fesafe基础培训资料01

fe-safe软件基础培训资料01
第一天培训内容
1.基本概念
掌握下述基本概念：
1.1. 疲劳
结构在动载荷作用下，形成裂纹或完全断裂的过程。

构件作用动载荷有如下形式：恒幅循环载荷、变幅循环载荷、随机载荷等。

以下述正旋波载荷为例，有下述定义
载荷范围：ΔS=S max-S min；载荷幅：Sa=（S max-S min）/2；
平均载荷：Sm=（S max+S min）/2；载荷比：R=S min/S max
1.2. 疲劳寿命
构件在动载荷作用下，产生疲劳裂纹或疲劳断裂所需的载荷历程长度值，实际工程中可以用载荷循环次数、载荷作用时间、部件工作里程等来度量。

又称为Life或endurance limit （循环次数）。

1.3. 寿命曲线
构件在不同载荷幅作用下，有不同的疲劳寿命。

描述结构的载荷幅-疲劳寿命的关系曲线称为寿命曲线（如下左图示）。

一般有应力（幅）-寿命、应变（幅）-寿命曲线。

应力（幅）-寿命曲线常表示成log10S a-log10N的关系曲线（如下由图示）。

1.4. 耐劳极限幅值（Endurance Limit Amplitude ）
当作用的载荷幅低于某容许值时，构件不会产生疲劳破坏，将该容许值称为构件的耐劳极限幅值（如右上图示）。

对钢材，以1E7为失效循环允许的载荷施加次数，对应有一个耐劳极限幅值。

1.5. 损伤
构件的载荷循环次数与其允许循环次数的比值，称为损伤。

一般地，损伤值为1意味着构件失效。

在右图中，假设某构件在载荷幅P 1的允许循环次数为N 1（即经过N1次循环就会破坏），若构件已经历了n 1次P 1作用循环，则产生的损伤可定义为：
11N n damage
1.6. 可靠性
指规定寿命下构件在材料属性、载荷等随机变化时的失效概率或存活概率。

1.7. 无限寿命设计
对于极其重要的零件设计，一般控制应力S ，使其小于无限寿命（N f =1e6）对应的耐劳极限S f ，该种疲劳设计方法称为无限寿命设计。

该设计方法要求将构件应力控制在很低的水平，材料潜力得不到充分发挥，对于并不需要经受很多循环次数的构件，就显得很不经济。

1.8. 有限寿命设计：
使结构在有限长寿命不发生疲劳破坏的设计，也称为安全寿命设计。

基于结构疲劳应力特点，可以采用应力疲劳分析方法（应力处于高周疲劳区）和应变疲劳分析方法（应力处于低周疲劳区）。

1.9. 安全系数
强度因子FOS （Factors of Strength ）：构件满足规定寿命N0时的载荷放大系数，即当构件作用的载荷以该系数比例放大后，构件的使用寿命刚好为规定寿命。

如下图示，构件承受
的载荷幅为ΔP ，则在规定寿命N0下的强度因子可定义为：P
P FOS ∆∆=0
疲劳安全因子FRF （Fatigue Reserver Factors ）：用于无限寿命（如1E7次）设计中的Goodman/Higer 准则，为FRFV （应力幅安全因子）、FRFH （平均值安全因子）、FRFR （径向值安全因子）的最小值。

对A 点情况下的应力，相关定义为：FRFV=OE/OC ；FRFH=OF/OB ；FRFR=OD/OA ；
1.10. 损伤容限设计方法
用应力强度因子的幅值来描述裂纹扩展速率、进而对裂纹扩展寿命进行预测的设计方法。

该法主要用于初始裂纹不能忽略的航空类零件疲劳分析。

1.11. 耐久性设计方法
以经济寿命为控制目标，考虑全部可能出现的裂纹群，并综合考虑安全、功能、使用经济性的疲劳设计方法。

2.疲劳理论介绍
2.1. 早期疲劳理论
基于工程应力的应力幅-循环失效次数曲线（S-N曲线）；不能很好考虑疲劳破坏构件的典型因素如构件的圆孔、槽沟、过渡圆弧细节。

