2017届北师大版 数系的扩充与复数的引入 题组训练
习题课(三) 数系的扩充与复数的引入
即－1＝4＝4＋6＋a，b，
∴ab＝＝－－310，.
答案：－3 －10
高频考点三 复数的代数运算 复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
)，对于p1，∵
1 z
＝
1 a＋bi
＝aa2－＋bbi2∈R ，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R ，∴ab＝0，∴a ＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R )，z2＝c＋di(c，d∈R )，
则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R ，
的点为(x，y)，则
()
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] (1)因为z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 所以|z|＝ 2. (2)由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
[解析]
(1)由z(1＋i)＝2i，得z＝
2i 1＋i
＝
2i1－i 1＋i1－i
＝
2i12－i＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝2＋i，∴ z ＝2－i，
∴z·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.
法二：∵z＝2＋i，∴z·z ＝|z|2＝5.
(3)∵51－ ＋ii＝51－ ＋ii11－ －ii＝2－3i，
北师大版 选修1-2 数系的扩充与复数的引入 单元测试(含答案)
数系的扩充与复数的引入一、单选题 1．设复数71iz i+=-，则||z =（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．100 【答案】A 【解析】试题分析：由题()()()(7)16834112i i iz ii i +++===+-+，则;5Z ==．【考点】复数的概念及运算2．已知i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若201823iz i-=，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 因为20182232323i iz i i i--===-+，所以23z i =--，复数z 在复平面内对应的点为()2,3--，位于第三象限．故选C ．3．设是虚数单位，复数，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【答案】B【解析】试题分析：∵z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i,∴|z|=√2,故选B. 考点：复数的概念与运算. 4．在复平面内，复数z =2i 1−i 对应的点的坐标为A ．(1,−1)B ．(1, 1)C ．(−1,1)D ．(−1,−1) 【答案】C【解析】因为z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i(1+i)2=−1+i ，所以复数z =2i1−i 对应的点的坐标是(−1,1)，应选答案C 。
5．若复数满足1i z i ⋅=--，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由1i z i ⋅=--，得()2211i z i i i i i ⋅=--=--=-，则1z i -=-，1z i =-+，对应点的坐标为()1,1-为第二象限， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．这个题目考查了复数的几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZuuu r都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ． 6．下面是关于复数2z i =-的四个命题：1p ：||5z =；2p ：234z i =-；3p ：z 的共轭复数为2i -+；4p ：z 的虚部为1-，其中真命题为（ ） A ．2p ，3p B ．1p ，2p C ．2p ，4p D ．3p ，4p【答案】C 【解析】因为244134,2,z z i i z i z ===--=-=+的虚部为1-，所以24,p p 是真命题，则应选答案C 。
北师大版数学选修1-2练习(第4章)数系的扩充与复数的引入(2)(含答案)
第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）A 、0ad bc -=B 、0ac bd -=C 、0ac bd +=D 、0ad bc +=2 ）A 、iB 、i -C iD i3、若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A 、22±B 、22-C 、i 22-D 、i 22±4、对于任意的两个实数对（a,b ）和(c,d),规定（a,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p （ ）A 、)0,4(B 、)0,2(C 、)2,0(D 、)4,0(-5、适合方程02=--i z z 的复数z 是（ ）A 、i 2163+ B 、i 2163- C 、i 2163-- D 、i 2163+±6、2)1(3i -＝ ( ) A 、32i B 、－32i C 、i D 、－i7、i 是虚数单位，=+ii 1（ ） A 、i 2121+ B 、i 2121+- C 、i 2121- D 、i 2121--8、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）A 、1B 、1-C 、9、已知复数z 满足3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A 、322－B 、344iC 、322D 、344＋10、在复平面内，复数1i i +对应的点位于 ( ) A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、已知11m ni i =-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________12、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)2
一、选择题1．若341i z iz i +=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32 B ．2 C ．52 D ．32．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线3．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 5．化简 31i i-++＝（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．12i + D ．12i -- 6．已知复数3412i z i +=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55 B ． 2215 C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --8．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i -- 9．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）． A 2B ．2 C ．22D ．410．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --11．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a = A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．012．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+二、填空题13．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________. 14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应17．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．18．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________．19．下列说法正确的是_______．