质点在柱坐标系中的动力学方程
质点系角动量守恒定律
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
理论力学复习题
理论力学复习题一、 填空1、质点沿空间曲线232()(32)(24)r t t i t j t t K =++−+− 运动在2t S =时，质点的速度V =__________________；加速度a = __________________，速度大小为V =__________________；加速度大小为a =__________________。
2、质量为m 的质点运动规律为j t i t a r ωωsin cos +=，式中a 、b ，ω均为常数，则质点的轨道道方程为 ，质点从（a ，0）运动到（b ，0），在这一过程中动量的增量=ΔP，动能的增量Δ=K E 。
3、已知点的运动方程为t R y t R x ωωcos ,sin ==，其中R ，W 为常量，点的运动轨迹为__________________，速度为v =__________________，加速度a =__________________。
4、在极坐标中，其径向和横向单位矢量j ，i 的时间导数分别为=dti d =dtj d 。
5、质点的运动速度为(1)kt V A e −=−，其中A ，K 均为常数。
当0t =时质点位于坐标的原点，则质点的运动方程为__________________；加速度为__________________。
6、某质点运动方程为r=e at，θ=bt；该质点径向速率V r =_____________，横向速率V=________________；径向加速度的值αr =________________，横向加速度的值αθ=_______________，加速度的值α=________________。
7、在自然坐标系中，切向加速度ιa 和法向加速度n a 的计算公式为ιa ＝___________，n a ＝________________；8、在极坐标中加速度的两个分量为（1）__________________，（2）__________________。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
第10章质点动力学的基本方程
受力分析： 电场力
运动分析： 平面曲线运动
y 交流 O
电源
v0
F v
x
质点运动
轨迹
dx vx v 0 dt dy eA vy sin kt dt mk
运动方程：
t 0时 x y 0
eA cos kt 1 y 2 mk
k cos v x 1 0
Tmax
2 v0 G( 1 ) gl
n
T
v
说明：
G
①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉力。 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
第十章
质点动力学的基本方程
——质点受力与其运动变化之间的关系
§10-1
第一定律 ：
动力学的基本定律
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性
说明： 1、不受力作用的质点，包括受平衡力系作用的质点。 2、阐述了物体作惯性运动的条件，又称为惯性定律。
第二定律
ma F
1、质点在力作用下必有的加速度，运动状态一定发生改
向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
v0
解： ①研究对象： 重物(抽象为质点)
②受力分析： 如图所示。
n
T
v
③运动分析： 以O为圆心，l为半径的
圆周运动。
G
⑤求解
④质点运动微分方程
v2 T G(cos ) gl
ma F
第9章 质点动力学的基本方程
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
理论力学11质点动力学基本方程
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见，其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学： 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题： 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题： 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中，m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力，即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明： 1）在国际单位制中，m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点在柱坐标系中的动力学方程
质点在柱坐标系中的动力学方程质点动力学是研究物体运动的一门学科，其中柱坐标系是一种在三维空间中定义物体位置的坐标系统。
在柱坐标系中，质点的动力学方程可以用来描述质点运动的动力学规律。
柱坐标系是由三个坐标轴组成，分别为X、Y、Z轴，X轴和Y轴形成一个平面，Z轴从X-Y平面顶部延伸出去。
在柱坐标系中，质点的位置可以用坐标(x,y,z)来表示，其中x、y、z分别表示质点沿X、Y、Z轴的位移。
质点的动力学方程可以用牛顿第二定律推导得出，牛顿第二定律表示：质点受到的力等于质量乘以加速度，即F=ma。
