栈与递归
递归的概念递归过程与递归工作栈递归与回溯广义表
} }
递归过程与递归工作栈
递归过程在实现时，需要自己调用自己。 层层向下递归，退出时的次序正好相反：
}
递归找含x值的结点
f
x
fff
问题的解法是递归的
例如，汉诺塔(Tower of Hanoi)问题的解法： 如果 n = 1，则将这一个盘子直接从 A 柱移到
C 柱上。否则，执行以下三步： ① 用 C 柱做过渡，将 A 柱上的 (n-1) 个盘子移 到 B 柱上： ② 将 A 柱上最后一个盘子直接移到 C 柱上； ③ 用 A 柱做过渡，将 B 柱上的 (n-1) 个盘子移 到 C 柱上。
递归调用
n! (n-1)! (n-2)!
1! 0!=1
返回次序
主程序第一次调用递归过程为外部调用；
递归过程每次递归调用自己为内部调用。
它们返回调用它的过程的地址不同。
递归工作栈
每一次递归调用时，需要为过程中使用的 参数、局部变量等另外分配存储空间。
每层递归调用需分配的空间形成递归工作 记录，按后进先出的栈组织。
while ( n >= 0 ) { cout << "value " << A[n] << endl;
n--;
} }
递归与回溯 常用于搜索过程
n皇后问题 在 n 行 n 列的国际象棋棋盘上，
必备算法：递归！无论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！
必备算法：递归！⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！递归是⼀种⾮常重要的算法思想，⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它。
在⽇常⼯作中，统计⽂件夹⼤⼩，解析xml⽂件等等，都需要⽤到递归算法。
它太基础太重要了，这也是为什么⾯试的时候，⾯试官经常让我们⼿写递归算法。
本⽂呢，将跟⼤家⼀起深⼊挖掘⼀下递归算法~什么是递归？递归，在计算机科学中是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
简单来说，递归表现为函数调⽤函数本⾝。
在知乎看到⼀个⽐喻递归的例⼦，个⼈觉得⾮常形象，⼤家看⼀下：❝递归最恰当的⽐喻，就是查词典。
我们使⽤的词典，本⾝就是递归，为了解释⼀个词，需要使⽤更多的词。
当你查⼀个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第⼆个词，可惜，第⼆个词⾥仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有⼀个词的解释是你完全能看懂的，那么递归⾛到了尽头，然后你开始后退，逐个明⽩之前查过的每⼀个词，最终，你明⽩了最开始那个词的意思。
❞来试试⽔，看⼀个递归的代码例⼦吧，如下：递归的特点实际上，递归有两个显著的特征,终⽌条件和⾃⾝调⽤:✿⾃⾝调⽤：原问题可以分解为⼦问题，⼦问题和原问题的求解⽅法是⼀致的，即都是调⽤⾃⾝的同⼀个函数。
✿终⽌条件：递归必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
结合以上demo代码例⼦，看下递归的特点：递归与栈的关系其实，递归的过程，可以理解为出⼊栈的过程的，这个⽐喻呢，只是为了⽅便读者朋友更好理解递归哈。
以上代码例⼦计算sum（n=3）的出⼊栈图如下：为了更容易理解⼀些，我们来看⼀下函数sum（n=5）的递归执⾏过程，如下：✿计算sum（5）时，先sum（5）⼊栈，然后原问题sum（5）拆分为⼦问题sum（4），再⼊栈，直到终⽌条件sum（n=1）=1，就开始出栈。
✿ sum（1）出栈后，sum（2）开始出栈，接着sum（3）。
✿最后呢，sum（1）就是后进先出，sum（5）是先进后出，因此递归过程可以理解为栈出⼊过程啦~递归的经典应⽤场景哪些问题我们可以考虑使⽤递归来解决呢？即递归的应⽤场景⼀般有哪些呢？✿阶乘问题✿⼆叉树深度✿汉诺塔问题✿斐波那契数列✿快速排序、归并排序（分治算法体现递归）✿遍历⽂件，解析xml⽂件递归解题思路解决递归问题⼀般就三步曲，分别是：✿第⼀步，定义函数功能✿第⼆步，寻找递归终⽌条件✿第⼆步，递推函数的等价关系式这个递归解题三板斧理解起来有点抽象，我们拿阶乘递归例⼦来喵喵吧~1、定义函数功能定义函数功能，就是说，你这个函数是⼲嘛的，做什么事情，换句话说，你要知道递归原问题是什么呀？⽐如你需要解决阶乘问题，定义的函数功能就是n的阶乘，如下：2、寻找递归终⽌条件递归的⼀个典型特征就是必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
