人教版九年级数学上切线长定理和三角形的内切圆含答案
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
3第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。
切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆，这俩玩意儿看上去有点高深莫测，但其实嘛，真没那么复杂，大家来轻松聊聊。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，跟朋友们一起聚会，话题从生活琐事聊到数学，大家哈哈大笑，结果你一不小心提到了这两样东西。
你朋友们肯定会瞪大眼睛，疑惑地问：“这是什么鬼？”别急，让我来给你解解惑。
切线长定理就像是数学界的小秘密。
啥意思呢？就是在一个圆外，如果你画一条切线，这条线跟圆的交点只有一个，那就有点意思了。
这条切线的长度与从圆心到切线的距离有关。
大家可能会想，听起来好像没啥用。
切线长定理就像生活中的一条真理，适用性非常广。
举个例子，如果你想用一根绳子围住一个圆，绳子长短跟你离这个圆的远近有直接关系。
这种简单的道理其实在很多地方都能找到，比如你在超市排队，越靠近收银台，越容易看到商品，哈哈，明白了吗？说到内切圆，它就像是三角形里的小秘密武器。
内切圆的意思就是一个圆，它刚好能碰到三角形的三条边。
听上去是不是很神奇？这就好比你想象一下，一个小朋友在玩捉迷藏，躲在一个房间的正，四周都有墙壁，但它总能找到一个最舒服的位置，这就是内切圆的感觉。
三角形的每一条边都可以算得上是“朋友”，而这个内切圆就像是它们的聚会地点。
更妙的是，内切圆的半径跟三角形的面积和周长有着密不可分的关系。
这就像是你在聚会中，跟朋友们聊得开心的同时，气氛越好，大家就越会聚在一起，形成一种共鸣。
再说切线长定理和内切圆的关系。
这俩玩意儿就像是一对黄金搭档。
在三角形里，如果我们在三角形的每一边画切线，切线的长度与内切圆的半径又有妙不可言的联系。
简而言之，切线的长度告诉你这个圆有多大，而内切圆又是三角形的灵魂。
大家可以想象，内切圆就像是三角形的情感核心，而切线则是把这情感包围起来的纽带。
它们互相依存，缺一不可。
我们可以通过简单的图形来理解这一切。
想象一下，一个大三角形，中间有一个小圆，圆正好包裹住三角形的每一条边。
你站在三角形的某个顶点，伸出手，发现能碰到内切圆的点。
人教版数学九年级上册 切线长定理及三角形的内切圆
第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？知识要点：1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2.切线长与切线的区别在哪里？问题2 P A为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB 是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？P A、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？要点归纳：切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知：如图P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：P A=PB，⊙APO=⊙BPO.想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．例 2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得P A=5cm，求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练P A、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.(1)若AP=4，则OP= ；(2)(2) 若⊙BP A=60°，则OP= .探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1) 如果半径为r的⊙I与⊙ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2) 在⊙ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：⊙ABC.求作：和⊙ABC的各边都相切的圆O.知识要点：1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1 如图，⊙O是⊙ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2 如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么数量关系？知识要点：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3 如图，⊙ABC中，⊙ B=43°，⊙C=61°，点I是⊙ABC的内心，求⊙BIC的度数.例4 ⊙ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.比一比：三、课堂小结切线长定义切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线作法⊙分别连接圆心和切点；⊙连接两切点；⊙连接圆心和圆外一点.三角形内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= °，PB= .第1题图第2题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.3.