专题21 解三角形(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)

专题21 解三角形（知识梳理）

一、知识点

1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ∆的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2⋅=，B R b sin 2⋅=，C R c sin 2⋅=；

②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R

c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=；

④C

c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21⋅=⋅=⋅=

∆； r c b a S ABC )(2

121++=⨯=∆高底； (其中r 为ABC ∆的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22

22⋅-+=⇒bc a c b A 2cos 2

22-+=； B ac c a b cos 22

22⋅-+=⇒ac b c a B 2cos 2

22-+=； C ab b a c cos 22

22⋅-+=⇒ab c b a C 2cos 2

22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ⋅+⋅=，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，A b B a c cos cos ⋅+⋅=

5、设a 、b 、c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ；

②若222c b a >+，则 90

③若222c b a <+，则 90>C 。

6、三角形解的个数的讨论

A ∠为锐角 A ∠为钝角或直角 b a A b <<⋅sin A b a sin ⋅=或b a ≥ A b a sin ⋅< b a > b a ≤

两解

一解 无解 一解 无解

处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。

(1)三角形中的边角关系

①三角形内角和等于 180；

②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

③三角形中大边对大角，小边对小角；

(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知条件 应用定理 一般方法 解的情况

一边和两角 正弦定理 由π=++C B A 求第三角，由正弦定理求其它两边 一解

两边和夹角 余弦定理或 正弦定理 由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由π=++C B A 求第三角

一解 三边 余弦定理

由余弦定理求两角，由π=++C B A 求第三角 一解

两边和其中 一边的对角 正弦定理或 余弦定理 ①由正弦定理求另一边的对角，由π=++C B A 求第三角，利用正弦定理求第三边 ②由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求c ，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素

两解 一解 或无解 常用方法是：①化边为角；②化角为边.

8、三角形中的三角变换

(1)角的变换

在ABC ∆中，π=++C B A ，

则C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+； 2cos 2sin C B A =+，2

sin 2cos C B A =+； (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

面积公式：))()((sin 2

121c p b p a p p p r C ab ah S a ---=⋅=⋅==， 其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半；

(3)在ABC ∆中，熟记并会证明：

①A ∠、B ∠、C ∠成等差数列的充分必要条件是 60=∠B ；

②ABC ∆是正三角形的充分必要条件是A ∠、B ∠、C ∠成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。

9、解答三角高考题的策略：

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。

二、例题分析

1、三角形形状和解的个数的判断

例1-1．在ABC ∆中，若18=a ，24=b ， 45=A ，则符合条件的三角形的个数为( )。

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不确定

例1-2．若c

C b B a A cos cos sin ==，则ABC ∆的形状为( )。 A 、等边三角形 B 、等腰直角三角形

C 、有一个角为 30的直角三角形

D 、顶角为 30的等腰三角形

例1-3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 成等差数列，且A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列命题中正确的有 。(把所有正确的命题序号都填上) ①3

π=B ； ②若a 、b 、c 成等比数列，则ABC ∆为等边三角形；

③若c a 2=，则ABC ∆为锐角三角形； ④若CB CA BC BA AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则C A =3； ⑤若03tan tan >++C A ，则ABC ∆为钝角三角形。

2、正弦定理的应用

例2-1．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A a B c C b sin cos cos ⋅=⋅+⋅，则ABC ∆的形状为( )。

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、不确定

例2-2．在ABC ∆中，4π=

∠ABC ，2=AB ，3=BC ，=∠BAC sin ( )。 A 、1010 B 、510 C 、10

103 D 、55 例2-3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B a b sin 2⋅=，则角A 的大小为 。