【新人教2下数学】第2课时 解决实际问题
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案
第2课时 球的体积和表面积问题导学预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√半径为 3 的球的体积是( ) A ．9π B ．81π C ．27πD ．36π解析：选 D. V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C.2倍D.32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)B (2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3C.3π2 D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 【答案】932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________． 解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π.答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以 R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ， 则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32. 3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2B.r 2h 4C. 3r 2h 4D.r 2h 2解析：选C.设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5．已知A ，B 是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．当三棱锥O -ABC 的体积取得最大值时，则过A ，B ，C 三点的截面的面积为 ( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．36π解析：选A.因为O 为球心，∠AOB ＝90°，所以截面AOB 为球大圆，所以当动点C 满足OC ⊥平面OAB 时， 三棱锥O -ABC 的体积最大， 此时，OA ＝OB ＝OC ＝R ＝3， 则AB ＝AC ＝BC ＝32，所以截面ABC 的圆心O ′为△ABC 的中心，所以圆O ′的半径r ＝O ′C ＝32×33＝6， 所以截面ABC 的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以2R ＝23，则R ＝3，所以球的体积V 球＝43πR 3＝43π， 球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.[B 能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.13．如图，ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．设正方形的边长为 a ，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3. 所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.答案： 1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A ＝x ·4－x 2(0<x <2)．(2)V ＝1·x 4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由上述知0<x <2，所以当x ＝2时，V max ＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C 拓展探究] 15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32， 所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π. (2)设内切球的球心为O ，半径为r ，则V A BCD ＝V O ADB ＋V O ADC ＋V O DCB ＋V O ABC .即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ， 得r ＝24＋6＝4－65. 所以该几何体内切球的半径为4－65.。
人教版数学二下第一单元《解决问题》(第2课时)教学设计
人教版数学二下第一单元《解决问题》（第2课时）教学设计一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握解决问题的基本方法和策略，能灵活运用数学知识解决实际问题。
2.过程与方法：培养学生分析问题、提出解决问题的方法和策略的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对解决问题的积极态度，培养合作与竞争意识。
二、教学重点与难点重点：1.灵活运用数学知识解决实际问题。
2.分析问题，提出解决问题的方法和策略。
难点：1.如何根据实际问题提出适当的数学模型。
2.如何进行有效的问题求解过程。
三、教学过程1. 导入（5分钟）老师通过提出一个简单的实际问题引入本节课的主题，让学生了解解决问题的重要性，并激发学生的兴趣。
2. 学习内容展示与讲解（15分钟）1.回顾上节课所学习的解决问题的基本方法和策略。
2.引导学生思考如何根据不同类型的问题选择合适的解决方法。
3.讲解如何将实际问题转化为数学问题，并建立数学模型。
3. 案例分析与讨论（20分钟）老师提供几个实际问题案例，让学生分组讨论，并结合课上所学知识，共同找出解决问题的途径和方法。
每组呈现自己的解决方案，并进行讨论。
4. 练习与巩固（20分钟）1.给学生布置一些相关的练习题，让学生在课堂内完成。