因此，在柱坐标系中，质点的动力学方程可以写成如下形式： $F_x=mfrac{d^2x}{dt^2}$$F_y=mfrac{d^2y}{dt^2}$$F_z=mfrac{d^2z}{dt^2}$其中，$F_x$、$F_y$和$F_z$分别表示质点受到的沿X、Y、Z轴的力，m表示质点的质量。
除了以上三个方程外，还有一组额外的方程，即把物体的加速度表示为柱坐标系中的矢量：$a_x=frac{d^2x}{dt^2}$$a_y=frac{d^2y}{dt^2}$$a_z=frac{d^2z}{dt^2}$这三个方程可以用来求解质点在柱坐标系中的动力学方程，即质点运动的位移、速度和加速度等物理量。
以上就是质点在柱坐标系中的动力学方程的简要介绍，质点的动力学方程可以用来求解质点的运动轨迹，为此，泛函力学和拉格朗日方程组等解析方法可以用来求解质点的运动轨迹。
此外，还可以使用数值方法，如欧拉法、龙格库塔法、蒙特卡洛方法等，来解决质点动力学问题。
总之，质点动力学方程可以用来研究质点在柱坐标系中的运动规律，它也是物理力学中重要的研究对象，对于研究复杂系统的运动情况，质点动力学方程也有着重要的应用价值。
以上就是有关质点在柱坐标系中的动力学方程的介绍，以及质点动力学方程的应用。
质点动力学方程的研究也可以帮助我们更深入地理解物理学中最基本的运动规律，也可以为物理学家分析复杂系统的运动情况提供基础性的理论依据。
质点在柱坐标系中的动力学方程
质点在柱坐标系中的动力学方程在经典力学中，质点在柱坐标系中的动力学方程是研究力学系统最基础的问题，它可以描述物体在各种物理情形和力学条件下的运动规律及其相互作用。
本文将重点介绍质点在柱坐标系中的动力学方程，包括其定义、数学模型以及相关求解方法。
首先，质点在柱坐标系中的动力学方程是指在柱坐标系内，描述物体运动的一组基本方程，它包括牛顿二阶定律和牛顿三阶定律。
牛顿二阶定律是指，给定一个点定义的柱坐标系，一个质点施加的外力和惯性力的总和等于这个质点的动量的变化（即质点的质量乘以它的加速度）。
这个定律可以用如下形式表示：F_{ext} + F_{iner} = m vec a其中，F_{ext}外力，F_{iner}惯性力，m是质量，a是加速度。
牛顿三阶定律是指，在某一点定义的柱坐标系下，一个质点施加外力和惯性力总和等于这个质点的惯性力（即质量乘以加速度的二阶导数）。
这个定律可以用如下形式表示：F_{ext} + F_{iner} = m ddot {vec x}其中，F_{ext}外力，F_{iner}惯性力，m是质量，x是加速度的二阶导数。
质点在柱坐标系中的动力学方程可以用以下数学模型来表示：begin{equation} dot{vec P} = vec F_{ext} + vec F_{iner} end{equation}begin{equation} dot{vec P} = m vec a end{equation}begin{equation} dot{vec P} = m ddot {vec x} end{equation} 其中，P为质点的动量，F_{ext}和F_{iner}分别为外力和惯性力，m为质量，a为加速度，x为加速度的二阶导数。
各项量的具体定义可以参见经典力学书。
质点在柱坐标系中的动力学方程可以经由不同的方法来求解，其中，最常用的方法有齐次线性方法、拉普拉斯变换和拉格朗日四次求积分等。
柱坐标 薛定谔方程
柱坐标薛定谔方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柱坐标薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的方程之一，它适用于描述处于柱坐标系下的系统的运动规律。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间的演化规律。
柱坐标系是一种在三维空间中描述点的坐标系，它由径向（r）、极角（\theta）和高度（z）三个坐标轴构成，适用于讨论具有柱对称性的系统，比如原子、分子等。
在柱坐标系下，薛定谔方程可以写为：\begin{equation}\hat{H}\Psi(r,\theta,z,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\Psi(r,\theta,z,t)\end{equation}\hat{H}是系统的哈密顿算符，\Psi(r,\theta,z,t)是描述系统波函数的函数，i是虚数单位，\hbar是约化普朗克常数。
薛定谔方程的左边表示系统的哈密顿算符在波函数上的作用，右边表示波函数随时间的演化。
\begin{equation}\hat{H} =-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + V(r,\theta,z)\end{equation}\mu是系统的约化质量，V(r,\theta,z)是描述系统势能的函数。
哈密顿算符的形式反映了系统的动能和势能之间的平衡关系。
若系统的势能不显含极角\theta和高度z，即V(r,\theta,z) = V(r)，则哈密顿算符可以简化为只含径向坐标r的形式。
薛定谔方程描述了系统的量子态随时间的演化规律，通过求解薛定谔方程可以得到系统的波函数和能谱。
圆柱坐标系拉普拉斯方程推导
圆柱坐标系拉普拉斯方程推导引言拉普拉斯方程是数学和物理学中十分重要的一个方程，其出现在许多领域，如电动力学、热传导等。
本文将介绍在圆柱坐标系下拉普拉斯方程的推导过程。
圆柱坐标系介绍圆柱坐标系是一种常见的三维坐标系，它由径向距离r、方位角$\\phi$和高度z三个坐标定义。
其中，径向距离r表示点到坐标原点的距离，方位角$\\phi$表示点在x−y平面上与x轴之间的夹角，高度z表示点在z轴上的投影距离。
