2020届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.5 空间几何体中的垂直(解析版)

9.5 空间几何中垂直问题
一．直线与平面垂直
1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
2.判定定理与性质定理
1.二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
2.平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
3.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
考向一线面垂直
【例1】如图,在正方体
1111
ABCD A B C D
-中, ,E F分别为棱,
AD AB的中点. (Ⅰ)求证: //
EF平面
11
CB D;
(Ⅱ)求证:
11
B D⊥平面
11
CAA C.
【答案】见解析
【解析】证明：(Ⅰ),E F分别为棱,
AD AB的中点,
在ABD
V中, EF为中位线,所以//
EF BD;又因为
11
//
BD B D;所以
11
//
EF B D, 11
B D⊂平面
11
CB D, EF⊄平面
11
CB D所以//
EF平面
11
CB D.
(Ⅱ)因为正方体
1111
ABCD A B C D
-,
11
B D和
11
A C为对角线,
所以
1111
B D A C
⊥,
在正方体
1111
ABCD A B C D
-中,
1
AA⊥平面
1111
A B C D,
11
B D⊂平面
1111
A B C D,
所以
111
AA B D
⊥,
又因为
111
A C AA A
⋂=,
所以
11
B D⊥平面
11
CAA C.
【举一反三】
1. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF ＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.
【答案】见证明
【证明】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，
所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥平面B1BCC1.
因为B1F⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥B1F.
方法一在矩形B1BCC1中，
因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
⎪⎩面面垂直的性质
所以∠CFD＝∠C1B1F，
所以∠B1FD＝90°，
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
方法二在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，
所以B1D＝BD2＋BB21＝10.
在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，
所以B1F＝B1C21＋C1F2＝ 5.
在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，
所以DF＝CD2＋CF2＝ 5.
显然DF2＋B1F2＝B1D2，
所以∠B1FD＝90°.
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
2.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，ΔGAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC=90∘，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点.
(Ⅰ)求证：AP⊥平面GCD；(Ⅱ)求证：平面ADG//平面FBC.
【答案】见证明
【解析】(Ⅰ)证明：因为ΔGAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD.
因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD=D，AD,GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，
又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，
又CD∩GD=D，CD,GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.
(Ⅱ)证明：∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，
∵BC⊥CD，BF∩BC=B，BF,BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，
由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG//平面FBC.
考向二面面垂直
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD 交于点F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
【答案】见证明
【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，
又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.
又AB⊥AD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD . 【举一反三】
1．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，平面11A BC ⊥平面11BCC B .
证明：(1) //AC 平面11A BC ；
(2) 平面1AB C ⊥平面11A BC ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)几何体为三棱柱 ⇒四边形11ACC A 为平行四边形 11//AC A C ⇒
又11A C ⊂平面11A BC ，AC ⊄平面11A BC //AC ∴平面11A BC
(2)1BC CC =Q 且四边形11BCC B 为平行四边形
∴四边形11BCC B 为菱形 11B C BC ⊥∴
又平面11A BC ⊥平面11BCC B ，平面11A BC ⋂平面111BCC B BC =
1B C ∴⊥平面11A BC 又1B C ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面11A BC
考向三 垂直的性质运用
【例3】如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .
【答案】见证明
【证明】(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB P . 又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . (2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ， BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .
又AB ⊥AD ， BC AB B ⋂=， AB ⊂平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC. 【举一反三】
1.如图，在三棱锥S ABC -中， SD ⊥平面ABC D ，为AB 的中点，E 为BC 的中点， AC BC =．
()1求证： //AC 平面SDE ； ()2求证： AB SC ⊥．
【答案】见证明
【证明】()1D Q 为AB 的中点，E 为BC 的中点//DE AC ∴， 又DE ⊂平面SED AC ⊄，平面SDE ，//AC ∴平面SDE ．
()2连结CD ，SD ⊥Q 平面ABC AB ⊆，平面ABC ，SD AB ∴⊥，
AC BC D =Q ，是AB 的中点，CD AB ∴⊥，
又CD SCD SD ⊂⊂，平面SCD CD SD D ⋂=，，AB ∴⊥平面SCD SC ⊂Q ，平面SCD ，AB SC ∴⊥．
2、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是
PC 的中点．
证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE . 【答案】见证明
【证明】 (1)在四棱锥P —ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .
又∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .
(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .
∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，PC ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . 又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，。