近世代数复习

近世代数复习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。

群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。

若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。

一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。

若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。

定理2：一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。

定理3：任何一个群都同一个变换群同构。

（凯莱定理）§6置换群置换：一个有限集合的一个一一变换；置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群；n次对称群：一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。

定理1 ：n次对称群S n的阶是n!k-阶循环置换可用符号（i1i2…i k）表示。

定理2：每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积。

定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。

§7循环群定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；也说，G是由元a所生成的，并且用符号G=(a)表示，a叫做生成元。

定理：假定G是一个由元a所生成的循环群。

那么G的构完全可以由a的阶来决定：的阶若是无限，那么G与整数加群同构；的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。

§8子群定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。

定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集⇔H∈⇒,；Ha∈abb∈a a-1H∈H⇒推论：不空，⊂e h = e g, a h-1= a g-1H,G且H∈定理2：一个群G的不空子集H做成G的一个子群⇒ba,ab-1H∈⇔H定理3：一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是：⇒,a∈∈bHHab生成子群： p64§9子群的陪集定义：设G为一个群，H是G的一个子群。

而G∀那么a∈①形如Ha = {ha | h ∈H}的子集，叫做子群H的一个右陪集，a称为Ha 的代表元。

②形如aH= {ah | h ∈H}的子集，叫做子群H的一个左陪集，a称为aH的代表元。

指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 里的指数，记为[G:H].定理1：一个子群H 的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。

定理2（Lagrange 定理）：假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指数j 都能整除G 的阶N,且N = nj;注：子群H 的陪集Ha(aH)所含元素个数与H 的元素个数相同推论：G 是有限群，m a G a =∈∀)(o ,若，那么m 必是|G|的因子定理3：一个有限群G 的任一个元a 的阶都整除G 的阶。

陪集的性质定理1：设H 是G 的一个子群，G b a ∈∀,，于是有ab Hb Ha Hb a ⇔=⇔∈-1H ∈推论：设H 是G 的一个子群，,,G b a ∈∀ 于是有abHb Ha Ha b Hb a ⇔=⇔∈⇔∈-1 ba H ⇔∈-1H ∈定理1’设H 是G 的一个子群，于是有,,G b a ∈∀:b bH aH bH a ⇔=⇔∈ 1H a ∈;a bH aH aH b ⇔=⇔∈H b ∈定理2：设H 是G 的一个子群，设G b a ∈,,那么群的陪集分解定理3：设H 是G 的子群，在G 中定义关系“~”：ab b a G b a ⇔∈∀~,,-1H ∈，那么“~”必是等价关系证：1) aa G a ,∈∀-1a a H e ~⇒∈=2) 若ab b a ⇒~-1ba H ⇒∈-1ab (=-1)-1a b H ~⇒∈3) 若ab c b a ⇒~b ~且-1bc 且H ∈-1ac H ⇒∈-1c a H ~⇒∈由（1）、（2）、（3）知关系“~”是一个等价关系由a ～b ⇔a -1b ∈H 定义的关系决定的G 中的分类，每个子类就是左陪集.G 表示这些左陪集的并⋃aH 叫做G 的一个左陪集分解。

ab Hb Ha Hb a ⇔=⇔∈-1H ∈b bH aH bH a ⇔=⇔∈-1H a ∈注：若Ha = Hb ,那么代表两个集合相等，但并不代表h i a = h i b(i = 1, 2, 3…)§10不变子群、商群不变子群：aN N G G N =∈∀⊂a ,a ,都有对不变子群的中心：na N n G G N =∈∈∀⊂an ,,a ,有对，则称N 为G 的中心 商群：一个群G 的一个不变子群N 的陪集所作成的群，记为：G/N 。

|/|||||N G N G = 定理：一个群G 的一个子群N 是一个不变子群的充要条件是: aNa G a ,∈∀N=ana N n G a ⇒∈∈,N ∈§11同态和不变子群同态核：假定Φ是一个群G 到另一个群G ’的同态满射。