栈的应用场景
栈的应用场景栈是一种常见的数据结构，它的特点是后进先出（Last In First Out，LIFO）。
栈的应用场景非常广泛，从计算机科学到日常生活都可以见到其身影。
本文将介绍栈在不同领域的应用场景。
1.计算机算法在计算机算法中，栈经常被用于实现递归函数、表达式求值、括号匹配等操作。
递归函数的调用过程实际上是一个栈的过程，每当一个函数调用另一个函数时，系统会将当前函数的状态信息压入栈中，待调用的函数执行完毕后再从栈中弹出上一个函数的状态信息继续执行。
表达式求值中，栈可以用于存储操作数和运算符，通过弹出栈中的元素进行计算，最终得到表达式的结果。
括号匹配中，栈可以用于判断左右括号是否匹配。
2.编译器和操作系统编译器和操作系统也是栈的常用应用场景。
在编译器中，栈用于存储函数调用的参数、局部变量和返回地址等信息。
每当函数调用时，编译器会将相关信息压入栈中，函数执行结束后再从栈中弹出相关信息。
操作系统中的函数调用、中断处理等过程也经常使用栈来保存现场信息，保证程序的正确执行。
3.网络协议在网络协议中，栈被广泛应用于网络数据的传输和处理。
TCP/IP协议栈是一个典型的例子，它将网络层、传输层、应用层等不同的协议通过栈的形式依次封装，完成数据的传输和处理。
数据包从应用层一直传输到网络层，以栈的形式不断压入和弹出，确保数据的准确传递和处理。
4.浏览器的前进后退功能在浏览器中，前进和后退功能是栈应用的典型场景。
当我们浏览网页时，每当点击一个链接或者输入一个网址，浏览器会将当前的URL 压入栈中。
当我们点击“后退”按钮时，浏览器会从栈中弹出上一个URL，完成页面的后退操作。
同样地，当我们点击“前进”按钮时，浏览器会从栈中弹出下一个URL，完成页面的前进操作。
5.撤销和恢复操作在各种应用程序中，栈可用于实现撤销和恢复操作。
例如，在文字编辑器中，当我们对文字进行修改后，可以将修改前的状态信息压入栈中，以备将来的撤销操作。
栈的出队顺序
栈的出队顺序一、栈的出队顺序——先进后出的数据结构二、栈的基本操作——入栈和出栈栈的基本操作包括入栈和出栈。
入栈是指将元素添加到栈的顶部，出栈是指将栈顶的元素移除。
入栈和出栈是栈的两个基本操作，它们是栈的核心功能。
通过这两个操作，我们可以实现对栈中元素的添加和删除。
三、栈的应用——逆波兰表达式求值逆波兰表达式是一种不需要括号来标识优先级的数学表达式表示方法。
在逆波兰表达式中，操作符位于操作数的后面，这样可以避免使用括号来改变运算的顺序。
逆波兰表达式求值是栈的一个典型应用场景。
通过使用栈来保存操作数，我们可以按照逆波兰表达式的顺序依次计算出结果。
四、栈的应用——括号匹配括号匹配是栈的另一个重要应用场景。
在编程中，经常需要对括号进行匹配判断，以确保代码的正确性。
使用栈可以方便地实现对括号的匹配判断。
当遇到左括号时，将其入栈；当遇到右括号时，与栈顶元素进行匹配判断。
如果匹配成功，则将栈顶元素出栈；如果匹配失败，则表明括号不匹配。
五、栈的应用——浏览器的前进和后退功能浏览器的前进和后退功能是栈的又一个典型应用。
当我们在浏览器中点击前进按钮时，当前页面的URL将被压入栈中；当我们点击后退按钮时，栈顶元素将被弹出并打开对应的页面。
通过使用栈来保存浏览历史记录，我们可以方便地实现浏览器的前进和后退功能。
六、栈的应用——实现递归递归是一种常见的编程技巧，它可以简化代码的实现。
在递归过程中，每一次递归调用都会创建一个新的栈帧，用于保存函数的局部变量和返回地址。
通过使用栈来保存每个栈帧，我们可以实现递归的执行。
七、栈的应用——系统调用和中断处理在操作系统中，系统调用和中断处理是栈的重要应用场景。
当发生系统调用或中断时，当前的程序状态将被保存到栈中，包括程序计数器、寄存器的值和局部变量等。
通过使用栈来保存这些信息，操作系统可以在中断处理或系统调用结束后恢复程序的执行。
八、栈的应用——迷宫求解迷宫求解是一个经典的问题，可以通过使用栈来解决。
数据结构实验报告2栈、队列、递归程序设计
日期：学号：姓名：
实验名称：实验报告二栈、队列、递归程序设计
实验目的与要求：
2.1栈和队列的基本操作
（1）正确理解栈的先进后出的操作特点，建立初始栈，通过相关操作显示栈底元素。
（2）程序中要体现出建栈过程和取出栈底元素后恢复栈的入栈过程，按堆栈的操作规则打印结果栈中的元素
{
return(s->top==-1);
}
//---出栈函数
int Pop(SeqStack *&s,ElemType &e)