（填上所有正确答案的序号）①3265->-；② 任何集合都有子集；③ 实数没有共轭复数；④ 命题“正三角形的三条边全相等．”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等，那么这个三角形不是正三角形．”20．设复数1=-i z i，则z =_____________． 三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．23．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在 （1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围．24．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.4．D解析：D【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值.【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数，20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．A解析：A【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则有：()()()()31324121112i i i i i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C解析：C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412i z i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数，所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．A解析：A【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.10．B解析：B【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i i z i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．C解析：C【解析】【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得： 4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.12．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应.二、填空题13．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为： 解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i -=，可得z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上， 如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z 的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．14．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】 解析：椭圆【分析】设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断.【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ， ()()2222114x y x y -+++=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】 根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确 解析：0【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是0.【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.17．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以|2|z =，填2． 【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．18．1【解析】因为实数满足所以解得故答案为解析：1【解析】因为实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，所以35{231x y x y -=+= 解得2{1x y ==- ， 1x y +=，故答案为1 .19．①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等那么这个三角形不是正三角形解析：①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身，所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等，那么这个三角形不是正三角形考点：命题子集复数分析法证明20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：． 【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =-【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件23．（1）0m =;（2）02m <<.【分析】（1）由题()()2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi ab R b =⎧=+∈⎨≠⎩，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.【详解】（1）由，解得m=0．∴若复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0； （2）由复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限， 得；，解得；0＜m ＜2．【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.24．（1）；（2）3 【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数 （2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件．25．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时， 解得， 即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限 考点：纯虚数概念26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i+-==-，∴3z ai =-． （2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。
北师大版 选修1-2 数系的扩充与复数的引入 单元测试(含答案)
数系的扩充与复数的引入一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数2iz i-=,z ＝（ ）A ．1BCD ．3 【答案】C 【解析】试题解析： ()212i z i i-==--，∴z==C ．考点： 考查了复数的运算和复数的模．点评：解本题的关键是掌握复数除法的运算法则，然后利用复数模的公式求值． 2．设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．-2 B ．-4 C ．2 D ．4 【答案】A【解析】221234,2,12,12z b bi i b z i z i =-+=-+∴=∴=+∴=- 3．复数z 满足z (1−i )=1（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12−12i B ．12+12i C ．−12+12i D ．−12−12i【答案】B 【解析】试题分析：∵z(1−i)=1∴z =11−i =1+i 2=12+12i考点：复数运算4．已知复数z =1i−1，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为−12i C ．|z|=√22D ．z 的共轭复数为12+12i【答案】C【解析】试题分析：因,故,应选C.考点：复数的概念及运算.5．已知()1,f x x x x C =-+∈，若()94f zi i -=-，则在复平面中，复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D ． 