用于本质上是弹性工作、无限寿命的构件。

2.2. 现代疲劳理论
考虑疲劳裂纹产生时的局部应力、局部应变与耐劳寿命的关系，并考虑塑性影响。

也称为临界位置、局部应力-应变理论。

如有限元计算结果疲劳分析。

现代疲劳理论将构件疲劳断裂分为三个阶段。

裂纹发生：由部件表面的局部应力、局部应变引起。

裂纹扩展：与部件应力有关；
最终断裂：由断裂力学理论描述；
2.3. 疲劳数据（寿命曲线）的广义化
特定的疲劳数据必须要广义化，主要用于：
2.3.1.常幅疲劳曲线用于复杂载荷条件的疲劳分析
Minner疲劳破坏准则
对如下图示载荷情形，疲劳计算按下述方法进行：
采用适当方法（如雨流记数法）计算不同载荷幅的循环次数n1、n2。

如果应力幅P a1的循环次数n1，其允许循环次数为N1，则由P a1引起的损伤damage1=n1/N1；如果应力幅P a2的循环次数n2，其允许循环次数为N2，则由P a2引起的损伤damage2=n2/N2；
Minner
准则认为，构件由Pa1、Pa2引起的总损伤为：
∑=+=N
n N n N n e TotalDamag 2211；当Total Damage=1时，构件破坏。

则构件在上述载荷作用（大小、循环数）下疲劳寿命为： ∑==N n e TotalDamag Life 11
对更复杂载荷也可用类似方法计算疲劳。

2.3.2. 光滑试样疲劳实验数据用于不同形状试件疲劳分析；
疲劳数据都是通过恒幅、光滑试样的实验条件下求得，将应力集中系数应用于不同形状试件的疲劳分析。

主要是早期疲劳分析、或工程实验数据（测点不能反应构件的圆孔、槽沟、过渡圆弧细节时）的疲劳分析使用。

应力集中系数Kt=局部应力/名义应力
对高周疲劳，Kt 可用于计算有应力集中试样的疲劳强度。

对低周疲劳，考虑塑性影响。

2.3.3. 材料近似
某种材料的疲劳测试数据用于另外一种材料，或根据一种材料的疲劳数据推算另外
一种材料的疲劳数据。

（主要是指用于弹性模量比较接近的材料。

）
2.4. 影响疲劳的因素
①平均应力：平均应力越大，寿命越低，平均应力为拉应力时尤其如此。

②应力分布方式：高应力区较多的构件更容易破坏，如大直径构件更容易破坏。

③载荷作用方式：如拉压比弯曲更容易破坏。

④构件表面因素：
表面光洁度：加工、滚压、铸造、锻压，可于应力集中系数相乘考虑。

表面处理：如电镀使疲劳强度降低；
残余应力：仅限于高周疲劳；低周疲劳考虑塑性；
工作环境：如腐蚀、温度、磨损等。

载荷频率：仅对腐蚀疲劳、高温疲劳等有影响。

3.应力-疲劳分析
3.1. 单轴应力疲劳分析理论
3.1.1.S-N曲线
名义应力幅-破坏寿命曲线；一般采用恒应力幅、完全对称（应力比为-1、或平均应力为0）、光滑试样的测试曲线。

表示应力幅与断裂寿命（而不是裂纹寿命）的关系曲线。

其对数曲线在N>1000时，出现平直线。

斜线段的斜线关系可表示为：f a N k B S log log +=；可用一种材料疲劳数据近似得到另一种材料的疲劳数据。

3.1.2. 应力集中系数Kt
名义应力
实际应力=Kt 对高周疲劳情况的疲劳强度影响大；在低周疲劳时影响小。

有以下三种方法：
1-1e7插值法（在N f =1时无影响，至1e7线性变化）；
1000-1e7插值法（在N f =1e3时无影响，至1e7线性变化）；
Peterson 公式：最常用。

某寿命N 对应的集中系数K tN 与寿命为1e7时的应力集中K t 的关系如下：
4
)(200915.011)(LogN K K t N t +-+=
3.1.3. 复杂载荷下的应力疲劳分析
①平均应力的影响(平均应力修正)
Haigh 图：平均应力大小会影响疲劳寿命，因此需要定义在某一指定寿命下，试样允许的平均应力与应力幅的关系曲线，该曲线称为Haigh 图。

正则化的Haigh 图：纵坐标为应力幅与指定寿命下平均应力为0时的允许应力幅S a0的比值；横坐标为平均应力与抗拉强度极限Uts （Sy 为屈服强度）的比值。

对光滑式样，有以下四种关系：
Buch修正公式。

上述关系适于光滑式样、无限寿命（或弹性循环）分析。

对有限寿命计算时，由上述关系计算出与平均应力为零值相对应的应力幅，再根据S-N曲线计算其寿命。

④载荷历程中不同应力幅的综合影响
采用S-N曲线，按照minner准则进行累加考虑。

⑤疲劳安全系数（fatigue safety factor）
强度因子FOS（Factors of Strength）：构件满足规定寿命时的载荷放大系数，即构件的作用载荷乘以该系数后，构件使用寿命刚好为规定寿命。