拉普拉斯方程拉普拉斯方程在三维直角坐标系中可以表示为：$$\ abla^2 u = \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial^2 u}{\\partial z^2} = 0$$其中，u是待求函数，abla2表示拉普拉斯算子。
现在我们来推导在圆柱坐标系下的拉普拉斯方程。
圆柱坐标系下的导数计算我们首先需要计算在圆柱坐标系下的导数形式。
根据链式法则，我们可以得到如下关系：$$\\frac{\\partial}{\\partial x} = \\frac{\\partial r}{\\partialx}\\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial \\phi}{\\partialx}\\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial z}{\\partialx}\\frac{\\partial}{\\partial z}$$$$\\frac{\\partial}{\\partial y} = \\frac{\\partial r}{\\partialy}\\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial \\phi}{\\partialy}\\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial z}{\\partialy}\\frac{\\partial}{\\partial z}$$$$\\frac{\\partial}{\\partial z} = \\frac{\\partial r}{\\partialz}\\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial \\phi}{\\partialz}\\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial z}{\\partialz}\\frac{\\partial}{\\partial z}$$根据圆柱坐标系的定义，可以得到$\\frac{\\partial r}{\\partial x} =\\cos\\phi$，$\\frac{\\partial r}{\\partial y} = \\sin\\phi$，$\\frac{\\partial r}{\\partial z} = 0$，$\\frac{\\partial \\phi}{\\partial x} = -r\\sin\\phi$，$\\frac{\\partial \\phi}{\\partial y} = r\\cos\\phi$，$\\frac{\\partial\\phi}{\\partial z} = 0$，$\\frac{\\partial z}{\\partial x} = 0$，$\\frac{\\partial z}{\\partial y} = 0$，$\\frac{\\partial z}{\\partial z} = 1$。
质点和质点系动力学
当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速），流体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。
当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时， 这时流体阻力将迅速增大。
02
01
03
当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，该阻力与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。
关于流体行驶的船之间不能靠很近飞机机翼形状汽车阻力
（动量定理的微分形式）
对一段有限时间有
x
y
z
O
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量 —— 质点动量定理
(1) 物理意义：
质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程
合力对质点作用的冲量
质点动量矢量的变化
(2) 矢量性：
冲量的方向与动量的增量方向相同
讨论
（动量定理积分形式）
动量定理的分量形式
当物体 A 以力
作用于物体 B 时，物体 B 也同时以力
作用于物体 A 上，
和
总是大小相等，方向相反，
且在同一直线上。
•
•
讨论
(1) 第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。
(2) 大小相等、方向相反，分别作用在不同物体上，同时存在、同时消失，它们不能相互抵消．
(3) 是同一性质的力．
2.1.4 力学中常见的几种力
在有限时间内：
一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
例
解
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
分析力学第四章
m ( && − r θ& 2 ) = ∑ F ir r & & m ( r θ& + 2 r θ& ) = ∑ F i θ
& & 个积分常数: 有4个积分常数 ( r0 , θ 0 , r0 , θ 0 ) 个积分常数
说明平面自由质点某时刻的力学状态需 2×2 个量描述 × 个量描述.
