【课件】高中数学新教材人教A版必修第一册课件：第5章 5.4.3 正切函数的性质与图象

所以 tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]
(2)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4， 由－π2＋kπ＜2x－π4＜π2＋kπ，k∈Z 得， －π8＋k2π＜x＜38π＋k2π，k∈Z， 所以 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间为－π8＋k2π，38π＋k2π，k∈Z.
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan12x－π4”，结果又如何？
即当 x∈－π4，0∪0，π4时，函数 y＝ta1n x的值域是(－∞，－ 1)∪(1，＋∞)．
(2)要使函数有意义应满足π6－4x≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠－4kπ－43π，
k∈Z，
所以函数的定义域为xx≠－4kπ－43π，k∈Z
.
(3)要使函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义，则
[解] 由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－π2<x<2kπ＋23π(k∈Z)， ∴ 函 数 y ＝ 3tan 12x－π4 的 单 调 递 增 区 间 是 2kπ－π2，2kπ＋32π (k∈Z)．
2．将本例(2)中的函数改为“y＝lgtan x”结果又如何？
[解] 因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数 y＝lgtan x 的单调递增区间， 就是函数 y＝tan x(tan x＞0)的递增区间， 即kπ，π2＋kπ，k∈Z.
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋π2，k∈Z 的对称中心坐标为k2π，0，k∈Z.
[跟进训练] 3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝tanta2nx－x－ta1n x； (2)f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.
[解] (1)由x≠kπ＋π2，k∈Z， tan x≠1，
得 f(x)的定义域为 xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋π4，k∈Z ，函数．
tan x＋1≥0， 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1.
在－π2，π2上满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4. 又 因 为 y ＝ tan x 的 周 期 为 π ， 所 以 所 求 x 的 定 义 域 为
x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
.]
1．求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的 一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有意义即 x≠π2＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将 “ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得 x.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是 R.
()
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 x＝kπ±π2，k∈Z.
(4)正切函数是增函数．
() ()
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
的定义域为xx≠k3π＋1π8k∈Z
.
设 t＝tan3x＋π3， 则 t∈R，y＝t2＋t＋1＝t＋212＋34≥34，
所以原函数的值域是34，＋∞.
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
【例 2】 (1)(教材 P213 习题 5.4T8 改编)函数 f(x)＝tan2x＋π3的周
期为
．
(2) 已 知 函 数 y ＝ tan x－π3 ， 则 该 函 数 图 象 的 对 称 中 心 坐 标
为
．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cosπ2－x＋tan x.
[思路点拨] (1)形如 y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期 T＝|ωπ |，也 可以用定义法求周期．
(2)形如 y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由 ωx＋φ＝ k2π，k∈Z 求出．
＝－f(x)，所以它是奇函数．
1．函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法： (1)定义法． (2)公式法：对于函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ωπ |. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函 数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于 原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(－ x)与 f(x)的关系．
2．解形如 tan x＞a 的不等式的步骤 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
[跟进训练]
1．函数 y＝log21tanπ4－x的定义域是(
)
A.xx＝kπ－π4，k∈Z
B.xkπ－π4＜x＜kπ＋π4，k∈Z
C.xx≠kπ－π4，k∈Z
D.xx≠kπ＋π4，k∈Z
(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又 f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数．
正切函数单调性的应用
[探究问题] 1．正切函数 y＝tan x 在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线 x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以 它的单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内 是增函数．假设 x1＝π4，x2＝45π，x1<x2，但 tan x1＝tan x2.
k∈Z.]
[因为 3x≠kπ＋π2，k∈Z，所以 x≠3kπ＋π6，
4．函数 y＝tanx－π5的单调增区间是
．
kπ－31π0，kπ＋71π0，k∈Z －31π0＜x＜kπ＋71π0，k∈Z
[令 kπ－π2＜x－π5＜kπ＋π2，k∈Z，得 kπ
即函数 y＝tanx－π5的单调增区间是 kπ－31π0，kπ＋71π0，k∈Z.]
(2)正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．
性质
正切函数
正弦函数、余弦函数
定义域
xx≠π2＋kπ，k∈Z
R
值域
R
[－1,1]
最值
最大值为 1 无
最小值为－1
仅有单调递增区间，不 单调递增区间、单调 单调性
存在单调递减区间 递减区间均存在
奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数
周期性
T＝π
．
[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另 外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0 时，－1＜
tan x＜0，∴ta1n x＜－1；
当 0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x＞1.
2．在下列函数中同时满足：①在0，π2上递增；②以 2π 为周期； ③是奇函数的是( )
A．y＝tan x
B．y＝cos x
C．y＝tan2x
D．y＝－tan x
C [A，D 的周期为 π，B 中函数在0，π2上递减，故选 C.]
3．函数 y＝tan 3x 的定义域为
．
xx≠3kπ＋π6，k∈Z
(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断 f(－x)与 f(x) 的关系．
π (1)2
(2)k2π＋π3，0，k∈Z
[(1)法一：(定义法)
∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3，
即 tan2x＋π2＋π3＝tan2x＋π3，
∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.
法二：(公式法) f(x)＝tan2x＋π3的周期 T＝π2. (2)由 x－π3＝k2π(k∈Z)得 x＝k2π＋π3(k∈Z)，所以图象的对称中心坐 标为k2π＋π3，0，k∈Z.]
意 tan 1＝tan(π＋1)．
(2)先将原函数化为 y＝－3tan2x－π4，再由－π2＋kπ＜2x－π4＜π2＋ kπ，k∈Z，求出单调减区间．
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 增函数，且 tan 1＝tan(π＋1)，
[y＝tan x 在区间π2，32π上是单调
又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜32π，
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋ φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
课堂 小结 提素 养
掌握 2 个知识点——正切函数的图象、性质 (1)利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确， 但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
B [由题意 tanπ4－x＞0， 即 tanx－π4＜0， ∴kπ－π2＜x－π4＜kπ， ∴kπ－π4＜x＜kπ＋π4，k∈Z，故选 B.]
2．求函数 y＝tan23x＋π3＋tan3x＋π3＋1 的定义域和值域．
[解] 由 3x＋π3≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠k3π＋1π8(k∈Z)，所以函数
2．如果让你比较 tan－43π与 tan－115π的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再 由正切函数的单调性进行比较．
【例 3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列顺序
为
．
(2)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调区间． [思路点拨] (1)利用 y＝tan x 在π2，32π上为增函数比较大小，注
(3)①定义域为xx≠k2π＋π4，k∈Z
，关于原点对称，