如图，在△ABC中，点I是内心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BIC= °；(2)若∠A=80 °，则∠BIC = °；(3)若∠BIC=100 °，则∠A = °；(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？当堂检测4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与⊙O交于点A，B，连接P A，PB，直线P A，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.知识要点：⊙切线是直线，不能度量.⊙切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．问题2：OB 是☉O 的一条半径，PB 是⊙O 的切线，P A =PB ，⊙APO =⊙BPO. 推理验证：证明：⊙P A 、PB 是☉O 的两条切线，⊙ OA ⊙P A ，OB ⊙PB . ⊙OA =OB ，OP =OP ，⊙Rt⊙OAP ⊙Rt⊙OBP ，⊙P A =PB ，⊙APO =⊙BPO . 想一想 解：OP 垂直平分AB .证明：⊙P A ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 是切点⊙P A = PB ，⊙OP A =⊙OPB⊙⊙P AB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线.⊙OP 垂直平分AB .典例精析例1 证明：⊙AB 、BC 、CD 、DA 与⊙O 分别相切与点E 、F 、G 、H ，⊙ AE =AH ，BE =BF ，CG =CF ，DG =DH .⊙ AE +BE +CG +DG =AH +BF +CF +DH .⊙AB +CD =AD +BC . 变式训练 50例2 解：设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA.⊙AP 、AB 为⊙O 的切线，⊙OP ⊙AP ，⊙P AO =⊙BAO .又⊙⊙BAC ＝60°，⊙P AO ＋⊙BAO ＋⊙BAC ＝180°，⊙⊙P AO ＝⊙BAO ＝60°.⊙⊙POA ＝30°.在Rt⊙OP A 中，P A ＝5，⊙POA ＝30°，⊙OA =2P A =10，⊙OP =225 3.OA PA -=即铁环的半径为53cm.练一练： （1） 5 （2） 6 探究点2：三角形的内切圆及作法 问题1 最大的圆与三角形三边都相切问题2 圆心I 应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心I . 做一做 作法：1.作⊙ABC 和⊙ACB 的平分线BM 和CN ，交点为O .2.过点O 作OD ⊙BC ，垂足为D .3.以O 为圆心，OD 为半径作圆O . ⊙O 就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1 OA ，OB ，OC 分别平分⊙CAB ，⊙ABC ，⊙BCA . 问题2 OE =OF =OG例3 解：连接IB ，IC .⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙BI ，CI 分别平分⊙ABC ，⊙ACB ，在⊙IBC 中，⊙BIC =180°-（⊙IBC +⊙ICB ）=180°-12(⊙ABC +⊙ACB )=180°-12（43°+61°）=128°. 例 4 解：设AF =x cm ，则AE =x cm.⊙CE =CD =AC -AE =9-x ，BF =BD =AB -AF =13-x .由 BD +CD =BC ，可得 (13-x )+(9-x )=14，解得x =4.⊙ AF =4cm ，BD =9cm ，CE =5cm.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分⊙BAC、⊙ABC、⊙ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20 42.113.（1）120 （2）130 （3）20 （4）⊙BIC=90°+12⊙A4.方法①证明：连接OD，⊙AC切⊙O点D，⊙OD⊙AC，⊙⊙ODC=⊙B=90°.∵OD＝OB，OC＝OC，⊙Rt⊙ODC⊙Rt⊙OBC（HL）.⊙⊙DOC=⊙BOC.⊙OD=OE，⊙⊙ODE=⊙OED.⊙⊙DOB=⊙ODE+⊙OED，⊙⊙BOC=⊙OED，⊙DE⊙OC．方法②证明：连接BD，如图.⊙BC⊙AB，⊙BC切⊙O于点B，⊙AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，⊙DC=BC，OC平分⊙DCB．⊙OC⊙BD．⊙BE为⊙O的直径，⊙DE⊙BD．⊙DE⊙OC．5.证明：连接BI.⊙I是⊙ABC的内心，AD平分⊙BAC，⊙ 点I在AD上，⊙ABI =⊙CBI.⊙⊙CBD=⊙CAD，⊙⊙BAD=⊙CBD.⊙⊙BID=⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID=⊙IBD.⊙BD=ID．。
24.切线长定理及三角形的内切圆课件
作法：
M
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
O
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
D
CC ☉O 就是所求的圆.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与
点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
A
要点归纳
切线长定理：
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
D
求证：AB + CD = AD + BC.
G C
解：连接 IB，IC.
