2021年高考数学真题试题(天津卷)(word版,含答案与解析)

2021年高考数学真题试卷（天津卷）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5},C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=（）A. {0}B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C【考点】并集及其运算，交集及其运算【解析】【解答】解：由题意得A∩B={1}，则（A∩B）∪C={0,1,2,4}故答案为：C【分析】根据交集，并集的定义求解即可.2.已知a∈R，则“ a>6 ”是“ a2>36”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.3.函数y=ln|x|的图像大致为（）x2+2A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】解：f(−x)=ln |−x|(−x)2+2=lnxx2+2=f(x)，则函数f(x)=lnxx2+2是偶函数，排除A,C,当x∈(0,1)时，ln|x|<0,x2+2>0，则f(x)<0，排除D.故答案为：B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0,1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A. 20B. 40C. 64D. 80【答案】 D【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量是400×0.05×4=80.故答案为：D【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.5.设a=log20.3,b=log120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b【答案】 D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：∵log20.3<log21=0，∴a<0∵log120.4=−log20.4=log252>log22=1，∴b>1∵0<0.403<0.40=1，∴0<c<1∴a<c<b故答案为：D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,c,b的范围即可求解.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即AD=3BD，设球的半径为R，则4πR33=32π3，解得R=2，所以AB=AD+BD=4BD=4，所以BD=1,AD=3∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCD又因为∠ADC=∠BDC所以△ACD∽△CBD所以ADCD =CDBD∴CD=√AD·BD=√3∴这两个圆锥的体积之和为13π×CD2×(AD+BD)=13π×3×4=4π故答案为：B【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.7.若2a=5b=10，则1a +1b=（）A. -1B. lg7C. 1D. log710【答案】 C【考点】指数式与对数式的互化，换底公式的应用【解析】【解答】解：由 2a =5b =10 得a=log 210，b=log 510， 则1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1故答案为：C【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可. 8.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的右焦点与抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B 两点，交双曲钱的渐近线于C 、D 两点，若 |CD|=√2|AB| ．则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. 3 【答案】 A【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 与抛物线 y 2=2px(p >0) 的公共焦点为（c,0）， 则抛物线 y 2=2px(p >0) 的准线为x=-cy 2b 2=1 ， 得c 2a 2−y 2b 2=1 ， 解得y =±b 2a， 所以|AB |=2b 2a，又因为双曲线的渐近线为y =±bax ， 所以|CD |=2bc a，所以2bc a=2√2b 2a， 则c =√2b所以a 2=c 2−b 2=12c 2所以双曲线的离心率为e =ca =√2 故答案为：A【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.9.设 a ∈R ，函数 f(x)={cos(2πx −2πa).x <ax 2−2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ，若 f(x) 在区间 (0,+∞) 内恰有6个专点，则a 的取值范围是（ ） A. (2,94]∪(52,114] B. (74,2)∪(52,114)C. (2,94]∪[114,3)D. (74,2)∪[114,3) . 【答案】 A【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：∵x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根， ∴cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，由2πx −2πa =π2+k π,k ∈Z ， 得x =k2+14+a,k ∈Z由0<k 2+14+a <a 得−2a −12<k <−12(1)当x<a 时，当−5≤−2a −12<−4时，f(x)有4个零点，即74<a <94； 当−6≤−2a −12<−5时，f(x)有5个零点，即94<a <114；当−7≤−2a −12<−6时，f(x)有6个零点，即114<a <134；(2)当x≥a 时，f(x)=x 2-2(a+1)x+a 2+5 ∆=4(a+1)2-4(a 2+5)=8(a-2) 当a<2时，∆<0，f(x)无零点； 当a=2时，∆=0，f(x)有1个零点；当a>2时，令f(a)=a 2-2(a+1)a+a 2+5=-2a+5≥0，则2<a ≤52 ， 此时f(x)有2个零点； 所以若a >52时，f(x)有1个零点；综上，要是f(x)在[0,+∞)上有6个零点，则应满足{74<a ≤942<a ≤52)或{94<a ≤114a =2或a >52)或{114<a ≤134a <2)则a 的取值范围是(2,94]∪(52,114]【分析】由x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x<a 与x≥a 分类讨论两个函数零点个数情况，再综合考虑求解即可.二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．（共6题；共30分）10.i 是虚数单位，复数 9+2i 2+i= ________．【答案】 4-i【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：由题意得9+2i2+i =(9+2i )(2−i )(2+i )(2−i )=20−5i 5=4−i故答案为：4-i【分析】根据复数的运算法则求解即可.11.在 (2x 3+1x )6 的展开式中， x 6 的系数是________． 【答案】 160【考点】二项式定理，二项式定理的应用【解析】【解答】解： (2x 3+1x )6 的展开式的通项公式是Tr +1=C 6r (2x 3)6−r (1x )r=26−r ·C 6r ·x 18−4r令18-4r=6，得r=3所以 x 6 的系数是 23C 63=160【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.12.若斜率为 √3 的直线与y 轴交于点A ， 与圆 x 2+(y −1)2=1 相切于点B ， 则 |AB|= ________． 