+4xy+4y2+x+2y﹣2＝．17．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝．18．已知多项式x2﹣8x+m因式分解得（x+n）（x﹣6），则m+n＝．19．若x2﹣3x﹣28＝（x+a）（x+b），则a+b＝，ab＝．20．若x2﹣3x﹣10＝（x+a）（x+b），则a＝，b＝．22．已知x2﹣5x+m＝（x﹣2）（x﹣n），则m＝，n＝．23．分解因式：x2﹣7x+10＝．24．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．24．若a2+a＝0，求2a2+2a+2015的值．25．﹣4x3+16x2﹣26x．28．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．29．因式分解：（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．30．分解因式：（1）x4﹣1；（2）a2+4ab+4b2．。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
一乘法公式与因式分解
第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道：222()2a b a ab b +=++，将公式左边的指数变为3，又有什么结论呢？ 即3()a b += .由于3222()()()(2)()a b a b a b a ab b a b +=++=+++=32222332232233a a b ab a b ab b a a b ab b +++++=+++因此得到和的立方公式 3()a b +=322333a a b ab b +++将公式中的b 全部改为－b ，又得到差的立方公式：3()a b -=322333a a b ab b -+-上述两个公式称为完全立方公式，它们可心合写为：3()a b ±=322333a a b ab b ±+±【例1】化简：32(1)(33)x x x x +-++【解】原式=3232331331x x x x x x +++---=由完全立方公式可得3()a b +2233a b ab --=33a b +，即：2()[()3]a b a b ab ++-=33a b +由此可得立方和公式： 22()()a b a ab b +-+=33a b +将公式中的b 全部改为－b ，又得到立方差公式：22()()a b a ab b -++=33a b -〖数学方法归纳〗上述得到立方差公式和差的立方公式过程中，使用了将b 改变－b 的方法，这种方法称为代换法.是代数中广泛使用的一种方法.应用代换法可扩展公式的形式，拓宽公式的使用范围.【例2】对任意实数a ，试比较22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+与1的大小.【分析】观察式子22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+的结构特征，可联想立方和（差）公式进行化简.【解】22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+=22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+=336(1)(1)1a a a -+=-因为61a -－1=6a -，对任意实数a ，6a -≤0所以22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+≤1通过将完全平方公式222()2a b a ab b +=++中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式，还可以把指数推广到4，5，…，以至一般()n a b +.另一方面：我们也可以从项数的角度推广：三项和的平方：2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++甚至还可以推广到n 项和的平方（在此省略）灵活使用上式，可为代数变形及求值带来方便.〖数学思想方法归纳〗以上从完全平方公式出发，从两个角度：指数和项数进行了推广，这种思维方法称为由特殊到一般的思想.人们对很多问题的认识，往往是先从特殊情况出发，发现一些信息，然后进行一般化，进而发现一般规律.【例3】已知：0a b c ++=，12ab bc ca ++=-，求下列各式的值 （1）222a b c ++；（2）444a b c ++.【分析】突破问题的关键在于寻找已知式与未知式的联系，联想三项和的平方公式，可得到（1）的解法，进而反复操作可推进到（2）.【解】（1）由2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++可得：2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=（2）由12ab bc ca ++=-得：22222221()2()4ab bc ca a b b c c a abc a b c ++=+++++=所以：222222112()44a b b c c a abc a b c ++=-++=而444a b c ++=2222()a b c ++-2222222()a b b c c a ++=12. 【例4】已知210x x +-=，求证：33(1)(1)86x x x +--=-【证法一】3332322(1)(1)331(331)62x x x x x x x x x +--=+++--+-=+由已知得：21x x =-，故2626(1)286x x x +=-+=-，因此：33(1)(1)86x x x +--=-【证法二】3322(1)(1)(11)[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x +--=+-++++-+-=22222(21121)62x x x x x x +++-+-+=+以下同证法一.【归纳总结】以上两种证法都用到了整体代换的方法，即2x 换为1x -；方法二中又把(1),(1)x x +-分别看作一个整体使用立方差公式.