高中数学 必修第二册 数列的概念

第一章 数列最新课程标准1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是一种特殊函数．学科核心素养1.了解数列的相关概念．(数学抽象)2．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象)3．能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(逻辑推理、数学建模)1.1 数列的概念[教材要点]要点一 数列的有关概念及表示方法1．数列的有关概念(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项． 2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…或简记为数列{a n }，其中a 1是数列的第1项，也叫数列的________；a n 是数列的第n 项，也叫数列的________．状元随笔 (1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．要点二数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列：项数________的数列； (2)无穷数列：项数________的数列．状元随笔 有穷数列与无穷数列的表示方法：(1)有穷数列一般表示为a 1，a 2，a 3，…，a m ；无穷数列一般表示为a 1，a 2，a 3，…，a m ，…. (2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.要点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．状元随笔 (1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项．(2)已知通项公式a n ＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如a n ＝(－1)n 可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝{−1，n =2k −1，1，n =2k(k ∈N *)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0，1，2，3，4}是有穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．( ) (3)所有自然数能构成数列．( )(4)数列1，3，5，7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为( )A ．a n ＝(－1)n －1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋1，则122是该数列的( ) A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项 D ．第12项4．数列1，2，√7，√10，√13，…中的第26项为________．题型一 数列的概念与分类例1 (多选题)下列说法正确的是( ) A ．数列4，7，3，4的首项是4B ．数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列1，2，3，…就是数列{n }D ．数列中的项不能是三角形方法归纳 正确理解数列及相关概念，注意以下几点：(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；(2)数列a 1，a 2，…，a n ，…可以记为{a n }，但不能记作{a 1，a 2，…，a n ，…}.跟踪训练1 (多选题)下列说法正确的是( ) A ．数列{2n ＋1}的第5项是10B ．数列1，12，13，…，1n ，…可以记为{1n }C ．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列D ．数列1，2，3，4，5，…，n ，…是无穷数列 题型二 根据数列的前几项写出通项公式例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14；(2)√3，3，√15，√21；(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5.方法归纳(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1，11，111，1 111，….题型三数列通项公式的简单应用例3已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项．(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？变式探究本例中，数列{a n}中有多少个负数项？方法归纳(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．.跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2+3n(1)写出数列的第4项和第6项．(2)试问1是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．10易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________________________________________________________________________．解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边，所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1.第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1.……第n个图形的火柴棒根数为3n＋1.答案：3n＋1[课堂十分钟]1．数列0，－13，12，－35，23，…的通项公式为()A．a n＝(－1)n·n−2n+1B．a n＝(－1)n＋1·n−1n+2C．a n＝(－1)n－1·n−1n+1D．a n＝(－1)n－1·n−2n+22．在数列－1，0，19，18，…，n−2n2，…中0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n，则下列结论正确的是() A．第2项a2＝0 B．0不是数列中的一项C．21是数列中的一项D．42是数列中的一项4．若数列{a n}的通项公式是a n＝3－2n，则a2n＝________，a2a3＝________．5．写出数列a n＝2nn+1的前5项，并用图象表示出来．第一章数列§1数列的概念及其函数特性1．1数列的概念新知初探·课前预习要点一1．(1)一定次序(2)每一个数2．首项通项要点二(1)有限(2)无限要点三a n n a n＝f(n)[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．答案：BC3．解析：由a n＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故选C.答案：C4．解析：因为a1＝1＝√1，a2＝2＝√4，a3＝√7，a4＝√10，a5＝√13，所以a n＝√3n−2，所以a26＝√3×26−2＝√76＝2√19.答案：2√19题型探究·课堂解透题型一例1解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D 正确．故选ACD. 答案：ACD跟踪训练1 解析：当n ＝5时，a 5＝11，A 错误；B 正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C 错误；D 正确．故选BD. 答案：BD 题型二例2 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n (n ∈N ＋)．(2)数列可化为√3，√9，√15，√21，即√3×1，√3×3，√3×5，√3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝√3(2n −1)＝√6n −3(n ∈N ＋)．(3)原数列可变形为(1−110)，(1−1102)，(1−1103)，(1−1104)，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n (n ∈N ＋)．(4)数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝{3 (n 为正奇数)5 (n 为正偶数).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3+52＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n (n ∈N ＋)．跟踪训练2 解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N *)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn+1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n n+1＝n 2+2n n+1(n ∈N *)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N *).题型三例3 解析：(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)－49是该数列的一项，68不是该数列的项． 由3n 2－28n ＝－49， 解得n ＝7或n ＝73(舍去)， 所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意， 所以68不是该数列的项．变式探究 解析：a n ＝3n 2－28n ＝n (3n －28)， 令a n <0，则0<n <283，又n ∈N ＋，所以n ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{a n }中共有9个负数项． 跟踪训练3 解析：(1)因为a n ＝4n 2+3n ，所以a 4＝442+3×4＝17，a 6＝462+3×6＝227. (2)110是该数列的项，令4n 2+3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *， 故将n ＝－8舍去，所以110是该数列的第5项．[课堂十分钟]1．解析：当n ＝1时，排除A 、D ，当n ＝2时，排除B ，故选C. 答案：C2．解析：由题意知，a n ＝n−2n 2. 令a n ＝0.08，即n−2n 2＝8100，所以n ＝10或n ＝52(舍去)，故选C. 答案：C3．解析：令n 2－n ＝42，解得n ＝7(n ＝－6舍去)．故42是数列的第7项，其余选项均错．故选D. 答案：D4．解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为a n ＝3－2n ， 所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3−223−23＝15.答案：3－4n 155．解析：数列{a n }的前5项依次是1，43，32，85，53.图象如图．。