2.学生可以相互讨论，相互帮助。
3.老师巡视指导，及时纠正学生的错误，解决学生的问题。
5. 小结与拓展（10分钟）老师对本节课的主要内容进行小结，并展示一些拓展问题，鼓励学生课后进行拓展性思考。
四、课后作业1.完成课堂内未完成的练习题。
2.拓展性思考：自行搜索相关问题并尝试用所学方法解决。
五、教学评价和反思本节课主要通过案例分析和讨论的形式，引导学生灵活应用数学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注重引导学生提出问题、分析问题，培养他们自主解决问题的能力。
同时，对学生的思维能力和合作能力进行适当的评价，为下节课的教学提供参考。
人教版二年级下册数学《8 第2课时 解决问题 》教案
人教版二年级下册数学《8 第2课时解决问题》教案
一、教学目标
1.能够理解并掌握本节课的重点知识点。
2.能够独立解决相关的数学问题。
3.培养学生的逻辑思维和数学解决问题的能力。
二、教学重点
1.掌握问题的解题思路。
2.培养学生的解决问题的能力。
三、教学难点
学生在实际问题中运用数学知识解决问题的能力。
四、教学准备
1.教材：人教版二年级下册数学。
2.教具：绘本、数字卡片、实物物品等。
五、教学过程
1. 导入
老师通过展示一个有趣的问题或实际情景，引发学生的思考，引出本节课的主题。
2. 学习主体
1.讲解问题和解题思路。
2.通过绘本或实物展示，让学生理解问题。
3.引导学生探索解题方法，解决问题。
3. 拓展
1.鼓励学生编写自己的问题，并交流解决方法。
2.在生活中找寻更多的实际问题，让学生运用所学知识解决。
4. 总结
老师引导学生总结本节课学到的知识点和解题方法，强化学生的记忆。
六、作业
1.完成课堂练习题。
2.提出一个实际问题，写出解题方法。
七、教学反思
本节课着重培养学生解决问题的能力，通过实际问题的引导和训练，让学生掌握数学知识，提高逻辑思维能力。
参考资料：人教版二年级下册数学教材。
人教版数学二年级下册第4课时《用两步计算解决简单的实际问题》教案
人教版数学二年级下册第4课时《用两步计算解决简单的实
际问题》教案
教学目标
1.理解并掌握两步计算法
2.能够利用两步计算法解决简单的实际问题
3.提升学生解决问题的思维能力和动手能力
教学重点
1.理解两步计算法的基本原理
2.应用两步计算法解决实际问题
教学难点
1.在解决实际问题时正确运用两步计算法
2.理解两步计算法的灵活性和实用性
教学准备
1.教材《数学二年级下册》
2.教学课件
3.黑板、粉笔、书写工具
教学过程
第一步：导入
1.引导学生回顾上节课所学内容
2.引出两步计算法的概念，激发学生思考实际问题的解决方法
第二步：讲解
1.讲解两步计算法的基本原理和步骤
2.举例说明两步计算法在实际问题中的应用
第三步：实践
1.让学生分组进行练习，解决一些简单的实际问题
2.老师巡视指导，帮助学生理解和掌握两步计算法的使用
第四步：总结
1.总结本节课的重点内容和要点
2.强调两步计算法的实用性和重要性
课堂作业
1.完成课堂所布置的练习题目
2.自行编写一个实际问题，并使用两步计算法解决
通过本节课的教学，学生将能够理解并掌握两步计算法这一重要的解决问题的策略，并能够灵活地应用到实际生活中解决简单的实际问题。
同时，本节课也将培养学生的思维能力和动手能力，提升他们的数学解决问题的能力。
二年级下册数学复习教案《表内除法(二)》人教新课标
《表内除法（二）》复习教案一、复习内容《义务教育教科书数学》（人教版）二年级下册第四单元的整理和复习及第46页练习十。
本课时内容是在学生能够比较熟练地掌握用2—6的乘法口诀求商的基础上学习的，它既是前面已经学过的用乘法口诀求商知识的拓展和延伸，也是后面学习混合运算、有余数除法、多位数乘除法的基础。
在知识内容和学习方法上起着承上启下的作用。
学习时，以“六一儿童节”为主线，由布置教室到购物的情境，唤醒学生已有的知识经验，通过不同情境，利用学生的知识迁移、比较、推理，让学生自主探究7、8、9的乘法口诀求商；解决问题时，继续让学生经历解决问题的全过程，初步渗透单价、数量和总价的数量关系，使学生感受除法在现实生活中的模型，深化学生对除法含义的理解，提高学生发现问题、解决问题的能力。
二、复习目标1．通过整理算式卡片，经历7、8、9的乘法口诀求商的过程，理解算理，掌握用乘法口诀求商的一般方法。
2．通过口算比赛，进一步熟练运用乘法口诀求商的方法，体验成功的乐趣。
3．通过购物情境，运用知识迁移，会用除法的含义解决实际问题。
三、复习重难点重点：熟练地用7、8、9的乘法口诀求商。
难点：能综合运用乘、除法的相关知识解决稍复杂的实际问题。
四、配套资源实施资源：算式卡片五、复习设计（一）课前设计复习任务：1．第四单元的学习已经结束了，你都学会了什么？请用自己喜欢的方式（思维导图、表格等）把这个单元所学进行整理，并回答下面的问题。
（1）这个单元你学习了哪些数学知识？（2）你认为最重要的是什么？最难的是什么？（3）你需要提醒大家注意哪些地方？（4）你能把你想到的最感兴趣的内容讲给大家听吗？2.购物。
9元 3元 6元（1）买2个转笔刀需要多少钱？（2）如果把这些钱用来买毽子，可以买几个毽子？（二）课堂设计1．导入师：同学们，第四单元表内除法（二）我们已经学习完了，这节课我们一起来进行整理和复习课。
师板书课题：表内除法（二）整理和复习请同学们回忆一下我们在这一单元学习了哪些数学知识？2．整理交流①交流课前同学们已经将本单元的知识进行了初步的思考和整理，下面请同学们四人一组交流课前预习任务一，交流并完善自己的整理，然后推选一位同学的作品进行展示。
【人教版】二年级数学下册单元四_第2课时《解决问题》课时测评(含答案)
第2课时解决问题1、动物快餐店。
□○□＝□( )口答：48元能买□盒。
2、如下图，游乐园中的小火车每次最多可以同时载18个小朋友，平均每节小火车最多可以同时载几个小朋友？3、这瓶药能吃多少天？4、一束花中有18枝玫瑰，6枝百合。
玫瑰的枝数是百合的几倍？5、超市里有两种牛奶(如下图)，哪种牛奶便宜？便宜多少钱？6、在正确的提问下面画“√”，并解答出来。
每个蛋托最多放6个鸡蛋，妈妈买了42个鸡蛋，_______________________?( ) ( )7、民间有绘涂九九消寒图的习俗。
