2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷(文科)(2)(解析版)
江西省重点中学2017年高考数学一模试卷(文科) 有答案
2017年江西省重点中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集U={x∈N|x＜8}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，则∁U （（A∩C）∪B）=（）A．{2，0，1，7}B．{0，6，7，8}C．{2，3，4，5}D．{3，4，5，6}2．已知复数z满足iz=|3+4i|﹣i，则z的虚部是（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5i D．﹣i3．向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（）A．B．C．D．4．设0＜α＜π，且sin（）=，则tan（）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知命题P：若平面向量，，满足（•）•=（•）•，则向量与一定共线．命题Q：若•＞0，则向量与的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（）A．P∧Q B．（￢P）∧Q C．（￢P）∧（￢Q）D．P∧（￢Q）6．下列选项中，说法正确的个数是（）（1）命题“∃x0∈R，x﹣x0≤0”的否定为“∃x∈R，x2﹣x＞0”；（2）命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题；（3）若统计数据x1，x2，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，…，2x n的方差为2；（4）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1．A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=18．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0改写成如下形式f（x）=（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…a1）x+a0．至今仍是比较先进的算法，特别是在计算机程序应用上，比英国数学家取得的成就早800多年．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为（）A．130 B．120 C．110 D．1009．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．10．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和有最大值，若＜﹣1，当其前n项和S n＞0时n的最大值是（）A．24 B．25 C．47 D．4811．已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，]C．[，]∪[，]D．（，]∪[，]12．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，对于任意t∈[1，2]函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5） B．（﹣，﹣5）C．（﹣9，+∞）D．（﹣，﹣9）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．在条件下，目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知等差数列{a n}的前n项和S n=n2﹣（t+1）n+t，则数列{a n}的通项公式a n=．15．已知定义域为R的函数f（x）满足下列性质：f（x+1）=f（﹣x﹣1），f（2﹣x）=﹣f（x）则f（3）=．16．如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是cm．三、解答题（本大题共5小题，每题12分共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛．统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，如下：位职工对法律知识的掌握更为稳定；（2）用简单随机抽样的方法从乙单位的5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的成绩之差的绝对值至少是4分的概率．19．（12分）如图，等边三角形ABC与等腰直角三角形DBC公共边BC，BC=，DB=DC，AD=．（1）求证：BC⊥AD；（2）求点B到平面ACD的距离．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，点 D 在椭圆C上，DF1⊥F1F2，|F1F2|=4|DF|，△DFF的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）圆x2+y2=b2的切线l交椭圆C于A，B两点，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1）（a∈R）．（1）若函数h（x）=的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e 2]上有公共点，求实数a的取值范围；（2）若a＞1，且a∈N*，曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线l与x轴，y轴的交点坐标为A（x0，0 ），B（0，y0），当+取得最小值时，求切线l的方程．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（II）若恒成立，求x的取值范围．2017年江西省重点中学盟校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集U={x∈N|x＜8}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，则∁U （（A∩C）∪B）=（）A．{2，0，1，7}B．{0，6，7，8}C．{2，3，4，5}D．{3，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】用列举法写出全集U，根据交集、并集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={x∈N|x＜8}={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，A∩C={2，0，1}，（A∩C）∪B={2，0，1，7}，∁U（（A∩C）∪B）={3，4，5，6}．故选：B．【点评】本题考查了集合的表示法与基本运算问题，是基础题．2．已知复数z满足iz=|3+4i|﹣i，则z的虚部是（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足iz=|3+4i|﹣i，∴﹣i•iz=﹣i（5﹣i），∴z=﹣1﹣5i，则z的虚部是﹣5．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】先求出△MCD 的面积等于时，对应的位置，然后根据几何概型的概率公式求相应的面积，即可得到结论【解答】解：设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于”时，即ME，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于的点在▱CDGH 中，由几何概型的个数得到△MCD 的面积小于的概率为；故选C ．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据面积之间的关系是解决本题的关键．4．设0＜α＜π，且sin （）=，则tan （）的值是（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意求得∈（，），再利用同角三角函数的基本关系，求得tan （）的值．【解答】解：∵0＜α＜π，且sin （）=∈（，），∴∈（，），∴cos （）=﹣=﹣，则tan （）==﹣，故选：B ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．5．已知命题P ：若平面向量，，满足（•）•=（•）•，则向量与一定共线．命题Q ：若•＞0，则向量与的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（ ） A ．P ∧Q B ．（￢P ）∧Q C ．（￢P ）∧（￢Q ） D ．P ∧（￢Q ） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断出命题P和命题Q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题P：若平面向量，，满足（•）•=（•）•，则向量与共线或为零向量．故为假命题，命题Q：若•＞0，则向量与的夹角是锐角或零解，故为假命题．故命题P∧Q，（￢P）∧Q，P∧（￢Q）均为假命题，命题（￢P）∧（￢Q）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，向量的运算，向量的夹角等知识点，难度中档．6．下列选项中，说法正确的个数是（）（1）命题“∃x0∈R，x﹣x0≤0”的否定为“∃x∈R，x2﹣x＞0”；（2）命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题；（3）若统计数据x1，x2，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，…，2x n的方差为2；（4）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断（1）；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断（2）；根据数据扩大a倍，方差扩大a2倍，可判断（3）；根据相关系数的定义，可判断（4）【解答】解：（1）命题“∃x0∈R，x﹣x0≤0”的否定为“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；（2）命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；（3）若统计数据x1，x2，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，…，2x n的方差为4，故错误；（4）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1，故正确．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，四种命题，方差，相关系数等知识点，难度中档．7．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，可得（）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，∴边长为，∴（，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，∴，①∵椭圆的离心率为，∴，则a2=2b2，②联立①②解得：a2=6，b2=3．∴椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆及双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键，是中档题．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0改写成如下形式f（x）=（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…a1）x+a0．至今仍是比较先进的算法，特别是在计算机程序应用上，比英国数学家取得的成就早800多年．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为（）A．130 B．120 C．110 D．100【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为130．【解答】解：初始值n=5，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1，i=4满足条件i≥0，v=1×2+4=6，i=3满足条件i≥0，v=6×2+3=15，i=2满足条件i≥0，v=15×2+2=32，i=1满足条件i≥0，v=32×2+1=65，i=0满足条件i≥0，v=65×2+0=130，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为130．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．10．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和有最大值，若＜﹣1，当其前n项和S n＞0时n的最大值是（）A．24 B．25 C．47 D．48【考点】等差数列的性质；数列的函数特性．【分析】由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得a24＞0，a25+a24＜0，a25＜0，从而有a1+a47=2a24＞0，a1+a48=a25+a24＜0，从而可求满足条件的n的值．【解答】解：因为＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大值，可得数列的d ＜0∴a24＞0，a25+a24＜0，a25＜0∴a1+a47=2a24＞0，a1+a48=a25+a24＜0，使得S n＞0的n的最大值n=47，故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知及它们的前n项和S n有最大，推出数列的正项是解决本题的关键点．11．已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，]C．[，]∪[，]D．（，]∪[，]【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得，=≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=时，f（x）=sin（x﹣）满足条件，故排除B，从而得出结论．【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D．当ω=时，f（x）=sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，可得函数f（x）的图象的对称轴为x=kπ+，k ∈Z．当k=1时，对称轴为x=＜2π，当k=2时，对称轴为x==3π，满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题．12．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，对于任意t∈[1，2]函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5） B．（﹣，﹣5）C．（﹣9，+∞）D．（﹣，﹣9）【考点】直线的方向向量；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率求出a，利用函数的单调性，任意t∈[1，2]函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，转化为函数由极值，然后求解函数的值域即可得到结果．【解答】解：由函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．可得f′（x）=﹣a，得a=﹣2，对于任意t∈[1，2]函数=x3+x2（﹣+2+）在区间（t，3）上总不是单调函数，只需2在（2，3）上不是单调函数，故g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2在（2，3）上有零点，即方程在（2，3）上有解，而在（2，3）上单调递减，故其值域为．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．在条件下，目标函数z=x+2y的最小值为4．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，利用目标函数的几何意义转化求解可得．【解答】解：由题意作出其平面区域：z=x+2y可化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，则当过点（2，1）时，有最小值，即z的最小值为2+2=4，故答案为：4．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．已知等差数列{a n}的前n项和S n=n2﹣（t+1）n+t，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用a n=S n﹣S n公式求解即可．﹣1【解答】解：由题意，S n=n2﹣（t+1）n+t，=（n﹣1）2﹣（t+1）（n﹣1）+t，可得：S n﹣1=n2﹣（t+1）n+t﹣[（n﹣1）2﹣（t+1）（n﹣1）+t]=2n﹣2那么：a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，通项公式a n满足要求．故答案为：2n﹣2．公式的运用．属于基础题．注意要考查a1是否满足通项．【点评】本题主要考查了a n=S n﹣S n﹣115．已知定义域为R的函数f（x）满足下列性质：f（x+1）=f（﹣x﹣1），f（2﹣x）=﹣f（x）则f（3）=0．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由已知中f（x+1）=f（﹣x﹣1），f（2﹣x）=﹣f（x）可得：f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），进而得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足下列性质：f（2﹣x）=﹣f（x）∴当x=1时，f（1）=﹣f（1）即f（1）=0，∴当x=3时，f（3）=﹣f（﹣1），又由f（x+1）=f（﹣x﹣1）得：x=0时，f（﹣1）=f（1）=0，故f（3）=0．故答案为：0．【点评】本题考查的知识点是函数求值，抽象函数及其应用，难度中档．16．如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是cm．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．【解答】解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，∵小球的半径为10cm，∴三个球心之间的长度为20cm，即OA=cm．，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣10，AB=10，∴，即，∴，即R=10+=cm．故答案为：．【点评】本题主要考查了球的相切问题的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共5小题，每题12分共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•江西一模）在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．【考点】解三角形．【分析】①根据=﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．【解答】解：①∵cosA=，∴==；②，∴，，∴，，∴，．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．18．（12分）（2017•江西一模）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛．统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，如下：位职工对法律知识的掌握更为稳定；（2）用简单随机抽样的方法从乙单位的5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的成绩之差的绝对值至少是4分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（1）先求出甲、乙两个单位职工的考试成立的平均数，以及它们的方差，则方差小的更稳定．