行云却在行舟下,疑是湖中别有天

行云却在行舟下,疑是湖中别有天
——由《换元法》感悟高三二轮复习
嘉兴三中 王婵琼
【摘要】以换元法这节课为切入点，浅谈对高考第二轮复习如何开展、如何帮助学生进行数学思想与方法的提炼和升华以及如何落实复习课的实效性等几方面的想法
在进入新课程改革第一年高考的倒计时时，我们高三的复习也进入了第二轮。

第二轮复习，我们开展的形式以传统的专题复习为主。

我就自己的一节关于数学方法方面的课——换元法为切入点，谈一下我对高考第二轮复习如何开展、如何帮助学生进行数学思想与方法的提炼和升华以及如何落实复习课的实效性等几方面的想法。

如有不足之处，敬请各位专家进行批评指正，也希望与同僚们进行共同探索。

一．关于《换元法》这节课
（一）课前设计。

引例：1.求函数12-+=x x y 求函数12--=x x y 的值域。

例题：已知R y x ∈,,且满足0122=-+y x ，求x
y Z 2-=的取值范围。

引申变形：已知R y x ∈,,且满足012422=-+y x ，求x
y Z 2-=的取值范围。

对换元法进行总结：
换元法：引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新变量求得结果后，返回再求得原变量的结果。

换元法的目的：变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中研究，从而使复杂问题简单化。

换元法的实质：转化——依据等量代换。

换元法要注意的问题：新变量的取值范围。

练习：（如课堂内不能完成，则作为课后练习）
1.求函数221x x y -+=的值域。

2.已知函数2
2
11)11(x x x x f +-=+-，求函数)(x f 的解析式。

3.求关于x 的不等式)1(log 31log >->-a x x a a 的解集。

4.求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。

（二）课堂活动和体会。

第一阶段——忽如一夜春风来，千树万树梨花开。

引例：1.求函数12-+=x x y 的值域。

给学生一定时间思考，挑选他们中两位的解题过程用实物投影仪展示。

解（一）：（观察得）x y =和12-=x y 都为增函数。

∴12-+=x x y 为增函数。

函数12-+=x x y 的定义域为}2
1{≥x x ∴12-+=x x y 的值域为}2
1{≥y y
解（二）是对解（一）的改进版： 12-+=x x y ∴121
1-+='x y
函数12-+=x x y 的定义域为}2
1{≥x x ∴012≥-x
∴0>'y ∴12-+=x x y 为增函数。

∴12-+=x x y 的值域为}2
1{≥y y 在学生之中几乎没有学生想到用换元法。

因为这个例题用函数的单调性来解决可能更加方便。

将例题中的“+”改成“-”——求函数12--=x x y 的值域。

此时学生发现用函数的单调性不能很迅速的将问题解决。

于是我进行板演，对求函数12-+=x x y 的值域用换元法进行解题。

解（三）令12-=x t ，则0≥t
212t x =-∴
2
12+=∴t x ∴t t y ++=)1(2
12（0≥t ） ∴0=t 时21min =
y ∴12-+=x x y 的值域为}2
1{≥y y 在讲解此题的同时，提出换元法的概念，并在讲完后一并将“求函数12--=x x y 的值域”的问题解决。

体现出换元法的重要性和必要性。

换元法：引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新变量求得结果后，返回再求得原变量的结果。

换元法的目的：变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中研究，从而使复杂问题简单化。

换元法的实质：转化——依据等量代换。

第二阶段——一语天然万古新，豪华落尽见真淳。

例题：已知R y x ∈,,且满足0122=-+y x ，求x
y Z 2-=的取值范围。

在经过大约5分钟的思考时间后，发现绝大多数能够完成此题的学生，基本用了两种解法。

解（一）（利用数形结合，分析得到Z 的几何意义是过定点)2,0(P
的斜率，且点）（y x ,在圆上。

由于点和半径的特殊性，利用直角三角形 和倾斜角的计算，求出切线斜率，将问题解决。

见图1） 由已知，1===R BO AO ，直线过定点)2,0(P ∴3-==PB PB K Z ，3==PA PA K Z
∴(][)+∞-∞-∈,33, Z
解（二）（分析同解一，利用圆心到直线的距离小于等于半径来解决点）（y x ,在圆上问题。

）
令x
y k Z 2-== ∴直线方程为2+=kx y ∴212
00k k d ++-⋅=1=≤r ∴212≥+k 即32≥k ∴(][)+∞-∞-∈=,33, Z k
根据学生的分析，教师提出通性通法，即利用直线与二次曲线交点问题来解决问题，并进行板演。