A
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
I
在△IBC 中，
B
C
BIC 180° (IBC ICB)
180° 1 (ABC ACB) 180° 1 (43° 61°)
2
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程
人教版数学九年级上册24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、内心教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画图或制作模型时，是否遇到过需要求出某个点到三角形三边的距离？”这个问题与我们将要学习的内切圆的性质密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内切圆的奥秘。
-三角形内切圆的作法及其性质：学生需要了解内切圆的定义，掌握内切圆的作法，以及内切圆与三角形边、角的关系。
-内心的性质及其应用：学生应掌握内心的定义，理解内心与三角形的关系，并能够利用内心的性质解决几何问题。
举例：
-通过具体图形，演示切线长定理的推导过程，强调定理中的关键点，如切点、切线与半径的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内切圆的基本概念。三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，它能够帮助我们解决与三角形边长和面积相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用内切圆的性质来求解三角形的面积，以及它如何简化我们的计算过程。
-以实际操作的方式，让学生动手画出三角形的内切圆，并观察内切圆与三角形边、角的关系，突出内切圆的性质。
2.教学难点
-切线长定理的证明：理解并掌握切线长定理的证明过程对于学生来说是难点，需要教师通过直观演示和逻辑推理相结合的方式进行讲解。
-内切圆与内心的综合应用：在解决具体问题时，学生可能会难以将内切圆和内心的性质与问题相结合，需要教师引导和训练。
2.在教学中，将理论知识与实际问题相结合，能够激发学生的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。
人教版初三数学上册切线长定理、三角形的内切圆
课题：24.2.2直线和圆的位置关系（4）切线长定理、三角形的内切圆【学习目标】1．能知道什么是切线长、内切圆、内心．2．会应用切线长定理解决相关问题．3．感知图形的对称之美，提高学习数学知识的兴趣．【活动方案】活动1：(知道并能证明、应用切线长定理)1．过圆外一点能作圆的几条切线？自己试试看，小组内交流．2．什么是切线长？你是怎么理解的？3．如图1，猜想图中相等的线段和相等的角并证明．图1切线长定理：如图，P A，PB为⊙O的切线，A，B为切点．则：．4．如图2，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．活动2：（知道什么是三角形的内切圆、内心）阅读教材99页思考以下部分的内容回答下面的问题：1．什么叫内切圆？什么叫内心？图2 ＯＢＡO2．已知：点O 是△ABC 的内心．则：（1）O 是三角形的 的交点．（2）O 到 距离相等．3．例：△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB =9，BC=14，CA=13，求AF 、BD 、CE 的长．小结：本节课你的收获是什么？还有什么疑问？【检测反馈】1．△ABC 的内切圆的半径为2， △ABC 的周长为10，那么△ABC 的面积为_______ ．2．如图，在△ABC 中，I 是内心，FG 切⊙ I 于K 点，△AFG 的周长为10，∠BIC =110°，则AD =_______，∠A =_______ °，∠FIG = °．3．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°． 求∠P 的度数．Ａ O Ｂ C 图9P B D E C A I. G K F C DB。
人教版九年级数学上册第3课时切线长定理及三角形内切圆
BB
D
CC ☉O就是所求的圆.
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
归纳
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
B
C
切三角形.
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
A.6 3
B.5 3
C.4 3
D.3 3
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
3.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相 交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求
∠BIC的度数.
解：连接IB，IC. ∵点I是△ABC的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
A
I
B
C
在△IBC 中，BIC 180 (IBC ICB)
180 1 (ABC ACB) 180 1 (43 61 ) 128 .
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
随堂练习
1.如图，☉O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，
且DE为☉O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE
的周长是（ A ）
A.7
B.8
切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)
【点知讲解】
1. 切线长定理
对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则
圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④
经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个
A
半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切
A. 3 A
E
F
O
B
DC
第 2 题图
B. 4 AE D
O
F
B
C
第 3 题图
C. 2 + 2
A
D
F E
BO C 第 4 题图
D. 2 2
AE
D
PH
G
O
F
B
C
第 5 题图
4. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于点 E，则
△ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ）
.
9. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E，若 BC＝2，AC
＝3，则 AE·EB＝
.
AD
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 切
M
CD 于点 M，若这个梯形的面积是 10cm2，周长是 14cm，则半圆 O 的半径等 O
于
cm.
B
C
11. 已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. （1）如图 1，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大小.
切线长定理及三角形内切圆
A
E F
O
B
D
C
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， D N
L，M，N，P是切点，
P
C
∴AL=AP，LB=MB，
M
O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
练 习：
1、已知⊙O的半径为3cm，点P和 圆心O的距离为6cm，经过点P有 ⊙O的两条切线，则切线长为 P ______cm。这两条切线的夹角为 _____度6。0
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角。
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
。
P
O
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
思考：
如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形
的用料,并且使得圆的面积尽可能大?
大
中 分 校 初 三 数 学 备 课
三 角 形 的 内 切 圆
切 线 长 定 理 及
组
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
切线长定理和三角形的内切圆(复习)
∴AB = AC 2 - BC 2 = 2 2 - 12 = 3 , ∴△P AB 的周长为 3 3 .
数学
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6.如图 24-2-37, 已知 AB 为☉O 的直径, P A, P C 是☉O 的切 线, A, C 为切点, ∠B AC =30°. ( 1) 求∠P 的大小; ( 2) 若 AB =2, 求 P A 的长( 结果保留根号) .
图 24-2-28
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末
页
2.[2012·扬州]如图 24-2-29, P A, P B 是☉O 的切线, 切点分 别为 A, B, 点 C 在☉O 上, 如果∠AC B =70°, 那么∠P 的度 数是
40
度.
图 24-2-29
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末
页
【解析】 连接 O A, O B, 如图所示. ∵P A, P B 是☉O 的切线, ∴O A ⊥P A, O B ⊥B P , ∴∠O AP =∠O B P =90°. 又∵∠AC B =70°, ∴∠AO B =2∠AC B =140°, ∴∠P =360°-( 90°+90°+140°) =40°.
图24-2-26
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解: (1)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A =P B , E A =E Q , F Q =F B .∴△P E F 的周长 =P E +P F +E Q +F Q =P E +E A +P F +F B =P A +P B =24 cm. (2)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A ⊥O A, P B ⊥O B , E F ⊥O Q , ∠AE O =∠Q E O , ∠Q F O =∠B F O . ∴∠AO E =∠Q O E , ∠Q O F =∠B O F , ∠AO B =180°-∠
人教版初中数学九年级上册第二十四章切线长定理和三角形的内切圆
课堂小结
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？ （2）圆的切线和切线长相同吗？ （3）什么是三角形的内切圆和内心？
针对训练
2.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC
＝80°，则∠BOC的度数为( A )
A．130° B．100° C．50° D．65°
针对训练
3.从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6. △PDE的周长是多少？∠DOE度数为多少？
24.2切线长定理和三角形的内切圆
• 学习目标：
1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定 理，并会用其解决有关问题；
2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相 关知识解决问题，渗透转化思想．
• 学习重点：
切线长定理及其应用．
情境导入
已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能够过点 P 的内切圆 ⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于
点 D，E，F，且 AB=9，BC=14，CA=13．求 AF，BD，CE
的长．
A E
F
B
D
C
针对训练
1.下列说法正确的是( C )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
例题讲解
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与
⊙O分别相切与点E、F、G、H.