这种整体代换的方法常可找到解题的突破口，并使运算简便.【例5】已知1x y +=，求333x y xy ++的值.【解】33222223()()32()1x y xy x y x xy y xy x xy y x y ++=+-++=++=+=.【例6】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求222a b c bc ca ab++的值. 【解】33222333()3()a b c ab a b a b c a b c bc ca ab abc abc++-+++++== ∵0a b c ++=，∴a b c +=-；∴上式=33()33c c abc abc-++=. 习题 1.1 1．若8,2a b ab +==，则33a b +=（ ）A ．128 B.464 C.496 D.512 2．若0x y z ++=，则333x y z ++=（ ）A ．0B ．222x y y z z x ++C ．222x y z ++D ．3xyz 3．设()33311,6A n B n n n =+=++，对于任意n > 0，则A ，B 的大小关系为 （ ） A ．A ≥B B ．A>B C ．A ≤B D ．不一定 4．2(5)(255)x x x -++= .5．观察下列各式的规律：22()()a b a b a b -+=-2233()()a b a ab b a b -++=-322344()()a b a a b ab b a b -+++=-可得到11()()n n n n a b a a b ab b ---++++= .6．求函数33(2)y x x =--的最大值.7．当x =()223111242x x x x x ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭的值. 8．已知a 、b 、c 为非零实数，2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++=++，求证：y x z a b c==. 9．如果37,3511x y x y +=-=，求2244x xy y -+的值.10．已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，求b c a+的值. §1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形.因式分解在将来学习解方程、解不等式、判断代数式的符号等问题中都要用到.多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，是我们解决许多数学问题的有力工具．主要的方法有____________、____________、___________和____________．把一个多项式因式分解，如果多项式的各项有公因式，就先提取公因式，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式；比如：把()()()()()z y x y y x z x y x n n n --+----+22122分解因式为__________________；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或用十字相乘法分解；比如：把()222224b a b a -+分解因式为________________________、把2243b ab a --分解因式为________________________；常用的公式有：（1）22a b -=____________． （2）222a ab b ±+=____________．（3）33a b +=____________． （4）33a b -=____________．（5）222222a b c ab bc ca +++++=____________．（6）3333a b c abc ++-=____________． （7）322333a a b ab b ±+±=____________．如果还不能分解，就试用分组分解法或其他方法，比如：添项法、拆项法、待定系数法、换元法等等；添、拆项法是在分解因式时，常要对多项式进行适当的变形，使其能分组分解．添项和拆项是两种重要的变形技巧，所谓添项，就是在要分解的多项式中加上仅仅符号相反的两项的和（实际上是加上0，并不改变原多项式的值），如把44+a 添上)4(422a a -+，得________________________，从而可将原多项式分解因式．拆项是把多项式中某一项拆成两项或多项的代数和（相当于整式加法中合并同类项的逆运算），再通过适当分组，达到分解因式的目的；换元法是对有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可使原式得到简化，而且能使式子的特点更加明显．这样先进行换元，再将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新字母”用原换的式子代回去，得到原多项式的因式分解结果，这种方法就是因式分解中的换元法，或者说是换元法在因式分解中的应用；待定系数法就是有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式．如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积．于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法我们已学习过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法.下面我们继续学习一些分解因式的方法：十字相乘法、分组分解法、求根法及待定系数法. 十字相乘法我们知道，形如2()x p q x pq +++的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数项pq 与一次项系数p + q 可以通过如图的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到1 1pq2()x p q x pq +++=()()x p x q ++.