【解析】 试题分析：设z a ib=+，4()()9a f zi fb ia b ia b =-⎧-=--=+⇒=44a b =-⎧⇒⎨=-⎩，∴复数z 对应的点在第四象限，故选D ． 考点：1．复数的运算；2．复平面．【方法点睛】对于复数问题的求解，一般将复数化为一般形式，明确复数的实部与虚部，根据相应的条件对复数的实部与虚部施加相应的限制条件，列出相应的等式、方程或不等式，然后对相应的问题进行求解，有时也需数形结合，画出相应图形，从其几何意义考虑． 6．若复数3(R,12a ia i i+∈-为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．6- B ．2- C ．4 D ．6 【答案】D【解析】试题分析：由题意可设()312a ibi b R i+=∈-，∴32a i b bi +=+，∴2{63a b a b =⇒==.考点：复数的计算.7．复数13ii +的共轭复数的虚部为 A ．110 B ．310C ．110-D ．310-【答案】C 【解析】 【分析】 先将复数13i i +化简成311010i +，从而求出其共轭复数，得到其虚部. 【详解】因为13i i +＝()1331101010i i i -=+，所以共轭复数为：311010i -，虚部为110-，故选C . 【点睛】主要考查了复数的运算，以及共轭复数，虚部等概念，属于基础题.二、填空题8．已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，其中,x y 为实数，则x y +=________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用复数相等的性质列方程组求解即可. 【详解】因为()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，所以2523x y x x y x y+=-⎧⎨-=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，321x y ∴+=-=.故答案为1.【点睛】本题主要考查复数相等的性质，属于基础题.9．若复数()()32i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 【答案】23- 【解析】分析：把复数化为(,)x yi x y R +∈形式，再由复数的概念可得．详解：(3)(2)32(6)i a i a a i -+=++-为纯虚数，则32060a a +=⎧⎨-≠⎩，解得23a =-，故答案为23-． 点睛：本题考查复数的概念，解题时需把复数化为(,)a bi a b R +∈形式．复数的概念：(,)a bi a b R +∈是（1）实数0b ⇔=；（2）虚数0b ⇔≠；（3）纯虚数0a b =⎧⇔⎨≠⎩． 10．设a R ∈，若(1)(i)2i a i +-=-，则a =______ . 【答案】1- 【解析】()()()11+12i a i a a i i +-=+-=-,10112a a a +=⎧⇒=-⎨-=-⎩,故答案为1-. 11．计算21(1)i+= ． 【答案】2i - 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】211i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222121()112i i i i i ++=+-=- 故答案为-2i ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．在复平面内与复数5i12iz =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为______． 【答案】2i -+ 【解析】 【分析】由题，先将复数化简，求得其对应的点坐标，即可求得关于虚轴对称的点A 的坐标，写出对应复数即可. 【详解】 复数55(12)212(12)(12)i i i z i i i i -===+++-，所对应的点为(2,1) 所以关于虚轴对称的点(2,1)A -，故A 对应的复数为2i -+ 故答案为2i -+ 【点睛】本题考查了复数的相关知识点，对复数的运算是解题的关键，属于基础题. 13．若复数z 满足1z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为__________.【解析】 【分析】在1z i i ⋅=+两边取模,计算可得到. 【详解】 因为1z i i ⋅=+, 所以|||1|z i i ⋅=+, 所以|||||1|z i i ⋅=+,所以||z ==故答案为. 【点睛】本题考查了复数的模的运算,属于基础题. 14．已知复数z =，则z 的实部为__________． 【答案】0; 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简即可． 【详解】1iz i ===，则z 的实部为为0，故答案为：0. 【点睛】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．三、解答题15．已知方程20x x p ++=，p R ∈．（1）设a R ∈，i 为虚数单位，且a i +是方程20x x p ++=的一个根，求p ；（2）设1x 、2x 是方程20x x p ++=的两个根，若123x x -=，求p 的值． 【答案】（1）54；（2）52或2- 【解析】 【分析】（1）将a i +代入方程20x x p ++=运算，由复数相等可得210210a a p a ⎧++-=⎨+=⎩，求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合题意列出方程149p -=，解方程即可得解. 【详解】解：（1）a i +是方程20x x p ++=的一个根， 所以2()0()a p a i i ++++=， 所以2(211)0p i a a a +++-=+ 又a R ∈，p R ∈，则210210a a p a ⎧++-=⎨+=⎩，解得5412p a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故p 的值为54； （2）因为1x 、2x 是方程20x x p ++=的两个根， 所以121x x +=-，12x x p =，又123x x -=，所以21212|()4|9x x x x +-=， 所以149p -=，解得：2p =-或52p =， 故p 的值为2-或52． 【点睛】本题考查了复数的运算及一元二次方程根与系数的关系，重点考查了运算能力，属中档题.16．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 【答案】（1）0a >；（2）1i z =-+ 【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ 。
北师大版选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入基础测试题
北师大版选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入基础测试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数23i i-+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15i - 2．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 3．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12y 4．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设2i z i +=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．56．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）AB ．2C ．10D 7．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数2a i z i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则a =（ ） A ．-2 B ．12- C ．12 D ．29．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =10．已知复数2(1)(1)izi i+=-，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i B．2z=C．z的共轭复数1z i=-+D．2z为纯虚数11．已知i为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（）A．2i-B．2i C．－2 D．212．若复数1z，2z在复平面内对应的点关于y轴对称，且112z i=-+，则复数12zz的共轭复数为（）A．-1 B．1 C．