D
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O
分别相切与点E、F、G、H，
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质。
通过学习这一节内容，学生能够了解并掌握切线长定理，以及如何运用该定理求解三角形的问题。
同时，学生还能够了解三角形的内切圆和内心的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了相似三角形的性质，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
此外，学生可能对于如何运用这些性质解决实际问题还比较困惑，需要通过教师的引导和实例的讲解来进行理解和掌握。
三. 教学目标1.了解并掌握切线长定理，能够运用切线长定理求解三角形的问题。
2.了解三角形的内切圆和内心的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。
2.三角形的内切圆和内心的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质。
2.通过实例讲解和练习，让学生能够运用所学的知识解决实际问题。
3.采用分组合作的学习方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备相关的练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考和讨论如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和动力。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，并用相关的图示和实例进行讲解，让学生理解和掌握这些概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给予指导和解答疑问。
每组选择一道练习题，运用切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质进行求解，并将结果进行展示和讨论。
人教版数学九年级上册24.切线长定理、三角形的内切圆、内心课件
O P
B
思考：切线长 和切线的区分？
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
A
P O
B
小结：切线是直线. 切线长是一条线段的长.
猜猜切线长PA、PB的数量关系？
A
猜一猜
PA=PB
O B
1
2
P
如何证明？
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，连
∠P的度数．
B
解：连接OA，OB ∵∠E=60° ∠AOB=2∠E=120° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴∠P=360°-90°-90º-120º=60°
课堂小结
1、切线长定义：
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切 点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长.
2、切线长定理：
=PA+PB=8+8=16 ∴ΔPDE的周长为16cm.
结PO.
求证：PA=PB. ∠1=∠2
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切， O 点A，B是切点，
1
2
P
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
B
即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∠1和∠2有什 么关系呢？
∴ PA = PB ∠1=∠2
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
O
P
B
5、如图，△ABC的三条边BC，AC，AB分别与⊙O相 切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则 BC= 11cm , AC= 6cm ,AB= 9cm .
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切线长定理和三角形的内切圆知识点1切线长定理1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()图24-2-36A.1B.2C.3D.42.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是()图24-2-37A.6√3B.3√3C.6D.33.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是()图24-2-38A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()A.50°B.62°C.66°D.70°图24-2-39图24-2-405.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为()A.9B.7C.11D.86.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC.求证:AC=BC.图24-2-417.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.(2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.图24-2-42知识点2三角形的内切圆与内心8.三角形的内心是 ()A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是()图24-2-43A.h=R+rB.R=2rC.r=√34a D.R=√33a10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何.”其意思是:“如图24-2-44,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少.”其结果为()图24-2-44A.3步B.5步C.6步D.8步11.如图24-2-45,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°,求∠A 的度数.图24-2-4512.如图24-2-46,在△ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,点O是△BDC的内心,E,F分别为☉O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.(1)求证:①AE⊥EF;②AE∥DO.(2)若AC=6,☉O的半径为1,求AE的长.图24-2-46能力拓展提升13.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.