初中升高中数学衔接：第1讲乘法公式(解析版)

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初中升高中数学衔接教材

第一节乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ (a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如 ( a b) 3?，能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）( a b)3(a b)2(a b)a33a 2 b 3ab2b 3···················①那 ( a b ) 3 ? 呢，同理可推。

那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将 (a b)3中的 b 换成－ b 即可。

（ b R ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换(a b)3a 3 3a 2b 3ab 2 b 3············符号的记忆，和――差从代换的角度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（）＝ a3b3由①可知，333 2222) ······②a b(a b ) (33 )()(a ab ba b aba b立方差呢？②中的 b 代换成－ b 得出： a3b3(a b)(a2ab b 2)▲符号的记忆，系数的区别例 1：化简 ( x 1)( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1)1法 2：立方和――立方差（2）已知x2x 1 0,求证：( x 1)3( x 1)38 6x▲注意观察结构特征，及整体的把握二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。

初高中衔接数学及参考答案

数学代数部分第一讲乘法公式一、知识要点1．平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-﹒ 2．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++﹒3．立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+﹒ 4．立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-﹒ 5．完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-﹒二、例题选讲例1、填空（1）=++-)9)(3)(3(2x x x _______________﹒ 解：原式=81)9)(9(422-=+-x x x ﹒ （2）=+--22)2()12(x x ______________﹒解：原式=383)44(144222--=++-+-x x x x x x ﹒ 例2、已知31=+xx ，求下列各式的值：（1）221x x +；（2）331xx +﹒ 解：（1）21112)1(22222++=+⋅⋅+=+xx x x x x x x Θ，7292)1(1222=-=-+=+∴x x xx ﹒ (2) 18)17(3)11)(1(12233=-⨯=+-+=+x x x x x x ﹒例3、已知2x y +=，求代数式336x y xy ++的值．解：33226()()6x y xy x y x xy y xy ++=+-++2222(3)2()8x xy y xy x y =-++=+=﹒例4、已知8,9,x y y z -=-=试求代数式222x y z xy yz xz ++---的值．解：8,9,17x y y z x z -=-=∴-=Q ，2222221(222222)2x y z xy yz xz x y z xy yz xz ∴++---=++---22222211[()()()](8917)21722x y y z x z =-+-+-=++= 三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．计算=+-++-++-))(())(())((a c a c c b c b b a b a _________． 2．计算22()2()()()x y x y x y x y +-+-+-= ． 3．2200620082004-⨯= ． 4．已知2510x x -+=，则221x x += ． 5．计算16842321)13)(13)(13)(13(⋅-++++= ．6．计算222222221234562009201012345620092010----++++++++L +201220112012201122+-﹒7．已知2a c b +=+，则222222a b c ab bc ac ++--+= ．8．已知2x y -=，求代数式336x y xy --的值．9．已知1,3x y xy -==，试求下列各式的值：（1）22;x y +（2）33.x y -第二讲因式分解一、知识要点1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式． 2．因式分解的基本方法：（1）提公因式法 )(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法常见公式有：①22()()a b a b a b -=+-， ②2222()a ab b a b ±+=±， ③3322()()a b a b a ab b ±=±+m ， ④3223333()a a b ab b a b ±+±=±，⑤2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++，（3）十字相乘法：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ （4）配方法、添项拆项法，分组分解法二、例题选讲例1、因式分解：（1）244x x -+ ；（2）38x -；（3）33)2()2(a y a x ---﹒ 解：（1）244x x -+2(2)x =-（2）38x -3322(2)(24)x x x x =-=-++（3）33)2()2(a y a x ---=)()2()2()2(333y x a a y a x +-=-+-例2 、因式分解（1）256x x -+；（2）2215x x --；（3）26136x x -+﹒ 解：（1）256x x -+(2)(3)x x =--；（2）2215x x --(25)(3)x x =+-；（3）26136x x -+(23)(32)x x =--﹒例3、因式分解225636x xy y x y -+-+ 解：225636x xy y x y -+-+(2)(3)3(2)x y x y x y =----(2)(33)x y x y =---例4、因式分解523325a ab a b b --+ 解：523325a ab a b b --+233233()()a a b b a b =---3322()()a b a b =-- 222()()()a b a b a ab b =-+++三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．将下列各式分解因式：（1）32x x y -__________________________________________________________________ （2）44-x__________________________________________________________________ （3）33125x y -__________________________________________________________________ （4）1322+-x x__________________________________________________________________ （5）2(1)x a x a -++__________________________________________________________________（6）32331a a a +++__________________________________________________________________ （7）222221a b ab a b ++--+__________________________________________________________________ （8）22122512x xy y ++__________________________________________________________________ （9）2226x xy y x y ++---__________________________________________________________________ 2．已知25a b -=，346a b +=，求多项式22328a ab b --的值．第三讲因式定理一、知识要点定理1（因式定理）：若a 是一元多项式)(0111是非负整数n a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--的根，即00111=++⋅⋅⋅++--a a a a a a a n n n n ，则多项式0111a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--有一个因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根。