3455i-+D．3455i+二、填空题13．已知复数()252z i i=+（为虚数单位）,则z的实部为____14．已知i为虚数单位，实数x，y满足（x+4i）i＝y+（1﹣i）2，则|x﹣yi|＝_____．15．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是12,z z，则12z z-=________．16．在复平面内，复数161iz ii=+-对应的点所在第______象限.三、解答题17．计算：（1）()()5433i i++--；（2）()101i+.18．已知复数21(215)5z m m im=++-+，当实数m为何值时，（1）z为实数；（2）z为虚数.19．已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z+. 20．已知复数z 1＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数.（1）求实数m 的值；（2）若(3＋z 1)z ＝4＋2i ，求复数z .21．已知(1,2)A ，(,1)B a ，(2,3)C ，(1,)D b -，(),a b ∈R 是复平面上的四个点，且向量AB ，CD 对应的复数分别为1z ，2z .（1）若121z z i +=+，求1z ，2z ；（2）若122z z +=，12z z -为实数，求a ，b 的值. 22．已知复数64i 1im z -=+（m R ∈，i 是虚数单位）． （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值； （2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【分析】 先由复数的除法运算化简复数23i i -+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.2．D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .3．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 4．B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.5．B【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．6．D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.7．D 【分析】先对41i z i =+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D 8．B【分析】利用复数的运算法则将2a i z i +=+化简，让实部为零解得a 的值. 【详解】 ()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a z i i i i +-++-++-====+++-， 因为z 为纯虚数，所以210a +=，得12a =-. 故选：B.【点睛】 本题考查复数的化简运算，属于简单题，根据复数的运算法则计算即可.9．D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+ 222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．10．D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ,即可求得结果.【详解】()()()2221(1)12222====1(1)+11112i i i i i i i z i i i i i i i -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =1z i =-,()22=12i z i +=.故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.11．B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】 ()()()()2211114211112i i i i i i i i i i +--+--===-++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算，是基础题.12．D【分析】根据复数的几何意义得到212z i =+，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.【详解】解:依题意可得212z i =+， 所以()()1212(12)(12)3434121212555z i i i i i z i i i -+-+-+====+++-， 故选：D【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.13．21【分析】由复数的运算法则即可求出复数z ，由实部的意义可直接写出实部.【详解】计算：()2522120z i i =+=+，所以其实部为21.【点睛】本题考查复数的运算，求实部与虚部时，注意将复数化为标准的形式，实部与虚部都要带着符号，并且注意虚部不带i .14．【分析】先对（x +4i ）i ＝y +（1﹣i ）2，化简求出x ，y 的值，从而可求出|x ﹣yi |【详解】解：由（x +4i ）i ＝y +（1﹣i ）2，得22412xi i y i i +=+-+， 即42xi y i -+=-，所以2,4x y =-=-，所以24x yi i -=-+===故答案为：【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，属于基础题15．【分析】根据图像求得点A,B 对应的复数，然后求12z z -的值.【详解】由图像可知12i,2i z z ==-，故1222i z z -=-+==.【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.16．一【分析】直接根据复数的除法及乘方运算得122i z =+，即可得解. 【详解】 复数1644(1)11()11(1)(122=)2i i i i i z i i i i i +-=++=+=+--+. 对应的点为11(,)22位于第一象限.故答案为：一.17．（1）2i +；（2）32i .【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出()21i +的值，进而利用复数的乘方法则可得出结果.【详解】（1）原式()()53432i i =-+-=+；（2）()212i i +=，因此，()()()5102551123232i i i i i ⎡⎤+=+===⎣⎦. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．(1) 3m =;(2) 3m ≠且5m ≠-.【分析】根据复数的分类，若z a bi =+为实数则0b =，即可求参数的值；若z a bi =+为虚数则0b ≠，即可求参数的值.【详解】(1)当z 为实数时，则22150,50,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩解得3m =，所以当3m =时，z 为实数. (2) 当z 为虚数时，则22150,50,m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩解得3m ≠且5m ≠-，所以当3m ≠且5m ≠-时，z 为虚数.【点睛】本题主要考查复数的分类，属于基础题.19．（1）1i --；（2）15i 22-+. 【分析】 （1）把1z i =-代入2z z -，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得1z ，2z ，代入12z z z +，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+， ∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 20．（1）m ＝0；（2）1＋i .【分析】(1)根据纯虚数的定义列出等式,解出即可.(2)将z 1＝－i 代入(3＋z 1)z ＝4＋2i 化简即可得出答案.【详解】（1）根据纯虚数的概念，需实部为0，虚部不为0.()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得m ＝0.（2）当m ＝0时，z 1＝－i .由(3＋z 1)z ＝4＋2i ，即(3－i )z ＝4＋2i ，得z ＝423i i +-＝()()()()42333i i i i ++-+＝1＋i . 【点睛】本题考查纯虚数的定义与复数的运算,属于基础题.牢记复数的分类与复数的运算规律是解本题的基础.21．（1）14z i =-，232z i =-+（2）42a b =⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1(1)z a i =--，23(3)z b i =-+-，由题得4141a b -=⎧⎨-=⎩，解方程组即得解；（2）由题得22(4)(4)420a b b ⎧-+-=⎨-=⎩，解方程组即得解. 