{
if (s->top==-1)
return 0;
e=s->data[s->top];
s->top--;
return 1;
}
//---初始队列函数
void InitQueue(SqQueue *&q)
q->rear=(q->rear+1)%MaxSize;
q->elem[q->rear]=e;
return 1;
}
//---出队列函数
int OutQueue(SqQueue *&q,ElemType &e)
{
if (q->front==q->rear) //队空
return 0;
q->front=(q->front+1)%MaxSize;
printf("(10)栈为%s,",(StackEmpty(s)?"空":"非空"));
printf("队列为%s\n",(QueueEmpty(q)?"空":"非空"));
栈的应用及特性
栈的应用及特性栈是计算机科学中一种非常重要的数据结构，具有广泛的应用和独特的特性。
下面将详细介绍栈的应用及特性。
一、栈的应用：1. 函数调用：在程序执行过程中，函数的调用和返回通常采用栈进行管理。
当一个函数被调用时，函数的参数和局部变量被压入栈中，函数执行完毕后，这些信息会被弹出栈恢复到调用函数的状态。
2. 表达式求值：在编程语言中，栈可用于表达式求值、中缀表达式转换为后缀表达式等相关操作。
通过利用栈的先进后出特性，可以方便地实现这些功能。
3. 递归算法：递归算法中的递归调用也可以通过栈来实现。
当算法需要递归调用时，将函数和相关变量的信息压入栈中，等到递归结束后，再从栈中弹出恢复状态。
4. 括号匹配：栈也常用于判断表达式中的括号是否匹配。
遍历表达式，遇到左括号时压入栈，遇到右括号时弹出栈顶元素，如果匹配则继续，不匹配则判定为括号不匹配。
5. 浏览器的前进后退：浏览器的前进后退功能可以使用栈实现。
每次浏览一个网页时，将该网页的URL压入栈中，点击后退按钮时，再从栈中弹出上一个URL，即可实现返回上一个网页的功能。
6. 撤销操作：在图形界面软件中，通常会有撤销操作。
使用栈可以将每一步操作的状态依次压入栈中，当用户需要撤销时，再从栈中弹出最近的状态，恢复到之前的操作状态。
二、栈的特性：1. 先进后出：栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，即最新添加的元素最先被访问或者删除。
这一特性使得栈能够方便地实现函数调用和返回等操作。
2. 只能操作栈顶元素：由于栈的特性，只能访问或者修改栈顶元素，无法直接访问或者修改栈中的其他元素。
需要先将栈顶元素弹出后，才能访问或者修改下一个栈顶元素。
3. 顺序存储结构：栈可以使用数组或者链表实现。
使用数组实现时，需要指定栈的最大容量，而使用链表实现时，没有容量限制。
4. 操作复杂度：栈的插入和删除操作只涉及栈顶元素，所以其操作复杂度为O(1)。
但是栈的搜索和访问操作需要从栈顶开始遍历，所以其操作复杂度为O(n)。
链表逆序的三种方法
链表逆序的三种方法链表是一种常用的数据结构，由一个个节点通过指针连接而成。
在实际编程中，经常需要对链表进行逆序操作，以满足特定需求。
本文将介绍链表逆序的三种常用方法，分别是迭代法、递归法以及使用栈的方法。
迭代法：迭代法是一种比较直观的逆序方法，通过调整节点之间的指针指向来实现。
具体步骤如下：1. 定义三个指针，分别为当前节点（cur）、前一个节点（prev）和下一个节点（next）。
2. 将当前节点的下一个节点保存到next指针中，以免链表断开。
3. 将当前节点的next指针指向前一个节点，完成逆序操作。
4. 将当前节点赋值给prev指针，以备下一次迭代使用。
5. 将next指针赋值给cur指针，继续下一次迭代。
若next指针为空，则说明已到达链表尾部，逆序完成。
递归法：递归法是一种更为简洁的逆序方法，通过递归调用实现链表逆序。
具体步骤如下：1. 首先判断链表是否为空或只有一个节点，若是则无需逆序，直接返回。
2. 若链表有多个节点，则递归调用逆序函数对除第一个节点外的子链表进行逆序。
3. 将头节点（首节点）的指针指向调用逆序函数后的新链表的尾节点。
4. 将尾节点的指针指向头节点，使得整个链表逆序完成。
使用栈的方法：栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，可以利用栈的特性进行链表逆序操作。
具体步骤如下：1. 遍历链表，将链表中的节点依次压入栈中。
2. 弹出栈中的节点，按照出栈顺序重新构建链表。