有限寿命分析采用。

疲劳储备因子FRF（Fatigue Reserver Factors）：用于无限寿命设计中的Goodman/Higer 准则，为构件的应力幅安全因子、平均值安全因子、径向值安全因子的最小值。

在某一指定寿命下，基于应力的强度安全系数，表示达到疲劳破坏时允许的应力倍数。

适用于：对任一指定寿命的常幅载荷有效；对复杂载荷的无限寿命分析有效。

有径向安全系数和垂向安全系数两种。

注意：疲劳安全系数计算结果偏于不安全。

⑥材料应用
S-N曲线对强度范围有适应性，如零平均应力的钢材光滑试样，抗拉强度小于1000MPa时，耐劳极限应力幅约为其抗拉强度的50%；抗拉强度大于1000MPa时，耐劳极限应力幅约为500MPa；1000次循环对应的应力幅约为抗拉强度的90%。

3.2. 总结 应力集中系数用于几乎没有塑性发生的长寿命问题；
平均应力修正使用于均值应力较小（无塑性发生）的光滑试样，对带孔/槽试件必须保证截面变化处不发生屈服现象；
用于焊接接头（S-N 曲线由接头测得）；平均应力影响小。

⑧举例说明
已知某试件的S-N 曲线在循环次数为1时，对应的应力幅为800MPa ，其对数斜线的斜率为。

其斜线关系为：
f a N S lo
g 086.0800log log -=
通过雨流记数得到的应力幅如右上图示。

采用无平均应力修正、Goodman 平均应力修正两种方法计算的损伤和寿命分别如下所示。

无平均应力修正的寿命计算 有平均应力修正的寿命计算 上式中通过Goodman 修正公式来计算平均应力值为0时的等效应力幅Sa 0，因为S-N 曲线一般由平均值为0的实验测试得到的。

（含义：实际上是计算带平均应力的允许疲劳极限Sa 0，该允许疲劳极限大于无平均应力的允许疲劳极限。

经过平均应力修正后，平均应力为0，因此应力幅Sa= Sa 0）
4. 应变疲劳分析
4.1. 单轴应变-寿命疲劳分析理论背景
疲劳裂纹起源于孔、倒角等几何形状引起的应力集中处。

局部应力-应变疲劳理论认为，构件应力集中区域产生微裂纹（1mm 长度）的使用寿命与该处的应力-应变历程有关，微裂纹是应力集中区域不断屈服所致。

要求对材料循环应力-应变响应、应变与疲劳寿命作详细描述。

也称为局部应变、局部应力-应变、临界位置分析法。

可用于应变测试信号分析、有限元计算结果分析。

临界位置的应力、应变称为局部应力与局部应变；远离临界位置的应力、应变称为名义应力与名义应变。

4.2. 单轴应变-疲劳分析理论基础 4.2.1. 单向拉伸的应变-应力关系
K-应变硬化系数；n-应变硬化指数；总应变含弹性、塑性两部分：
p e n
K
E
εεσ
σ
ε+=+=
1
)(
4.3. 循环应力-应变关系
应力-应变滞后环（hysteresis loop curve ） ：当试样拉伸至屈服，再反向加压到屈服，再拉伸到屈服，形成闭合的真应力-真应变曲线（循环加载形成的曲线）。

见下图。

循环应力-应变曲线（cyclic stress strain curve ）：同一种试样，不同应变幅对应的应力-应变滞后环，其顶点会连成一条曲线，称为循环应力-应变曲线。

其弹性应变、塑性应变、总应变分别为：
*
=
E
e σε；'
1
'
)(n P K
σ
ε=；'
1
'
)(
n K
E σ
σ
ε+=*
E *为循环弹性模量(等于E)；K ′为循环硬化系数；n ′为循环硬化指数。