【详解】（1）∵(,1)(1,2)(1,1)AB a a =-=--，(1,)(2,3)(3,3)CD b b =--=--，所以1(1)z a i =--，23(3)z b i =-+-，所以12(4)(4)z z a b i +=-+-，又121z z i +=+，∴4141a b -=⎧⎨-=⎩，∴55a b =⎧⎨=⎩， ∴14z i =-，232z i =-+.（2）由（1）得12(4)(4)z z a b i +=-+-，12(2)(2)z z a b i -=++-， ∵122z z +=，12z z -为实数，∴22(4)(4)420a b b ⎧-+-=⎨-=⎩，∴42a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）32m =；（2）3322m -<<． 【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1）()()()()()64i 1i 3232i 1i 1i m z m m --==--++-， 因为z 为纯虚数，所以320320m m -=⎧⎨+≠⎩，解得32m =． （2）因为z 是z 的共轭复数，所以()3232i z m m =-++， 所以()22396i z z m m -=-++． 因为复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，所以230960m m -<⎧⎨+>⎩，解得3322m -<<． 【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=3．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-5．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四6．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4 B ．1C ．2D ．37．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12 D ．12- 8．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知复数21iz i=+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i --10．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．已知复数()(()()3422312i iz i i +-=++，那么复数z 的模为______.14．若复数z 满足24z z i +=-（i 为虚数单位），则z 的最小值为__________． 15．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________16．已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为______. 17．已知()21,1xyi x y R i+=∈-，则x y +=__________． 18．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．19．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________． 20．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________．三、解答题21．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位. （1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．已知复数()0,z a i a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数． （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数()2m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．25．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位） （1）求z ； （2）若2a iz+为纯虚数，求实数a 的值． 26．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．C解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 4．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ．本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．5．A解析：A 【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案. 【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．B解析：B 【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.7．A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．A解析：A 【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A9．B解析：B 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i iz i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论. 详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限. 故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
北师大版高中数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入同步练习(二).docx
第五章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)1. 复数i z 43+-=的平方根是（ ）A. i 21+B. i i 2121--+或C. i 21--D.i i 2121-+或 2. 复数=-+54)31()22(i i （ ）A. i 31+B. i 31--C. i 31-D. i 31+- 3. 复数125-i 的共轭复数是（ ） A. i 21+- B. i 21-- C. i -2 D. i +24. 设复数,1-≠Z 则p ：“1=Z ”是q ：“11+-Z Z 是纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知复数z 满足条件2≤z ，则复数i z 21++=ω在复平面内对应点的区域是（ ）A. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆面B. 以)2,1(为圆心，以2为半径的圆C. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆面D. 以)2,1(--为圆心，以2为半径的圆6. 复数yi x z +=对应点在复平面内满足条件的区域⎩⎨⎧≥--≤≤01221y x x 是（ ）xyO 12xyO 12A. B.xyO 12xyO 12C. D. 7. 当23215<<-m 时，复数i m m m m z )384()1(22+---+=在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x iy y i x 89)4()2()3()12(有实数解，则实数b a ,的值分别为（ ）A. 1,2B. 1,2--C. 2,1--D. 2,19. 复数2121,,43z z i t z i z +=+=是实数，则实数=t （ ）A. 43B. 34C. 43-D. 34-10. 下列命题中正确的是（ ）A. 虚数单位i 的平方根是1±B. i i z 4321-+=的共轭复数是521i+- C. 方程)(03)12(2R k i k x i x ∈=-+--有实根的充要条件是41-≤kD. 当实数2=m 时，复数i m m m m )3(6522-++-是纯虚数11. 若1=-i z ，则复数z 对应的点的轨迹是________________。
高二数学第四章数系的扩充与复数的引入练习题(北师大版附答案)【推荐下载】
B．2＋3i的虚部是3i
C．i2＋i的实部是－1
D．若a，b∈R，且a＜b，则a＋i＜b＋i
【解析】 当a＝0时，ai是实数，2＋3i的虚部是3，由
i2＋i＝－1＋i得i2＋i的实部是－1；a＋i与b＋i是虚数，不能比较大
小，故选C.