【答案】 √3【考点】直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：设直线AB 的方程为y =√3x +b ， 则点A(0,b) ∵直线AB 与圆 x 2+(y −1)2=1相切=1 ， 解得b=-1或b=3所以|AC|=2 又∵|BC|=1∴|AB |=√|AC|2−|BC |2=√3 故答案为：√3【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可. 13.若 a >0 , b >0 ，则 1a +ab 2+b 的最小值为________． 【答案】 2√2【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：∵a>0,b>0 ∴1a+a b 2+b ≥2√1a·a b 2+b =2b+b ≥2√2b·b =2√2当且仅当1a =ab 2且2b =b ， 即a =b =√2时等号成立 所以1a +ab 2+b 的最小值是2√2. 【分析】利用基本不等式求解即可.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 56 和 15 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________ ． 【答案】 23；2027【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为56×45=23 ，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C 32×(23)2×13+(23)3=2027故答案为：23，2027【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n 次独立重复试验的概率求法求解即可.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点， DE ⊥AB 且交AB 于点E ． DF //AB 且交AC 于点F ,则 |2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为________； (DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________． 【答案】 1；1120【考点】二次函数在闭区间上的最值，向量的模，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：设BE=x ，x ∈(0,12) ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ∴∠BDE=30°，BD=2x ，DE=√3x ， DC=1-2x ∵DF//AB∴△DFC 为边长为1-2x 的等边三角形，DE ⊥DF∴(2BE →+DF →)2=4BE →2+4BE →·DF →+DF →2=4x 2+4x (1−2x )·cos0°+(1−2x )2=1 ∴|2BE →+DF →|=1∵(DE →+DF →)·DA →=(DE →+DF →)·(DE →+EA →)=DE →2+DF →·EA →=(√3x)2+(1−2x )×(1−x )=5x 2−3x +1=5(x −310)2+1120则当x =310时，(DE →+DF →)·DA →取得最小值为1120 故答案为：1，1120【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．（共5题；共75分）16.在 △ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ， b =√2 ． （1）求a 的值； （2）求 cosC 的值； （3）求 sin(2C −π6) 的值．【答案】 （1）因为 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ，由正弦定理可得 a:b:c =2:1:√2 ， ∵b =√2 ， ∴a =2√2,c =2 ；（2）由余弦定理可得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×√2=34；（3）∵cosC =34 ， ∴sinC =√1−cos 2C =√74，∴sin2C =2sinCcosC =2×√74×34=3√78， cos2C =2cos 2C −1=2×916−1=18 ，所以 sin(2C −π6)=sin2Ccos π6−cos2Csin π6 =3√78×√32−18×12=3√21−116.【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可； （2）根据余弦定理直接求解即可；（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.17.如图，在棱长为2的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证： D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）求直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角的正正弦值． （3）求二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值．【答案】 （1）以 A 为原点， AB,AD,AA 1 分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0) , A 1(0,0,2) , B(2,0,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , C 1(2,2,2) , D 1(0,2,2) ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 E(2,1,0) ， F(1,2,0) ， 所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) , A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) , A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2) ,设平面 A 1EC 1 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) ， 则 {m ⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1=0m ⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+y 1−2z 1=0 ，令 x 1=2 ，则 m ⃗⃗ =(2,−2,1) ， 因为 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =2−2=0 ，所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗ ， 因为 D 1F ⊄ 平面 A 1EC 1 ，所以 D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）由（1）得， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2) ， 设直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角为 θ ， 则 sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=3×2√3=√39；（3）由正方体的特征可得，平面 AA 1C 1 的一个法向量为 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0) ， 则 cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3×2√2=2√23，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=13.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面 A 1EC 1 的一个法向量m →， 再利用向量法直接求证即可；（2）先求出AC 1→ ， 再由sinθ=|cos <m →,AC 1→>|求解即可； （3）先求出平面 AA 1C 1 的一个法向量 DB →， 再由cos <m →,DB →>=m →·DB→|m →|·|DB|→结合同角三角函数的平方关系求解即可.18.