法平面
主法线 密切平面
v R
r n
次法线
r b
直切平面
质点在密切面内运动， 质点在密切面内运动， 与法平面相互垂直
切线
τ
r
解题步骤: 解题步骤
① ② ③ ④
隔离物体 具体分析 选定坐标 运动方程
加速度
理论力学的主要任务:物理问题 理论力学的主要任务 物理问题
数学问题, 数学问题 求解 确定结果的物理意义
(6) 匀变速直线运动
v = v0 + aτ t
v = v + 2 aτ ( s − s0 )
2 2 0
s = s0 + v0 t + aτ t
1 2
2
适用条件为: 常量， 适用条件为: α τ =常量， an = 0.
二、平动参照系: (§1.3) 平动参照系 § 静系: 静系 S 动系: S’ 动系 (可以认为是刚 可以认为是刚 可以认为是 的平动) 体的平动 位矢
径向 横向
（4） 自然坐标 ）
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、 如切线、 法线方向等)来描述质点的运动. 法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自 然坐标法. 然坐标法.
1. 弧长方程
在轨道上取一点 O 作原点, 规定沿轨道的某一 作原点, 方向为弧长的正方向, 方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点 O 到质点 来确定, 称为弧坐标. 间的一段弧长 s 来确定, s 称为弧坐标.
柱坐标系动能表达式
柱坐标系动能表达式
在物理学中，动能是描述物体运动状态的重要物理量之一，通常由质量和速度
的平方乘以一个常数（通常为1/2）来表示。
在柱坐标系中，描述物体动能的表达
式与直角坐标系中略有不同。
柱坐标系是一种常用于描述圆柱体运动的坐标系，其中包含径向（r）、方位
角（θ）和高度（z）这三个坐标分量。
在柱坐标系中，动能表达式可以写成如下
形式：
动能（K）= (1/2) * m * ((dr/dt)^2 + r^2*(dθ/dt)^2 + (dz/dt)^2）
其中，m为物体的质量，r为距离原点的径向距离，θ为径向与x轴的夹角，z 为高度，t为时间。
在这个表达式中，第一项表示径向速度对动能的贡献，第二项
表示方位角速度对动能的贡献，第三项表示高度变化速度对动能的贡献。
动能表达式的这种形式体现了在柱坐标系下物体运动的复杂性。
通过计算和分
析这个表达式，我们可以更好地理解物体在柱坐标系下的动能分布规律，为进一步研究物体的运动提供重要参考。
动能表达式在物理学、工程学以及天体物理学等领域有着广泛的应用。
通过分
析和运用动能表达式，研究者可以更准确地描述和预测各种物体在柱坐标系下的运动状态，为相关领域的科学研究和工程设计提供重要参考。
总之，柱坐标系动能表达式是描述物体在柱坐标系下运动状态的重要数学工具，通过深入理解和运用这一表达式，可以更好地研究和分析物体在柱坐标系下的动力学行为，为相关领域的科学研究和工程实践提供有力支持。
库纳德森公式
库纳德森公式库纳德森公式是描述柱坐标系中质点受到环绕其旋转固体表面的作用力的公式。
这个公式是以奥托·库纳德森（Otto Knudsen）的名字命名的，他是一位丹麦物理学家，于1918年首次提出了这个理论。
库纳德森公式是描述质点受到旋转固体表面力矩的公式。
在柱坐标系中，考虑一个质点位于半径为r、角度为θ处，该质点受到的力矩可以用以下公式表示：M = Iωsinθ其中，M是力矩，I是质点围绕旋转轴的转动惯量，ω是旋转角速度，θ是力矩作用的角度。
库纳德森公式可以应用于多个物理学领域，尤其在描述气体动力学中的流动现象时非常有用。