（2）从乙单位抽取两名职工的分数，所有基本事件用列举法求得共10种情况，抽取的两名职工的分数差值至少是4的事件用列举法求得共有5个，由古典概型公式求得抽取的两名职工的分数之差的绝对值至少是4的概率．【解答】解：（I），…（2分），…∵，∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定…（II）设抽取的2名职工的成绩只差的绝对值至少是为事件A，所有基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92）（85，93），（89，85），（89，91），（89，92），（89，93），（91，85），（91，89），（91，92），（91，93），（92，85），（92，89），（92，91）（92，93），（93，85），（93，89），（93，91），（93，92），共20个…（8分）事件A包含的基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，85），（89，93），（91，85），（92，85），（93，85），（93，89），共10个…（10分）∴…（12分）【点评】本题主要考查平均数和方差的定义与求法，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，古典概率的计算公式．19．（12分）（2017•江西一模）如图，等边三角形ABC与等腰直角三角形DBC公共边BC，BC=，DB=DC，AD=．（1）求证：BC⊥AD；（2）求点B到平面ACD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点为E，连接AE、DE．通过证明BC⊥平面AED，然后证明BC⊥AD．（2）设点B到平面ACD的距离为h．由余弦定理求出cos∠ADE，求出底面面积，利用棱锥的体积的和，转化求解即可．【解答】解：（1）证明：取BC的中点为E，连接AE、DE．，…（2）设点B到平面ACD的距离为h．由，，在△ADE中，由余弦定理AD2=AE2+DE2﹣2AE•DE•cos∠ADE，，，由…（12分）【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•江西一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，点 D 在椭圆 C 上，DF1⊥F1F2，|F1F2|=4|DF|，△DFF的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）圆x2+y2=b2的切线l交椭圆C于A，B两点，求|AB|的最大值．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）利用三角形的面积，结合直角三角形，求出a，推出b，然后求解椭圆方程．（2）设ℓ的方程是x=my+n，ℓ与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理判别式，通过弦长公式求解即可．【解答】解：依题意：，由Rt△，由⇒椭圆的方程是：…（2）直线ℓ的斜率为O时不合题意，故可设ℓ的方程是x=my+n，ℓ与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，y2）．由ℓ与圆x2+y2=1相切由⇒（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0△=4m2n2=4（m2+4）（n2﹣4）=48＞0，…（9分）=当且仅当m2=2，n2=3时|AB|=2…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•江西一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1）（a∈R）．（1）若函数h（x）=的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e 2]上有公共点，求实数a的取值范围；（2）若a＞1，且a∈N*，曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线l与x轴，y轴的交点坐标为A（x0，0 ），B（0，y0），当+取得最小值时，求切线l的方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）问题转化为在x∈（0，e2]上有解，即a=x﹣lnx在x∈（0，e2]上有解；（2）求出A，B的坐标，得出+的表达式，即可得出+的取得最小值时，切线l的方程．【解答】解：（1）问题转化为在x∈（0，e2]上有解，即a=x﹣lnx在x∈（0，e2]上有解令φ（x）=x﹣lnx，x∈（0，e2]，∴φ（x）在（0，1）上单减，在（1，e2）上单增，∴φ（x）min=φ（1）=1，x→0时，φ（x）→+∞，当x∈（0，e2]时，φ（x）的值域为[1，+∞），∴实数a的取值范围是[1，+∞）…（2），切线斜率k=f'（1）=1﹣a，切点为（1，﹣2a），所以切线l的方程为y+2a=（1﹣a）（x﹣1），分别令y=0，x=0，得切线与x轴，y轴的交点坐标为A（，0），B（0，﹣1﹣a），∴，∴，当，即时，取得最小值，但a＞1且a∈N*，所以当a=2时，取得最小值．此时，切线l的方程为y+4=（1﹣2）（x﹣1），即x+y+3=0．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）（2017•黄冈模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；（2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），x，y平方相加可得：x2+y2=2，①（2）直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，②由②得：y=x+1，③把③带入①得：2x2+2x﹣1=0，∴，∴|AB|=|x1﹣x2|===【点评】本题主要考查参数方程和普通方程的互化以及弦长公式，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•江西一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（II）若恒成立，求x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式，解不等式可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=5++≥9，故恒成立，则|2x﹣1|﹣|x+2|≤9，当x≤﹣2时，不等式化为1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x≤﹣2，当﹣2＜x ＜，不等式化为1﹣2x﹣x﹣2≤9，解得﹣2＜x＜，当x≥时，不等式化为2x﹣1﹣x﹣2≤9，解得≤x≤12综上所述x的取值范围为[﹣6，12]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．21。
2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷(理科)(2)
2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i为虚数单位，a∈R，若（a+1）（a-1+i）是纯虚数，则a的值为（）A.-1或1B.1C.-1D.3【答案】B【解析】解：∵（a+1）（a-1+i）=（a2-1）+（a+1）i是纯虚数，∴a2-1=0且a+1≠0，∴a=1，故选：B．利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则和纯虚数的定义，属于基础题．2.已知全集U=R，集合A={x|x2+x-6＞0}，B={y|y=2x-1，x≤2}，则（∁U A）∩B=（）A.[-3，3]B.[-1，2]C.[-3，2]D.（-1，2]【答案】D【解析】解：全集U=R，由不等式x2+x-6＞0，解得：x＞2或x＜-3∴集合A={x|x＞2或x＜-3}，∴∁U A=[-3，2]由函数y=2x-1，x≤2，是增函数，可得值域为（-1，3]∴集合B=（-1，3]那么（∁U A）∩B=（-1，2]故选D．求解x2+x-6＞0的解集得出集合A，解出y=2x-1，x≤2的值域可得集合B，再根据集合的基本运算即可求（∁U A）∩B；本题主要考查了不等式的计算和指数函数的值域以及集合的基本运算，属于基础．3.已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f′（x）=2x-≥0，即2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，则a≤2，而0＜a＜2⇒a≤2，故选：A．求出函数的导数，问题转化为2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a∥α，a∥β，则α∥βC.若a∥b，a⊥α，则b⊥αD.若a∥α，α⊥β，则α⊥β【答案】C【解析】解：A．若a∥α，b∥α，则a∥b，或a，b异面或a，b相交，故A错；B．若a∥α，a∥β，则α∥β，或α∩β=b，故B错；C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故C正确；D．若a∥α，α⊥β，则a⊂β或a∥β或a⊥β，故D错．故选：C．由线面平行的性质即可判断A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面平行或垂直的判定和性质，是一道基础题．5.运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A.0B.1C.3D.-1【答案】D【解析】解：∵log34＞1，0＜log43＜1，∴log34＞log43，∴M=log34•log43-2=-1，故选：D．确定log34＞log43，可得M=log34•log43-2，计算可得结论．本题考查程序框图，考查学生的计算能力，属于基础题．6.如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=．故选D．利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器-商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A.2.5B.3C.3.2D.4【答案】B【解析】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4-1.6）•x×1+=12.6，π=3．解得x=3，故选：B．由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．本题考查了圆柱与长方体三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，，则y=tan（nx+）的图象向右平移后的表达式为（）A.y=tan（2x+）B.y=tan（x-）C.y=tan（2x-）D.y=tan2x【答案】C【解析】下的可行域，目标函数2z=2x+ny（n＞0）解：作出x，y满足约束条件，可化为：y=+，基准线y=，由线性规划知识，可得当直线z=x+过点B（1，1）时，z取得最大值，即1+=2，解得n=2；则y=tan（nx+）的图象向右平移个单位后得到的解析式为y=tan[2（x-）+]=tan（2x-）．故选：C．画出约束条件的可行域，利用z的最大值求出n，利用三角函数的图象变换化简求解即可．本题考查线性规划的简单应用，三角函数的图象变换，考查转化思想以及计算能力．9.直线l：ax+y-1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S△AOB=，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则下面命题正确的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.p∧￢qD.￢p∧q【答案】C【解析】解：直线l：ax+y-1=0与x，y轴的交点分别为A（，0），B（0，a），S△AOB==，∴p是真命题；直线l：ax+y-1=0与x，y轴的交点分别为A（，0），B（0，a），|AB|=，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．d=，|CD|=2，|AB|2-|CD|2=≥0，∴|AB|≥|CD|，所以q假，故选：C．利用已知条件求出三角形的面积，判断p的真假；求出|AB|与|CD|的差，判断大小，推出真假，然后判断选项即可．本题考查命题的真假的判断与应用，考查直线与圆的位置关系的应用，直线的特征，考查转化思想以及计算能力．10.函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：当x≥0时，函数y==，y′=，有且只有一个极大值点是x=2，故选：A．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．11.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-e，0），F2（e，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x-）2+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x【答案】D【解析】解：设切点为M，则EM∥∥PF1，又=，所以|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b2+（2a+b）2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x．故选：D．求出|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b2+（2a+b）2=4c2，即可求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．12.已知函数f（x）=（e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）-kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.（1，e）B.（e，10]C.（1，10]D.（10，+∞）【答案】B【解析】解：令g（x）=0得f（x）=kx，∵g（x）有两个零点，∴直线y=kx与y=f（x）有两个交点，做出y=kx和y=f（x）的函数图象，如图所示：设y=k1x与曲线y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得．∵y=kx与y=f（x）有两个交点，∴k的取值范围是（e，10]．故选B．令g（x）=0得出f（x）=kx，做出y=kx与y=f（x）的函数图象，则两图象有两个交点，求出y=f（x）的过原点的切线的斜率即可得出k的范围．本题考查了函数零点的个数与函数的图象的关系，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知直线x+2y-1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是______ ．【答案】【解析】解：由直线x+2y-1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4，直线2x+4y+4=0可化为x+2y+2=0，∴d==．故答案为．由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得．本题考查直线的一般式方程与平行关系，属基础题．14.对于函数g（x）=∞，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2= ______ ．【答案】1【解析】解：作出函数y=g（x）的图象如图所示：∵关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1，x2，∴x1，x2关于直线x=对称，∴x1+x2=1．故答案为1．作出g（x）的函数图象，根据函数图象的对称性得出x1+x2．本题考查了函数零点的个数判断，三角函数的图象，属于中档题．15.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1．数列{f（3n）}的前100项和为______ ．【答案】350-1【解析】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=-=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350-1．故答案为：350-1．当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=-=2×，再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知双曲线C：-=1的离心率为，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为______ ．【答案】-2【解析】解：双曲线C：-=1的离心率为，可得=，∴=，设点M（x，y），则N（-x，y）则-=1，A（-a，0），B（a，0）；可得，所以k AM•k AN==-==-2．故答案为：-2．利用双曲线的离心率求出a，b关系，设出M，N，利用斜率公式，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知由实数组成的等比数列{a n}的前项和为S n，且满足8a4=a7，S7=254．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由8a4=a7，可得8==q3，解得q=2．∵S7=254，∴=254，解得a1=2．∴a n=2n．（2）b n===，∴T n=++…+=1-．【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由8a4=a7，可得8==q3，解得q．由S7=254，=254，解得a1．（2）b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c-2a）=c•（1）求B的大小；（2）已知f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函数f（x）的单调递减区间．【答案】解：（1）∵（c-2a）=c•，即（c-2a）accos（π-B）=abccos C，∴2accos B=bcos C+ccos B，∴2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B，∴2sin A cos B=sin（B+C）=sin A，∴cos B=，∴B=．（2）f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1=sin2x-cos2x=sin（2x-φ），∵对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（），∴sin（-φ）=1，∴φ=，∴f（x）=sin（2x-），令，解得≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间是[，+kπ]，k∈Z．【解析】（1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出cos B，得出B的值；（2）化简f（x）的解析式，根据f（B）为f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出．本题考查了平面向量的数量积，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．19.已知三棱台ABC-A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C（2）点D是B1C1的中点，求二面角A1-BD-B1的余弦值．【答案】（1）证明：梯形BB1C1C中，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4得：∠°，，从而BC1⊥CC1，因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，因此BC1⊥AC，因为AC∩CC1=C，所以BC1⊥平面AA1C1C；（2）解：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，则A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，1，），B1（0，3，），D（0，2，），A1（3，1，），平面BB1D的法向量=（1，0，0），设平面AB1D的法向量为=（x，y，z），则，令z=，得（，，），所以所求二面角的余弦值是-=-．【解析】（1）证明BC1⊥CC1，BC1⊥AC，即可证明BC1⊥平面AA1C1C（2）以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A1-BD-B1的余弦值．