如左下图，人们画一枝梅花，在枝头上画9朵梅花，每朵梅花上有9片花瓣，一朵梅花就代表一个九，一片花瓣就代表一天，每过一天，就把一片花瓣涂上颜色。
看右上图，你知道从冬至算起，一共过了多少天吗？如果这些天中平均6天下一场雪，那么一共下了多少场雪？8、算年龄。
(1)今年妈妈的年龄是可可的几倍？(2)去年妈妈的年龄是可可的几倍？9、一道除法题的除数是9，龙龙在计算时把被除数十位上的数和个位上的数弄颠倒了，得到的商是7，这道题正确的商应该是多少？10、欣欣商店搞促销，啤酒每瓶3元，买4瓶赠1瓶。
爸爸给了小红24元，一共可以买多少瓶啤酒？1、8 除48÷8＝6(盒) 62、18÷9＝2(个)3、48÷6＝8(天)4、18÷6＝35、18÷3＝6(元) 25÷5＝5(元) 6＞5 6－5＝1(元)袋装牛奶便宜，便宜1元。
6、浩然(√)42÷6＝7(个)7、4×9＝36(天) 36÷6＝6(场)8、(1)30＋6＝36(岁) 36÷6＝6(2)36－1＝35(岁) 6－1＝5(岁) 35÷5＝79、思路分析：由题意可知，龙龙计算时除数是9，商是7，可以求出龙龙计算时的被除数是9×7＝63。
由于他把被除数十位上的数和个位上的数弄颠倒了，因此正确的被除数应该是36。
人教版数学二年级下册第四单元第二节(第七课时)《解决问题练习(2)》教案
人教版数学二年级下册第四单元第二节（第七课时）《解决
问题练习（2）》教案
一、教学目标
1.掌握解决问题的基本方法。
2.培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生分析问题、提出解决问题的策略的能力。
二、教学重点
1.运用所学数学知识解决实际问题。
2.提出解决问题的有效策略。
三、教学难点
1.根据具体问题选择合适的解决方法。
2.灵活运用数学知识解决问题。
四、教学过程
1. 导入
老师可通过提出一个实际问题引入本节课的教学内容，激发学生思考解决问题
的兴趣。
2. 活动一：分析问题
1.老师给学生提供若干实际问题，让学生分析问题的关键点是什么，确
定解决问题的方法。
2.学生在小组内讨论分析问题，提出解决问题的可能策略。
3. 活动二：解决问题
1.学生按照自己的理解和策略解决老师提出的实际问题。
2.学生之间可以相互交流分享解决问题的过程和方法。
4. 活动三：总结
1.老师对学生的解决方法进行总结，引导学生总结出解决问题的有效策
略。
2.学生总结本节课的学习收获，可以结合个人经验谈谈解决问题的感悟。
五、教学反思
通过本节课的教学，学生应该能够更好地理解解决问题的方法与策略，同时也能够培养自己对于解决问题的灵活性和创造性思维。
在未来的学习中，学生应该能够更好地应用所学知识解决不同种类的实际问题，同时也能够面对问题时，快速提出有效的解决策略。
以上是本节课教案的内容，希望学生在学习中能够有所收获，进一步提升数学解决问题的能力。
人教版数学二年级下册第四单元第二节(第六课时)《解决问题练习》教案
人教版数学二年级下册第四单元第二节（第六课时）《解决问题练习》教案一、教学目标1.能够理解并掌握解决问题的基本思路和方法。
2.能够运用所学知识，灵活解决生活中的实际问题。
3.能够培养学生的逻辑思维能力和动手能力。
二、教学重点1.培养学生的问题解决能力。
2.综合运用所学知识，解决实际问题。
三、教学难点1.培养学生的综合运用能力。
2.培养学生的创造性思维。
四、教学准备1.教师备课笔记和课件。
2.学生课本、练习册等教材。
3.黑板、彩色粉笔等教学用具。
五、教学过程第一步：导入1.通过举例引入本节课的教学内容，让学生了解解决问题的重要性。
2.复习前几节课的知识点，为本节课的学习打下基础。
第二步：讲解1.解释解决问题的基本步骤和方法。
2.举例说明具体解决问题的过程，引导学生思考。
第三步：练习1.分发练习册，让学生独立或小组合作完成练习题，锻炼问题解决能力。
2.针对学生的不同水平，提供不同难度的练习题，巩固所学知识。
第四步：总结1.引导学生回顾本节课的学习内容，总结解决问题的方法和技巧。
2.对学生表现进行肯定和指导，激励学生继续努力提高。
六、作业布置1.布置相关练习题，巩固学生所学知识。
2.提醒学生及时复习，做好相应准备。
七、教学反思1.回顾本节课的教学过程，总结教学效果。
2.分析学生掌握情况，指导下节课的教学重点。
以上就是本节课的教案内容，希望同学们通过学习，能够掌握解决问题的方法，提升数学能力。
新人教版二年级下册数学第二单元《表内除法(一)》教材分析及教案
二下表内除法（一）教材分析及教案单元教学内容：表内除法（一）课本P7～27页。
单元教才分析：本单元教学内容主要有：除法的初步认识、用2～6的乘法口诀求商，解决实际问题。
除法的初步认识分两个层次：第一，以生活中常见的“每份同样多”的实例合活动情境，让学生建立“平均分”概念。
第二，在“平均分”概念的基础上引出除法运算，说明除法算式各部分的名称。
用口诀求商遵循由易到难的原则。
解决问题是结合除法计算出现的。
首先在除法的初步认识教学中孕伏解决问题的内容。
然后在用2～6的乘法口诀求商之后编入了解决有关平均分的实际问题和需要用乘法和除法两步计算解决简单实际问题的内容。
单元教学要求：1、让学生在具体情境中体会除法运算的含义。
会读、写除法算式，知道除法算式的各部分的名称。
2、使学生初步认识乘、除法之间的关系。
能够比较熟练地用2～6的乘法口诀求商。
3、使学生初步学会根据除法的意义解决一些简单的实际问题。
4、结合教学使学生受到爱学习、爱劳动、爱护大自然的教育。
培养学生认真观察、独立思考等良好的学习习惯。
单元教学重点：让学生体会除法运算的意义，在理解的基础上掌握用2～6的乘法口诀求商的方法及解决问题。
单元教学难点：除法的含义，用除法运算解决简单的实际问题。
单元课时安排：1、除法的初步认识平均分………………………………………………2课时左右除法…………………………………………………3课时左右2、用2～6的乘法口诀求商……………………………7课时左右整理和复习………………………………………1课时左右第一课时平均分教学内容：授课日期：年月日星期课本P7～12页，例1、例2、及练习二中相应的习题。
教学目标：1、在具体情境与实践活动中，建立“平均分”的概念。
2、让学生充分经历“平均分”的过程，明确“平均分”的含义。
初步形成“平均分”的表象。
3、引导学生感受“平均分”与实际生活的联系，培养学生的探究意识和解决问题的能力。