弹出的第一个节点是原链表的尾节点，成为逆序链表的头节点。
3. 将每个弹出的节点的next指针指向下一个被弹出的节点，完成逆序操作。
4. 最后一个被弹出的节点成为逆序链表的尾节点，将其next指针置为空，表示逆序链表的尾部。
以上是三种常见的链表逆序方法。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来实现链表逆序。
迭代法适合逆序链表并保持链表结构的情况；递归法适用于逆序链表不要求保持原结构的情况；使用栈的方法适用于逆序链表并重新构建链表结构的情况。
递归的替代算法
递归是一种强大的编程技术，它允许函数在其定义中调用自身。
然而，递归并不是解决所有问题的最佳方法。
有时，使用迭代（即循环）或其他算法可能会更有效，更简洁，甚至更快。
下面是一些可以替代递归的算法和方法。
1. 迭代
迭代是递归的一种常见替代方法。
在许多情况下，递归函数可以通过使用循环（如for 循环或while循环）来重写。
迭代通常比递归更容易理解和调试，并且对于某些问题，迭代可能比递归更有效。
2. 动态规划
动态规划是一种用于解决递归问题的强大技术。
它通过将问题的解决方案存储在一个表（或其他数据结构）中，避免了递归中的重复计算。
这种方法通常比递归更快，因为它避免了不必要的重复计算。
3. 尾递归优化
尾递归是一种特殊的递归形式，其中递归调用是函数体中的最后一个操作。
一些编程语言（如Haskell）对尾递归进行了优化，使其具有与迭代相同的效率。
然而，并非所有编程语言都支持这种优化，因此尾递归可能并不总是最佳选择。
4. 栈模拟
对于某些递归问题，可以通过使用栈来模拟递归调用栈。
这种方法允许我们以迭代的方式模拟递归过程，从而避免了递归的深度限制。
5. 非递归数据结构
某些数据结构（如栈、队列、树等）可以以非递归方式实现。
使用这些数据结构可以避免需要递归的算法。
总的来说，选择递归还是其他算法取决于具体的问题和上下文。
在某些情况下，递归可能是最简洁和最直接的方法。
然而，在其他情况下，使用迭代、动态规划或其他技术可能会更有效、更简洁或更快。
因此，了解多种解决问题的方法是非常重要的。
递归函数是指函数定义中调用函数自身的函数
递归函数是指函数定义中调用函数自身的函数递归函数是计算机科学中的一种重要概念，指的是在函数定义中调用函数自身的函数。
通俗的说，递归函数就是一个能够反复调用自己的函数。
递归函数的思想源于自然界中的许多事物，例如树、分形等等。
在数学中，递归函数已被广泛应用，尤其是在离散数学、计算机科学和逻辑学等领域。
在编程中，递归函数可以帮助我们建立更加简洁、可读性更好的程序。
在编程中，递归函数通常需要遵循以下两个条件：1. 递归基本情况：即递归函数需要有一个返回条件。
通俗的说，就是当满足某些条件时，递归需要停止。
2. 递归步骤：即递归函数需要在每次调用自己时，逐渐向递归基本情况靠近。
通俗的说，就是每次调用自己时，需要使得问题规模逐渐缩小，直到达到递归基本情况。
下面是一个经典的递归函数示例，计算斐波那契数列的第n个数：```def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在上述代码中，递归基本情况是当n等于0或者1时，递归停止；递归步骤是每次将问题规模缩小为n-1和n-2，直到满足递归基本情况为止。
递归函数的优点是代码简洁、可读性好、易于实现等等。
但使用递归函数也有一定的缺点。
具体来说，递归调用带来的函数调用开销、内存占用等等可能会影响程序的性能。
特别是当递归深度过大时，可能导致栈溢出等问题。
在使用递归函数时，也需要注意以下几个常见问题：1. 递归深度：在编写递归函数时，需要预估递归深度，避免出现栈溢出等问题。
2. 递归效率：在编写递归函数时，需要尽可能避免重复计算，提高递归效率，例如通过记忆化搜索等技术。
3. 递归终止条件：在编写递归函数时，需要确定好递归终止条件，避免出现死循环等问题。
递归函数是编程中的一种重要工具，能够帮助我们简化代码、提高程序可读性。
但也需要注意递归深度、递归效率等问题，以确保程序的正确性和性能。
c语言中如何返回之前的步骤
c语言中如何返回之前的步骤在C语言中，要返回之前的步骤，可以使用函数的递归调用或者栈的数据结构来实现。
下面分别介绍这两种方法。
一、递归调用递归调用是一种函数调用自身的方式。
通过递归调用，可以实现函数返回之前的步骤。
1.递归调用的基本原理递归调用的基本原理是在函数内部调用自身，通过在每一次递归调用中传递不同的参数，让函数按照不同的路径执行，最终返回之前的步骤。