这种方法能否推广呢？如果要对2273x x -+分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或（－1）×（－3），按下列图的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算.可以发现图中第四个对应的结果1×（－1）+2×（－3）= －7，恰好等于一次项系数－7.由于(3)(21)x x --=2273x x -+，从而2273x x -+=(3)(21)x x --.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 形如2ax bx c ++ (0)a ≠的多项式分解因式：方法及原理：若：21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 通常借助十字交叉：12a a 121221c c a c a c b⋅+⋅=. 【例1】将下列各式分解因式：（1）223x x +-； （2）2675a a -++ 【分析】（1）把二次项系数2分解为1×2，常数项－3有两种分解：（－1）×3和1×（－3），然后按十字辅助线凑配验证可得.（2）当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多.因此先把负号提到括号外面，即2675a a -++=2(675)a a ---，然后再对2675a a --进行分解.【解】 1 2 1 31 1 1 1 32 2 2 －1 －3 －3 －1（1）223x x +-=(1)(23)x x -+（2）2675a a -++=(21)(35)a a -+-【例2】分解因式：222()()2x x x x ----【分析】先将2x x -视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决.【解】222()()2x x x x ----=222(2)(1)(2)(1)(1)x x x x x x x x ---+=-+-+【归纳总结】使用“十字相乘法”关键要进行“凑配”，即要调整二次项系数、常数项的分解方式和十字线上各数的位置.它的原理是多项式乘法的法则.关于凑配的技巧有调整符号，调整大小等，需在实践中体会.提高：有些二次三项式中含有两个或三个字母，这样的式子又怎样分解呢？【例3】分解因式：223()x a a x a +++【例4】分解因式：2256x xy y -+【例5】分解因式：22(1)n x xy ny ++- 分组分解法观察多项式xm xn ym yn +++，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式.观察多项式各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到()x m n ++()y m n +.这时又有了公因式（m+n ），因此能把多项式xm xn ym yn +++分解：分解过程为：xm xn ym yn +++=()x m n ++()y m n +=()()m n x y ++.一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式.【例1】将下列各式分解因式（1）321x x x -+-（2）224(1)4x xy y +-+ 【解】（1）解法一：321x x x -+-=322()(1)(1)(1)x x x x x -+-=-+解法二：321x x x -+-=322()(1)(1)(1)x x x x x +-+=+-（2）222224(1)4444(2)4x xy y x xy y x y +-+=++-=+-=(22)(22)x y x y +++-【注】本题第（2）小题的解法是先分组，再用公式法分解因式.先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法.用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性.【例2】已知3223220,0x x y xy y x y --+=>>，化简：21xz yz -+【解】32232222(2)(2)()()(2)x x y xy y x x y y x y x y x y x y --+=---=+-- ∵0x y >>∴0,0x y x y +≠-≠，即只有20x y -=∴21xz yz -+=(2)11z x y -+=.求根分解法结论一：若已知关于x 的二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则关于x 的二次三项式可分解为：212()()(0)ax bx c a x x x x a ++=--≠.结论二：若方程11100n n n n a x a x a x a --++++= 有一个根为0x ，则多项式：1110n n n n a x a x a x a --++++ 有一个因式为0()x x -.用以上方法可对一些较复杂的因式进行分解.【例1】在实数范围内分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-. 【例2】分解因式：334x x +-. 添、拆项法【例1】 分解因式444b a +（添项）分析：444b a +是二项式，无法直接分解，若添上__________这一项后，就成了()2222b a +，为保持式子的恒等，需要减去____________这时式子正好符合____________公式，因此达到因式分解的目的．解：44422422222224444(2)4a b a a b b a b a b a b +=++-=+-2222(22)(22)a ab b a ab b =++-+【例2】 分解因式443234---+x x x x （拆项）分析：当最高项的次数是偶次时，往往通过拆项（或添项）进行配方，本题把23x -拆成____________，然后再分组，就可利用____________、____________进行分解．