教学重点：理解掌握平均分的含义，方法。
人教版数学二年级下册第二单元第二节(第三课时)《解决问题》教案
人教版数学二年级下册第二单元第二节（第三课时）《解决问题》教案一、教学目标1.知识与能力–能够用图形和文字描述解决问题的过程。
–能够应用简单的加减法解决实际问题。
2.过程与方法–培养学生观察、归纳、解决问题的能力。
–激发学生对解决问题的兴趣和乐趣。
3.情感态度价值观–培养学生对数学的兴趣和自信心。
二、教学重点和难点•重点：理解并运用解决问题的方法。
•难点：能够独立解决问题并用文字描述过程。
三、教学准备1.教学课件2.学生课桌椅摆设3.适量的图形卡片和数字卡片4.练习册和笔四、教学过程1. 复习导入•请学生回顾上一节课的内容，复习加减法运算的方法。
2. 新知讲解1.引导学生认识“解决问题”的概念，通过实例讲解解决问题的基本方法。
2.讲解问题解决的步骤：先观察，再思考，最后解决。
3. 解决问题的练习1.给学生一些简单的问题，例如：小明有3个苹果，他又买了2个，一共有多少个苹果？让学生尝试用文字描述解决问题的过程。
2.鼓励学生用图形和符号表示解题过程，培养学生的逻辑思维能力。
4. 拓展练习1.让学生自己设计一个解决问题的场景，并邀请同学们互相交流解决问题的过程。
2.引导学生发现问题解决中可能出现的困难并找出解决方法。
5. 总结课程•回顾今天学习的内容，强调解决问题的方法和步骤，鼓励学生勇于尝试解决问题。
五、课堂作业•布置课后练习，让学生用文字描述解决一个实际问题的过程，并写在练习册上。
六、教学反思•教师对今天的教学过程进行总结，思考学生的反应和表现，以指导下一堂课的备课工作。
以上就是本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和运用解决问题的方法。
二年级下册数学教案《第四单元 2 解决问题 第2课时 解决问题》(练习课) 人教版
二年级下册数学教案第四单元 2解决问题第2课时解决问题（练习课）一、教学目标1.知识与能力：–能够运用所学知识解决实际生活中的简单问题。
–能够理解并解决与日常生活相关的加法、减法问题。
2.过程与方法：–通过课堂练习，巩固学生对加法、减法概念的理解。
–引导学生主动参与教学活动，培养学生的合作精神和动手能力。
3.情感、态度与价值观：–培养学生观察问题的能力，培养学生解决问题的耐心和勇气。
二、教学重点1.理解并解决日常生活中的加法问题。
2.理解并解决日常生活中的减法问题。
三、教学难点1.运用加法和减法解决实际问题的能力提升。
2.学生掌握解决问题的基本方法。
四、教学准备1.教师准备：–教学课件，包括示例题目和解题方法。
–各种小学生可视化教具，如卡片、计数棒等。
2.学生准备：–学生无需额外准备。
五、教学过程第一步：导入新知识1.教师通过举例介绍本节课的主要内容，引导学生了解本节课的学习目标和意义。
2.老师可以通过提问或展示图片等方式，引起学生的兴趣，引导学生主动参与学习。
第二步：讲解与示范1.教师讲解本节课的解题方法，并通过示例题目进行详细说明。
2.教师可以引导学生一起解题，让学生亲自操作，加深理解。
第三步：练习与讨论1.教师设置一些练习题目，让学生尝试解答，然后和学生一起讨论解题方法和答案。
2.老师可以指导学生讨论解题过程中的疑惑，帮助学生提高解题能力。
第四步：总结与拓展1.教师对本节课的内容进行总结，并强调解题的关键点。
2.教师可以设置一些拓展题目，让学生提高解决问题的能力。
六、作业布置1.布置适量的作业，让学生巩固本节课所学知识。
2.鼓励学生在家中多多练习，提高解决问题的能力。
七、教学反思1.教师在教学过程中要及时引导学生，让学生主动思考和解决问题。
2.教师要关注学生的学习情况，及时调整教学方法，确保教学效果。
以上是本节课的教学大纲，希望通过对每个环节的详细安排可以提高学生的学习效果和学习兴趣。
希望学生能够在本节课中充分发挥自己的潜力，解决问题，提高解决实际问题的能力。
人教版小学数学二年级下册第二单元表内除法(一)全部备课教学设计
二年级下册《表内除法（一）》单元，是小学二年级课程学习的重要内容。
对于除法，初学者还是有一定的难度，所以教师一定要让学生了解除法的相关概念，为计算能力打下坚实的基础。
在教学时，要立足于除法概念本质的建立，进行多次的对比与辨析，突出对除法概念本质的认识。
运用多种表征方式之间的相互转换，帮助学生深入理解除法的概念。
经过科学分析，建议用10课时进行教学，安排如下：第1课时：平均分（一）第2课时：平均分（二）第3课时：除法的含义及读写法第4课时：除法算式各部分的名称第5课时：除法的初步认识整理和复习第6课时：用2-6的乘法口诀求商（一）第7课时：用2-6的乘法口诀求商（二）第8课时：用除法解决简单的实际问题第9课时：用除法解决简单的实际问题练习课第10课时：第二单元整理和复习课时教学设计课时本单元第1课时课题除法的初步认识；例1、例2【环节一：情境导入】1.情境导入，建立“平均分”概念。
师：二（1）班明天要去参观科技园。
我们来把这些东西分一分吧！分给小组里的每一位同学，要求把糖果分完，请小朋友们用手中的卡片请动手把糖果一分。
（每一组的糖果的数量不相同）（1）各小组动手操作：边分边记录（2）各小组汇报情况。
生1：我第一份和第二份各分1个，第三份分4个。
生2：我第一份分1个，第二份分2个，第三份分3个。
生3：我们是这样分的，三份各分到2个。
教师板书。
2.对比分的结果，认识“平均分”（1）师：请小朋友观察各小组分的结果，你发现了什么？学生观察并汇报自己的发现。
学生自由说，引发对平均分的关注。
想一想，哪种分法才公平呢？为什么这种分法才是公平的呢？生：我喜欢第三种分法，每份的个数同样多，这样更公平（2）从观察中我们发现有些组分的同样多，你们能给这样的分法取个合适的名称吗？学生给这样公平的分法取不同的名字。
3.揭示课题（1）小朋友们取的名称都很好，在数学上，我们把每份分得同样多，叫做平均分。
（板书课题）（2）小朋友再说说刚才哪些组是平均分，哪些组不是平均分。
人教版数学二年级下册第二单元第二节(第四课时)《解决问题练习》教案
人教版数学二年级下册第二单元第二节（第四课时）《解决问题练习》教案一、教学目标1.知识目标–能够理解并掌握课文中所涉及的解决问题的方法和技巧。
–能够运用所学的数学知识解决生活中的问题。
