人教版九年级数学上切线长定理和三角形的内切圆含答案

切线长定理和三角形的内切圆

知识点1切线长定理

1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()

图24-2-36

A.1

B.2

C.3

D.4

2.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是()

图24-2-37

A.6√3

B.3√3

C.6

D.3

3.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是()

图24-2-38

A.7.5 cm

B.10 cm

C.12.5 cm

D.15 cm

4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()

A.50°

B.62°

C.66°

D.70°

图24-2-39图24-2-40

5.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为()

A.9

B.7

C.11

D.8

6.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC.

求证:AC=BC.

图24-2-41

7.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E.

(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.

(2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.

图24-2-42

知识点2三角形的内切圆与内心

8.三角形的内心是 ()

A.三边垂直平分线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条高所在直线的交点

D.三条中线的交点

9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是()

图24-2-43

A.h=R+r

B.R=2r

C.r=√3

4a D.R=√3

3

a

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何.”其意思是:“如图24-2-44,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少.”其结果为()

图24-2-44

A.3步

B.5步

C.6步

D.8步

11.如图24-2-45,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°,求∠A 的度数.

图24-2-45

12.如图24-2-46,在△ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,点O是△BDC的内心,E,F分别为☉O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.

(1)求证:①AE⊥EF;

②AE∥DO.

(2)若AC=6,☉O的半径为1,求AE的长.

图24-2-46

能力拓展提升

13.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.

定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.

举例:如图24-2-47①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.

应用:如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC BP.求证:点P是△ABC的内心.

于点E,且PF=1

2

图24-2-47

14.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:如图24-2-48①,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.

AB,连接AP,BP,求∠APB (1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=1

2

的度数;

(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA 的长.

图24-2-48

典题讲评与答案详析

1.B

2.A

3.D

4.D[解析] ∵∠P=40°,

∴∠PCD+∠PDC=140°.

∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,

∴AC=CE,DE=DB,

∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.

∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,

∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,

∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°, ∴∠PAE+∠PBE=70°.

5.C

6.证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,

∴PA=PB,∠APO=∠BPO.

又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,∴AC=BC. 7.解:(1)∠APB=2∠BAC.

理由:∵PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,

∴PA=PB,∠APO=∠BPO,

∴∠PAB=∠PBA.

∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,

∴∠APO+∠PAB=90°.

∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,

即∠PAB+∠BAC=90°,

∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.

(2)存在.

∵PA,PB为☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,

∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.

又∵OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,