本题考查线面垂直的判定，考查二面角A1-BD-B1的余弦值，考查向量知识的运用，属于中档题．20.已知椭圆C：-=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x2+y2=1截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，=λ（），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．【答案】解：（1）由，得，∴a=2b，∴直线AB的方程为，即x+2y-2b=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离为d=，∴，得b=1，椭圆C的方程为；（2）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），则点N的坐标为（λx0，λ（y0+1）），∴，得，又，∴，y0∈（-1，1），得，∴正实数λ的取值范围是[，∞）．【解析】（1）由题意离心率可得a=2b，设出AB所在直线方程，由圆心到直线的距离求得b，则椭圆方程可求；（2）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），由已知向量等式得点N的坐标为（λx0，λ（y0+1）），结合N在圆上，M在椭圆上，分离参数λ求解．本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21.已知f（x）=aln（x2+1）+bx存在两个极值点x1，x2．（1）求证：|x1+x2|＞2；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，试求λ的取值范围．【答案】证明：（1）由f（x）=aln（x2+1）+bx的导数为f′（x）=+b=，令g（x）=bx2+2ax+b，由题意可得g（x）=0有两个不同的非零实根，得△=4a2-4b2＞0，因此a＞b＞0，所以＞1；所以x1+x2=-＜-2，即|x1+x2|＞2；解：（2）由（1）知x1x2=1，f（x1）+f（x2）+a=aln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+a=aln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+a=aln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+a=2aln-a，由f（x1）+f（x2）+a+λb=0得-λ=ln-，设t=＞2，则-λ=tlnt-t，令h（t）=tlnt-t，t＞2．h′（t）=1+lnt-=lnt+＞0，h（t）在（2，+∞）是增函数．因此-λ＞2ln2-1，即为λ＜1-2ln2．【解析】（1）由f（x）的导数，可设g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有两个不同的非零实根x1，x2，可得＞1，结合韦达定理可得结论；（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，化简整理可得-λ=ln-，设t=＞2，则-λ=tlnt-t，求出右边函数的导数，判断单调性，进而可得λ的取值范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值，构造函数法和运用函数的单调性是解题的关键，难度中档．22.在直角坐标系x O y中，曲线：，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【答案】解：（1）将代入曲线C1方程：（x-1）2+y2=1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以．【解析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为ρ1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得ρ2．可得|AB|=|ρ1-ρ2|．本题考查了极坐标方程与普通方程的互化及其应用、曲线的交点、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+5-a|（1）若不等式f（x）-|x-a|≤2的解集为[-5，-1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）∵|x+5-a|≤2，∴a-7≤x≤a-3，∵f（x）-|x-a|≤2的解集为：[-5，-1]，∴，∴a=2．（2）∵f（x）=|x-a|+|x+5-a|≥5，∵∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2成立，∴4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解得：m＜-5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（-∞，-5）∪（1，+∞）．【解析】（1））问题转化为|x+5-a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．。
2017年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷(文科)
2017年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A.∅B.（0，1]C.（0，1）D.（1，+∞）【答案】C【解析】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（-∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数函数的定义域，属于基础题．2.已知复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：∵复数z====-+，故它对应点在第二象限，故选：B．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为z=-+，由此可得它对应点所在的象限．本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A.104人 B.108人 C.112人 D.120人【答案】B【解析】解：由题意可得×300=108，故选：B根据分层抽样即可求出答案．本题考查了分层抽样的问题，属于基础题．4.已知，，，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A.-B.C.-D.【答案】A【解析】解：∵已知，，，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（-3λ-1，2λ）•（-1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=-．故选A．先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．5.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A.ac＞bcB.＜C.a2＞b2D.a3＞b3【答案】D【解析】解：A、3＞2，但是3×（-1）＜2×（-1），故A不正确；B、1＞-2，但是＞，故B不正确；C、-1＞-2，但是（-1）2＜（-2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.18B.21C.24D.27【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，其上边一角去掉一个棱长为1的正方体，该几何体的表面积仍为原正方体的表面积，即S=6×22=24．故选：C．根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，其上边一角去掉一个棱长为1的正方体，其表面积仍为原正方体的表面积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题．7.在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2-6x+8=0的根，则的值为（）A. B.4 C. D.±4【答案】A【解析】解：∵a3，a15是方程x2-6x+8=0的根，∴a3=2，a15=4；或a3=4，a15=2．可知a1q2=2，a1＞0．∴=．则==a9=2．故选：A．利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x的值，则输出的f（x）值不小于常数e的概率是（）A. B.1- C.1+ D.【答案】B【解析】解：由题意得如图所示，当1≤x≤e时，f（x）≥e，的概率是，故f（x）值不小于常数e故选：B．由题意得，当1≤x≤e时，f（x）≥e，利用几何概型的概率公式求出输出的f（x）值不小于常数e的概率．本题考查程序框图，考查概率的计算，属于基础题．9.已知函数＜的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】解：函数f（x）的图象向左平移个单位后的函数解析式为：y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x+φ+），由函数图象关于y轴对称，可得：+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，由于|φ|＜，可得：φ=，可得：f（x）=sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解答：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，可得，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间是：[-，]．故选：B．由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．本题主要考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.函数f（x）=的图象可能是（）A.（1）（3）B.（1）（2）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（-∞，-），（-，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（-，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（-∞，-），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11.已知椭圆x2+2y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆上任意一点P作切线l，记F1、F2到l的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】解：设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，消元的（1+2k2）x2+4kbx+2b2-1=0，∴△=16k2b2-4（1+2k2）（2b2-1）=0，∴b2=k2+．∵F1（-，0），F2（，0），∴d1=，d2=，∴d1d2===．故选A．设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，令△=0得出k，b的关系，根据点到直线的距离公式计算d1•d2即可得出结论．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．12.已知函数f（x）=lnx-x2与g（x）=（x-2）2--m的图象上存在关于（1，0）的对称点，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，1-ln2）B.（-∞，1-ln2]C.（1-ln2，+∞）D.[1-ln2，+∞）【答案】D【解析】解：由已知可得：g（x）=（x-2）2--m的图象与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）2的图象有交点，即（x-2）2--m=-ln（2-x）+（2-x）2有解，即m=ln（2-x）-有解，令t=2-x，y=lnt+，则y′=，当t∈（0，）时，y′＜0，函数为减函数；当t∈（，+∞）时，y′＞0，函数为增函数；故当t=时，函数取最小值ln+1=1-ln2，无最大值，故m∈[1-ln2，+∞），故选：D由已知可得：g（x）=（x-2）2--m的图象与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）2的图象有交点，即m=ln（2-x）-有解，利用换元法和导数法，求出函数y=ln（2-x）-的值域，可得答案．本题考查的知识点是函数的对称变换，函数图象，导数法求函数的最值和值域，难度中档．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.函数y=ln（1+）+的定义域为______ ．【答案】（0，1]【解析】解：由题意得：，即或解得：x∈（0，1]．故答案为：（0，1]．根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题．14.已知sin（θ+）=，θ∈（-π，-π），则cos（θ+π）的值为______ ．【答案】-【解析】解：∵sin（θ+）=（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∵sin=sin（-）=×-×=∴cos（θ+π）=cosθcosπ-sinθsinπ=-sin（cosθ+sinθ）=-×=-．故答案为：-已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinθ+cosθ的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后将cosθ+sinθ的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．15.若变量x，y满足，目标函数z=2ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的是6，则的最小值为______ ．【答案】7+4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，则直线的斜率k=-＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=-+，由图象可知当直线y=-+经过点A时，直线y=-+截距最大，此时z最大，由，解得x=9，y=12即A（9，12），此时z=18a+12b=6，即3a+2b=1，∴=（）（3a+2b）=3+4++≥7+2=7+4，当且仅当b=a时，取等号，故的最小值为7+4，故答案为：7+4．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．16.数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n（n∈N*），则= ______ ．【答案】【解析】解：∵数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n（n∈N*），∴=2•，=1．∴=2n-1，即a n=（n+1）•2n-1．设其前n项和为S n，则S n=2+3×2+4×22+…+（n+1）•2n-1．∴2S n=2×2+3×22+…+n•2n-1+（n+1）•2n．∴-S n=2+2+22+…+2n-1-（n+1）•2n=1+-（n+1）•2n．∴S n=n•2n．则==．故答案为：．数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n（n∈N*），可得=2•，=1．利用等比数列的通项公式可得：a n=（n+1）•2n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，已知．（1）求证：tan B=3tan A；（2）若cos C=，求A的值．【答案】解：（1）∵•=3•，∴cbcos A=3cacos B，即bcos A=3acos B，由正弦定理=得：sin B cos A=3sin A cos B，又0＜A+B＜π，∴cos A＞0，cos B＞0，在等式两边同时除以cos A cos B，可得tan B=3tan A；（2）∵cos C=，0＜C＜π，sin C==，∴tan C=2，则tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，∴=-2，将tan B=3tan A代入得：=-2，整理得：3tan2A-2tan A-1=0，即（tan A-1）（3tan A+1）=0，解得：tan A=1或tan A=-，又cos A＞0，∴tan A=1，又A为三角形的内角，则A=．【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cos A cos B≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tan B=3tan A；（2）由C为三角形的内角，及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan C的值，由tan C的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tan B=3tan A代入，得到关于tan A的方程，求出方程的解得到tan A 的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.治理大气污染刻不容缓，根据我国分布的《环境空气质量数（AQI）技术规定》：空气质量指数划分阶为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动，以下是某市2016年12月中旬的空气质量指数情况：（1）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；（2）一外地游客在12月中旬来该市旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率．【答案】解：（1）该实验的基本事件空间Ω={11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，基本事件总数n=10．设事件A=“市民不适合进行室外活动日期”，则A={13，13，19，20}，包含基本事件数m=4．所以P（A）==，即市民不适合进行户外活动的概率为．（2）该实验的基本事件空间：Ω={（11，12），（12，13），（13，14），（15，16），（17，18），（18m19），（19，20）}，基本事件n=9，设事件B“适合旅游的日期”，则B={（11，12）（15，16），（16，17），（17，18）}事件B包含基本事件数m=4，所以适合连续游玩两天的概率为P（B）=．【解析】（1）利用列举法求出基本事件总数，设事件A=“市民不适合进行室外活动日期”，利用列举法求出事件A包含基本事件数，由此能求出市民不适合进行户外活动的概率．（2）利用列举法求出基本事件总数，设事件B“适合旅游的日期”，利用列举法求出事件B包含基本事件数，由此能求出适合连续游玩两天的概率．本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．19.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；（Ⅲ）求三棱锥F-BMC的体积V．【答案】解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG∵点G为CF中点，∴OG为△AFC的中位线∴OG∥AF，∵AF⊄面BDG，OG⊂面BDG，∴AF∥面BDG，（Ⅱ）连接FM，∵BF=CF=BC=2，G为CF的中点，∴BG⊥CF∵CM=2，∴DM=4∵EF∥AB，ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF=4，∴EFMD为平行四边形∴FM=ED=2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF，∵MG∩BG=G，∴CF⊥面BGM，∵CF⊂面BFC，∴面BGM⊥面BFC．（Ⅲ）∵，∴∴，∴三棱锥F-BMC的体积V=．【解析】（Ⅰ）首先，连接AC交BD于O点，得到OG为△AFC的中位线，从而得到OG∥AF，命题得证；（Ⅱ）先连接FM，证明BG⊥CF，然后，证明△FCM为正三角形，从而得到CF⊥面BGM，从而命题得证；（Ⅲ）转化成三棱锥F-BMG和三棱锥C-BMG的体积之和，它们的体积之和就是以FC 为高，以BMG为底的三棱锥的体积，从而得到结果．