2.能力目标–能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
–能够培养学生的合作意识和团队合作能力。
3.情感目标–培养学生对数学的兴趣和热爱。
–培养学生解决问题时的耐心和毅力。
二、教学重点和难点•教学重点：让学生掌握解决问题的方法，提高解决问题的能力。
•教学难点：引导学生正确运用数学知识解决实际问题。
三、教学过程1. 导入教师可以通过一个简单的问题引入本节课的内容，让学生思考如何用所学的知识解决问题。
2. 学习1.讲解本节课的主要内容，包括解决问题的方法和技巧。
2.讲解示范一个或多个解决问题的例子，让学生理解解决问题的过程。
3. 练习1.让学生进行个人练习，尝试解决一些简单的问题。
2.分组合作，让学生解决一些较为复杂的问题，培养他们的团队合作能力。
4. 总结对本节课的内容进行总结，强调解决问题的方法和技巧，鼓励学生在生活中多运用所学的知识。
四、课后作业布置一些练习题，让学生巩固所学的知识，也可以要求学生在日常生活中发现并解决一些问题，并写下解决过程。
五、板书设计•解决问题练习1.方法：找规律、列式计算、逻辑推理2.技巧：理清思路、多角度思考六、教学反思本节课的教学目标是否达到？学生是否理解掌握了解决问题的方法和技巧？下节课如何继续引导学生提高解决问题的能力？以上是本节课的教案设计，希本对教学有所帮助。
人教版数学二年级下册第2课时《解决实际问题》导学案
人教版数学二年级下册第2课时《解决实际问题》导学案
一、学习目标
•了解实际问题
•能够结合实际问题进行简单数学计算
•提高解决问题的能力
二、基础知识回顾
在前几节课中，我们学习了加法和减法，以及一些简单的数学问题，今天我们
将继续拓展这些知识，解决更加实际的问题。
三、新知提醒
•实际问题常常需要我们结合数学来解决，因此我们需要灵活运用所学的数学知识。
•解决实际问题的过程中，需要耐心和逻辑思维。
四、学习内容
1.掌握实际问题中抽象数学计算的方法；
2.了解如何将实际问题转化为数学问题；
3.运用加法和减法解决实际问题。
五、案例分析
假设小明有3支铅笔，小红给了他4支铅笔，那么小明现在一共有多少支铅笔？
六、讨论与总结
1.你觉得解决实际问题和解决抽象数学问题有什么区别？
2.在生活中，你遇到过哪些需要数学计算来解决的问题？
七、实践练习
1.今天晚上你一共睡了6个小时，明早要早起2小时去上学，你几点
需要入睡？
2.如果昨天小明有10元钱，今天他又花了3元，还剩多少钱？
八、拓展延伸
1.请设计一个实际生活中常见的数学问题，然后求解。
2.与同学一起组成小组，互相出题，共同解答。
通过学习今天的导学案，相信大家对如何解决实际问题有了更深的理解和提高。
在以后的学习和生活中，我们一定能够灵活应用所学的知识，更好地解决各种实际问题。
二年级数学下册混合运算解决问题
二（1）班下半场得分
二（2）班下半场得分也是18分。
42-24=18（分）
38-18=20（分）
口答：上半场二（2）班得了20分。
1 一场篮球赛分为上半场和下半场，上半场二（2）班得了多少分？
38-（42-24） =38-18 =20（分） 口答：上半场二（2）班得了20分。
2
（25+15）÷8 =40÷8 =5（只） 口答：平均每个笼子里放5只。
完整课件
直接使用
1.学生在解决实际问题的过程中，会用色条图分析数量关系，丰富解决 问题的策略。 2.学生掌握需要两步解决问题的解题思路，知道先求什么，再求什么。 3.学会合理运用小括号改变运算顺序。
【重点】利用线段图分析数量关系，掌握需要两步解决的问题的步骤 和方法。 【难点】会找出隐藏的中间问题，并合理利用小括号列综合算式解决 问题。
8×4-5 =32-5 =27（张）
口答：还剩下27张。
解决一个问题需要两个和它有关的信息，如果其中的一个 信息直接给了，另一个信息没有直接告诉我们，需要先求 出它来，再解决最后的问题。 如果一个问题需要多个步骤才能解决，要想好先解答什么， 再解答什么。
1 计算。
35+14÷7 =35+2 =37
直接使用
1.让学生在解决实际问题的过程中，学会用色条图分析数量关系，感受其使问题简明、 直观、便于分析的作用，渗透数形结合思想，丰富解决问题的策略。 2.使学生在解决问题的过程中，初步掌握需要两步解决问题的解题思路，知道先求什 么，再求什么。 3.学会合理运用小括号改变运算顺序。 【重点】利用线段图分析数量关系，掌握解决需要两步解决的问题的步骤和方法。
96-40÷8（ ）> （96-40）÷8 7×9-9（ ）= 6×9
人教版数学二年级下册第四单元第二节(第五课时)《解决问题》教案
人教版数学二年级下册第四单元第二节（第五课时）《解决
问题》教案
一、教学内容
本节课主要教授如何解决一些涉及数学问题的实际情况。
二、教学目标
1.了解解决问题的基本步骤。
2.能够独立解决简单的数学问题。
3.熟练应用所学知识解决实际生活中的问题。
三、教学重难点
1.学生能够应用所学知识解决实际问题。
2.学生能够培养解决问题的思维能力。
四、教学准备
1.教材：人教版数学二年级下册。
2.课件：包含解决问题的示例及练习。
3.黑板、彩色粉笔。
五、教学过程
1.开场导入：通过引入一个生活中的问题，激发学生的兴趣，引导他们
思考问题解决的方法。
2.讲解解决问题的基本步骤：分析问题、制订计划、执行计划、检验结
果。
3.示范解决一个简单数学问题，并让学生跟随操作。
4.分组练习：将学生分成小组，各自选择一个实际问题，并用解决问题
的方法进行讨论和解答。
5.总结归纳：引导学生总结解决问题的方法和技巧，强化所学内容。
六、课堂小结
通过本节课的学习，我们了解到解决问题的基本步骤，培养了解决问题的能力，希望同学们可以在日常生活中多加练习，提升自己的解决问题的能力。
七、作业布置
布置作业：设计一个数学问题，并用所学方法解决，并写下解决问题的过程。
以上是本节课的教学内容，希望同学们认真学习，加深对解决问题方法的理解，提高数学解决问题的能力。
学新教材高中数学排列组合与二项式定理排列与组合排列数的应用教案新人教B版选择性必修第二册
