近世代数复习

近世代数复习(总8页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小--

第一章

集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；

集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章

群的定义

a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足

1.“▫”满足结合律；

2.{G，▫}中有单位元；

3.{G，▫}每个元都与逆元

则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。

群的性质

1.单位元唯一；

2.逆元唯一；

3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解

4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1

注：可以推广到无限：

1

1

1

2

1

1

m

1

m

1

m

2

1

m

a

...a

a

a

)

...a

a

(a

G

,

a

..,-

-

-

-

-

-=

⇒

∈

∀,.

a,

a

2

1

5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）

证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b

§5变换群

定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。

定理2：一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。

定理3：任何一个群都同一个变换群同构。（凯莱定理）

§6置换群

置换：一个有限集合的一个一一变换；

置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群；

n次对称群：一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。

定理1 ：n次对称群S n的阶是n!

k-阶循环置换可用符号（i1i2…i k）表示。

定理2：每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积。

定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。

§7循环群

定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；也说，G是由元a所生成的，并且用符号G=(a)表示，a叫做生成元。

定理：假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构完全可以由a的阶来决定：的阶若是无限，那么G与整数加群同构；的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。

§8子群

定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。

定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集⇔H

∈

⇒

,；

H

a∈

ab

b

∈

a a-1H

∈H

⇒

推论：不空，

⊂e h = e g, a h-1= a g-1

H,

G

且H

∈

定理2：一个群G的不空子集H做成G的一个子群⇒

b

a,ab-1H

∈

⇔H

定理3：一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是：

⇒

,

a∈

∈

b

H

H

ab

生成子群： p64

§9子群的陪集

定义：设G为一个群，H是G的一个子群。而G

∀那么

a∈

①形如Ha = {ha | h ∈H}的子集，叫做子群H的一个右陪集，a称为Ha 的代表元。

②形如aH= {ah | h ∈H}的子集，叫做子群H的一个左陪集，a称为aH的代表元。

指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 里的指数，记为[G:H].

定理1：一个子群H 的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。

定理2（Lagrange 定理）：假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指数j 都能整除G 的阶N,且N = nj;

注：子群H 的陪集Ha(aH)所含元素个数与H 的元素个数相同

推论：G 是有限群，m a G a =∈∀)(o ,若，那么m 必是|G|的因子

定理3：一个有限群G 的任一个元a 的阶都整除G 的阶。

陪集的性质

定理1：设H 是G 的一个子群，G b a ∈∀,，于是有ab Hb Ha Hb a ⇔=⇔∈-1H ∈

推论：设H 是G 的一个子群，,,G b a ∈∀ 于是有ab

Hb Ha Ha b Hb a ⇔=⇔∈⇔∈-1 ba H ⇔∈-1H ∈

定理1’设H 是G 的一个子群，于是有,,G b a ∈∀:b bH aH bH a ⇔=⇔∈ 1H a ∈;a bH aH aH b ⇔=⇔∈H b ∈

定理2：设H 是G 的一个子群，设G b a ∈,,那么