本题重点考查了面面垂直、线面平行、空间几何体的体积等知识，本题属于中档题．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点，，离心率是．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．【答案】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．由已知可得，解得a2=4，b2=1．故椭圆C的标准方程为．（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，此时，，，，显然|EA|=2|EB|不成立．②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．则，整理得（4k2+1）x2+8k2x+4k2-4=0．由△=（8k2）2-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，①．②因为|EA|=2|EB|，所以，则x1+2x2=-3．③①②③联立解得．所以直线l的方程为和．【解析】（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），利用所给条件列出方程组，解出即可；（2）易判断直线l不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=k （x+1），与椭圆方程联立方程组消掉y得关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由|EA|=2|EB|可得关于x1，x2的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k值；本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，有一定综合性．21.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）=在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．【答案】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）=′，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）-f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）=在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，x n∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．∵x1＞0，x2＞0，…，x n＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+x n．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+x n），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+x n）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+x n），f（x3）＜f（x1+x2+…+x n），…f（x n）＜f（x1+x2+…+x n），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．【解析】（Ⅰ）求出导数F'（x），根据条件判断导数在（0，+∞）内的符号，从而说明函数F （x）的单调性；（Ⅱ）运用（Ⅰ）的结论证明，注意应用累加法；（Ⅲ）先写出推广的结论，然后运用（Ⅰ）的结论证明，并注意累加．本题考查导数的一个应用--求函数的单调性，同时重点考查函数单调性及应用，考查推理能力，是一道中档题．22.在直角坐标系x O y中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．【答案】解：（Ⅰ）直线C1：，曲线C2的普通方程为．（Ⅱ）C3：，即．圆C2的圆心到直线C3的距离．所以．【解析】（Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C1的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C2直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得C3：，即，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【答案】解：（1）由定义得|x-1|+1＞|x-5|+1，即|x-1|＞|x-5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立，也就是t≥|x-1|-|x-5|恒成立，，法一：令函数f（x）=|x-1|-|x-5|=＜＞所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min=4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x-1|-|x-5|≤|（x-1）-（x-5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．【解析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x-1|≤|x-5|+t 恒成立，运用分离变量，即有t≥|x-1|-|x-5|恒成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．。
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题1．已知复数z 满足()2121iz i +=-，则在复平面内复数z 对应的点为（ ）A. 11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 由题意得()2121211221ii z i i i ++===-+-，则112z i =--，所以z 复数对应的点坐标为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭，故选A. 2．已知集合{}2280P x x x =--， {|}Q x x a =≥， P Q R ⋃=，则a 的取值范围是（ ）A. ()2,-+∞B. ()4,+∞C. (],2-∞-D. (],4-∞ 【答案】C【解析】 由题意得{}2280{|2P x x x x x =--=<-或4}x >， 要使得P Q R ⋃=，则2a ≤-，故选C.3．1tan751tan75+-的值为（ ）A.B. C.D. 【答案】B【解析】 由1tan75tan45tan75tan1201tan751tan45tan75++===--B. 4．设曲线1y nx =在2x =处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值为（ ） A. 2 B. -2C. 12D. 12- 【答案】A【解析】 由1y nx =，则()1f x x '=，所以()122f '=，又切线与直线10ax y ++=垂直，即()112a ⨯-=-，所以2a =，故选A. 5．如图， ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形， EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形，且E F G H 、、、分别为AB BC CD DA 、、、的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”， N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则(|)P N M =（ ）A.1πB.2C. 12D. 14【答案】C【解析】 由题意得，圆O 的半径为2，所以内接正方形ABCD 的边长为AB =则正方形ABCD 的面积为(218S ==，由,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 的中点，所以1222EF R =⨯=， 所以正方形EFGH 的面积为()2224S ==， 所以21(|)42P N M ==，故选C. 6．函数()11xxe f x e +=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】 由题意得，函数点定义域为x R ∈且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()()11111111xx x xx x e e e f x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.7．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率为24y x =的焦点到双曲线的距离是（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】 由题意得，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，又双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>ca =，又由222c a b =+，则224b a =，即双曲线的方程为222214x y a a -=， 在双曲线的一条渐近线的方程为20x y +=，则其焦点到双曲线的渐近线的距离为d ==，故选C. 8．如图，已知AB a = ， AC b = ， 3DC BD = ， 2AE EC = ，则DE =（ ）A.3143b a - B. 53124a b - C. 3143a b - D. 53124b a - 【答案】D【解析】 由平面向量的三角形法则可知：()313135354343412412DE DC CE BC AC AC AB AC AB AC a b⎛⎫=+=+-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故选D.9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点,E F 分别是棱1111,D C B C 的中点，过,E F 作一平面α，使得平面//α平面11AB D ，则平面α截正方体的表面所得平面图形为（ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形 【答案】D【解析】由题意，在正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别为棱1111,D C B C 的中点， 取111,,,BB AB AD A D 的中点,,,G H M N ，可得正六边形EFGHMN ，此时平面11//AB D 平面EFGHMN ，故选D. 10．执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b ==，则输出的n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】 执行该程序框图，可知第1次循环： 1161624,248,22a b n =+⨯==⨯==； 第2次循环： 1242436,2816,32a b n =+⨯==⨯==；第3次循环： 1363654,21632,42a b n =+⨯==⨯==；第4次循环： 1545481,23264,52a b n =+⨯==⨯==；第5次循环： 12438181,26412822a b =+⨯==⨯=， 此时a b ≤成立，输出结果5n =，故选B.11．已知动点(),A A A x y 在直线:6l y x =-上，动点B 在圆22:2220C x y x y +---=上，若30CAB ∠=︒，则A x 的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】 如图所示，设点()00,6A x x -，圆心M 到直线AC 的距离为d ，则01sin302d AM AM ==， 因为直线AC 与圆C 有交点，所以1222d AM ≤⇒≤， 所以()()22001516x x -+-≤，解得015x ≤≤，所以A x 的最大值为5，故选C.12．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=->⎪⎝⎭向左平移半个周期得()g x 的图像，若()g x 在[]0,π上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ）A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】由题意得()][sin sin sin 333g x x x x ππππωπωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由[]0,,333x x x ππππωω⎡⎤∈⇒-∈--⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[]0,π上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦．即最小值为2-，最大值为1，则4233x πππω≤-≤，得5563ω≤≤．综上ω的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．二、填空题13．已知函数()2,0{log ,0a a x x f x x x -≤=>（0a >且1a ≠），若()()11f f =，则a =__________．【答案】12【解析】 由()2,0{log ,0a a x x f x x x -≤=> ，则()()()()11l o g 10212aff f f a a ====⇒=. 14．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则θ为锐角的概率是__________． 【答案】512【解析】 由题意得，连抛掷两次骰子分别得到点数,m n 所组成的相邻(),m n 个个数共有36种，由于相临(),m n 与向量()1,1-的夹角θ锐角，所以()(),1,10m n ⋅->， 即m n >，满足题意的情况如下： 当2m =时， 1n =； 当3m =时， 1,2n =； 当4m =时， 1,2,3n =； 当5m =时， 1,2,3,4n =；当6m =时， 1,2,3,4,5n =，共有15种， 故所求事件的概率为1553612=. 15．某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】414π 【解析】 根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -， 正方体的棱长为2,,A D 为棱的中点，根据几何体可以判断，球心在过点,A D 的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为2x -，所以()222222,12R x R x =+=+-，解得3,4x R ==，所以多面体外接球的表面积为24144R ππ=.16．如图所示，为了测量A B 、处岛屿的距离，小明在D 处观测， A B 、分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向， A 在C 处的北偏西60︒方向，则A B 、两处岛屿的距离为__________海里．【答案】【解析】 由题意，可得000030,45,45,60ACD BOC DAC ADB ∠=∠=∠=∠=， 在等腰直角BCD ∆中， 40BC =，则BD = 在ACD ∆中，由正弦定理0040sin45sin30ADAD =⇒= 在ABD ∆中，由余弦定理可得((2222212cos60224002AB AD BD AD BD =+-⋅=+-⨯=，所以AB =，即,A B两点之间的距离为.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为0，前n 项和为5124,25,,,n S S S S S =成等比数列． （1）求n a 与n S ； （2）设121n n n n b S S ++=，求证： 1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）221,n n a n S n =-=（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，化简得12d a =，求得11,2a d ==，即可得到数列的通项公式和前n 项和；（2）由（1）得()22111n b n n =-+，即可利用裂项求解数列的和，证明不等关系式. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由5S 25=可得3a 5=，得1a 2d 5+=……①又124S ,S ,S 成等比数列，且112141S a ,S 2a d,S 4a 6d ==+=+ 所以()()21112a d 46a a d +=+，整理得212a d d =， 因为0d ≠，所以12d a =……② 联立①②，解得11,2a d == 所以()()212112121,2n n n n a n n S n +-=+-=-==（2）由（1）得()()2222211111n n b n n n n +==-++ 所以123n b b b b ++++222222111111122334⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22111n n ⎛⎫⎪++-⎪+⎝⎭ ()21111n =-<+18．某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：（1）记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g 的小龙虾”，求()P A 的估计值；（2）试估计这批小龙虾的平均重量；（3）为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整数）收购这批小龙虾，才能获得利润？ 【答案】（1）710（2）28.5（3）这批小龙虾每千克至多51元 【解析】试题分析：（1）根据统计图得到重量不超过35g 的小龙虾有28，即可求解相应的概率；（2）从统计图中的数据，利用平均数的计算公式，即可求解这批小龙虾的平均重量； （3）根据样本，由（2）知，小龙虾中一等品、二等品、三等品的数量，列出关系式，即可 得出结论.试题解析：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g 的小龙虾有6101228++=（只） 所以()2874010P A == （2）从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为()16101020123084045040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 114028.540==（克） （3）设该经销商收购这批小龙虾每千克至多x 元.根据样本，由（2）知，这40只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有16只、12只、12只，约有1140g所以114016 1.212 1.512 1.8x ≤⨯+⨯+⨯，而16 1.212 1.512 1.851.61140⨯+⨯+⨯≈故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元19．如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形， ABC ∆是边长为2的正三角形， 60DBA ∠=︒， CD =．（1）证明： DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）取AB 的中点O ，连,OC OD ，得到AB OC ⊥，进而得出AB OD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面DOC ，即得到AB CD ⊥； （2）取OD 的中点H ，连结CH ，由（1）证得CH ⊥平面ABD ，所以点H 是D 在平面ABD 内的正投影，设点H 到平面BCD 的距离为d ，在BCD ∆中，求解面积BCD S ∆，在OCD ∆中，得OCD S ∆，利用O BCD B OCD V V --=，即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连,OC OD因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以,AB OC OC ⊥ 又四边形ABDE 是菱形， 60DBA ∠= ，所以DAB ∆是正三角形所以,AB OD OD ⊥=而OD OC O ⋂=，所以AB ⊥平面DOC 所以AB CD ⊥（2）取OD 的中点H ，连结CH 由（1）知OC CD =，所以AB OD ⊥AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD而平面DOC ⊥平面ABD ，平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ， 所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是D 在平面ABD 内的正投影 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 距离为2d因为在BCD ∆中， 2,BC BD CD ===11222BCDS ∆==124==在OCD ∆中， OC OD CD ===16024OCD S sin ∆==所以由O BCD B OCD V V --=得1133BCD OCD S d S OB ∆∆⋅=⋅即11213434d ⋅=⋅⋅解得 26d =，所以H 到平面BCD 的距离2620．