应力-应变滞后环数学表达：对许多金属，滞后环曲线也可通过将循环应力-应变曲线放大两倍（应力、应变同时放大）得到。

则滞后环应力-应变关系为：
'
1')2(22/n
K E σ
σε+=*；或
'
1
'
)2(2n K E σσε∆+∆=∆*
4.4. 常应变幅下的应力幅-寿命关系
b f f N )2(2
'σσ
=∆ σf ′为疲劳强化系数(软件用sf ’表示)；b 为疲劳强化指数；2N f 为载荷半循环次数；
4.5. 常应变幅下的应变幅-寿命关系
循环迟滞环(hysteresis loop curve)包含了弹性、塑性应变两部分；弹性应变幅-寿命、塑性应变幅-寿命关系分别为：
E N b f f e /)2(2'σε=∆； c
f f p N )2(2'εε=∆；因此有：c f f b f f N N E
)2()2(2εσε'+'=∆ εf ′为疲劳延性系数(软件用Ef ’表示)；c 为疲劳延性指数；
应力寿命、应变-寿命均是用于产生小裂纹的计算（1mm ），应变-寿命是裂纹发生标准。

4.6. 常应变幅下的应变幅-寿命关系平均应力修正
Smith-Watson-Topper 公式：疲劳寿命与应变幅、最大应力的乘积有关，应用最广泛，σmax
为迟滞环最大应力。

Morrow 公式：简单，但不准确，σm 为迟滞环平均应力。

c
b f f f b f f N N E
+'+'=∆)2()2()(2'2max εσσσε c f f b f m f N N E )2()2(2εσσε'+-'=∆ S-W-T 公式 Morrow 公式
4.7. 单轴应变-疲劳分析计算 4.7.1. 应力、应变幅计算
'
1
'
)(
n K
E σ
σ
ε+=
*
；根据循环应力-应变曲线，计算第一个点的应力值； '
1
'
)2(2n K E σσε∆+∆=∆*；根据滞后环应力-应变曲线；计算第一个点后各应应力点应变
增量、真实应力。

4.7.2. 某应变环的损伤、疲劳寿命计算
当遇到一个闭合的应力-应变迟滞环时，计算其应变幅Δε/2，并按下述公式之一计算其允许的半循环数2N f 。

c f f b f f
N N E )2()2(2εσε'+'=∆；无平均应力修正的Strain-N 曲线 c b f f f b f f N N E
+'+'=∆)2()2()(2'2max εσσσε
；S-W-T 法平均应力修正曲线 c f f b f m
f N N E
)2()2(2εσσε'+-'=∆；Morrow 法平均应力修正曲线 用Miner 准则计算其疲劳损伤：f
N damage 1
=
4.7.3. 总损伤、总寿命计算
采用材料记忆方式进行下一个应变点的应力增量、实际应力计算，计算其它疲劳损
伤。

并累计各闭合迟滞环造成的损伤得到该应变历程造成的总损伤∑
N n ；
疲劳寿命计算：
∑N
n 1 ；
雨流记数法：上述通过比较应变幅计算疲劳循环次数的方法称为雨流记数法。

当一个应变幅比其相邻的前一个应变幅大时，则前一个应变幅形成闭合环。

4.7.4. 适用范围
承受单向应力状态的构件，但实际工程中很少有这样的构件存在，故实际分析时强烈要求采用双轴应变-疲劳分析方法（fe-safe 不支持有限元模型的单轴疲劳算法）。

但为了阐明相关过程与概念，在此讲述了相关内容。

4.7.
5. 实例
参见771-779页示例
4.8. 用名义应变作局部疲劳分析 4.8.1. 应力集中影响
1) Neuber 准则：
切口处的循环应力-应变曲线由应变能等效原则确定，但按下式近似进行应用最广，又称为双曲线法则。

e s K t ∆∆=∆∆2εσ
采用弹性应力集中系数K t ；σ、ε分别为局部应力、局部应变；s 、e 分别为名义应力与名义应变。

用于单向正应力分析及几何突变分析，但会过高估计应变值的影响。

该法本质上是将弹塑性材料与无限弹性材料的应变能等效。

2)Glinka 方法：
应变能等效原则根据循环应力-应变曲线按积分方法进行。

比Neuber 准则低估应变影响。

上述两种方法仅适用于应力集中处材料只有一小部分发生屈服的情况，且要求名义应变为弹性值。

3)Seeger-Heuler 法：
当名义应力/应变足够大，会引起整个零件的屈服时使用。

Y
L
L t
P S S y S K K ==σ；S L 为使构件发生整体屈服的名义应力；σy 为构件的材料屈服强度；S y =σy /S y ，为构件切口处首次屈服时对应的构件名义应力。