G ’的单位元e ’在Φ之下的所有的逆象所作成G 的子集叫做同态满射Φ的核，记为)Φ(Ker 。

即：}e'Φ(a)|{Φ)(=∈=G a Ker定理1：一个群G 同它的每一个商群|G/N|同态（自然同态）。

定理2：设的不变子群是是群同态映射，那么G Ker G )Φ('G :Φ→，并 且 ')Φ(/G Ker G ≅定理3：假定G 和G ’是两个群，并且G 与G ’同态。

那么在这个同态满射之下的：的一个子群H 的象H ’是G ’的一个子群的一个不变子群N 的象是G ’的一个不变子群定理4：假定G 和G ’是两个群，并且G 与G ’同态。

那么在这个同态满射之下的：’的一个其群H ’的逆象H 是G 的一个子群’的一个不变子群N ’的象是G 的一个不变子群第三章§1加群、环的定义加群：封闭、结合律环：是一个加群，换一句话说，R 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。

对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律c ab bc a )()(=，不管c b a ,,是R 的那三个元4.两个分配率都成立：ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(§2交换律、单位元、零因子、整环交换环：ba ab R b a R =∈∀,,为一个环，零因子：00,0=≠≠ab b a 但在一个环里，，则称a 为左零因子，b 为右零因子。

剩余类环：R={所有模n 的剩余类}，乘法适合结合律，并且两个分配律都成立，则R 做成一个环，叫做模n 的剩余类环。

整环：R 为一个整环，若：1.乘法适合交换律，ba ab =；有单位元1；没有零因子，即：000==⇒=b a ab 或定理：环中无零因子⇔环中左右消去律都成立推论：在一个环里若有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立 §3除环、域除环：R 为除环，若：中至少包含一个不等于零的元；有一个单位元；的每一个不等于零的元有一个逆元；域：交换除环。

交换环整环环 有单位元环 域除环无零因子环§4无零因子环的特征特征：一个无零因子环R非零元的相同的（对加法来说）阶叫做环R的特征定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数，那么n是个素数推论：整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p§5.子环、环的同态子环：一个环R的子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个环。

即：S⇒-∈,∈∀,ba∈SabaSb子除环：一个除环R的子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。

即：.1S；的元包含一个不等于0∈,,0≠∈-1Sa,-,.2∈SabbaSbb定理1：若是存在一个R到R’的满射，使得R与R’对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R’也是一个环定理2：假定R和R’是两个环，并且R与R’同态。

那么，R的零元的象是R’的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R’也是交换环；假如R有单位元1，那么R’也有单位元1’，而且1’是1的象。

定理3：假定R同R’是两个环，并且R≅R’。

那么，若R是整环，R’也是整环；R是除环，R’也是除环；R是域，R’也是域。

定理4：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R 的元做成的集合）与另一个环S ’没有共同元，并且S ≅S ’。

那么存在一个与R 同构的环R ’，而且S ’是R ’的子环。

即: Φ')(=⋂-S S R§7理想理想：环R 的非空子集H 叫做一个理想子环，简称理想，满足：1.H b a H b a ∈-⇒∈,2.H ar ra R r H a ∈⇒∈∈,,零理想：只包含零元单位理想：该理想本身主理想：由一个元素生成的理想1.(x 1ay 1 + … +x m ay m ) + sa + at + na(x i , y i , s, t ∈R, N 是整数)2.若R 是交换环：),(是整数n R r na ra ∈+3.当R 有单位元时∑x i ay i (x i , y i R ∈)4.当R 既是交换环又有单位元时：)(R r ra ∈定理：除环只有零理想和单位理想.§8 剩余类环、同态与理想定理1：假定R 是一个环，H 是它的一个理想，R ’是所有模H 的剩余类做成的集合，那么R ’本身也是一个环，并且R 与R ’同态定理2：假定R 同R ’是两个环，并且R 与R ’同态，那么这个同态满射的核H 是R 的一个理想，并且'/R H R ≅§9极大（最大）理想极大理想：一个环R 的一个不等于R 的理想H 叫做一个极大理想，假如，除了R 同H 自己之外，没有包含H 的理想。