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，顶点为1212A A B B 、、、，且11123A B A B ⋅= ．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点Q ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ， EQ 的斜率为m ，试问2m k -是否为定值？并说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为e =所以c a =又1123A B A B ⋅= ，所以223a b -=，即可求解,,a b c 的值，得出椭圆的方程；（2）由题意可知直线2A P 的方程为()2y k x =-与椭圆的方程联立方程组，求得P 点的坐标，进而得到点Q 的坐标，在根据直线12A B 的方程与()2y k x =-联立，得到点E 的坐标，即可表示EQ 的斜率，得出结论.试题解析：（1）因为e =c a =由题意及图可得()()()112,0,0,,0,A a B b B b --，所以()()1112,,,A B a b A B a b =-=又1123A B AB ⋅= ，所以223a b -=，所以c =所以2,1a b ===所以椭圆C 的方程为： 2214x y += （2）证明：由题意可知()12,0A -， ()22,0A ， ()10,1B -， ()20,1B因为2A P 的斜率为k ，所以直线2A P 的方程为()2y k x =-由()222{14y k x x y =-+=得()222214161640k x k x k +-+-= 其中22A x =，所以228214P k x k -=+，所以222824,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭则直线2B P 的方程为()22441211182221k k k y x x k k ---+=+=-+--（12k ≠-） 令0y =，则()22121k x k -=+，即()221,021k Q k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ 直线12A B 的方程为220x y -+=，由()220{2x y y k x -+==-解得4221{421k x k k y k +=-=-，所以424,2121k k E k k +⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 所以EQ 的斜率()()4212122122142121kk k m k k k k -+-==-+-+- 所以2112242k m k k +-=⋅-=（定值） 21．已知函数()()()2111f x x n x x =++-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设当0x ≥时， ()2f x ax ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在区间(]1,0-上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）由()()()21ln 1f x x x x =+'++，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）设()()2h x f xa x =-，求得()h x '，设()()x h x ϕ='， 则则()()2l n 132x x a ϕ+'=+- 分320a -≥和320a -<两种情况讨论，得到函数()h x 的单调性，进而求解实数a 的取值范围.试题解析：（1）()()()211f x x ln x x '=+++当()0,x ∞∈+时， 11x +>， ()10ln x +>，所以()0f x '>当(]1,0x ∈-时， 011x <+≤， ()10ln x +≤，所以()0f x '≤所以()f x 在区间(]1,0-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增（2）设()()()()()222110h x f x ax x ln x x ax x =-=++--≥ 则()()()2112h x x ln x x ax +++'=-设()()()()21120x x ln x x ax x ϕ=+++-≥，则()()2132x ln x a ϕ+'=+-①当320a -≥时，即32a ≤时，对一切0x ≥， ()0x ϕ'≥ 所以()x ϕ在区间[)0,∞+上单调递增，所以()()x 00ϕϕ≥=，即()0h x '≥， 所以()h x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，符合题意②当320a -<时，即32a >时，存在00x >，使得()00x ϕ'=， 当()00,x x ∈时， ()0x ϕ'<所以()x ϕ在区间()00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00x ϕϕ<=，即()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减故当()00,x x ∈时，有()()00h x h <=，与题意矛盾，舍去综上可知，实数a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线:{x tcos l y tsin αα==（t 为参数， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）与圆22:2410C x y x x +--+=相交于点,A B ，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（2）求11OA OB+的最大值． 【答案】（1）22cos 4sin 10ρρθρθ--+=（2）【解析】试题分析（1）根据参数方程与普通方程的互化以及直角坐标与极坐标的互化公式，即可求解直线的极坐标方程和圆的极坐标方程；（2）把θα=，代入圆的极坐标方程中，得22cos 4sin 10ρραρα--+=，进而得到1212112cos 4sin OA OB ρρααρρ++==+，即可利用三角函数的性质求解其最大值. 试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈圆C 的极坐标方程为22410cos sin ρρθρθ--+=（2）θα=，代入22410cos sin ρρθρθ--+=， 得22410cos sin ρραρα--+=显然120,0ρρ>> 121211OA OB ρρρρ++= 24cos sin αα=+()αϕ=-≤所以11BOA O +的最大值为23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，且()20f x +>的解集为()1,1-．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c ，满足23a b c m ++=． 求11123a b c++的最小值．【答案】（1）1m =（2）9【解析】试题分析：（1）由()20f x +>得x m <，解得其解集为(),m m -，即可得到实数m 的值；（2）由(1)知231a b c ++=，又,,a b c 是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为()2f x m x +=-所以由()x 20f +>得x m < 由x m <有解，得m 0>，且其解集为()m,m -又不等式()f x 20+>解集为()1,1-，故m 1=（2）由(1)知a 2b 3c 1++=，又a,b,c 是正实数， 由柯西不等式得()111111a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 29≥= 当且仅当111a ,b ,c 369===时取等号 故111a 2b 3c ++的最小值为9。
江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试(文数)
江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足212(1)iz i +=-，则在复平面内复数z 对应的点为（ ）A ．1(1,)2--B ．1(1,)2-C ．1(,1)2-D ．1(,1)2-- 2.已知集合2{|280}P x x x =-->，{|}Q x x a =≥，P Q R =，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．(4,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,4]-∞3.1tan 751tan 75+-的值为（ ）A B ． C ．3 D ．3- 4.设曲线1y nx =在2x =处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C.12 D ．12- 5.如图，ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形，且E F G H 、、、分别为AB BC CD DA 、、、的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”，N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则()P N M =（ ）A ．1π B C. 12 D ．146.函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A ．B ． C. D ．7.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>则抛物线24y x =的焦点到双曲线的距离是（ ）A ．10 B ．5 C. 5 D ．58.如图，已知AB a =，AC b =，3DC BD =，2AE EC =，则DE =（ ）A ．3143b a - B ．53124a b - C.3143a b - D ．53124b a - 9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E F 分别是棱1111,D C B C 的中点，过,E F 作一平面α，使得平面//α平面11AB D ，则平面α截正方体的表面所得平面图形为（ ） A ．三角形 B ．四边形 C.五边形 D ．六边形10.执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b ==，则输出的n =（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．711.已知动点(,)A A A x y 在直线:6l y x =-上，动点B 在圆22:2220C x y x y +---=上，若30CAB ∠=︒，则A x的最大值为（ ）A ．2B ．4 C.5 D ．612.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->向左平移半个周期得()g x 的图像，若()g x 在[0,]π上的值域为[，则ω的取值范围是（ ）A ．1[,1]6B ．23[,]32 C.17[,]36 D ．55[,]63第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数2,0()log ,0aa x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若((1))1f f =，则a = ．14.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为θ，则θ为锐角的概率是 ．15.某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为 ．16.如图所示，为了测量A B 、处岛屿的距离，小明在D 处观测，A B 、分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则AB 、两处岛屿的距离为 海里．三、解答题 :解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，前n 项和为5124,25,,,n S S S S S =成等比数列． （1）求n a 与n S ；（2）设121n n n n b S S ++=，求证：1231n b b b b ++++<．18.某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：（1）记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g 的小龙虾”，求()P A 的估计值；（2）试估计这批小龙虾的平均重量；（3）为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整数）收购这批小龙虾，才能获得利润？19.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =．（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离．20.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =1212A A B B 、、、，且 11123A B A B ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点Q ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EQ 的斜率为m ，试问2m k -是否为定值？并说明理由．21.已知函数2()(1)1(1)f x x n x x =++-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设当0x ≥时，2()f x ax ≥，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分． 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，(0,)2πα∈）与圆22:2410C x y x x +--+=相交于点,A B ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（2）求11OA OB+的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，且(2)0f x +>的解集为(1,1)-． （1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c ，满足23a b c m ++=． 求11123a b c++的最小值．数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBAC 6-10:DBDDB 11、12：C 、D 12.提示：()sin[()]3g x x ωωππ=-+=sin[()]sin()33x x ωωππ-π--=-由[]0,x ∈π⇒,333x x ωωπππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,π上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦．即最小值为1，则4233x ωπππ≤-≤，得5563ω≤≤．综上ω的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．二、填空题13.12 14. 512 15. 414π 16. 三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由525S =可得35a =，得125a d +=……①又124,,S S S 成等比数列，且112141,2,46S a S a d S a d ==+=+所以2111(2)(46)a d a a d +=+，整理得212a d d =，因为0d ≠，所以12d a =……② 联立①②，解得11,2a d == 所以2(121)12(1)21,2n n n n a n n S n +-=+-=-==（2）由（1）得22222111(1)(1)n n b n n n n +==-++所以123n b b b b ++++222222111111()()()122334=-+-+-2211()(1)n n ++-+ 2111(1)n =-<+18.解：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g 的小龙虾有6101228++=（只） 所以287()4010P A == （2）从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为1(61010201230840450)40⨯+⨯+⨯+⨯+⨯114028.540==（克） （3）设该经销商收购这批小龙虾每千克至多x 元.根据样本，由（2）知，这40只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有16只、12只、12只，约有1140g 所以114016 1.212 1.512 1.8x ≤⨯+⨯+⨯，而16 1.212 1.512 1.851.61140⨯+⨯+⨯≈故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元 19.解：（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连,OC OD因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以,AB OC OC ⊥=又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=，所以DAB ∆是正三角形所以,AB OD OD ⊥=而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC所以AB CD ⊥（2）取OD 的中点H ，连结CH 由（1）知OC CD =，所以AB OD ⊥AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD而平面DOC ⊥平面ABD ，平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ， 所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是D 在平面ABD 内的正投影 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 距离为2d因为在BCD ∆中，2,BC BD CD ===1122BCD S ∆==124==在OCD ∆中，OC OD CD ===133sin 602OCD S ∆==OHDCBAE所以由O BCD B OCD V V --=得1133BCD OCD S d S OB ∆∆⋅=⋅即11213434d ⋅=⋅⋅解得d =，所以H 到平面BCD20.