解：443234---+x x x x 4322244x x x x x =+----()()222244x x x x x =+--++ ()()()22212x x x x =+--+()()3222x x x x =+---()()32211x x x x =+---- ()()()2212x x x x =+++-或者443234---+x x x x 4322444x x x x x =++---()()222141x x x x x =++-++ ()()2214x x x =++-()()()2212x x x x =+++-．【例2】 分解因式：334x x +-.【解】：333234331(1)(33)(1)(4)x x x x x x x x x +-=+--=-+-=-++【方法总结】在因式分解中，我们有时根据需要，也可能添上仅符号不同的两项，使它能够使用公式法或提取公因式法继续分解．拆项分组分解法的灵活性较大，解法往往不唯一，分解时要根据题目的具体特点，选择简捷的分解方法．待定系数法【例题1】 分解因式：12423++-x x x ．分析：对于一个三次多项式，它首先可以分解成一个一次式与一个二次式的乘积．待定系数法实际是假设多项式分解后，通过整式的乘法，利用代数式相等的因素来建立方程，解这个方程，从而找到相应的参数．解：令原式＝()()c bx x a x +++2＝()()ac x c ab x b a x +++++23， ⎪⎩⎪⎨⎧==+-=+124ac c ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=131c b a ，所以()()322421131x x x x x x -++=---．【例题2】分解因式：22282143x xy y x y +-++-．分析：本题是一个二次多项式，它只能分解成两个一次多项式的乘积，同时要考虑到式子中有两个字母．解：设原式=()()x ay b x cy d ++++()()()22x a c xy acy ad bc y b d x bd =++++++++，所以：281423a c ac ad bcb d bd +=⎧⎪=-⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩，解得：4a =、1b =-、2c =-、3d =．原式=()()4123x y x y +--+．说明：本题采用待定系数法，计算量比较大，还可以采用双十字相乘法，计算比较简单．因为()()222842x xy y x y x y +-=+-，所以有：原式=()()4123x y x y +--+．【方法总结】待定系数法体现了整式乘法与因式分解之间的相互关系，为我们解决高次多项式的因式分解问题提供了有效的方法．这个方法中，建立的方程组不能按照一般的方法去解，我们只需求它的整数解．整理思想的应用整体思想是中学数学中的一种重要的数学思想，在因式分解中常体现这一思想．【例题1】分解因式：()()y z x c y x z b z y x a +------+)(．分析：在用提公因式法分解因式时要注意整体思想的运用，本例题就是把()z y x -+这一整体作为公因式提出．解：原式=()()x y z a b c +-+-．【例题2】分解因式：()()()c b b a a c ----42．分析：设a b x -=，b c y -=得a b x y -=-． 原式＝()()2224y x y y x x -=--＝()22c b a +-．说明：通过“整体换元”分解因式简单明了．【方法总结】整体思想主要体现在下面几个方面：“提”整体、“当”整体、“凑”整体、“拆”整体、“换”整体．请同学们对照看一看，上面的两个例题和三个练习题分别是哪种情况？习题1.21、对多项式2242x x y y +--用分组分解法分解因式，下面分组正确的是（ ） A 、22(42)()x x y y +-+ B 、224(2)x x y y +--C 、22(4)(2)x y x y -+-D 、22(4)(2)x y x y -+-2、要使二次三项式26x x m -+在整数范围内可分解，m 为正整数，那么m 的取值可以有（ ）A 、2个B 、3个C 、5个D 、6个 3、把多项式2221ab a b +--分解因式，结果是（ ）A 、(1)(1)a b b a +--+B 、(1)(1)a b b a -+-+C 、(1)(1)a b a b +--+D 、(1)(1)a b a b -+--4、4242221____1(___)(___)m m m m m m ++=+-+=++5、将下列各式分解因式：（1）243x x -- ；（2）2232x ax a +-.6、将下列各式分解因式：（1）3322x y x y xy --+；（2）2222a b ab a b -+-+7、已知,,m x y n xy =-=试用m ，n 表示332()x y +8、当x =－1时，322560x x x +--=.请根据这一事实，将32256x x x +--分解因式.提高部分：1．将下列各式分解因式： （1）21x ax a -+-；（2）2221x mx m -+-；（3）212x +（4）3333a b c abc ++-.2．若223894613M x xy y x y =-+-++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（）A ．正数B ．负数C ．零D ．非负数3．分解因式42201120102011x x x +++． 4．分解因式：42134x x -+ 5．分解因式：343m m -+6．分解因式：2223914320x xy y x y +-+-+． 7．分解因式：4322x x x -++． 8．分解因式：()22)2(924b a b a +--．9．分解因式：()()2222b a cd d c ab +++． 10．分解因式：()()()()246816x x x x ----+．第一章测试题（注：满分100分，考试时间45分钟）一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1．多项式2232y yx x --+分解因式的结果是（ ） A 、()(3)y x y x -++ B 、()(3)x y x y +-C 、()(3)y x y x ---D 、()(3)x y x y +-2．