2.递归调用的步骤（1）定义递归函数：在函数内部定义一个递归函数，用于实现递归调用。
（2）设置递归终止条件：在递归函数的开头设置一个递归终止条件，当满足此条件时，不再进行递归调用，直接返回。
（3）设置递归调用：在递归函数内部，根据条件判断是否进行递归调用，若进行递归调用，则传入不同的参数。
（4）返回值：在递归函数中，根据需要返回相应的值。
3.递归调用的示例下面以计算阶乘的函数为例，介绍递归调用的实现过程。
```c#include <stdio.h>int factorial(int n)if(n == 0)return 1; // 终止条件elsereturn n * factorial(n-1); // 递归调用int mainint num;printf("请输入一个非负整数：");scanf("%d", &num);printf("%d的阶乘为%d\n", num, factorial(num));return 0;```以上代码中，factorial函数是一个递归函数，根据n的不同值，通过递归调用来实现计算阶乘的功能。
当n为0时，满足递归终止条件，函数直接返回1；否则，函数通过递归调用返回n * factorial(n-1)的结果。
二、栈的数据结构栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，可以通过栈来实现返回之前的步骤。
1.栈的基本操作（1）入栈（push）：将元素压入栈顶。
数据结构必考知识点归纳
数据结构必考知识点归纳数据结构是计算机科学中的核心概念之一，它涉及到数据的组织、存储、管理和访问方式。
以下是数据结构必考知识点的归纳：1. 基本概念：- 数据结构的定义：数据结构是数据元素的集合，这些数据元素之间的关系，以及在这个集合上定义的操作。
- 数据类型：基本数据类型和抽象数据类型（ADT）。
2. 线性结构：- 数组：固定大小的元素集合，支持随机访问。
- 链表：由一系列节点组成，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针。
- 单链表：每个节点指向下一个节点。
- 双链表：每个节点同时指向前一个和下一个节点。
- 循环链表：最后一个节点指向第一个节点或第一个节点指向最后一个节点。
3. 栈（Stack）：- 后进先出（LIFO）的数据结构。
- 主要操作：push（入栈）、pop（出栈）、peek（查看栈顶元素）。
4. 队列（Queue）：- 先进先出（FIFO）的数据结构。
- 主要操作：enqueue（入队）、dequeue（出队）、peek（查看队首元素）。
- 特殊类型：循环队列、优先队列。
5. 递归：- 递归函数：一个函数直接或间接地调用自身。
- 递归的三要素：递归终止条件、递归工作量、递归调用。
6. 树（Tree）：- 树是节点的集合，其中有一个特定的节点称为根，其余节点称为子节点。
- 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
- 二叉搜索树（BST）：左子树的所有节点的值小于或等于节点的值，右子树的所有节点的值大于或等于节点的值。
7. 图（Graph）：- 图是由顶点（节点）和边（连接顶点的线）组成的。
- 图的表示：邻接矩阵、邻接表。
- 图的遍历：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）。
8. 排序算法：- 基本排序：选择排序、冒泡排序、插入排序。
- 效率较高的排序：快速排序、归并排序、堆排序。
9. 查找算法：- 线性查找：在数据结构中顺序查找。
- 二分查找：在有序数组中查找，时间复杂度为O(log n)。
二叉树的先序,中序,后序遍历的递归工作栈的关系
二叉树的先序,中序,后序遍历的递归工作栈的关系在计算机科学中，二叉树是一种非常重要的数据结构，它在很多算法和数据处理中都有着广泛的应用。
而二叉树的先序、中序、后序遍历以及它们与递归和工作栈的关系更是程序员面试中常见的问题。
本文将从深度和广度两个方面，按照先序、中序、后序的顺序逐步展开对这个主题的探讨。
一、先序遍历先序遍历是指先访问根节点，然后递归地先序遍历左子树，最后递归地先序遍历右子树。
在实际的计算机算法中，我们可以使用递归或者栈来实现先序遍历。
1.1 递归实现当我们使用递归来实现先序遍历时，可以很容易地写出下面这段代码：```pythondef preorderTraversal(root):if not root:return []return [root.val] + preorderTraversal(root.left) + preorderTraversal(root.right)```这段代码非常简洁明了，但是在实际执行时，会使用工作栈来保存递归中间结果。