【答案】C
3．若(t2－t)＋(t2－3t＋2)i是纯虚数，则实数t的值为()
∴－2<;m<;5.
∴当实数m在(－2,5)内取值时，z的对应点在第四象限.
专注ห้องสมุดไป่ตู้一代成长，为了孩子
7．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则
x＝________，y＝________.
专注下一代成长，为了孩子
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
【解析】 设y＝bi(b∈Z，且b≠0)，则2x－1＋2i＝bi，
∴2x－1＝0，b＝2，
解得x＝12，b＝2.
∴y＝2i.
【答案】122i
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值为
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高二数学第四章数系的扩充与复数的引入练习题（北
师大版附答案）
一、选择题
1．设全集U＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，则下面结论正确的是
()
A．A∪B＝UB．UA＝B
C．A∩UB＝A D．UB＝A
【解析】 由AUB，得A∩UB＝A.
【答案】C
2．下列说法正确的是()
C．－2或5 D．－2
【解析】∵M∩N≠，
∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，
∴m2＋5m＋6＝0，m2－2m－5＝3.
高中数学第5章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课后演练提升北师大版选修22
2016-2017 学年高中数学第 5 章数系的扩大与复数的引入 1 数系的扩大与复数的引入课后演练提高北师大版选修 2-2一、选择题1．复数a＋b i( a，b∈ R) 为纯虚数是a＝0的()A．充分非必需条件B．必需非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必需条件分析：由复数的看法知：若 a＋b i为纯虚数，则必有 a＝0成立，故为充分条件；但若 a＝0且 b＝0时， a＋ b i＝0为实数，故不是必需条件．所以复数 a＋ b i为纯虚数是 a＝0的充分非必需条件．答案： A2．设z＝ (2 t2＋ 5t－ 3) ＋ ( t2＋ 2t＋ 2)i ， t ∈R，则以下结论中正确的选项是()A．z对应的点在第一象限B．z必定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z必定是实数分析：t 2＋2t ＋2＝( t ＋1)2＋1≥1∴ z 的对应点在实轴上方．答案：C3．复数 4－ 3a－a2i 与复数a2＋ 4a i相等，则实数 a 的值为() A． 1B．1 或－ 4C．－ 4D．0 或－ 44－ 3a＝a2得＝－4分析：由－ a2＝4a a答案：C4．在复平面内，复数 1＋ i 与 1＋ 3i→ →→分别对应向量 OA和 OB，此中 O为坐标原点，则|AB|等于 ()A.2B． 2C.10D． 4分析：∵→＝ (1,1)，→＝ (1,3) ，OA OB→ →→－ (1,1) ＝ (0,2)，∴ AB＝OB－ OA＝(1,3)∴→| AB| ＝2.答案：B 二、填空题15．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z＝ ________________.分析：设 z＝－5＋b i( b＞ 0) ，则 5＋b2＝9；∴＝2，∴z ＝－5＋ 2i.b答案：－5＋ 2i6．已知以下命题：①复数 a＋ b i不是实数；②两个复数不可以比较大小；③若 ( x2－4) ＋ ( x2＋ 3x＋ 2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若 z＝ a＋ b i，则当且仅当b≠0时， z 为虚数；⑤若实数 a 与 a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑥若 a＋ b i＝ c＋ d i，则 a＝ c 且 b＝ d.此中真命题的个数________________ ．分析：依据复数的有关看法判断命题的真假．①当 a∈R且 b＝0时， a＋b i是实数．②当两个复数都是实数时，两个复数可以比较大小，两个复数最少有一个是虚数时，两个复数不可以比较大小．③当 x＝－2时，对应的复数为实数，由纯虚数的条件x2－4＝0，x ＝2.∴2＋ 3x＋2≠0，解得x④没有重申a，b∈R这一特别重要的条件．⑤ a＝0时， a i＝0是实数，即0 对应的不是纯虚数．⑥没有重申 a，b， c， d∈R这一特别重要的条件．故题中 6 个命题都是假命题．答案： 0个三、解答题x2－ x－627．实数x分别取什么值时，复数z＝x＋3＋( x－ 2x－ 15)i 是 (1) 实数； (2)虚数；(3) 纯虚数．分析：(1) 要使z是实数，一定且只须x＋3≠0x2－2x－15＝0，解得x＝5.(2)要使 z 为虚数，一定且只须x＋3≠0x ≠－ 3，且≠5.，解得x2－2x－15≠0x(3) 要使z为纯虚数，一定且只须2x2－ x－6＝ 0，解得 x＝3或 x＝－2.x＋3x2－ 2x－15≠08．设z为纯虚数，且| z－ 1| ＝ | －1＋ i| ，求复数z.分析：∵ z 为纯虚数，∴设 z＝ a i( a∈R且 a≠0)，则 | z－1| ＝ | a i － 1| ＝a2＋1，又 | － 1＋ i| ＝ 2，由 | z－1| ＝ | － 1＋ i| 得a2＋ 1＝ 2，解得 a＝±1，所以 z＝±i.9．已知点集D＝ { z|| z＋1＋3i| ＝ 1，z∈C} ，试求 | z| 的最小值和最大值．分析：点集D 的图像为以点( －1，－ 3) 为圆心，以 1 为半径的圆，圆上任一点P C对应的复数为z ，则 |→| ＝|z|.OP由图可知，当OP过圆心 C(－1，－3) 时，与圆交于A、B，则 | z| 的最小值是| OA| ＝| OC|－ 1＝－2＋－32－1＝1，即 | z| min＝ 1；最大值 | OB| ＝ | OC|＋ 1＝ 3，即 | z| max＝ 3.3。
高考数学一轮复习课时分层训练26数系的扩充与复数的引入文北师大版