解（三）令x y k Z 2-=
= ∴直线方程为2+=kx y
∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
222y x kx y 解得：034)1(22=+++kx x k ∴0)1(121622≥+-=∆k k 即32≥k ∴(][)+∞-∞-∈=,33, Z k
将例题引申变形：已知R y x ∈,,且满足012422=-+y x ，求x
y Z 2-=的取值范围。

此时圆变成了椭圆，解一与解二，都是能够解释出Z 的几何意义，也可以知道是直线与椭圆的切线斜率，可是落实到计算，就难度很大，几乎不可能完成。

所以，学生都选择了解三，用来解决引申问题。

于是教师从换元法的视角提出全新的解题思路——利用三角函数进行解题，并进行板演。

解（四） x
y Z 2-=，0122=-+y x 令αcos =x ，αsin =y ∴x y Z 2-=ααcos 2sin -=即2cos sin =-ααZ )sin(12βα++=Z 即)sin(βα+=212Z
+ []11)sin(
，-∈+βα ∴≤-1212
Z +1≤即<0212Z +1≤ ∴(][)+∞-∞-∈,33, Z
学生根据解四的思路，能够利用椭圆的参数方程，解决引申问题。

经过这样的过程，使得学生对于换元法有了更加深刻的认识，并能在过程中体会换元法要注意的问题：新变量的取值范围。

第三阶段——不是一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香。

例题只是对换元法的一种诠释，经过练习，学生可以从一开始的模仿，过渡到理解，最后做到融会贯通，也就是我们认为的把数学的技巧变成自己的数学思维。

练习：
1.求函数221x x y -+=的值域。

2.已知函数2
2
11)11(x x x x f +-=+-，求函数)(x f 的解析式。

3.求关于x的不等式)1
的解集。

-a
x
x
(
log
>
3
-
1
log>
a
a
4.求函数x
x
+
=的值域。

cos
sin+
sin
x
x
y cos
由于练习1、2比较简单，而且基本是模仿，所以学生能够很快的自己解决问题。

而且上课的时间有限，所以，在课堂上，只是解决了这两个练习。

练习3、4是布置回家作业。

由回家作业的反馈，练习4还是有一定难度，需要讲解。

二．我的感悟
（一）随风潜入夜，润物细无声——如何开展高考第二轮复习。

1.教学目标需要设计多维性。

由于数学教学目标在教学和学习中起着重要的作用，因此教师在进行教学设计时首先要对教学目标进行适当定位。

在定位的时候，尤其要注意三个方面：a.基本知识维度；b.方法技巧维度（特别是通性通法）；c.思维能力维度。

当然，设计教学目标立足的基础就是充分认识自己所教学生的能力。

根据他们的能力，设计好教学目标，将教学内容设计成层层深入、渐渐递进、循序渐进，使得教学过程流畅、课堂结构均衡，才能更好发挥教学选材的功能。

2.教学涉及面要力求面向全体学生。

学生在生理发展和心理特征上的差异是客观存在的；对数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的。

教师在进行教学过程，特别是高考复习阶段，一定要设置好课堂选材（例题）的层次，即要保证多元化，也要保证全面性。

所以，进行必要的一题多解，不仅可以培养学生的发散性思维，而且可以让不同程度的学生有更大的选择范围。

3.数学教学要对传统教学方法的继承、发展和创新。

章建跃教授曾经在一篇文章中提到：尽管新的教学方法层出不穷，传统教学方法受到打击和质疑，但传统教学方法并不能被完全取代……要使讲授法称为积极的、能动的、有意义的，就要做到：a.要让学生在接触典型、丰富的具体例证的基础上。

再归纳概括出概念与原理；b.所讲的材料要符合学生已有的认知发展水平；
c.定义要明白而正确，要区别有关概念之间的类似点和差别；
d.要求学生能运用自己的语言复述学会的概念与理论。