举例:如图24-2-47①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.应用:如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC BP.求证:点P是△ABC的内心.于点E,且PF=12图24-2-4714.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:如图24-2-48①,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.AB,连接AP,BP,求∠APB (1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=12的度数;(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA 的长.图24-2-48典题讲评与答案详析1.B2.A3.D4.D[解析] ∵∠P=40°,∴∠PCD+∠PDC=140°.∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,∴AC=CE,DE=DB,∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°, ∴∠PAE+∠PBE=70°.5.C6.证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,∴AC=BC. 7.解:(1)∠APB=2∠BAC.理由:∵PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴∠PAB=∠PBA.∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,∴∠APO+∠PAB=90°.∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,即∠PAB+∠BAC=90°,∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.(2)存在.∵PA,PB为☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.又∵OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,∴PO=√2OA=4√2.这样的点P 有无数个,当点P 在以点O 为圆心,4√2为半径的圆上时,四边形PAOB 为正方形. 8.B9.C [解析] 如图.∵△ABC 是等边三角形,∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆,设圆心为O.过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD 过点O ,且D 为△ABC 的内切圆与边BC 的切点,设△ABC 的内切圆与边AC 的切点为E ,连接OE ,则OE ⊥AC. 由题意,得OE=r ,AO=R ,AD=h ,∴h=R+r ,故A 正确; ∵AD ⊥BC ,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt △AOE 中,AO=2OE ,∴R=2r ,故B 正确; ∵AB=AC=BC=a , ∴AE=12AC=12a.在Rt △AOE 中,由勾股定理,得AE 2+OE 2=AO 2, 即12a 2+r 2=(2r )2,12a 2+12R 2=R 2,∴r=√3a 6,R=√33a ,故C 错误,D 正确.故选C .10.C [解析] 如图,设BC=8,AC=15, 则AB=√82+152=17.∵S △ABC =12AC ·BC=12AB ·r+12AC ·r+12BC ·r=12r (AB+AC+BC ),∴r=AC ·BCAB+AC+BC =8×158+15+17=3.故该直角三角形能容纳的圆形的直径是6步. 11.解:连接ID ,IF ,如图.∵∠DEF=50°,∵∠DIF=2∠DEF=100°.∵☉I 是△ABC 的内切圆,与AB ,CA 分别相切于点D ,F ,∴ID ⊥AB ,IF ⊥AC ,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A+∠DIF=180°, ∴∠A=180°-100°=80°.12.解:(1)证明:①如图,连接OB ,OF.∵点O 是△BDC 的内心,∴BO 平分∠DBC. ∵BD=BC ,∴OB ⊥CD.∵CD 与☉O 相切于点F ,∴OF ⊥CD , ∴B ,O ,F 三点共线,∴DF=CF.又∵CD=2AD ,∴AD=DF.∵BD 与☉O 相切,∴由切线长定理可知DE=DF , ∴AD=DE=DF ,∴∠DAE=∠DEA ,∠DEF=∠DFE. ∵∠DAE+∠DEA+∠DEF+∠DFE=180°, ∴∠DEA+∠DEF=90°, ∴∠AEF=90°,∴AE ⊥EF.②∵点O 是△BDC 的内心,∴DO 平分∠BDC ,∴∠EDF=2∠EDO.由①知∠DAE=∠DEA. 又∵∠EDF=∠DAE+∠DEA ,∴2∠EDO=2∠DEA ,∴∠EDO=∠DEA , ∴AE ∥DO.(2)如图,设DO 与EF 相交于点G. 由(1)可知DE=DF ,DO 平分∠EDF ,∴DO ⊥EF ,∴EF=2FG. ∵AD=DF=CF ,AC=6,∴DF=2. ∵OF=1,∴由勾股定理可求得OD=√5. ∵12DF ·OF=12OD ·FG ,即12×2×1=12×√5FG ,∴FG=2√55,∴EF=2FG=4√55. ∵AF=2DF=4,∠AEF=90°, ∴由勾股定理可求得AE=√AF 2-EF 2=√42-(4√55)2=8√55.13.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵BF 为△ABC 的角平分线, ∴∠PBE=30°,∴PE=12BP.∵BF 是等边三角形ABC 的角平分线, ∴BF ⊥AC.∵点P 是△ABC 的准内心,PD ⊥AB ,PE ⊥BC ,PF=12BP , ∴PE=PD=PF ,∴点P 是△ABC 的内心.14.解:(1)①若PB=PC ,则∠PCB=∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高, ∴AD=BD ,∠PCB=30°, ∴∠PBD=∠PBC=∠PCB=30°,∴PD=√33BD=√36AB ,与已知PD=12AB 矛盾,∴PB ≠PC ;②若PA=PC ,同理可推出矛盾,∴PA ≠PC ; ③若PA=PB ,由PD=12AB ,得PD=BD=AD.∵∠ADP=∠BDP=90°,∴∠PAB=∠APD=∠PBA=∠BPD=45°, ∴∠APB=90°.综上可得,∠APB=90°. (2)①若PB=PA ,连接PB. 设PA=x ,则PB=x.∵∠C=90°,AB=13,BC=5, ∴AC=12,∴PC=12-x.在Rt △BCP 中,有x 2=(12-x )2+52,解得x=16924,即PA=16924.②若PA=PC,则PA=6.③若PC=PB,由图知,此种情况不存在.综上可得,PA的长为16924或6.。