随机过程Ch2

{
}
(X(t1), X (t2), …, X (tn))的联合分布函数 )
6
2.2 随机过程的分布律和数字特征
有限维分布函数族的性质 有限维分布函数族的性质 (1)对称性 (1)对称性
Ft1 ,L,t n ( x1 , x2 ,L, x n ) = Ft i1 ,L,t in ( x i1 , xi2 ,L, xin )
2 1 x = exp , t >0 2 2 2π (1 + t ) 2(1 + t )
15
2.2 随机过程的分布律和数字特征
随机过程{X(t), t>0}的二维概率密度 随机过程 的二维概率密度
f s ,t ( x1 , x 2 ) = 1 2π (1 + s 2 )(1 + t 2 )(1 ρ 2 )
3
2.1 随机过程的基本概念
从数学上看，随机过程{X(t, e)， t ∈T }是定 从数学上看，随机过程{ ， 义在T×上的二元函数。 ×上的二元函数 义在 ×上的二元函数。 对固定的t，X(t, e) 是(, 上的随机变量 ,P)上的随机变量； 上的随机变量；
对固定的 ，X(t, e) 是定义在 上的普通函数， 对固定的e， 是定义在T上的普通函数 上的普通函数， 称为随机过程的一个样本函数 样本轨道。 随机过程的一个样本函数或 称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
B XY ( s, t ) = E[( X ( s ) EX ( s ))(Y (t ) EY (t ))] s, t ∈ T
互相关函数 RXY ( s, t ) = E[ X ( s )Y (t )] , s, t ∈ T ☆ 显然有关系式 B XY ( s, t ) = RXY ( s, t ) m X ( s )mY (t ) , s, t ∈ T 11
~
i.i.d
DX (t ) = D(Y + Zt ) = DY + t DZ = 1+ t
2
2
BX (s, t ) = E[ X (s) X (t )] mX (s)mX (t ) = E[(Y + Zs) (Y + Zt ) ] = E[Y + ZYs + YZt + Z st ] = 1+ 0 + 0 + st = 1+ st 14
4
2.1 随机过程的基本概念
按参数 和状态空间I分类 按参数T和状态空间 分类 和状态空间 （1）T和I都是离散的 和 都是离散的 是连续的， （2）T是连续的，I是离散的 是连续的 是离散的 是离散的， （3）T是离散的，I是连续的 是离散的 是连续的 （4）T和I都是连续的 和 都是连续的 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
13
independent identical distribution
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)=Y+Zt, t>0，Y, Z N(0, 1) ， 的一、 求{X(t), t>0}的一、二维概率密度族。 的一 二维概率密度族。 为正态随机变量， 解 因Y, Z为正态随机变量，则其线性组合 为正态随机变量 X(t)也是正态随机变量，且X～N(0, 1+t2) 也是正态随机变量， 也是正态随机变量 ～ mX (t ) = E(Y + Zt ) = EY + tEZ = 0
2
+ sin(θs ) sin(θt ) Z 2 ] = cos(θs ) cos(θt ) E (Y 2 ) + sin θ ( s + t ) E (YZ ) + sin(θs ) sin(θt ) E ( Z 2 ) = cos(θs ) cos(θt ) DY + sin θ ( s + t ) EYEZ + sin(θs ) sin(θt ) DZ = cos(θs ) cos(θt )σ 2 + sin(θs ) sin(θt )σ 2 = σ 2 cos[( s t )θ ]
2.2 随机过程的分布律和数字特征
= = =
=
1 t+L ∫ t g1 (v) g2 (v + τ )dv L t+L 1 L g1 (v) g 2 (v + τ )dv + ∫ g1 (v) g 2 (v + τ )dv L L ∫ t 1 L ∫ t g1 (v) g2 (v + τ )dv L t + ∫ g1 (v + L) g 2 (v + L + τ )dv 0 1 L ∫ 0 g1 (v) g2 (v + τ )dv L
19
2.2 随机过程的分布律和数字特征
= E[ X (s) X (t ) + X (s)Y (t ) + Y (s) X (t ) + Y (s)Y (t )] = E[ X (s) X (t )] + E[ X (s)Y (s)] + E[Y (s) X (t )] + E[Y (s)Y (t )] = RX (s, t ) + RXY (s, t ) + RYX (s, t ) + RY (s, t )