第２课时排列数的应用学习目标核心素养１．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．（重点）２．能应用排列知识解决简单的实际问题．（难点）１．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养．２．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养.无限制条件的排列问题（２）有５种不同的书，要买３本送给３名同学，每人各１本，共有多少种不同的送法？[思路点拨] （１）从５本不同的书中选出３本分别送给３名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；（２）给每人的书均可以从５种不同的书中任选１本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解] （１）从５本不同的书中选出３本分别送给３名同学，对应于从５个不同元素中任取３个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A错误!＝５×４×３＝60，所以共有60种不同的送法．（２）由于有５种不同的书，送给每个同学的每本书都有５种不同的选购方法，因此送给３名同学，每人各１本书的不同方法种数是５×５×５＝１２５，所以共有１２５种不同的送法．１．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．２．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．错误!１．（１）将３张电影票分给１0人中的３人，每人１张，则共有________种不同的分法．（２）从班委会５名成员中选出３名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．（１）7２0 （２）60 [（１）问题相当于从１0张电影票中选出３张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A错误!＝１0×9×8＝7２0．（２）从班委会５名成员中选出３名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A错误!＝５×４×３＝60种选法．]排队问题【例２】３名男生、４名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．（１）全体站成一排，男、女各站在一起；（２）全体站成一排，男生必须站在一起；（３）全体站成一排，男生不能站在一起；（４）全体站成一排，男、女各不相邻．!种排法；[解] （１）男生必须站在一起是男生的全排列，有A错误!种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A错误!种排法．全体男生、女生各视为一个元素，有A错误!·A错误!·A错误!＝２88种排队方法．由分步乘法计数原理知，共有A错误!种方法，把所有男生视为一个元素，与４名女生组成５个（２）三个男生全排列有A错误!种排法．故有A错误!·A错误!＝7２0种排队方法．元素全排列，有A错误!种排法；男生在４个女生隔成的五个空中安排，共有A （３）先安排女生，共有A错误错误!种排法，故共有A错误!·A错误!＝１４４0种排法．（４）排好男生后让女生插空，共有A错误!·A错误!＝１４４种排法．“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．错误!２．５人站成一排，甲、乙两人之间恰有１人的不同站法的种数为（）Ａ．１8 Ｂ．２４Ｃ．３6 Ｄ．４8C[５人站成一排，甲、乙两人之间恰有１人的不同站法有３A错误!×A错误!＝３6（种）．]角度二元素“在”与“不在”问题【例３】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（１）甲不站两端；（２）甲、乙站在两端；（３）甲不站左端，乙不站右端．[解] （１）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间４个位置上任选１个，有A错误!种站法，然后其余５人在另外５个位置上作全排列有A错误!种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A错误!·A 错误!＝４80种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余５个人中选２个人站，有A错误!种站法，然后其余４人有A错误!种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A错误!·A错误!＝４80种．法三：若对甲没有限制条件共有A错误!种站法，甲在两端共有２A错误!种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A错误!—２A错误!＝４80种．（２）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A错误!种，再让其他４人在中间位置作全排列，有A错误!种，根据分步乘法计数原理，共有A错误!·A错误!＝４8种站法．（３）法一：甲在左端的站法有A错误!种，乙在右端的站法有A错误!种，且甲在左端而乙在右端的站法有A错误!种，共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝５0４种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A错误!种，b.甲在中间４个位置之一，而乙不在右端有A错误!·A错误!·A错误!种，故共有A错误!＋A错误!·A错误!·A错误!＝５0４种站法．“在”与“不在”问题的解决方法错误!３．４名运动员参加４×１00接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）Ａ．１２种Ｂ．１４种Ｃ．１6种Ｄ．２４种B[用排除法，若不考虑限制条件，４名队员全排列共有A错误!＝２４种排法，减去甲跑第一棒有A错误!＝6种排法，乙跑第四棒有A错误!＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A错误!＝２种排法，共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝１４种不同的出场顺序．]