课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C ．]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A ．]3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i ＝21＋i 1－i 1＋i ＝21＋i 2＝1＋i ，∴z －＝1－i.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1.∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B ．]5．(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 A [法一：z ＝1＋i i ＝1＋i －i i －i ＝1－i ， z 2＝(1－i)2＝－2i.法二：(z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i.故选A ．]6．若i 为虚数单位，图442中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )图442 A ．EB ．FC ．GD ．H D [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i的点为H .] 7．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( )【导学号：00090146】A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．]二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.]9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i为实数，则a ＝________. －12 [1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i2＋i ＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.]10．(2018·南昌模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 【导学号：00090147】 10 [z ＝－1＋i,1－z ＝1－(－1－i)＝2＋i ，所以|(1－z )·z |＝|(2＋i)(－1＋i)|＝|2＋i|·|－1＋i|＝5×2＝10.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C ．]2．(2018·濮阳模拟)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝( ) A ．－2iB ．0C ．2iD ．2 B [∵1＋i 1－i ＝1＋i 21＋i 1－i ＝2i 2＝i ，1－i 1＋i＝－i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0，故选B ．] 3．(2018·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫3z 2＋z 2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z 2＝2a ＋b i ， 故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ， 故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．] 4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________. 【导学号：00090148】12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝12＋32i.]。
北师大版高中数学选修12第4章《数系的扩充与复数的引入》同步练习
第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习（一)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答、共100分，考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是( )A 、1B 、1-C 、1±D 、以上都不对2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ）A 、纯虚数B 、实数C 、虚数D 、无法确定4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是( ）A 、2B 、3C 、4D 、无数个5、3()m i R +∈,则实数m 的值为（ ）A 、3±、33± C 、3、32±6、若x C ∈,则方程||13x i x =+-的解是( )A 、1322i +B 、124,1x x ==-C 、43i -+D 、1322i - 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ）A 、3B 、7C 、9D 、58、已知2z =则501001z z ++的值为( ） A 、i B 、1 C 、2i + D 、39、已知11x x +=,则199619961x x+的值为( ) A 、1- B 、1 C 、i - D 、i10、已知复数ii Z +-=11，则4321Z Z Z Z ++++的值是:（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、34i +的平方根是 、 。
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题组层级快练(二十八)1．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( ) A ．±1 B ．2 C ．－1 D ．1答案 A解析 (x ＋i)2＝x 2－1＋2xi ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1.2．(2016·河北辛集中学月考)若复数2－bi 1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2 答案 C 解析2－bi 1＋2i ＝（2－bi ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2b －（4＋b ）i5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.3．(2015·湖北理)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A 解析 i 607＝i 4×151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.4．(2015·山东)若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z －＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 5．(2015·新课标全国Ⅰ理)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －zi ，所以z ＝i －1i ＋1＝（i －1）2（i ＋1）（i －1）＝i ，所以|z|＝1.6．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．7．(2016·湖北武汉二中模拟)已知复数z ＝（tan θ－3）i －1i ，则“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当θ＝π3时，z 是纯虚数；反之不成立．故“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的充分不必要条件．8．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( )A ．