5
2.2
随机过程的分布律和数字特征
随机过程{X(t)，t ∈T }的有限维分布函 随机过程{ 的有限维分布函 ， 数族
F = Ft1 ,L,t n ( x1 , x 2 , L, x n ), t1 , t 2 , L , t n ∈ T , n ≥ 1 其中Ft1 ,L,t n ( x1 , x2 , L, xn ) 是n维随机变量 维随机变量
方差函数
DX (t ) = E[( X (t ) EX (t )) ] , t ∈ T
29ຫໍສະໝຸດ 2.2 随机过程的分布律和数字特征
相关函数 RX ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] , s, t ∈ T 相关系数函数
ρ X ( s, t ) =
B X ( s, t ) , s, t ∈ T D X ( s) D X (t )
20
2.3
复随机过程
设{Xt，t ∈T }，{Yt，t ∈T }是取实值的 两个随机过程， 两个随机过程，对t ∈T ，Zt = Xt + iYt 则称{ 复随机过程。 则称{Zt，t ∈T }是复随机过程。 均值函数 m Z (t ) = EZ t = EX t + iEYt = m X (t ) + imY (t ) 方差函数 DZ (t ) = E[| Z t m Z (t ) |2 ]
R XY (t , t + τ ) = E[ X (t )Y (t + τ )] = E[ g1 (t + ε ) g 2 (t + τ + ε )] =∫
∞ ∞
g1 (t + x ) g 2 (t + τ + x ) f ε ( x ) dx
17
1 L = ∫ g1 (t + x ) g 2 (t + τ + x ) dx L 0
☆显然有关系式
B X ( s, t ) = RX ( s, t ) m X ( s )m X (t ) , s, t ∈ T 10
2.2 随机过程的分布律和数字特征
设{X(t)，t ∈T }，{Y(t)，t ∈T }是两个随 ， ， 机过程，二阶矩函数存在， 机过程，二阶矩函数存在，定义 二阶矩过程 一、二阶矩函数存在 互协方差函数
{
}
8
2.2 随机过程的分布律和数字特征
是随机过程， 设{X(t)，t ∈T }是随机过程，定义 ， 均值函数 m X (t ) = EX (t ) , t ∈ T 协方差函数
B X ( s, t ) = E[( X ( s ) EX ( s ))( X (t ) EX (t ))] s, t ∈ T
2 2
2.2 随机过程的分布律和数字特征
ρ X ( s, t ) =
B X ( s, t ) 1 + st = DX ( s) DX (t ) (1 + s 2 )(1 + t 2 )
2
随机过程{X(t), t >0}的一维概率密度 随机过程 的一维概率密度
1 (x ) f t ( x) = exp{ } 2 2σ 2πσ
定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)： 对称、 对称、相容的有限维分布函数族 上的随机过程{ F(, ,P)上的随机过程{X(t)，t ∈T } 上的随机过程 ， 有限维特征函数族 有限维
Φ = gt1 ,L,tn (θ1 ,θ 2 ,L ,θ n ), t1 , t2 ,L , tn ∈ T , n ≥ 1 分布函数族F n 其中gt1 ,L,tn (θ1 ,θ 2 ,L ,θ n ) = E exp i ∑θ k X (tk ) k =1
1 2 n
其中 t i , t i ,L, t i 是 t1 , t 2 ,L, t n 的任意排列 (2)相容性 (2)相容性
Ft1 ,L,tm ( x1 , x2 ,L, xm ) = Ft1 ,L,tm ,L,tn ( x1 , x2 ,L, xm ,+∞, L,+∞)
m<n
7
2.2 随机过程的分布律和数字特征
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2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程， 为信号过程， 为噪声过程， 为信号过程 为噪声过程 W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相 ， 的 关函数。 关函数。 解
mW (t ) = EW (t ) = E[ X (t ) + Y (t )] = EX (t ) + EY (t ) = m X (t ) + mY (t ) RW ( s, t ) = E[W ( s)W (t )] = E[( X ( s) + Y ( s ))( X (t ) + Y (t ))]