因为递归本质上就是一个栈结构，在调用递归函数时，会将当前函数的局部变量和参数压入栈中，直到递归结束，栈中的内容才会依次出栈执行。
1.2 栈实现除了递归之外，我们也可以使用显式栈来实现先序遍历。
这种方法通常会更加高效一些，因为递归会有一定的性能损耗。
栈的实现思路是，我们首先将根节点压入栈中，然后弹出栈顶节点并访问它，接着先将右子节点压入栈中，再将左子节点压入栈中。
重复上述操作直到栈为空。
这样就可以保证先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树，符合先序遍历的要求。
二、中序遍历中序遍历是指先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。
中序遍历同样可以用递归或者显式栈来实现。
2.1 递归实现递归实现中序遍历同样非常简单：```pythondef inorderTraversal(root):if not root:return []return inorderTraversal(root.left) + [root.val] + inorderTraversal(root.right)```在这个递归函数中，同样使用了递归的工作栈来保存中间结果。
栈的概念与特点
栈的概念与特点栈是一种数据结构，它可以用来存储数据和实现一些特定的操作。
栈的概念和特点可以通过以下几个方面来阐述。
首先，栈是一种线性数据结构，其特点是数据元素按照线性顺序排列，且只能在一端进行操作。
这一端通常称为栈顶，另一端称为栈底。
栈的结构类似于我们平常使用的一对叠盘子，只能从上面取盘子或者放盘子。
其次，栈的特点是“后进先出”，即最后一个入栈的元素最先出栈，而最先入栈的元素最后出栈。
这与我们日常生活中的一些场景相符，比如堆积东西或书籍时，我们通常会先放上面的物品，而需要使用时则先取出上面的物品。
这种特点在计算机科学中应用广泛，有助于解决一些问题。
再次，栈只能在一端进行操作，即在栈的顶部进行插入元素、删除元素或者查看栈顶元素等操作。
这种特点决定了在栈中只有栈顶元素可见，其他元素是不可见的。
这也是栈的一个重要特性，它限制了对栈内数据的访问方式，在某些情况下能够提高程序的效率。
此外，栈还具有一种重要的性质，即拥有“局部性原理”。
局部性原理指的是在程序执行过程中，往往会存在一些临时的变量或者子程序的调用，这些变量或者子程序的执行过程通常是连续的，也就是说它们的连续执行是非常频繁的。
而栈的特点正好满足了这一需求，可以将这些临时变量或者子程序的返回地址存储在栈中，以实现快速的跳转和恢复。
另外，栈还具有动态分配内存空间的能力。
在使用栈时，一般会预先确定栈的最大容量，但实际使用时可能需要动态地分配栈的空间。
这是因为在程序执行过程中，数据的个数或者大小是不确定的，可能会有增加或者减少的情况。
而栈可以通过动态地改变栈顶指针的位置来实现空间的动态分配和释放。
此外，栈还可以通过递归来实现一些复杂的问题。
递归是一种函数调用自身的方法，它可以通过栈的特点实现函数的嵌套调用和返回。
递归在解决一些具有递归结构的问题时非常有用，并且可以通过栈的特性来实现递归的过程管理和结果返回。
除了以上几个方面，栈还有一些其他的应用场景，比如括号匹配、表达式求值、函数调用和返回等。
递归调用详解，分析递归调用的详细过程
递归调⽤详解，分析递归调⽤的详细过程⼀、栈在说函数递归的时候，顺便说⼀下栈的概念。
栈是⼀个后进先出的压⼊(push)和弹出(pop)式。
在程序运⾏时，系统每次向栈中压⼊⼀个对象，然后栈指针向下移动⼀个位置。
当系统从栈中弹出⼀个对象时，最近进栈的对象将被弹出。
然后栈指针向上移动⼀个位置。
程序员经常利⽤栈这种数据结构来处理那些最适合⽤后进先出逻辑来描述的编程问题。
这⾥讨论的程序中的栈在每个程序中都是存在的，它不需要程序员编写代码去维护，⽽是由运⾏是系统⾃动处理。
所谓的系统⾃动维护，实际上就是编译器所产⽣的程序代码。
尽管在源代码中看不到它们，但程序员应该对此有所了解。
再来看看程序中的栈是如何⼯作的。
当⼀个函数(调⽤者)调⽤另⼀个函数(被调⽤者)时，运⾏时系统将把调⽤者的所有实参和返回地址压⼊到栈中，栈指针将移到合适的位置来容纳这些数据。
最后进栈的是调⽤者的返回地址。
当被调⽤者开始执⾏时，系统把被调⽤者的⾃变量压⼊到栈中，并把栈指针再向下移，以保证有⾜够的空间存储被调⽤者声明的所有⾃变量。