4)真实应力集中系数K σ与真实应变集中系数K ε
弹性阶段：等于Kt ；对名义应力部分进行疲劳分析时，采用前者 塑性阶段：K σ逐渐变小、K ε逐渐变大；
因此，从一种材料测得的局部应变不能直接用于另一材料（主要指弹性模量、屈服强度有差异）的疲劳计算，但弹性模量相同时，可根据Neuber 准则计算另外材料的局部应变(如上右图示)。

切片或开口发生塑性时，必须考虑寿命曲线（应变-寿命或SWT 曲线）、材料循环曲线性质的共同影响。

5)实际计算
同前，只是在计算局部应力-应变时，先按常规方法计算名义应力或名义应力增量，再考虑应力集中系数的影响，最后得到真实应力、应变点。

并且可以将Neuber 准则用于塑性名义测试应变的相关计算。

5. 多轴疲劳分析方法
5.1. 理论
对脆性材料，疲劳裂纹发生与经受最大正应力、最大正应变的平面有关；对延性材料，疲劳裂纹发生与经受剪应变、剪应力的平面有关。

实际构件必须考虑双轴因素影响。

疲劳裂纹均是从构件表面产生的，构件表面为二轴平面应力、三向应变状态。

5.1.1. 平面应力关系
主应力、最大剪应力分别为：
2
22,1)2
(
2
xy y
x y
x τσσσσσ+-±+=
；2
)2
(
2
12
2max σστσστ-=
+-=xy y
x
应力圆半径，圆心位置分别为：
2
y
x c σσσ+=
；2
2)2
(
xy y
x R τσσσ+-=；
在最大/最小剪应力平面上，作用的正应力为：
2
2
1
σσσ+=n ； 最大剪应力平面的正应力不为零；主应力平面的剪应力一定为零。

构件表面一般为平面应力状态。

5.1.2. 平面应变关系
主应变、最大剪应变分别为：
2
22,1)2
(
2
xy y
x y
x γεεεεε+-±+=
；
2
4
)2
(
2
2
12
2max
εεγεεγ-=
+
-=xy y
x
应变圆半径，圆心位置分别为：
2
y
x c εεε+=
；2
24
1)2
(
xy y
x R γεεε+-=；
在最大/最小剪应变平面上，作用的正应变为：
2
21εεε+=n ；
最大剪应变平面的正应变不为零；主应变平面的剪应变一定为零。

构件表面一般为三向应变状态。

一般地，有：
223
1max εεγ-=
；2
31εεε+=n 5.1.3. 表面应力-应变关系
由)(1y x x E νσσε-=
；)(1x y y E νσσε-=；)(y x z E σσνε+-=，有)(1y x z εεν
ν
ε+--= 5.1.4. 屈服准则：
von mises 准则与Tresca 准则
对三向应力状态，有：σ1>σ2>σ3；
静水压力，对应体积变形，对塑性产生、裂纹产生无影响。

3
3
21
σσσσ++=m 偏应力：σm -σ1；σm -σ2；σm -σ3；对应塑性变形，引起裂纹。

von mises 准则如下：
()()()22322312212s σσσσσσσ=-+-+-
即()()()s eqv σσσσσσσσ=-+-+-=][2
12
32231221时，材料发生屈服；σeqv 为等效应力。

5.1.5. 应力-应变状态
实际产品在工作过程中处于多轴应力状态，且疲劳破坏都从构件表面开始，构件表面在多数情况下处于二向应力、三向应变状态。

因此，fe-safe 软件更多地采用二轴分析方法，对构件进行力变-疲劳分析计算。

计算确定构件表面最容易出现疲劳破坏的平面和方向，也称为临界平面法。

构件表面内的主应变用ε1、ε2表示，与表面垂直的应变用ε3表示。

)(1213εεν
νε+--=
5.2. 疲劳计算公式 5.2.1. 最大主应变准则
C f f b f f
N N E
)2()2(21εσε'+'=∆ 疲劳裂纹产生于发生最大主应变幅的平面上。

对无限寿命设计简化为：
b f f
N E
)2(21σε'=∆ 适宜脆性材料和高强度材料的高周疲劳寿命分析。

对延性金属作不安全的寿命预测。

5.2.2. 最大主应力准则
疲劳裂纹产生于发生最大主应力幅的平面上，采用S-N 曲线进行。

适宜脆性材料和高强度材料的高周疲劳寿命分析。

对延性材料产生非常不安全的疲劳寿命预测结果。

5.2.3. 最大剪应变准则
疲劳裂纹产生于发生最大剪应变幅的平面上。

适用于延性材料和低强度材料的低周疲劳寿命分析，结果偏于保守。

但对脆性材料给出不安全的结果预测。

公式推导如下：
对单轴应力的应变寿命分析，有
c f f b f f N N E
)2()2(21εσε'+'=∆ 假设有：
c f f b f f N C N E C )2()2(221εσγ
'+'=∆。