解：（1）因为e =2c a =，由题意及图可得112(,0),(0,),(0,)A a B b B b --， 所以1112(,),(,)A B a b A B a b =-= 又1123A B AB ⋅=，所以223a b -=，所以c =所以2,1a b ===所以椭圆C 的方程为：2214x y +=（2）证明：由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)B -，2(0,1)B 因为2A P 的斜率为k ，所以直线2A P 的方程为(2)y k x =-由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-= 其中22A x =，所以228214P k x k -=+，所以222824(,)1414k kP k k--++ 则直线2B P 的方程为224412111822(21)k k k y x x k k ---+=+=-+--（12k ≠-）令0y =，则2(21)21k x k -=+，即2(21)(,0)21k Q k -+ 直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以424(,)2121k k E k k +-- 所以EQ 的斜率421212(21)2(21)42121kk k m k k k k -+-==-+-+- 所以2112242k m k k +-=⋅-=（定值） 21.解：（1）()2(1)ln(1)f x x x x '=+++当(0,)x ∈+∞时，11x +>，ln(1)0x +>，所以()0f x '> 当(]1,0x ∈-时，011x <+≤，ln(1)0x +≤，所以()0f x '≤ 所以()f x 在区间(]1,0-上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增（2）设222()()(1)ln(1)(0)h x f x ax x x x ax x =-=++--≥则()2(1)ln(1)2h x x x x ax '=+++- 设()2(1)ln(1)2(0)x x x x ax x ϕ=+++-≥， 则()2ln(1)32x x a ϕ'=++- ①当320a -≥时，即32a ≤时，对一切0x ≥，()0x ϕ'≥ 所以()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()0h x '≥， 所以()h x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，符合题意 ②当320a -<时，即32a >时，存在00x >，使得0()0x ϕ'=， 当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<所以()x ϕ在区间0(0,)x 上单调递减，所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0x ϕϕ<=， 即()0h x '<，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减故当0(0,)x x ∈时，有()(0)0h x h <=，与题意矛盾，舍去 综上可知，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦22.解：（1）直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R 圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+= （2）θα=，代入22cos 4sin 10ρρθρθ--+=， 得22cos 4sin 10ρραρα--+=显然120,0ρρ>>121211OA OB ρρρρ++=2cos 4sin αα=+)αϕ=-≤所以11OA OB+的最大值为 23.解：（1）因为(2)||f x m x +=- 所以由(2)0f x +>得||x m <由||x m <有解，得0m >，且其解集为(,)m m - 又不等式(2)0f x +>解集为(1,1)-，故1m = （2）由(1)知231a b c ++=，又,,a b c 是正实数， 由柯西不等式得111111()(23)2323a b c a b c a b c++=++++29≥= 当且仅当111,,369a b c ===时取等号 故11123a b c++的最小值为9。
2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷(文科)(2)(解析版)
2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．124．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜05．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24B ．48C ．54D ．728．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c=2，b=2，C=30°，则角B 等于（A ．30°B ．60°C ．30°或60°D ．60°或120°9．已知函数，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．（﹣1，0]C ．D ．10．如图F 1，F 2是双曲线与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的公共点，若|F 1F 2|=|F 1A |，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数y=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设x ，y 满足约束条件，若目标函数2z=2x +ny （n ＞0），z 的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．12【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】由已知结合等差数列的性质整体运算求解．【解答】解：∵a3+a8=6，∴3a2+a16=2a2+a2+a16=2a2+2a9=2（a3+a8）=12．故选：D．4．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选D．5．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数的导数，问题转化为2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣≥0，即2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，则a≤2，而0＜a＜2⇒a≤2，故选：A．6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣1【考点】程序框图．【分析】确定log34＞log43，可得M=log34•log43﹣2，计算可得结论．【解答】解：∵log34＞1，0＜log43＜1，∴log34＞log43，∴M=log34•log43﹣2=﹣1，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．54 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原为如图所示的直视图，即可得出．【解答】解：还原为如图所示的直视图，．故选：A．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinB==，由范围B∈（30°，180°）利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣1，0]C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数，结合已知条件，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：由题意，得或，解得或﹣1＜a≤0，即实数a的取值范围为，故选C．10．如图F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：由题意F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点可知，|F1F2|=|F1A|=6，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=4，∴|F1A|+|F2A|=10，∵2a=10，∴C2的离心率是．故选：C．11．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．【解答】解：当x≥0时，函数y==，y′=，有且只有一个极大值点是x=2，故选：A．12．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值求出n，然后利用三角函数的平移变换求解即可．【解答】解：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点B（1，1）时，z取得最大值，即，解得n=2；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，即可求出m的值．【解答】解：由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4．故答案为4．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=﹣4．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知得，从而，由此能求出x+2y的值．【解答】解：∵，∴，即，∴x=6，y=﹣5，∴x+2y=﹣4．故答案为：﹣4．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，运用二次函数的最值求法，可得m2﹣3m≤﹣2，解不等式可得m的范围，再由￢p为真命题时，则P为假命题，即可得到所求m的范围．【解答】解：∵对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，∴，即m2﹣3m≤﹣2，即有（m﹣1）（m﹣2）≤0，解得1≤m≤2．因此，若￢p为真命题时，则P为假命题，可得m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=．∴x1x2x3•…•x2015==则log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015=log2016（x1x2x3•…•x2015）=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知得：a2+a5+a8=33，即a5=11．又（11﹣4d+2）（11﹣2d+13）=（11﹣3d+5）2，解得d=2或d=﹣28（舍），a1=a5﹣4d=3，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1．又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2，∴．（2）=+1，∴，，两式相减得，∴．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）的最小正周期是π求出ω，写出f（x）解析式；根据正弦函数的单调性求出f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间；（2）根据x∈[，]时2x﹣的取值范围，再求出对应函数f（x）的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωxsin（ωx﹣）=4cosωx（sinωx﹣cosωx）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1﹣1=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=2sin（2ωx﹣）﹣1，且f（x）的最小正周期是，所以ω=1；从而f（x）=2sin（2x﹣）﹣1；令，解得，所以函数f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间为和．（2）当x∈[，]时，2x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，2sin（2x﹣）∈[，2]，所以当2x﹣=，即x=时f（x）取得最小值1，当2x﹣=，即x=时f（x）取得最大值﹣1；所以f（x）在上的最大值和最小值分别为．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CB⊥AB，CB⊥AF，推出AF⊥BF，然后证明AF⊥平面CBF；（2）设DF的中点为H，连接MH，证明∥平面DAF．求出三棱锥M﹣DAF的体积V1，多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD的体积之和，q求出多面体CD﹣AFEB的体积V2，即可求解V1：V2．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊄平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB为圆O的直径，得AF ⊥BF，BF∩CB=B，∴AF⊥平面CBF．（2）解：设DF的中点为H，连接MH，则∴，又，∴，∴OAHM为平行四边形，OM∥AH，又∵OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．显然，四边形ABEF为等腰梯形，∠BAF=60°，因此△OAF为边长是1的正三角形．三棱锥M﹣DAF的体积；多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD的体积之和，计算得两底间的距离．所以，，所以，∴V1：V2=1：5．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）tan∠PFO=，可得=，c=b，a==b．即可得出．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，由k1+k2=2，即+=2，化为：ty1•y2=y1+y2，利用根与系数的关系代入即可得出．直线l的斜率为0时也成立．【解答】解：（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．∴==．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，y1+y2=，y1•y2=，∵k1+k2=2，∴+=2，化为：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），即：ty1•y2=y1+y2，∴t•=，对∀t∈R都成立．化为：b2=1，直线l的斜率为0时也成立，∴b2=1，∴椭圆C的方程为．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）做出函数f（x）=|x•e x|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=xe x，f′（x）=（x+1）e x＞0，f（x）在[0，+∞）递增，x＜0时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣（x+1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减；（2）g（x）=﹣1的x有四个，∴f2（x）+tf（x）﹣1=0有4个根，f（x）=|x•e x|的图象如图：在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）﹣1=0一根在（0，）中间，一根在（，+∞），∴+t+1＜0，∴t﹣＜﹣﹣1，∴t＜﹣﹣e=﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为ρ1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得ρ2．可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（1）将代入曲线C1方程：（x﹣1）2+y2=1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））问题转化为|x+5﹣a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解出即可．【解答】解：（1）∵|x+5﹣a|≤2，∴a﹣7≤x≤a﹣3，∵f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为：[﹣5，﹣1]，∴，∴a=2．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|≥5，∵∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2成立，∴4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解得：m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．2017年4月2日。
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(七)文科数学试题含答案
绝密★启用前江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(七）本试题卷共!语法错误，＊2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知()2iiiab a b+=+∈R，，其中i为虚数单位,则a b+等于( ）A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解析】由题意得,()2i i ia b+=+，即2i1ia b+=-+，所以 1 2a b=-=，,所以1a b+=，故选B．2．已知集合{}|15A x x=<<，{}2|320B x x x=-+<，则AB =（）A．{}|25x x<<B．{}|25x x<≤C．{}|25x x≤≤D．∅【答案】B【解析】{}{}2|320|12B x x x x x=-+<=<<,所以{}|25AB x x=<≤,故选B．3．函数xxy2cos32sin-=的图象的一条对称轴方程为（）A．π12x=B．π12x=-C．π3x=D．π6x=-【答案】B【解析】由题意得，函数πsin222sin(2)3y x x x==-，令ππ232x-=-解得π12x=-,所以函数的其中一条对称轴的方程为π12x=-，故选B．4．已知x与y之间的一组数据：12343.24。
赣州市2017年高三摸底考试文科数学
高三数学（文科）试题第1页（共5页）高三数学（文科）试题第2页（共5页）赣州市2017年高三年级摸底考试文科数学2017年3月注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =ðA .{2}B .{3}C .{124}，，D .{14}，2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z 所对应的点在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.设命题p ：函数()y f x =不是偶函数，命题q ：函数()y f x =是单调函数，则p 是q 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则这两个数不相邻的概率为A .0.3B .0.4C .0.5D .0.65.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为A .10B .9C .8D .76.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为A .2B .3C .12D .137.如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为A .(21)π+B .(22)π+C .(23)π+D .(24)π+8.抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是C 上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1（O 为坐标原点），则p 的值为A .1B .2C .3D .49．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图，π()12f =-，则(0)f 的值为A .1B .12C .2D .2210.秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一．秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年．如图是该算法求函数3()1f x x x =++零点的程序框图，若输入1x =-，1c =，0.1d =，则输出的x 的值为A .0.6-B .0.69-C .0.7-D .0.71-11.已知函数()|22|xf x b =-+的两个零点分别为1212,()x x x x >，则下列结论正确的是A .11212,2x x x <<+<B .11212,1x x x <<+<C .1121,2x x x >+<D .1121,1x x x >+<12.在三棱锥ABCD 中，BC CD ⊥，Rt BCD ∆斜边上的高为1，三棱锥ABCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD 体积的最大值为A .13B .23C .1D .437π12π12,,x c d()0f x ≤x x c=+x x c =-0.1c c=()0f x =xc d<高三数学（文科）试题第3页（共5页）高三数学（文科）试题第4页（共5页）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