当调⽤者把实参压⼊栈后，被调⽤者就在栈中以⾃变量的形式建⽴了形参。
被调⽤者内部的其他⾃变量也是存放在栈中的。
由于这些进栈操作，栈指针已经移动所有这些局部变量之下。
但是被调⽤者记录了它刚开始执⾏时的初始栈指针，以他为参考，⽤正或负的偏移值来访问栈中的变量。
当被调⽤者准备返回时，系统弹出栈中所有的⾃变量，这时栈指针移动了被调⽤者刚开始执⾏时的位置。
接着被调⽤者返回，系统从栈中弹出返回地址，调⽤者就可以继续执⾏了。
当调⽤者继续执⾏时，系统还将从栈中弹出调⽤者的实参，于是栈指针回到了调⽤发⽣前的位置。
可能刚开始学的⼈看不太懂上⾯的讲解，栈涉及到指针问题，具体可以看看⼀些数据结构的书。
要想学好编程语⾔，数据结构是⼀定要学的。
⼆、递归递归，是函数实现的⼀个很重要的环节，很多程序中都或多或少的使⽤了递归函数。
递归的意思就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰本⾝，或者在⾃⼰函数调⽤的下级函数中调⽤⾃⼰。
三种括号识别算法
三种括号识别算法括号识别算法是文本处理和编程中常用的一种算法，用于识别和处理括号的匹配关系。
在此，我将介绍三种常见的括号识别算法：栈算法、递归算法和有限自动机算法。
1.栈算法：栈算法是最常用的括号识别算法之一、该算法使用一个栈数据结构来存储左括号，并通过栈的特性来判断右括号是否与栈顶的左括号匹配。
算法步骤：-创建一个空栈，用于存储左括号。
-从左到右遍历文本中的每个字符。
-如果遇到左括号（如'{'、'['、'('），则将其入栈。
-如果遇到右括号（如'}'、']'、')'），则判断栈是否为空。
若为空，则该右括号无匹配的左括号，识别失败。
若非空，则取出栈顶的左括号，并判断右括号与栈顶左括号是否匹配。
若匹配，则继续遍历下一个字符；若不匹配，则识别失败。
-遍历结束后，若栈为空，则识别成功；若栈非空，则有左括号没有匹配的右括号，识别失败。
栈算法的时间复杂度为O(n)，其中n为文本的长度。
2.递归算法：递归算法是另一种常见的括号识别算法。
该算法使用递归的方式来判断括号的匹配关系。
算法步骤：-从左到右遍历文本中的每个字符。
-如果遇到左括号（如'{'、'['、'('），则寻找与之匹配的右括号。
具体做法是，在遇到右括号之前，统计遇到的左括号的数量，直到左括号数量与右括号数量相等，并且右括号与最后一个遇到的左括号匹配。
若找到匹配的右括号，则继续遍历下一个字符；若不匹配，则识别失败。
-遍历结束后，如果找到了与每个左括号匹配的右括号，则识别成功；否则，识别失败。
递归算法的时间复杂度和栈算法类似，也是O(n)。
3.有限自动机算法：有限自动机算法是一种使用状态机的方式来识别括号的算法。
该算法使用有限状态机的转移来处理括号的匹配关系。
算法步骤：-定义括号匹配的有限状态机，包括起始状态、接受状态和转移规则。
栈与递归的关系
栈与递归的关系姓名：郭小兵学号：1007010210专业：信息与计算科学院系：理学院指导老师：彭长根2012年10月17日栈与递归的关系郭小兵摘要递归是计算机科学中一个极为重要的概念,许多计算机高级语言都具有递归的功能,对于初学计算机者来讲,递归是一个简单易懂的概念,但真正深刻理解递归,正确自如的运用递归编写程序却非易事,本文通过一些实例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换,也许使读者能加深对递归的理解。
关键词栈递归非递归引言递归是一种程序设计的方式和思想。
计算机在执行递归程序时，是通过栈的调用来实现的。
栈，从抽象层面上看，是一种线性的数据结构，这中结构的特点是“先进后出”，即假设有a，b，c三个元素，依次放某个栈式存储空间中，要从该空间中拿到这些元素，那么只能以c、b、a的顺序得到。
递归程序是将复杂问题分解为一系列简单的问题，从要解的问题起，逐步分解，并将每步分解得到的问题放入“栈”中，这样栈顶是最后分解得到的最简单的问题，解决了这个问题后，次简单的问题可以得到答案，以此类推。
分解问题是进栈（或者说压栈）的过程，解决问题是一个出栈的过程。
科学家对栈与递归都做了很多深入的研究，研究表明“递归算法和栈都有后进先出这个性质，基本上能用递归完成的算法都可以用栈完成，都是运用后进先出这个性质的”这个性质可用于进制的转换。
与汇编程序设计中主程序和子程序之间的链接及信息交换相类似，在高级语言编制的程序中，调用函数和被调用函数之间的链接及信息交换需过栈来进行。
递归是计算科学中一个极为重要的概念。