若3322331a b a b ab -=-+，其中a ，b 为实数，则a b -=（ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±13．若多项式227x x m ++分解因式的结果中有因式x + 3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为（）A 、2x －1B 、2x + 1C 、x + 1D 、x － 14．若13a a +=，则234234111a a a a a a +++++=（ ）A 、7B 、25C 、47D 、725．多项式2242x xy y ---分解因式的结果是（ ）A 、(2)(2)x y x y ++--B 、(2)(2)x y x y ++-+C 、(1)(4)x y x y ++--D 、(1)(4)x y x y -+++6．若3,3x y z yz xy xz --=--=，则222x y z ++=（ ）A 、0B 、3C 、9D 、－1二、填空题（本题有3小题，每小题8分，共24分）7．若322468126x x y xy y +++可分解为3(2)m x y +，则m = . 8．若关于x 的二次三项式239ax x +-的两个因式的和为3x ，则a = . 9．2211114(___)(___)x x x x xx x x +++-=+++-.三、解答题（本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分） 10．分解因式：（1）3256x x x -+；（2）341m m +-.11．已知210x x --=，求543233x x x x x --++的值.12．已知2222961(3)(3)a x xy y a x ay xy -+-=+-+，求证：6y x =.答案： 习题1．1 1．B 2．D ． 3．A ． 4．125－x 3．5．11n n ab ++-．6．－2． 7．24．8．由已知得222222222222222222a x a y a z b x b y b z c x c y c z ++++++++ =222222222a x b y c z abxy acxz bcyz +++++. 即222()()()0bx ay xy bz az cx -+-+-=. 因为222()0,()0,()0bx ay xy bz az cx ---≥≥≥所以,,..bx ay y x z cy bz a b c az cx =⎧⎪===⎨⎪=⎩即9．由37,3511x y x y +=⎧⎨-=⎩相加得29x y -=，则22244(2)81x xy y x y -+=-=.10．由已知得：21()()()4c b a b c a -=--，进而有2[()()]4()()c a a b a b c a -+-=--∴2[()()]0c a a b ---=， ∴2c b a +=，∴2b c a+=.习题1．2 1．C ．2．B ． 3．B ．4．22m ，1m +，1m -．5．（1）(1)(43)x x -+；（2）()(3)x a x a +-． 6．（1）22()()x y x y -+；（2）(1)(2).a b a b +-- 7．222(4)().m n m n ++8．(1)(2)(3)x x x +-+.提高部分：1．（1）(1)(1)x a x -+-；（2）(1)(1)x m x m ---+；（3）2(x ； （4）3333223322333333a b c abc a a b ab b c a b ab abc ++-=++++--- =33()3()a b c ab a b c ++-++=22()[()()3]a b c a b a b c c ab +++-++- =222()()a b c a b c ab bc ca ++++--- 2．A ，提示：M = 2222(2)(2)(3)x y x y -+-++. 3．22(1)(2011)x x x x ++-+ 4．22(32)(32)x x x x +--- 5．2(1)(3)m m m -+- 6．(234)(35)x y x y -+++ 7．22(22)(1)x x x x -+++ 8．(8)(47)a b a b --+ 9．()()ad bc ac bd ++ 10．22(1020)x x -+第一章测试题1．B ． 2．C ． 3．B 4．D ． 5．A ． 6．B ． 7．2． 8．2 9．3，2． 10．（1）(2)(3)x x x --；（2）2(21)(21).m m m -++ 11．112．略.。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式、多项式与因式分解1.乘法公式1.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（和的平方）2.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（差的平方）3.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（平方差）4.$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$（乘法分配律）5.$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$（三项和的平方）6.$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$（和的立方）7.$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$（差的立方）8.$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$（立方和）9.$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$（立方差）10.$(a+ab+b)(a-ab+b)=a^3+b^3$（立方和）2.求值公式：1.$a+b=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$若已知$a+b$和$ab$，欲求$a-b$时，需先算出$(a-b)^2$，再用平方根来求）2.