初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ；（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（2）立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（3）三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)a c（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ；b（5）两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．解法一：原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x ．解法二：原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x ．例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求2 2 2 a b c 的值．解：2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac ．练习1．填空：（1）1 1 1 12 2a b ( b a) （）； 9 4 2 3（2）(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ；(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：（1）若2 1x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A ）2m （B）142m （C）132m （D）1162m（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值（）（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2 2（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；2 ( ) 2（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1初中升高中数学教材变化分析2与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．xx 1－1 1 －2 x －ay－1x －2 x1 －2 6 －by1图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4图 1．1－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．（2）由图 1．1－3，得2x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．（3）由图 1．1－4，得2 ( ) 2x a b xy aby ＝(x ay)( x by)x －1（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习一、填空题：y图 1．1－511、把下列各式分解因式：2 x（1） 5 6x __________________________________________________ 。

初高中数学衔接

初高中数学衔接 1.1乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。

初高中衔接知识专题乘法公式

初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。

高初中衔接内容部分的答案

高初中衔接内容1 代数式的恒等变形 1·1 乘法公式及其应用典型例题答案解析【例1】解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．【例2】解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例3】（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+【说明】多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂（或升幂）次序排列的．（2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=- （4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++达标训练答案3．解：原式=(x+y)(x 2-xy+y 2)+3xy= x 2-xy+y 2+3xy =(x+y)2=1.4. 解：2310x x -+= 0x ∴≠ 13x x∴+=，原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x xxxx+-+=++-=-=.1·2 分式典型例题答案解析【例1】解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)AB A x Bx A B x Ax xx x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．【例2】（1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x++=====--⋅+-++--+-++.解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x x x xx x x x x xxx x x x x x xx++====-⋅-+-++--+-⋅.（2）解：原式)3(21)3)(3(631)3(21)9(6)93)(3(93222+---+--=+---+++-++=x x x x x x x x x x x x x x x22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+.【说明】(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果一般化为最简分式或整式．达标训练答案3.解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bcacab+++⋅+⋅+⋅333()()()a a b b c c a b cbcacababc---++=++=-①33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+ ，3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abc abc-=-.1·3 二次根式典型例题答案解析【例1】解：（1）原式23(2623-==--（2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4）原式==+=【变式】解法一：(3)÷-＝393-＝12．解法二：(3)÷-＝12．【例2】解：（1）∵1===，(10)110，又>，∴（2）解∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜.【例3】解：7714,123x y x y xy===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy+-+=++-=-=【说明】有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．达标训练答案3．＞4．（1）4；（2）6313-5．()()(13,2,33y -6．∵2210x y +=+=+=，1xy +==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．1·4 因式分解典型例题答案解析【例1】【思路分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-2222()()()()a a b a ab b a b a ab b =+-+-++ 2222()()()()a a b a b a ab b a ab b =+-++-+【例2】解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．【说明】今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得22()x a b xy aby-++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图5所示）．－1 －2x x 图1－1 －21 1 图2－2 61 1 图3－ay －byx x 图4－1 1x y【例3】解：（1） 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+（2） 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+（3）【思路分析】把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(4) 【思路分析】由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解： 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+- 【例4】解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254yy-⨯【说明】用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【例5】解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-+21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+---⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y=-+，1(2x y=--，∴2244x xy y+-=[2(1][2(1]x y x y +-++．【例6】解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．【例7】（1）【思路分析】按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+（2）【思路分析】先将系数2提出，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【例8】【思路分析】本因式难以直接分解，所以考虑适当拆、添项，使之分组后能用公式或提取公因式。

乘法公式 (最新初高中数学衔接学案(附经典解析))

乘法公式【基础知识梳理】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【巩固提升】探究一平方公式的应用【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++（5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x +（2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)38x +(2)30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++ 探究三整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +．【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310xx +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -．【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222ab c ++的值．【解析】 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后提高】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（） A ．总是正数 B ．总是负数 C ．可以是零 D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=，7x y -=，那么xy 的值为（）A ．120B ．60C ．30D ．15 3．如果多项式29xmx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y +=7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+（4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=；（6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+（8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++)8．若2210xx +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310xx -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________。

初高中数学衔接一：乘法公式

第一节乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数3. 计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)（3）(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2 （4）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．4.已知x +y =10，x 3+y 3=100，求x 2+y 2的值；5.观察下列各式：()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111111111223324……由猜想到的规律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。

初高中衔接第一讲

第一讲数与式的运算一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例1】计算：22)312(+-x x【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-【例4】已知0132=+-x x ，求331xx +的值．二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1) (2) 1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：(1)(2) (3) -解：(1) 原式623==--(2) 原式=(3) 原式=-+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母(．形式() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(2+2-)．【例9】设x y =，求33x y +的值．解：2702。

02_国中升高中数学衔接教材_第1回乘法公式[3页]