4B ．－4C ．4＋4iD ．2i答案 B解析 由x －2＝1，y ＝1，得(1＋i)4＝(2i)2＝－4. 9．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4答案 C解析 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z|＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．10．已知函数f(x)＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f （1－i ）2＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 f （1－i ）2＋i ＝（1－i ）2（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2－4i5，在复平面内对应的点(－25，－45)位于第三象限，故选C. 11．(2016·沧州七校联考)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 ∵i 2＝－1，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i＝0.12．(2016·西安八校联考)已知i 是虚数单位，则i 2 0151＋i ＝( )A.1－i 2B.1＋i2C.－1－i 2D.－1＋i 2答案 C解析 i 2 0151＋i ＝－i 1＋i＝－i （1－i ）2＝－1－i 2，故选C.13．设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 ∵α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4.14．设z 的共轭复数是z －，若z ＋z －＝4，z ·z －＝8，则z －z ＝( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i答案 D解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a=4，a 2 +b 2 =8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a=2，b=±2.当z ＝2＋2i 时，z －z ＝－i ，当z ＝2－2i 时，z－z＝i.15．(2016·南京模拟)若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案 －3解析 因为z ＝(1＋i)(3－ai)＝(3＋a)＋(3－a)i 为纯虚数，所以a ＋3＝0且3－a ≠0，即a ＝－3.16．(2016·福建厦门质检)若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z 等于_____． 答案 1－2i解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5， ∴z ＝51＋2i ＝5（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i.17．i 是虚数单位，(21－i )2 014＋(1＋i 1－i )6＝________．答案 －1－i解析 原式＝[(21－i )2]1 007＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i )1 007＋i 6＝i 1 007＋i 6＝i 4×251＋3＋i 4＋2＝i 3＋i 2＝－1－i.18．已知i 为虚数单位，复数z 满足1＋i ＝z(－1＋i)，则复数z 2 016等于________． 答案 1解析 ∵z ＝1＋i －1＋i ＝1＋i i 2＋i ＝1i＝－i ，∴z 2 016＝1.19．已知实数m ，n 满足m1＋i ＝1－ni(其中i 是虚数单位)，求双曲线mx 2－ny 2＝1的离心率．答案3解析 m ＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i ，则⎩⎨⎧m=1+n ，1-n=0，∴n ＝1，m ＝2，从而e ＝ 3.20．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.答案 z 2＝4＋2i解析 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ， 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.1．若复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为(1，1)，(0，－2)，则复数z ＝z －1·z 2在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由题意，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，则z －1＝1－i ，z －1·z 2＝(1－i)·(－2i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i ，即z ＝－2－2i ，因而对应点位于第三象限，故选C.2. (2016·唐山一中)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H答案 D解析 依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，选D. 3．(2012·天津)i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i 答案 B 解析7－i 3＋i ＝（7－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝20－10i10＝2－i.4．设复数z 的共轭复数是z －，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34答案 A解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数，则4t －3＝0，∴t ＝34.5．(2016·长春质量监测)复数1－i2－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析1－i 2－i ＝35－15i ，所以其共轭复数为35＋15i.故选A.6．(2015·山东青岛一模)已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝______． 答案 1解析 因为a ＋2i i ＝b ＋i ，所以2－ai ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b＝1.7．(2015·重庆理)设复数a ＋bi(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋bi)(a －bi)＝________． 答案 3解析 设z ＝a ＋bi ，则(a ＋bi)(a －bi)＝z z －＝|z|2＝3.。