$x+\frac{1}{2}x^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$3.$a+b+c+ab+bc+ca=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\le ft(c+a\right)^2$4.$a+b=(a-b)+4ab$5.$a-b=(a+b)-4ab$3.乘法公式的应用与式子的展开：1.$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$2.$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$3.$(ax-b)^2=a^2x^2-2abx+b^2$4.$(ax+b)(ax-b)=a^2x^2-b^2$5.$(-ax+b)^2=(ax-b)^2$；$(-ax-b)^2=(ax+b)^2$主题二：多项式1.多项式的定义：由数和文字符号$x$进行加法和乘法运算所构成的式子。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。
它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。
一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。
常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。
通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。
因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。
因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。
1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。
例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。
2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。
3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。
因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。
熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。
下面将对这些知识点进行详细讲解。
一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。
其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。
二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。
根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。
例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。
三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。
例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。
五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。
对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。
1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
第5章 乘法公式与因式分解
第五章乘法公式与因式分解一、笔记区1、平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法公式的平方差公式.2、完全平方公式:(a+b)²=a2+2ab+b2(a-b)²=a2-2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.3、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．4、常规因式分解步骤总结：（1）首先提公因式（2）选公式：两项--平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)三项--①完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2②十字相乘法四项及以上--分组分解法一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.第一关乘法公式1-1 平方差公式例题1.（1）(2)(2)-+--（3）2m n m n+-（2）(23)(23)b a a b-+++a a a(1)(1)(1)练习1.1-2 完全平方公式 例题1. 计算： （1）21(3)2x a -+（2）()2123a b +-（3）2299199+练习1. 计算：（1）21(3)6t x -- （2）()221x y +-（3）22101201+例题2. 已知2()60a b -=，2()80a b +=，求22a b +及ab 的值．练习2. 已知2()7a b +=，2()4a b -=，求223a ab b ++的值.例题3. 已知2246130x y x y ++-+=，x y 、都是有理数，求y x 的值.练习3. 已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y ，求代数式xy x y +的值.第二关 因式分解2-1 提公因式法 例题1. 分解因式： （1）2x xy xz -+-（2）223241228x y xy y --+练习1. 