角度三定序问题【例４】将A，B，C，D，E这５个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）．则有多少种不同的排列方法？[解] ５个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．法一：（整体法）５个元素无约束条件的全排列有A错误!种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有错误!×２＝４0（种）．法二：（插空法）若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的４个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有A错误!·A错误!种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有A错误!种排法．所以有A错误!·A错误!＋A错误!＝２0（种）不同的排列方法．同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有２0种不同的排列方法．因此，满足条件的排列有２0＋２0＝４0（种）．在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的（不一定相邻），解决这类问题的基本方法有两种：１．整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A错误!种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A错误!种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有错误!种满足条件的不同排法．２．插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．错误!４．用１,２,３,４,５,6,7组成没有重复数字的七位数，若１,３,５,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．２１0 [若１,３,５,7的顺序不定，有A错误!＝２４（种）排法，故１,３,５,7的顺序一定的排法数只占总排法数的错误!.故有错误!A错误!＝２１0（个）七位数符合条件．]数字排列问题１．偶数的个位数字有何特征？从１,２,３,４,５中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示] 偶数的个位数字一定能被２整除．先从２,４中任取一个数字排在个位，共２种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共４种排法，故从１,２,３,４,５中任取两个数字，能组成２×４＝8（个）不同的偶数．２．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0？[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位（或十位）位置；从“位置”角度出发可先从１～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．【例５】（教材P１２例6改编）用0,１,２,３,４,５这六个数字可以组成多少个无重复数字的（１）六位奇数？（２）个位数字不是５的六位数？[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解] （１）法一：从特殊位置入手（直接法）分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位，有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝２88（个）六位奇数．法二：从特殊元素入手（直接法）0不在两端有A错误!种排法，从１,３,５中任选一个排在个位有A错误!种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A错误!种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝２88（个）六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A错误!个，0,２,４在个位上的六位数为３A错误!个，１,３,５在个位上，0在十万位上的六位数有３A错误!个，故满足条件的六位奇数共有A错误!—３A错误!—３A错误!＝２88（个）．（２）法一：排除法0在十万位的六位数或５在个位的六位数都有A错误!个，0在十万位且５在个位的六位数有A错误!个．故符合题意的六位数共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝５0４（个）．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A错误!个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝５0４（个）．（变结论）用0,１,２,３,４,５这六个数取不同的数字组数．（１）能组成多少个无重复数字且为５的倍数的五位数？（２）能组成多少个无重复数字且比１３２５大的四位数？（３）若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则２４0 １３５是第几项？[解] （１）符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A错误!个；第二类，个位上的数字是５的五位数，有A错误!·A错误!个．故满足条件的五位数的个数共有A错误!＋A错误!·A错误!＝２１6（个）．（２）符合要求的比１３２５大的四位数可分为三类：第一类，形如２□□□，３□□□，４□□□，５□□□，共A错误!·A错误!个；第二类，形如１４□□，１５□□，共有A错误!·A错误!个；第三类，形如１３４□，１３５□，共有A错误!