①在高考复习阶段，根据学生的认知水平对讲授法的合理运用，可以获得事半功倍的效果。

4.教学过程要重视非智力因素的作用。

学生的学习活动是智力因素和非智力因素的综合效益，它们之间的作用是相互的。

教学方法一旦触及学生的情感和意志领域，学生的精神需要，就能发挥高度有效的作用。

合理运用激励机制，是重视非智力因素的一个重要组成部分。

a.一句：“你回答的很好！”“这位同学的回答非常精确…”“你太厉害了，这么复杂的问题，你能够一眼看到实质…”等等表扬的话，机智的教师一定不应该吝啬。

同时，也要让表扬有度不廉价，夸奖有理让人服。

b.当学生回答的问题不够圆满时，教师绝对不能不理不睬，或者当头一棒，而应该给予鼓励，并加以引导。

教师的一句诚挚的鼓励，能给学生无穷的学习动力。

c.教师也应该恰当运用语气、语调和肢体语言，低调和高歌相结合，委婉和激情相穿插，切实地让学生感受到老师的微笑、点头、赞许，吸引着学生的注意力从而提高课堂效率。

（二）欲穷千里目，更上一层楼——如何帮助学生进行数学思想与方法的提炼和升华。

《浙江省普通高校考试说明》中对能力要求明确的说明是：能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

考察要求是：以数学知识为载体，从问题入手把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力……对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考察的重点；对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言、图形语言的相互转化；对运算求解能力的考查主要是算法和推理的考查，以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力。

②
因此，教师在充分理解《考试说明》的基础上，利用本身的经验积累和对数学能力的理解，帮助学生一步步揭开这些思想、方法的神秘面纱，进而理解本质。

同时必须注意的是，一位真正的教师所扮演的角色是学生的引路人、指导者，而并非是代步工具、告诉者。

当不同的学生提出不同的解决方案时，要求同存异，慧眼识珠，开拓学生的思维空间和视野；不失时机的进行
“煽动”和“抛给”问题，即保证学生探究方向的正确性，又要使学生在相互争辩的过程中，变得思维更加严密和逻辑；在学生处于瓶颈境地难以提高的时候，要睿智的点拨学生，让学生平稳顺利的走向更高的平台。

在这样的过程中，学生透过对一个个“行星”的研究，发现“宇宙”的真正奥秘，而我们教师就是他们手中的“望远镜”。

（三）春花无数，毕竟何为秋实——如何落实复习课的实效性。

课堂的教学实效，我认为需要三位一体：a.课前设计；b.课堂发挥；c.课后作业。

一般我们平时对a,b的关注程度都比较大，如果我们仅仅关注了a,b，而忽视或者轻视c，那么就虎头蛇尾。

我认为要真正落实复习课的实效性，就是要设计好课后作业。

首先，要设计分层作业。

让层次不同的学生都能够在经历作业过程中对课堂内容进行回顾，同时加以思考。

其次，要让学生在作业的过程中，寻找、归纳、概括属于自我的知识体系、技巧和方法。

比如说，我们在教学过程中，会提倡学生应用巧取特殊值，可以减少计算量、应用数形结合，可以更直观的发现解决问题的途径等等，其实这些对于学生而言都是空洞的理论，“实践是检验真理的唯一标准”，作业提供了这样的实践机会。

再有，要让学生在完成作业的过程中，学会学习。

有意义学习的过程是一个自我发现、自我调节的过程，是通过个人真实的体验来调节学习。

“学会学习”从狭义的角度，是自我对数学方法、技巧和思想的领会和应用的过程，从广义的角度，是一项让学生终身受用的学习能力。

高三的第二轮复习课，一贯以来都是以复习专题形式进行，这是一个传统的高考复习方法。

我对此的理解是，学生经过高一高二两年的数学学习，已经掌握了高中数学的全部知识点，在学习过程中，数学的很多思想方法，比如说数形结合思想、分类讨论思想、化归和转化思想等；和很多的解题技巧，比如说配方法、待定系数法、换元法、构造法等已经存在于学生的潜意识中，我认为这个阶段是原始积累。

专题复习是学生在教师的帮助下将这些思想方法和技巧的本质提炼出来并以全新的面貌呈现在学生面前，我认为这个阶段是归纳总结。

当学生清晰的认识到这些数学思想方法和技巧的本质面貌，使之成为其自身数学思维或者思考事物方式的一个组成部分后，学生就会对它们进行融会贯通地运用，并从中学会了自我学习的能力，我认为这个阶段是质的飞跃。

也是我们进行教学活动的终极目标。

高三的复习课，一定要让我们的学生有一种别有洞天的感觉——行云却在行舟下，疑是湖中别有天。

希望我们的学生在烟花烂漫的六月，取得理想的成绩。

【参考文献】1.①章建跃.数学教学方法的现代发展,中学数学教学参考,2008,3
2.②葛为民主编.2009年浙江省普通高考考试说明（理科）,浙江杭州:浙江摄影出版社,2009,1
3.中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）,北京：人民教育出版社,2003
4.皮连生主编.教学设计——心理学的理论与技术.北京：高等教育出版社，2000
5.郭友.新课程下的教学技能与培训。

北京：首都师范大学出版社,2007。