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为 2√55 ，且 |BF|=√5 ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ， 与y 轴的正半轴交于点N ， 过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ． 若 MP //BF ，求直线l 的方程．【答案】 （1）易知点 F(c,0) 、 B(0,b) ，故 |BF|=√c 2+b 2=a =√5 ， 因为椭圆的离心率为 e =c a=2√55，故 c =2 ， b =√a 2−c 2=1 ，因此，椭圆的方程为 x 25+y 2=1 ；（2）设点 M(x 0,y 0) 为椭圆 x 25+y 2=1 上一点，先证明直线 MN 的方程为x 0x5+y 0y =1 ，联立 {x 0x 5+y 0y =1x 25+y 2=1，消去 y 并整理得 x 2−2x 0x +x 02=0 ， Δ=4x 02−4x 02=0 ，因此，椭圆x 25+y 2=1 在点 M(x 0,y 0) 处的切线方程为x 0x 5+y 0y =1 .在直线 MN 的方程中，令 x =0 ，可得 y =1y 0，由题意可知 y 0>0 ，即点 N(0,1y 0) ，直线 BF 的斜率为 k BF =−b c =−12 ，所以，直线 PN 的方程为 y =2x +1y 0，在直线 PN 的方程中，令 y =0 ，可得 x =−12y 0，即点 P(−12y 0,0) ，因为 MP //BF ，则 k MP =k BF ，即 y 0x 0+12y=2y 022x 0y 0+1=−12，整理可得 (x 0+5y 0)2=0 ，所以， x 0=−5y 0 ，因为x 025+y 02=6y 02=1 ， ∴y 0>0 ，故 y 0=√66， x 0=−5√66，所以，直线 l 的方程为 −√66x +√66y =1 ，即 x −y +√6=0 . 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）先求出a 值，结合a,b,c 的关系求得b ，从而求得椭圆的方程； （2）设M(x 0,y 0)，可得直线l 的方程x 0x 5+y 0y =1 ， 求出点P 的坐标，再根据MP//BF 得K MP =K BF ， 求得x 0,y 0的值，即可得出直线l 的方程19.已知 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． {b n } 是公比大于0的等比数列， b 1=4,b 3−b 2=48 ．（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （2）记 c n =b 2n +1b n,n ∈N ∗ .（i ）证明 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）证明 ∑√a k ak+1c k2−c 2k nk=1<2√2(n ∈N ∗) 【答案】 （1）因为 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 8=8a 1+8×72×2=64 ，所以 a 1=1 ，所以 a n =a 1+2(n −1)=2n −1,n ∈N ∗ ； 设等比数列 {b n } 的公比为 q,(q >0) ，所以 b 3−b 2=b 1q 2−b 1q =4(q 2−q)=48 ，解得 q =4 （负值舍去）， 所以 b n =b 1q n−1=4n ,n ∈N ∗ ；（2）（i ）由题意， c n =b 2n +1b n =42n +14n ， 所以 c n2−c 2n =(42n +14n )2−(44n +142n )=2⋅4n ， 所以 c n 2−c 2n ≠0 ，且 c n+12−c 2n+2c n 2−c 2n =2⋅4n+12⋅4n =4 ，所以数列 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）由题意知，a n a n+1c n 2−c 2n =(2n−1)(2n+1)2⋅4n =4n 2−12⋅22n <4n 22⋅22n ， 所以 √a n a n+1c n 2−c 2n <√4n 22⋅22n =√2⋅2n =√2n 2n−1 ， 所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1 ， 设 T n =∑k 2k−1n k=1=120+221+322+⋅⋅⋅+n 2n−1 ， 则 12T n =121+222+323+⋅⋅⋅+n 2n ，两式相减得 12T n =1+12+122+⋅⋅⋅+12n−1−n 2n =1⋅(1−12n )1−12−n 2n =2−n+22n ，所以 T n =4−n+22n−1 ，所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1=√2−n+22n−1)<2√2 . 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，数列的求和【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可；（2）（ⅰ）运算可得C n 2−C 2n =2·4n ， 结合等比数列的定义即可得证；（ⅱ）利用放缩法得a n a n+1C n 2−C 2n <4n 22·22n ， 进而可得∑n k=1√a k a k+1C k 2−C 2k <√2n k=1k 2k−1 ， 结合错位相减法即可得证.20.已知 a >0 ， 函数 f(x)=ax −xe x ．（1）求曲线 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程：（2）证明 f(x) 存在唯一的极值点（3）若存在a ， 使得 f(x)≤a +b 对任意 x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】 （1）f ′(x)=a −(x +1)e x ，则 f ′(0)=a −1 ，又 f(0)=0 ，则切线方程为 y =(a −1)x,(a >0) ；（2）令 f ′(x)=a −(x +1)e x =0 ，则 a =(x +1)e x ，令 g(x)=(x +1)e x ，则 g ′(x)=(x +2)e x ，当x∈(−∞,−2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x→−∞时，g(x)<0，g(−1)=0，当x→+∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图像如下：所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a，则m>−1，且f′(m)=a−g(m)=0，当x∈(−∞,m)时，a>g(x)，则f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(m,+∞)时，a<g(x)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，x=m为f(x)的极大值点，故f(x)存在唯一的极值点；（3）由（II）知f(x)max=f(m)，此时a=(1+m)e m,m>−1，所以{f(x)−a}max=f(m)−a=(m2−m−1)e m,(m>−1)，令ℎ(x)=(x2−x−1)e x,(x>−1)，若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(−1,+∞)，使得ℎ(x)≤b，即b≥ℎ(x)min，ℎ′(x)=(x2+x−2)e x=(x−1)(x+2)e x，x>−1，当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=−e，故b≥−e，所以实数b的取值范围[−e,+∞).【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)e x，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；（3）令h(x)=(x2-x-1)e x，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1,+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.。