·A错误!个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比１３２５大的四位数共有：A错误!·A错误!＋A错误!·A 错误!＋A错误!·A错误!＝２70（个）．（３）由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为１有A错误!个数，首位数字为２，万位上为0,１,３中的一个有３A错误!个数，∴２４0 １３５的项数是A错误!＋３A错误!＋１＝１9３，即２４0 １３５是数列的第１9３项．解数字排列问题常见的解题方法１．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．２．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．３．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．４．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．１．解排列应用题的基本思想错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!２．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法１．6名学生排成两排，每排３人，则不同的排法种数为（）Ａ．３6 Ｂ．１２0Ｃ．7２0 Ｄ．２４0C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A错误!＝7２0．]２．某段铁路所有车站共发行１３２种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是（）Ａ．8 Ｂ．１２Ｃ．１6 Ｄ．２４B[设车站数为n，则A错误!＝１３２，n（n—１）＝１３２，∴n＝１２．]３．用１,２,３,４,５,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．１４４[先排奇数位有A错误!种，再排偶数位有A错误!种，故共有A错误!A错误!＝１４４个．]４．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．２４[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于４人的全排列，共A错误!＝２４种．]５．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中２个唱歌、３个舞蹈、３个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？（１）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；（２）２个唱歌节目互不相邻；（３）２个唱歌节目相邻且３个舞蹈节目不相邻．!种排法，再排其他节目有A错误!种排法，所以[解] （１）先排唱歌节目有A错误!·A错误!＝１４４0（种）排法．共有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端）（２）先排３个舞蹈节目和３个曲艺节目有A错误!种插入方法，所以共有A错误!·A错误!＝３0 ２中选２个排唱歌节目，有A错误４0（种）排法．!种排法，再将（３）把２个相邻的唱歌节目看作一个元素，与３个曲艺节目排列共A错误!种插入方法，最后将２个唱歌节目互换位置，有A错误!３个舞蹈节目插入，共有A错误!·A错误!·A错误!＝２880（种）排法．种排法，故所求排法共有A错误。
二年级数学下册第八单元克与千克一课一练《第2课时解决问题》有答案【人教版】
人教版二年级数学下册第八单元克与千克
第2课时解决问题(教材P104，例3)同步练习
一、连一连
二、算一算
三、解决问题
1、王阿姨在菜市场买了24个西红柿，请你估计一下大约重多少千克？
(1)．如果6个西红柿重1千克，这些西红柿重( )千克。
(2)．如果8个西红柿重2千克，这些西红柿重( )千克。
2、爷爷从菜地里摘了10个南瓜，如果2个南瓜重1千克，这些南瓜大约重多少千克？如果每千克南瓜3元，爷爷可以卖多少钱？
3、妈妈在超市里买了500克香蕉，付了2元；爸爸在水果店里买了1千克香蕉，付了6元。
谁买的香蕉便宜？为什么？
4、这是惠民超市部分蔬菜价格表。
品
种
白菜萝卜辣椒茄子
价
格
1元/500
克
2元/500
克
5元/500
克
4元/500
克
（1）.张叔叔买2千克萝卜要多少钱？
（2）．李奶奶买了1千克白菜、2千克辣椒和1千克茄子，一共要花多少钱？
参考答案
一、略
二、略
三、
1、（1）.424÷6＝4（2）.68÷2＝424÷4＝6
2、10÷2＝5(千克)3×5＝15(元)
3、1千克＝2个500克6÷2＝3(元)3>2妈妈买的香蕉便宜。
4、（1）.500＋500＋500＋500＝2000(克)＝2(千克)
2×4＝8(元)
（2）．1×2＝2(元)5×4＝20(元)4×2＝8(元)
一共要花：2＋20＋8＝30(元)。
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实 用 文 档 3 二年级数学学科（下）导学指导案
（第八单元 克与千克）
课题：解决实际问题 课型 ： 新授探究课 课时：第
2课时 使用说明及学法指导：1、结合问题自学课本第104页例3以及练习二十；。
用红笔勾画出疑惑点；独立思考完成自主学习和合作探究任务，并总结规律方法。
2、针对自主学习中找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。
3、带*号的帮扶生不做。
学习目标：
进一步感受并认识质量单位千克和克，确立千克和克的质量概念，牢固掌握克和千
克之间的关系。
学习重点：运用所学知识解决实际问题。
数学知识在生活中的运用。
学习难点：：掌握用秤称物体质量的方法。
教学准备：多媒体课件。
教法: “引导发现法”“讨论法”和“讲授法”相结合。
学法：自主探究发现与合作交流 。
教师复备栏或学生笔 记 栏
一、导学目标
（一）、独立尝试（预习）
自学课本第104页例3的内容。