第1回乘法公式重點一、乘法對加法的分配律1.a×（b＋c）＝a×b＋a×c。

2.（a＋b）×（c＋d）＝a（c＋d）＋b（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd。

二、平方公式1.和的平方：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。

2.差的平方：（a－b）2＝a2－2ab＋b2。

3.平方差：（a＋b）（a－b）＝a2－b2。

*三、立方公式1.立方和：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3。

2.立方差：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3。

3.和的立方：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3。

4.差的立方：（a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3。

*四、其他1.（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x3＋（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x＋abc。

2.（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca。

試題 1試利用（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd展開下列各式：(1)（2x＋1）（3x－5）。

(2)（3x＋2y）（4x－3y）。

解(1)（2x＋1）（3x－5）＝2x×3x－2x×5＋1×3x－1×5＝6x2－10x＋3x－5＝6x2－7x－5(2)（3x＋2y）（4x－3y）＝3x×4x－3x×3y＋2y×4x－2y×3y ＝12x2－9xy＋8xy－6y2＝12x2－xy－6y2試題2試利用（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展開下列各式：(1)（3x＋1）2。

(2)（5x＋2y）2。

解(1)（3x＋1）2＝（3x）2＋2×3x×1＋12＝9x2＋6x＋1(2)（5x＋2y）2＝（5x）2＋2×5x×2y＋（2y）2＝25x2＋20xy＋4y2試題3試利用（a－b）2＝a2－2ab＋b2展開下列各式：(1)（5x－3y）2。

名师辅导——初高中数学衔接工具书——乘法公式【解析版】

名师辅导——初高中数学衔接工具书1.1 乘法公式（解析版）1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．进入高中之后，我们将面临更多更复杂的运算。

我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：证明：3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x - （3）2(21)x y ++解：（1）332(1)331x x x x +=+++ （2）332(23)8365427x x x x -=-+-（3）22222(21)[(2)1](2)2(2)144421x y x y x y x y x xy y x y ++=++=++++=+++++2．常见变形乘法公式有比较多的变形，如：（1）222()2a b a b ab +=+-；（2）222()2a b a b ab +=-+；（3）333()3()a b a b ab a b +=+++；（4）333()3()a b a b ab a b +=+-+. 【例3】已知7,12x y xy +==，求22x y +的值解：∵7,12x y xy +==，∴2222()2721225x y x y xy +=+-=-⨯= 说明：常用配方法：()2222a b a b ab +=+-，()2222a b a b ab +=-+．【例4】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +．解：13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x+=+-+=++-=-=．说明：（1）本题若先从方程13x x+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【例5】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x-．解：2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x=-++=-⨯+=-．说明：本题若先从方程2310x x +-=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．【例6】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（）A ．120B ．60C ．30D ．15 3．已知17x y +=，60xy =，则22x y +=4．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是 5．()()22_________a b a b +--= ()222__________a b a b +=+-6．计算：()()()()221111a a a a a a -+++-+= 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27x x -=- （2）26(2)()8x x +=+（3）3(2)()x +=；（4）3(23)()x y -=（5）221111()()9432a b a b -=+ （6）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________9．已知2()2210x y x y +--+=，则2019()x y +=_________________10．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 11．已知2310x x -+=，求3313x x++的值．12．已知0a b c ++=，12ab bc ac ++=-，求下列各式的值：（1）222a b c ++；（2）444a b c ++．1.1 乘法公式参考答案1．A 2．B 3．169 4．6± 5．4ab ； 2ab 6．61a -7．（1）239x x ++ （2）4224x x -+ （3）326128x x x +++ （4）32238365427x x y xy y -+-（5）1132a b - （6）424ab ac bc -- 8．11n x+-9．1 解：1x y +=，所以2019()1x y +=10．解：2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x=-++=-⨯+=-．11．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x+-++=++-+=-+=12．解：（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，所以22201a b c =++-，所以2221a b c ++=．（2）由22222221()2()4ab bc ac a b b c c a abc a b c ++=+++++=，得22222214a b b c c a ++=，所以444222222222211()2()1242a b c a b c a b b c c a ++=++-++=-⨯=．。

广东省汕头市金山中学高中数学初高中衔接材料一乘法公式、二次根式及因式分解

乘法公式一、我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

二、我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方与公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕三数与平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；〔4〕两数与立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

对上面列出五个公式，有兴趣同学可以自己去证明。

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++。

解：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x - 例2 4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++值。

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=。

练习：1．填空：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔〕；〔2〕(4m + 22)164(m m =++ )；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )。

2．选择题：〔1〕假设是一个完全平方式，那么k 等于〔〕A 、2mB 、214mC 、213mD 、〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+值〔〕A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数3、找规律与为什么观察以下等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，… … 用含自然数n 等式表示这种规律:_______________________________并证明这一规律。

初升高数学衔接课程

初升高中衔接教程数学第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)，读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ．例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅．例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集第6讲集合的基本运算变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ，则)()(N C M C U U =__________________.例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域。