《 圆的极坐标方程》

ρ＝r
.
π (3)圆心在点(a， )处且过极点的圆的方程为 2
ρ＝2asin θ(0≤ θ≤π) ．
例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．
[解] 在圆周上任取一点 P(如图)
设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos∠COP， 故其极坐标方程为
的曲线。 2.圆的标准方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r2 3.圆的一般式方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 E 2 4F 0)
4.极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x2 ( y 2)2 4
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找
出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程
f(,)=0 ，再化简并说明。
三.求曲线极坐标方程步骤：
1.建极坐标系，设动点M (,)； 2.找曲线上任一点满足的几何条件； 3.把上面的几何条件转化为与关系
2 r2＝ρ2 0＋ρ －2ρρ0cos(θ－θ0)．
M ρ
·a
θ O
θ O x
ρ=2acos( ) =-2acos
ρ M
·
a
x
ρ=2asin( ) =-2asin
五.几种特殊情形下的圆的极坐标方程
2 当圆心在极轴上即 θ0＝0 时， 方程为 r2＝ρ2 0＋ρ －2ρρ0cos θ，
π π (2)因为 ρ＝2cos θcos ＋2sin θsin ＝ 2cos θ＋ 2sin θ， 4 4 所以 ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
敬请指导

6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
1.3.1 圆的极坐标方程
本文在学习极坐标的基础上来进一步学习简单曲线的 极坐标方程，具体为教材： P12---P13。先学习体会极坐 标方程的定义（任意一点）；不同圆心的圆的极坐标方程 的求法和方程的表示；感受课本的递进研究方法。最后巩 固并复习在平面直角坐标系中圆的方程的求法。 本节课的关键在于让学生体会到极坐标方程是涉及长 度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题， 要使用旧的三角知识。
若再有 ρ0＝r，则其方程为 ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ， 若 ρ0＝r，θ0≠0，则方程为 ρ＝2rcos(θ－θ0)， 这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程 是（ C ）
A. 2cos 4 C. 2cos 1 B. 2sin 4 D. 2sin 1
2 a2 2a cos( ) r 2 可认为是圆的一般式方程.
把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； π (2)ρ＝2cos(θ－ )． 4
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
2 x2 y 2 ,
y tan ( x 0) x
5、正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
6.余弦定理：
（其中：R为△ABC的外接圆半径）
a b c 2bc cos A
2 2 2
b2 c 2 a 2 cos A 2bc
4.化简，说明
5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化
某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题 技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，
可转化为直角坐标方程求解.
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程简单？
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
M


Or
x
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
M

O

C （a,0） A
M
ρ=2acosθ
M
θ O r
a
·ρ
θ O x
ρ
x
ρ=2asinθ
ρ=r
四.圆的极坐标方程
(1) 圆心在 C(a,0)(a ＞ 0) ，半径为 a 的圆的极坐标方程 为 ρ＝2acos θ . (2) 圆 心 在 极 点 ， 半 径 为 r 的 圆 的 极 坐 标 方 程 为
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程f(,)=0;
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则称曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
Байду номын сангаас
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是( 3

C
)
2 D、 (5, ) 3
A、 (5,0)
B、 (5, ) 3

C、 (5, ) 3

5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的极坐标方程， 2 并把它化成直角坐标方程。

解：＝4cos( ) 4sin , 2 化为直角坐标系为 2＝4 sin , 即x 2 y 2 4 y x 2 ( y 2)2 4.
例3.已知一个圆的方程是ρ＝5 3cosθ- 5sinθ 求圆心坐标和半径。
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ), 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5, 6

圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。 2.体会圆的极坐标方程的推出过程。 3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受
极坐标系中求曲线方程的方法。
1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)=0满足 (1)曲线C上点的坐标都是方程的解 (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程 f(x,y)=0
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a > 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (ρ, θ)满足的条件吗？
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点是A，那么 OA ＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A以外的任意一点，那么OM AM 。 在Rt AMO中 OM OA cos MOA即＝2a cos ...........(1)可以验证， 点O(0, ), A(2a, 0)的坐标满足等式(1) 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON，求ON的 中点的轨迹方程。
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4, 连结CM ， M 是弦ON的中点, CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos .
O
M
C(4 ,0)
N
1.曲线的极坐标方程概念 2.怎样求曲线的极坐标方程 3.圆的极坐标方程 4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程

所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
x 2 y 2 5 3 x 5 y 即( x 5 3 2 5 ) ( y ) 2 25 2 2
5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2.求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； ＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
例3.已知一个圆的方程是ρ＝5 3cosθ- 5sinθ 求圆心坐标和半径。


3、极坐标方程 cos( )所表示的曲线是( D ) 4
A、双曲线 B、椭圆