江西省抚州市七校2017届高三上学期联考文数试题01 含
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}{}2|6,|11180M x N x N x x x =∈<=-+<，则MN 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,5 【答案】A考点：集合的表示方法及交运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分 D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C【解析】试题分析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格，p 的逆否命题的是：若,,A B C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选：C ． 考点：原命题与它的逆否命题之间的关系．3.设()()2,f x x g x x R -=∈，若函数()f x 为偶函数，则()g x 的解析式可以为（ ） A ．3x B ．cos x C ．1x + D ．xxe 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，只要()g x 为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选：B ．考点：函数奇偶性的运用．4.若0cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos 2x 等于（ ） A ．12-B ．34-C ．0D ．12【答案】C 【解析】 试题分析：0000cos sin 63cos18cos63sin18sin 452x =-=︒=21cos 22cos 12102x x =-=⨯-=.考点：三角函数的恒等变换.5.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c o s c o s ,2b A a B c a b +===，则ABC∆的周长为（ ）A ．7.5B ．7C ．6D ．5 【答案】D考点：余弦定理在解三角形中的应用. 6.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若353520,64a a a a +==，则6S 等于（ ）A ．63或126B ．252C ．126D ．63 【答案】C 【解析】 试题分析：因为11n na a +<，所以01q <<，又因为 353520,64a a a a +==，所以35,a a 是方程220640x x -+= 的两根，易得：3516,4a a == ，从而得到114,2a q ==，所以6126S =. 考点：等比数列通项及求和. 7.2cos 3x x +=，则7tan 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．79±B．7± C．± D．4± 【答案】D考点：三角函数恒等变换.【思路点晴】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.8.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA 的值为（ ） A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D 【解析】试题分析：如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，∴0OD AD ∙=，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +∙=∙-=-∙∙4AO OD OD AD ∙+∙=-2cos 444OA OD AOD ODOA OD ∙∙∠∙===.AOB ∆中，利用余弦定理可得AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=∙∙=∙∙︒可得111222OD =∙∙，所以OD =328OE EA =，故选：D.考点：向量数量积与解三角形.9.已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ． 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：结合图象，）（1,0x ∈和），（∞+∈4x 时，0)()(<-'x f x f ，而xe xf )(x f x g -'='）（）（，故）（x g 在）（1,0,），（∞+4递减，故选：D ．考点：函数的单调性.10.已知函数()sin cos f x a x b x =-（其中,a b 为正实数）的图象关于直线6x π=-对称，且12,x x R ∀∈，12x x ≠且()()124f x f x ≤恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b ==B ．不等式()()124f x f x ≤取到等号时21x x -的最小值为2πC ．函数()f x 的图象的一个对称中心为2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B考点：命题的真假的判断与应用与三角函数的最值. 11.若数列{}n a 满足112523n n a an n +-=++，且15a =，则数列{}n a 的第100项中，能被5整除的项数为（ ）A ．42B ．40C ．30D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：由数列{}n a 满足112523n n a a n n +-=++，即112(1)323n n a an n +-=+++，所以11213a =⨯+，∴数列{}23n a n +是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴23n a n n =+，∴223n a n n =+，由题意可知：∴每10中有4项能被5整除，∴数列{}n a 的前100项中，能被5整除的项数40，故答案选：B ．考点：求通项公式的方法，考查等差数列通项公式，考查数列的周期性. 12.已知函数()()225,4x f x g x x x =-=-，给出下列3个命题：1:p 若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．2:p 不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集． 3:p 当0a >时，若[]()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥恒成立，则3a ≥．那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）A ．123p p p 、、B ．23p p 、C ．12p p 、D ．1p 【答案】A考点：命题的真假判断与应用.【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题，属于中等题.处理最值问题常考方法有：二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导数法等等，根据所给函数的结构合理选择；解不等式问题常用方法：借助单调性解不等式、数形结合法、对称法等等；而恒成立问题往往转化为最值问题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.等比数列{}214n +的公比为_____________．【答案】16 【解析】试题分析：35212a =4a =4q=4=16⇒，. 考点：等比数列基本运算.14.设函数()()621log ,4,4x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f +=_____________． 【答案】4 【解析】试题分析：,9log 1)9(3f 6+==f ）（4log 14f 6+=）（,()()34f f +=436log 26=+. 考点：分段函数与对数运算.15.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知222a b c +-=，且sin ac B C =，则CA CB = _____________．【答案】3考点：向量的数量积与解三角形.【方法点晴】平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．16.若函数()423x x f x k x-=-有3个零点，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】()()2,00,2-【解析】试题分析：4233=0k=x 3,(0)x x k x x x---≠，得：，结合图象易知，实数k 的取值范围是()()2,00,2-.考点：函数的零点.【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0f x =，变为两个函数3,3y k y x x ==-，先画出33y x x =-的图象，然后将y k =的图象上下平动，得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知0m ≠，向量(),3a m m =，向量()1,6b m =+，集合()(){}2|20A x x m x m =-+-=.（1）判断“//a b ”是“a =（2）设命题:p 若a b ⊥，则19m =-.命题:q 若集合A 的子集个数为2，则1m =.判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由.【答案】（1）充分不必要条件；（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题.试题解析：解：（1）若//a b ，则()631m m m =+，∴1m =（0m =舍去），．．．．．．．．．．．．．1分此时()1,3,a a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分若a =1m =±，若“//a b ”是“a =．．．．．．．．．．．4分（2）若a b ⊥，则()1180m m m ++=，∴19m =-（0m =舍去），∴p 为真命题，．．．．．5分由()()220x mx m -+-=得2x m=，或2x m =-，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素，则22m m =-，∴1m =或2- ，故q 为假命题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：简易逻辑知识.18.在等差数列{}n a 中，2134a a +=，且56718a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若124,,a a a 成等比数列，求数列()122n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S【答案】（1）38782525n a n =-,n a n =；（2）22n nS n =+.（2）若124,,a a a 成等比数列，则n a n =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()()111111222121n n a n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴1111111111222312122n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：等差等比数列基本运算及裂项相消法求和.19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足1801204P Q a =+=+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.（2）()()118020012025044f x x x =+-+=-+， 依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩，故()()1250201804f x x x =-+≤≤．．．．．．8分令t ⎡=⎣，则()(221125028244f x t t =-++=--+，当t =128x =时，()max 282f x =，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．．．．．．．．．．．12分考点：函数的实际应用问题.20.如图所示，在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，32,cos ,273AE B ADB π==∠=．（1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积．【答案】（1）2AD =；（2）4ADE S ∆=. 【解析】试题分析：（1）在ABD ∆中, 求出sin 14BAD ∠=，利用正弦定理求AD 的长；（2）在A C D ∆中由余弦定理得1DC =124ADE ACD S S ∆∆==.（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠， 即29422cos3DC CD π=+-⨯⨯,∴2250DC DC --=，解得1DC =+．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴(11sin 2122ACD S AD DC ADC ∆=∠=⨯⨯+，从而12ADE ACD S S ∆∆==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形.【思路点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21.（本小题满分12分）已知函数()()()3x f x x a e x =+>-，其中a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点()0,A a 处的切线l 与直线22y a x =-平行，求l 的方程；（2）讨论函数()y f x =单调性.【答案】（1）43y x =+,4133y x =+；（2）当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---，当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增.（2）令()()10xf x x a e '=++=得1x a =--， 当13a --≤-，即2a ≥时，()()()10,x f x x a e f x '=++>在()3,-+∞上递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当13a -->-即2a <时，令()0f x '>得1x a >--，()f x 递增；令()0f x '<得()31,x a f x -<<--递减，综上所述，当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---；当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的应用.22.记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =已知函数(){}(){}22max 1,2lnx ,max ln ,f x x g x x x ax x =-=++.（1）求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）试探讨是否存在实数a ，使得()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）存在，ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据题意，明确给定范围上的()f x 的表达式，然后求值域；（2）根据题意，明确给定范围上的()g x 的表达式，然后恒成立问题就转化为最值问题.（2）①当0a ≤时，∵()1,x ∈+∞，∴()22ln ln 0x x ax x x ax +-+=->，∴2ln x x ax x +>+，∴()ln g x x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 若()342g x x a <+，对()1,x ∈+∞恒成立，则1ln 42x x a -<对()1,x ∈+∞恒成立， 设()1ln 2h x x x =-，则()11222x h x x x -'=-=， 令()0h x '>，得()12,x h x <<递增；令()0h x '<，得()2,x h x >递减．∴()()max 2ln 21h x h ==-，∴4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a ≤，∴ln 21,04a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．．．．9分②当0a >时，由（1）知3ln 42x x x a +<+，对()1,x ∈+∞恒成立， 若()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，则2342ax x x a +<+对()1,x ∈+∞恒成立， 即2280ax x a --<对()1,x ∈+∞恒成立，这显然不可能． 即当0a >时，不满足()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故存在实数a ，使得()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦．．．．．．．12分 考点：导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.。
【数学】江西省吉安市2017届高三下学期第一次模拟考试数学文试题Word版含答案
【关键字】数学白鹭洲中学数学试卷(下学期)第一次模拟考试数学试卷（文）命题人：高三数学备课组考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共１２题，每小题５分，共６０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U=R,集合，，则（）C.2．将=2cos(+)的图象按向量=(-,)平移，则平移后所得图象的解析式为（）A．=2cos(+)-2 B．=2cos(-)-2C．=2cos(+)-2 D．=2cos(+)+23．点P（,）在直线4+3=0上且满足-14 -7,则点P与坐标原点距离的取值范围是（）A． B C D4．已知等差数列{}中，，若，则数列{}的前5项和等于（）A.30B.90 D.1865．已知双曲线右支上一点P到左右两焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点距离为（）A B C D6．的解集为( )7．一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,引此球的表面积为( )A.3 BC.3 D.68．设抛物线2=2p (P＞0),M为直线=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B, A，B，M的横坐标分别为则( )A. BC. + =D. 以上都不对9．已知函数f()=的图象与g()=-1的图象在y轴右侧交点按横坐标从小到大顺序记为则等于（）A B C D10．已知对任意实数.都有，且＞0时，＞0，＞0，则＜0时有（）A＞0，＞0 B ＞0，＜0C＜0，＞0，D＜0，＜011. 现有一种利用声波消灭蟑螂的机器,其工作原理如图,圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播，若D是DFE弧与x轴的交点，设OD=，，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为（图中阴影部分），则函数= f（）的图象大致是（）12．设M是中的任意一点，且。