分解因式： （1）323612ma ma ma -+-（2）32222561421x yz x y z xy z +-（3）3222315520x y x y x y +-（4）432163256x x x --+例题2. 分解因式：232()2()()x x y y x y x -----练习2. 分解因式：32()()()()x a x b a x b x --+--2-2 公式法 例题1. 分解因式： （1）2244x y xy --+ （2）2()4()4m n m n +-++（3）543351881a b a b a b ++练习1. 分解因式： （1）421681x x -+（2）4236121a a -+（3）2222(1)4(1)4x x x x +-++例题2. 分解因式： （1）22364x y -（2）22(8)(2)m n +--（3）2225()4()a b a b +--练习2. 分解因式： （1）2416a -（2）22(2)(2)a b a b +-+（3）220.25()0.81()x y x y -++-2-3 十字相乘法 例题1. 分解因式： （1）232x x ++ （2）21817x x -+ （3）2278a x ax -- （4）22616x xy y --练习1. 分解因式： （1）265x x ++ （2）22310m n mn +- （3）221336y yb b -+ （4）22914a ab b -+例题2. 分解因式：（1）26136x x ++ （2）2156x x --练习2. 分解因式：（1）231110x x -+ （2）261110x x --例题3. 分解因式：（1）2()2()80x y y x ---- （2）222(4)7(4)12x x x x ++++练习3. 分解因式：（1）(a +b )2-4(a +b )+3（2）(x +2y )2+3(x +2y )-102-4 分组分解法 例题1. 分解因式： （1）22244x xy y z -+- （2）22944x y y ---（3）3222a a b a b -+- （4）222223x xy y x y -++--练习1. 分解因式： （1）2221m n mn --++（2）2293m n m n -+-（3）2244a b a b --+（4）224426x xy y x y -+-+-。
乘法公式与因式分解练习
乘法公式与因式分解练习乘法公式和因式分解是初中数学中常见的两个概念。
乘法公式是指通过一定的规则来求解乘法运算，而因式分解则是将一个复杂的代数式分解为若干个简单的乘积形式。
在本文中，我们将通过练习来加深对乘法公式和因式分解的理解。
一、乘法公式练习1. 计算下列乘法：(1) (5 + 7)(3 + 2)(2) (4 - 6)(2 - 1)(3) (8 + 3)(2 - 5)(4) (10 - 2)(6 - 4)2. 计算下列算式的值：(1) (3^2 + 2^2) - 2(3 × 2)(2) (5 + 7)^2 - (3 - 2)^2(3) (4^2 - 3^2) + 2(4 × 3)(4) (8 - 6)^2 + (5 - 4)^2二、因式分解练习1. 将下列代数式因式分解：(1) x^2 + 6x + 9(2) a^2 - 4(3) 9x^2 - 25(4) 16x^2 - 9y^22. 将下列代数式完全因式分解：(1) 4x^2 - 12xy + 9y^2(2) x^2 - 5x + 6(3) 9x^2 - 4(4) 25x^2 - 4y^2以上练习可以帮助我们巩固和熟悉乘法公式和因式分解的运用。
通过这些练习，我们能更好地理解乘法公式的运用规则，以及因式分解的方法和步骤。
通过大量的练习，我们可以提高自己的解题速度和准确率。
总结：乘法公式和因式分解是初中数学中的重要内容。
通过对乘法公式和因式分解的练习，我们能更好地理解和应用它们，在解决数学问题时更加得心应手。
因此，我们要充分利用练习机会，不断提升自己的数学能力。
以上练习题中的内容涵盖了乘法公式和因式分解的常见形式，希望对您有所帮助。
通过不断的练习和积累，相信您能够在数学学习中取得更好的成绩。
为了进一步提高自己的能力，您还可以寻找更多的习题进行练习，加深对乘法公式和因式分解的理解和掌握。
祝您学习进步，数学顺利！。
新高一暑期讲义乘法公式和因式分解
C 专题：乘法公式与因式分解(★★★)教学目标熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式，会运用提公因式法和公式法分解因式，拓展讲解乘法公式和因式分解的内容，让学生掌握补充的三个数和的完全平方公式，立方和、立方差公式，公式法和十字相乘法分解因式。
知识梳理10 min.1、单项式乘多项式法则: 单项式与多项式相乘，用 乘多项式的 ，再把所得的积 .2、多项式乘以多项式法则________________________________________________________.3、完全平方公式：①()=+2b a ；② ()=-2b a ．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．4、完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．5、公式的推广：①()=--2b a ；②()=+-2b a ；③()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；答案：（1）单项式 每一项 相加 （2）先把一个多项式式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后相加。
