分块矩阵的应用研究文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学 分块矩阵的应用研究

一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关

主题争论焦点）

本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念：

分块矩阵的概念[]

1：

当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块.

如对矩阵A 分块如下

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=1011

012100100001A 其中记⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下:

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=1011012100100001

A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问

题的评述）

作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.

但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.

1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.

1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.

分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.

预备知识[][]32-

分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种：

（1）列向量分法

),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量.

（2）行向量分发

),,2,1(21n i A i n ΛM =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ββββ为A 的行向量.

（3）分成两块

),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.

（4）分成四块

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=4321

C C C C A 对分块矩阵可以进行广义初等变换，广义初等变换分为三种： （1） 交换分块阵的两行（或列）；

（2） 用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）； （3） 用某一矩阵乘以某一行（或列）加到另一行（或列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵

（1）⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡00

n

m E E ; （2）G D G E E D ,,00,00⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡均为可逆阵； （3）⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡E H E E M

E

,0. 分块矩阵的加法

计算B A +时，若对AB 分块,则要求用子块表出的AB 应同型且对应位置的子块也应同型.

如对矩阵A 分块为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=E C O E A 1011

01210010

0001

则对B 也应予以同型的分块

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-=E G O D B 102

6013600020021

从而按分块相加，有

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+O G C D E B A

由于

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+122202211001D E 因此

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-=+002

60036421

23122B A 分块矩阵的乘法

计算AB 时，若对B A ,分块，则要求用子块表出的A 的列数等于用子块表出的B 的行数且对应的子块ij A 与pq B 应满足.p j =

如对矩阵A 分块如下：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=E C

O E A 1011

012100100001

可对B 分块如下：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-=E G O D B 102

601360002002

1

则有

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=E G

C CG

D

E G O D E O C E AB 由于

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+238125263642310221CG D 所以

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-------=102601364223831

125AB 分块矩阵在矩阵中是一块重要内容，它是解决许多实际问题的提供方法，下面介绍个