因131max )1(ενεεγe +=-=，故有： c f f b f f c
f f p b f f e N N E
N N E )2(5.1)2(3.1)2()1()2()1(2εσενσνγ'+'='++'+=∆ 5.2.4. McDiarmid 准则
假设疲劳寿命与面上作用的正应力、剪应力有关。

对规定寿命条件有下述关系。

使用于高周疲劳分析。

12max
=+T
n a σσττ τa 为剪应力幅；τ为该寿命下的纯扭转剪应力幅；σn 为该平面的正应力；σ为该材料的抗拉极限。

5.2.5. Brown-Miller 组合应变准则
认为最大疲劳损伤发生于经受最大剪应变幅的平面，且损伤与该平面上作用的剪应变和正应变有关。

对延性材料能提供较佳的计算结果。

公式推导如下：
对单轴寿命分析，由
c f f b f f N N E
)2()2(21εσε'+'=∆ 假设有：
c f f b f f n
N C N E
C )2()2(2221εσεγ'+'=∆+∆ 因131max )1(ενεεγ+=-=，2/)1(2/)(131ενεεε-=+=n ，故有：
νe =，C1=(1++/2=；νP =， C 2=(1++/2=。

c f f b f f n N N E
)2(75.1)2(65.122εσεγ'+'=∆+∆ 对某一规定寿命，有下列关系：
1)(
)(
22max
=+h
g
n
εγ
5.2.
6. Von mises 等效应变准则
与实际测试结果相差太大，尤其是双轴主应力方向随时间变化情况。

5.2.7. Dang Van 准则
适用于多轴应力状态的高周疲劳问题，为通过/失效准则，判断是否具有无限寿命。

假设损伤发生于微观晶粒处，且与周围晶粒的约束引起的残余应力有关。

∑+=ij ij ij t p S t p t p ),(),(),(σ
式中：σij 为微观应力；Σ为宏观应力；S 为周围晶粒引起的残余应力。

在长寿命情况，极低的应力值和载荷循环使微观应力、残余应力趣于稳定状态，因此在指定寿命下，Dang Van 准则又表示为：
0τατ==S
式中：τ为剪应力；S 为静水压力；α、τ0为材料常数。

图示坐标纵轴为剪应力，横坐标为静水压力。

5.3. 其它考虑因素
5.3.1. 临界平面分析法
对主应力/主应变方向随载荷历程变化的情况，因很难确定哪个平面的应变循环范围和循环次数最大，采用临界平面分析法计算一系列平面的应变和损伤。

常用于主应变/主应力方向随时间变化情况下的主应变/主应力、最大剪应变、Brown-Miller 疲劳寿命分析。

平面方向由其法线与O-X-Y-Z 坐标的夹角确定。

构件表面在180度范围内每旋转10度（其误差相对于以1度计算时为2%）计算剪应变与正应变。

结果可以显示最大损伤平面的方向。

一般地，程序会自动采用临界平面计算方法。

注意，该法只是用临界平面一个平面的计算结果确定构件的计算结果。

5.3.2. 平均应力影响
①疲劳寿命计算
c b f f f b f f N N E
+'+'=∆)2()2()(2'
22max 11εσσσε 为SWT 修正公式。

式中ε1为最大主应变；σ1max 为最大主应变幅平面上的最大正应力
c f f b f m n f n N N E
)2(75.1)2()(65.122,max εσσεγ'+-'=∆+∆ 为Brown-Miller 修正公式。

式中σn ，m 为该平面上的平均正应力。

②多轴循环硬化
新的屈服强度与应变历程有关。

弹性应力-应变公式：
m m x xy E
G σνσσε21)(21-+-=；G xy xy 2τγ= 塑性应变增量与应力的关系公式：
ij p ij S d d λε=
等向硬化：屈服面等向扩大
随动硬化：屈服面大小无变化，仅是位置移动。

有包辛格效应。

5.4. 总结
终上所述，推荐三种疲劳计算方法：
对延性金属，采用平均应力修正的Brown-Miller 法；
对脆性金属，采用平均应力修正的主应变法；
对无限寿命设计，采用最大主应力法。

6.fe-safe软件产品介绍
结合幻灯片介绍软件的背景、功能、特点、应用实例等。