定义f(P)=(m,n,p),其中m,n,p表示MBC，MCA，MAB的面积，若f(Q)=(,,y)，则在平面直角坐标系中点（,y）轨迹是（）二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分.把答案填在题中横线上.13．函数f()=的最大值与最小值的和为________________.14．已知.,则=_________________.15．我们把三个集合中,通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为”鼠标关系”,如图1,可称a与q,b与q, c与q都为”鼠标关系”集合A={a,b,c,d},通过集合 B={1,2,3} 与集合C={m,n}最多能够产生_________条”鼠标关系”,(只要有一条连线不同则”鼠标关系”不同)图1 图216. 已知定义域为的偶函数f(x)的一个单调递增区间是(2,6),关于函数A.一个递减区间是(4,8)B.一个递增区间是(4,8)C ．其图象对称轴方程为 D.其图象对称轴方程为 其中正确的序号是______________.三、解答题：本大题共６小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b θθϕϕ== （1） 若3πθϕ-=，求a b -的值；（2） 若3πθϕ+=，记(),0,2f a b a b πθλθ⎡⎤=⋅-+∈⎢⎥⎣⎦. 当12λ≤≤时，求()f θ的最小值.18.（本小题满分12分）一个袋中有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是79. （1）求白球的个数；（2）求从袋中任意摸出3个球，至多有一个白球的概率.19．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA AB AC ===,090BAC ∠=,D 为侧面11ABB A 的中心，E 为BC 的中点（1） 求证：平面1B DE ⊥侧面11BCC B ； （2） 求异面直线1A B 与1B E 所成的角； （3）求点1A 到面1B DE 的距离.BA 1 C 1B 1ACED20. （本小题满分12分）已知函数322()(0)f x ax a x a =->存在实数12,x x 满足下列条件： ①12x x <；②''12()()0f x f x ==；③122x x +=（1） 证明：03a <≤； （2） 求实数b 的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，设椭圆22221(0)x x a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F，离心率为e =，右准线L 上两动点M ，N ，2F 为△1F MN 的垂心.（1）若12F M F N ==，求a ，b 的值；（2）若12FM F N +与12F F 共线，求MN 的值（用a22、（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，记21n n n a b a -=+ （1） 求证：数列{}n b 是等比数列，并求n b ； （2） 求数列{}n a 的通项公式n a ； （3） 记12,n n n n c nb S c c c ==+++，对任意正整数n ，不等式13111()()0322232n n n m S n +++--->恒成立，求最小正整数m .答题卷（文）一选择题（共12题，每题5分，共60分）二填空题（共4题，每题4分，共16分）13____2_____ .14 330 ．15 24 ．16 BC ． 17．解：（1）a b -＝14分（2）cos cos sin sin cos()cos(2)3a b πθϕθϕθϕθ⋅=+=-－＝5分22cos(2cos()2cos()66a b ππθθ+=+=-=-7分∴ ()cos(2)2cos()36f a b a b ππθλθλθ=⋅-+=--- 8分2()2cos ()2cos()166f ππθθλθ=----令cos()6t θθ=-，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦222()2212()124f t t t t λλλ=--=---10分又12λ≤≤，1122λ≤≤ 2t λ∴=时，()f t 有最小值214λ--∴()f θ的最小值为214λ--12分18.解析：（1）设袋中白球的个数为x ，则210210719xC C --=……3分又x ∈N ∴x ＝5故白球有5个 ……6分（2）21255522101012C C C P C C =+= ……10分 19．解：（1）连接AE ，因为AB=AC,E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC 1分又侧面11BCC B ⊥底面ABC ，因此AE ⊥侧面11BCC B2分AE ⊂1B DE 所以平面1B DE ⊥侧面11BCC B 4分（2）取AE 中点F ，连接DF ，则DF ∥1B E所以∠BDF 为异面直线1A B 与1B E 所成的角6分在 △BDF 中，,112DF B E ===BF = 222cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠==⋅∴求异面直线1A B 与1B E 所成的角 8分（3）因为D 为1A B 的中点，所以点B 到面1B DE 的距离等于点1A 到面1B DE 的距离h 由11B AB E B ABE V V --=得111133AB E ABE S h S BB ⋅=⋅△△ 即113ABE AB E S BB h S ⋅==△△12分20.解（1）'22()3f x ax a =+-则方程'()0f x =的两个实根为12,x x ，由韦达定理可知：BA 1 C 1B 1ACEDF1203ax x =-<，故120x x << 又122x x +=∴21221212,132x x ax x x x --==-≤＋（）＝∴03a <≤6分（2）2123x x a-==即3239b a a += 32203393(3)0a b a a a a <≤∴=-+=--≥另一方面，记()b g a =，则'2()9189(2)g a a a a a =-+=-- 当02a <<时，'()0g a >，当23a <≤时，'()0g a <∴(2)12012b g b ≤=∴≤≤12分21．解：（1）由2222a b c c e a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩得222a b = ……1分1(,0)F ，1,0)F ，L：x =设12,),,)M y N y ，则112322,,22F M a y F N a ⎛⎫⎛== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭由2F 为△1F MN 的重心知，120F M F N =得212302y y a =-< ① ……3分 由12FM F N ===② =③ ……4分 由①②③联立方程组，消去12y y 得24a = ∴a ＝2，b ……6分（2）易知()12122,F M F N y y +=+，()122,0F F =12FM F N +与12F F 共线 知 120y y +＝ ……9分 ∴2222121212()()46MNy y y y y y a =-=+-= ∴6MN a = ……12分22. （本小题满分12分）解：（1）11212222121222111n nn n n n n na a a a a a a a +++----===-+++++4分112n n b b +∴=-∴ 数列{}n b是公比为12-的等比数列，且首相为112b =-6分∴ 1()2n n b =-8分(2)由21()12nn n a a -=-+得112(1)2(1)n n n n n a +-+-=+- 10分(3)2311112()3()()2222n n S n =-+⋅-+-++- 12n S -= 2311111()2()(1)()()2222n n n n +-+-++--+-两式相减得11111()()322n n n S n +⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦12分∴13111()()0322232n n n m S n +++--->即1320113233m m m ->⇒>∴≥ ∴ 最小的正整数11m =14分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．124．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜05．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．54 D．728．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣1，0]C．D．10．如图F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．11．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B． C．D．12．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．12【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】由已知结合等差数列的性质整体运算求解．【解答】解：∵a3+a8=6，∴3a2+a16=2a2+a2+a16=2a2+2a9=2（a3+a8）=12．故选：D．4．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选D．5．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数的导数，问题转化为2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣≥0，即2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，则a≤2，而0＜a＜2⇒a≤2，故选：A．6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0 B．1 C．3 D．﹣1【考点】程序框图．【分析】确定log34＞log43，可得M=log34•log43﹣2，计算可得结论．【解答】解：∵log34＞1，0＜log43＜1，∴log34＞log43，∴M=log34•log43﹣2=﹣1，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．54 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原为如图所示的直视图，即可得出．【解答】解：还原为如图所示的直视图，．故选：A．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinB==，由范围B∈（30°，180°）利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣1，0]C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数，结合已知条件，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：由题意，得或，解得或﹣1＜a≤0，即实数a的取值范围为，故选C．10．如图F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：由题意F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点可知，|F1F2|=|F1A|=6，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=4，∴|F1A|+|F2A|=10，∵2a=10，∴C2的离心率是．故选：C．11．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．【解答】解：当x≥0时，函数y==，y′=，有且只有一个极大值点是x=2，故选：A．12．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值求出n，然后利用三角函数的平移变换求解即可．【解答】解：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点B（1，1）时，z取得最大值，即，解得n=2；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，即可求出m的值．【解答】解：由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4．故答案为4．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=﹣4．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知得，从而，由此能求出x+2y的值．【解答】解：∵，∴，即，∴x=6，y=﹣5，∴x+2y=﹣4．故答案为：﹣4．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，运用二次函数的最值求法，可得m2﹣3m≤﹣2，解不等式可得m的范围，再由￢p为真命题时，则P为假命题，即可得到所求m的范围．【解答】解：∵对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，∴，即m2﹣3m≤﹣2，即有（m﹣1）（m﹣2）≤0，解得1≤m≤2．因此，若￢p为真命题时，则P为假命题，可得m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+…+log2016x2015的值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=．∴x1x2x3•…•x2015==则log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015=log2016（x1x2x3•…•x2015）=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知得：a2+a5+a8=33，即a5=11．又（11﹣4d+2）（11﹣2d+13）=（11﹣3d+5）2，解得d=2或d=﹣28（舍），a1=a5﹣4d=3，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1．又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2，∴．（2）=+1，∴，，两式相减得，∴．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）的最小正周期是π求出ω，写出f（x）解析式；根据正弦函数的单调性求出f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间；（2）根据x∈[，]时2x﹣的取值范围，再求出对应函数f（x）的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωxsin（ωx﹣）=4cosωx（sinωx﹣cosωx）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1﹣1=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=2sin（2ωx﹣）﹣1，且f（x）的最小正周期是，所以ω=1；从而f（x）=2sin（2x﹣）﹣1；令，解得，所以函数f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间为和．（2）当x∈[，]时，2x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，2sin（2x﹣）∈[，2]，所以当2x﹣=，即x=时f（x）取得最小值1，当2x﹣=，即x=时f（x）取得最大值﹣1；所以f（x）在上的最大值和最小值分别为．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CB⊥AB，CB⊥AF，推出AF⊥BF，然后证明AF⊥平面CBF；（2）设DF的中点为H，连接MH，证明∥平面DAF．求出三棱锥M﹣DAF的体积V1，多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD的体积之和，q求出多面体CD﹣AFEB的体积V2，即可求解V1：V2．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊄平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB为圆O的直径，得AF ⊥BF，BF∩CB=B，∴AF⊥平面CBF．（2）解：设DF的中点为H，连接MH，则∴，又，∴，∴OAHM为平行四边形，OM∥AH，又∵OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．显然，四边形ABEF为等腰梯形，∠BAF=60°，因此△OAF为边长是1的正三角形．三棱锥M﹣DAF的体积；多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD的体积之和，计算得两底间的距离．所以，，所以，∴V1：V2=1：5．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）tan∠PFO=，可得=，c=b，a==b．即可得出．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，由k1+k2=2，即+=2，化为：ty1•y2=y1+y2，利用根与系数的关系代入即可得出．直线l的斜率为0时也成立．【解答】解：（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．∴==．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，y1+y2=，y1•y2=，∵k1+k2=2，∴+=2，化为：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），即：ty1•y2=y1+y2，∴t•=，对∀t∈R都成立．化为：b2=1，直线l的斜率为0时也成立，∴b2=1，∴椭圆C的方程为．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）做出函数f（x）=|x•e x|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=xe x，f′（x）=（x+1）e x＞0，f（x）在[0，+∞）递增，x＜0时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣（x+1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减；（2）g（x）=﹣1的x有四个，∴f2（x）+tf（x）﹣1=0有4个根，f（x）=|x•e x|的图象如图：在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）﹣1=0一根在（0，）中间，一根在（，+∞），∴+t+1＜0，∴t﹣＜﹣﹣1，∴t＜﹣﹣e=﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为ρ1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得ρ2．可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（1）将代入曲线C1方程：（x﹣1）2+y2=1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））问题转化为|x+5﹣a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解出即可．【解答】解：（1）∵|x+5﹣a|≤2，∴a﹣7≤x≤a﹣3，∵f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为：[﹣5，﹣1]，∴，∴a=2．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|≥5，∵∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2成立，∴4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解得：m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．2017年4月2日。