例如，在液体或气体分子运动研究中，库纳德森公式可用于描述分子在浓度梯度、温度梯度和压力梯度下的运动。
此外，库纳德森公式还可用于描述微粒在旋转流场中的运动。
在实际应用中，库纳德森公式通常与其他流体力学方程一起使用。
一般而言，流体力学方程描述了流体力学中的运动和力学规律，而库纳德森公式则提供了一种计算质点受到的作用力的方法。
除了描述质点受到的力矩，库纳德森公式还可用于计算其他与系统运动和转动相关的物理量。
例如，通过将库纳德森公式与牛顿第二定律相结合，可以计算出质点所受到的加速度。
此外，库纳德森公式还可用于确定力矩与质点运动轨迹之间的关系，从而更全面地描述质点在旋转固体表面中的运动。
最后值得注意的是，库纳德森公式只适用于柱坐标系下的质点受力分析。
如果系统不符合柱坐标系的条件，库纳德森公式就不再适用。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况选择合适的坐标系和相应的力学方程来进行分析。
综上所述，库纳德森公式是一种描述柱坐标系中质点受到旋转固体表面作用力的公式。
它在描述流体动力学和气体分子运动等领域中具有重要的应用价值。
通过库纳德森公式，我们可以计算质点所受到的力矩，进而进一步研究质点的运动和力学规律。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况选择合适的坐标系和相应的力学方程来进行分析。
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质点在柱坐标系中的动力学方程
运动学是物理学中一个重要的研究范畴，它研究物体在给定状态或者受特定力的作用下处于运动状态时，它的速度和加速度与时间之间的变化关系。
在运动学中，有很多不同的坐标系，其中最著名的是柱坐标系，为了更好地描述物理系统运动，我们需要建立柱坐标系中质点的动力学方程。
首先，我们以柱坐标系为例，它主要由三个坐标组成: x, y, z。
假设质点的位置由柱坐标系的坐标 r=(x，y，z)表示，则质点的速度由速度矢量v=(vx,vy,vz)表示，其中vx,vy,vz分别为质点在柱坐标系的x,y,z方向上的速度。
此外，质点受外力F=(Fx,Fy,Fz)的作用，其中Fx,Fy,Fz分别为x,y,z方向上的外力分量。
根据牛顿第二定律，质点在柱坐标系中的动力学方程可以表示为： mvx=Fx
mvy=Fy
mvz=Fz
其中m表示质点的质量，vx,vy,vz分别为质点在柱坐标系的
x,y,z方向上的加速度分量。
可以看出，质点在柱坐标系中的动力学方程主要由质点质量、位置、速度和外力四个参数决定。
如果可以确定上述参数值，则可以求解质点在柱坐标系中的动力学方程，从而解决实际工程中的问题。
例如，在有重力场的情况下，假设质点受重力G=(0，0，-g)的
作用，其中g表示重力加速度，则质点在柱坐标系中的动力学方程可
以表示为：
mvx=0
mvy=0
mvz=-mg
由此可见，质点在柱坐标系中的动力学方程与实际问题密切相关，因此它在工程实践中具有重要的应用价值。
例如，在计算机视觉和机器人导航领域，经常会遇到质点在复杂场景中的运动问题，此时，我们可以使用柱坐标系来描述物体的运动状态，然后利用质点在柱坐标系中的动力学方程来求解描述物体运动状态的参数，从而更好地实现计算机视觉和机器人导航的功能。
此外，质点在柱坐标系中的动力学方程还可以应用于航天飞行器的运动模拟，可以更准确地描述航天器的航迹，计算航天器的位置，甚至计算出航天器可以进行到的最远位置。
综上所述，质点在柱坐标系中的动力学方程是物理学中一个重要的研究范畴，它研究物体在特定力的作用下处于运动状态时，它的速度和加速度与时间之间的变化关系，具有重要的实际应用价值，可以用于计算机视觉、机器人导航、航空、航天飞行器等领域。