（3）①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+．（5）①()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；②()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦；典例精讲30min.乘法公式例1． x 2(x 2－x ＋1)－x (x 3－x 2＋x －1)，其中 x ＝12 （★★）解：原式=)(234234x x x x x x x -+--+- =x x x x x x x +-+-+-234234=x将x ＝12代入原式得，原式=12.本题较为基础，主要强调在单项式乘多项式时特别要注意每个积的符号！巩固练习1. 解方程（1）(3x －2)(2x －3)=(6x ＋5)(x －1)－1 （★★） 解：原方程可化为：15566649622--+-=+--x x x x x x 即： 1212=x 1=x本题为简单的多项式乘多项式的运用，结合了解一元一次方程，解题时需要注意：1.不要漏乘； 2.注意符号； 3.结果最简。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的重要概念之一，它与因式分解密切相关。
本文将探讨乘法公式与因式分解的概念、应用以及计算方法。
一、乘法公式的概念乘法公式是指将两个或多个数相互乘积的规则。
常见的乘法公式有两类：整式的乘法公式和分式的乘法公式。
整式的乘法公式指的是多项式之间的乘法规则，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；分式的乘法公式则是指两个分式相乘的规则，如ab/cd=(a/c)(b/d)。
二、乘法公式的应用乘法公式在代数运算中有广泛的应用。
在多项式的乘法运算中，乘法公式可以简化计算步骤，提高计算效率。
例如，将一个多项式与另一个多项式相乘时，可以利用乘法公式将其分解为多个互相独立的项，并将各项的系数相乘得到最终结果。
同样，在分式运算中，乘法公式可以将两个分式相乘，得到一个新的分式，从而简化计算。
三、因式分解的概念因式分解是指将一个复杂的表达式拆解成多个简单因式的过程。
在数学中，因式分解是一种常用的求解问题的方法。
例如，对于一个多项式表达式，通过因式分解可以将其分解为两个或多个乘积形式的简单因式相乘，从而更好地理解和处理该表达式。
四、乘法公式与因式分解的关系乘法公式与因式分解密切相关。
在因式分解过程中，使用乘法公式可以将一个多项式进行拆解，形成由简单因式相乘的形式。
同时，通过乘法公式的合理运用，也可以进行因式分解的计算过程，进一步理解和推导出较为复杂的因式。
五、乘法公式的计算方法乘法公式的计算方法根据具体情况而定。
对于整式的乘法公式，可以根据分配律和结合律，按照一定的顺序进行计算。
需要注意的是，在乘法过程中要对指数和系数进行合理的运算和组合。
而对于分式的乘法公式，可以利用分数的乘法法则，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，从而得到新的分式。
六、因式分解的计算方法因式分解的计算方法具体取决于所要分解的表达式的特点。
一般来说，可以使用因式分解的常见方法，如公因式提取法、配方法、换元法等。
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A ．))((22b a b a b a -+=-
B ．2222)(b ab a b a +-=-
C ．222()2a b a ab b +=++
D ．2() a ab a a b +=+
8、下列分解因式正确的是 （ ）
A.)1(23-=-x x x x
B.)2)(3(62-+=-+m m m m
C.16)4)(4(2-=-+a a a
D.))((22y x y x y x -+=+
9、若a 为整数，则a a +2一定能被（ ）整除
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10、无论x,y 取何值，x 2+y 2-2x+12y+40的值都是 ( )
A 、正数
B 、负数
C 、零
D 、非负数
11、下列判断两角相等的叙述中，错误的是 （ ）
A 、对顶角相等
B 、 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C 、两直线平行，同位角相等
D 、∵∠1=∠2，,∠2=∠3∴∠1=∠3
12、下列计算中，正确的是 （ ）
A 、22 25 =210
B 、a+a=a 2
C 、a 2 a 3 = a -1
D 、(a+b)2 =a 2+b 2
选择题答案书写处1-5 6-10 11-12
二、填空（每小题3分，共24分）
11、计算（31a+3b ）2-（3
1a-3b ）2=________________.
12、分解因式：2294b a -＝________________.
13、如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 ．
14、多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，•请你写出符合条件的这个单项式是___________．
15、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。
16、甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则a =________，b =________。
17、已知a － a 1 =3，则a 2+a 12的值等于 ·。
18、CD 是△ABC 中∠ACB 的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC= ·。
三、挑战你的技能
19．计算：（每小题4分，共16分）
（1）22b 32a 3）（+- （2）21
9921100⨯
（3）（3a-b+c ）（3a+b-c ）； （4）（a+b ）2（a 2-2ab+b 2）
20．分解因式（每小题4分，共16分）
① 2216ay ax - ②a a a 1812223-+-
③1222-+-b ab a （4） ()()22141m m m ---
21、化简与求值（7分）：（a ＋b ）（a －b ）＋（a ＋b ）2－a(2a ＋b)，其中a=23，
b ＝－１1
2。
22、已知x(x －1)－(x 2
－y)＝－2．求222x y xy +-的值（7分）
23、（7分）已知m+n=10,mn=24,求（1）m 2+n 2；（2）（m-n ）2的值．
24、如图，已知BD 是△ABC 中∠B 的平分线，且DE ∥BC 交AB 于E 点，∠A=45°,
∠BDE=20°，求∠C 的度数。
（7分）。