许多计算机高级语言都具有递归的功能，本文将通过一些是例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换，也许能加深对递归的理解。
递归是某一事物直接或间接地由自己完成。
一个函数直接或间接地调用本身，便构成了函数的递归调用，前者称之为直接递归调用，后者为间接递归调用。
递归会使某些看起来不容易解决的问题变得容易解决。
栈在递归中的作用
栈在递归中的作用栈是一种具有特殊性质的线性数据结构，在其中元素的插入和删除操作只能在栈的顶部进行。
栈的特点是元素按照后进先出的顺序进行处理，即最后插入到栈中的元素最先被访问到。
递归是一种程序设计技巧，通过一个函数在其定义中调用自身来解决问题。
递归函数在解决问题时以一种分而治之的办法，将原始问题划分为较小的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。
那么，栈在递归中起到了什么作用呢？一、存储临时变量：递归函数在每一次调用自身时都会入栈，该栈用来保存每个递归调用时的临时变量。
在递归函数内部定义的变量会保存在栈中，每次函数调用时，这些局部变量都会被压入栈中。
当函数的递归调用完成后，栈中保存的该函数的局部变量会被弹出，以便为下一个递归调用或其他操作提供内存空间。
这样，栈起到了一个保存临时变量的作用。
二、存储函数调用的返回地址：在递归调用时，每次调用后都需要返回到上一层调用处。
栈的另一个作用是存储函数调用的返回地址。
当一个函数调用了自身，并进行了递归调用时，当前函数的上下文信息（包括函数指针、参数和局部变量等）都会被保存在栈中，然后在递归调用完成后，栈中保存的上下文信息将被弹出，返回到上一层函数的下一条执行指令的位置，继续执行下去。
三、维护递归层次关系：递归调用时，每次调用自身都需要将当前的状态保存在栈中，这样可以保留每一次递归调用的上下文信息。
栈的深度也反映了递归的层次关系。
当递归调用层数很大时，栈的深度也会相应增加。
四、确保函数调用的正确性：栈在递归中还发挥了确保函数调用的正确性的作用。
每一次递归调用都会将当前的状态保存在栈中，包括参数、局部变量、返回地址等信息。
这样，即使在递归调用过程中发生了其他函数的调用，当递归调用完成后，栈中保存的状态信息都能够正确恢复，确保程序的正确执行。
总结来说，栈在递归中起到了存储临时变量、存储函数调用的返回地址、维护递归层次关系以及确保函数调用的正确性等作用。
栈的使用使递归函数能够按照正确的顺序进行递归调用，并在递归调用完成后正确返回上一层函数的下一条执行指令的位置。
递归函数有什么特点
递归函数有什么特点递归函数是一种在程序设计中使用的强大工具。
它可以通过逐步调用自身来解决复杂的问题。
递归函数具有一些独特的特点，让它们在某些情况下比其他方法更为方便有效。
本文将讨论递归函数的一些重要特点。
1. 自调用：递归函数的核心特点是自调用。
在函数的定义中，它会调用自身来解决更小规模的子问题。
通过将原始问题分解为更小的子问题，递归函数能够逐步向下推进，直到达到基本情况。
2. 基本情况：递归函数必须定义一个或多个基本情况。
这些基本情况指的是递归函数能够直接解决而无需进一步递归的情况。
通过定义基本情况，递归函数可以避免无限调用自身从而导致程序崩溃。
3. 逐步缩小问题规模：在递归函数中，原始问题会被逐步分解为更小的子问题。
每次调用自身时，递归函数会将问题的规模缩小，使其更容易解决。
通过不断缩小问题规模，递归函数可以逐步构建出最终的解决方案。
4. 递归链：递归函数通常形成一个递归链。
递归链是指函数的调用链，每个函数调用都会导致另一个函数的调用，直到达到基本情况为止。
递归链的长度取决于问题的规模和递归的深度。
5. 栈的使用：递归函数使用系统栈来存储每个函数调用的上下文信息。
每当函数调用自身时，它的上下文信息会被推入系统栈中，等待解决更小的子问题后再弹出。
这种栈的使用方式称为递归栈。
6. 可读性和可理解性：递归函数可以具有较高的可读性和可理解性。
通过逐步分解问题和调用自身的方式，递归函数可以自然地反映问题的本质。
这使得代码更易于阅读、理解和调试。
虽然递归函数在某些情况下非常强大和高效，但也有一些需要注意的点：1. 递归深度限制：由于递归函数使用系统栈来存储每个函数调用的上下文信息，递归过深可能导致栈溢出错误。
这意味着在实际应用中，需要注意递归深度的限制，以免程序崩溃。
2. 性能开销：递归函数可能会带来额外的性能开销。
每次递归调用都需要保存上下文并创建新的函数帧，这可能导致额外的内存和时间开销。
在某些情况下，递归函数可能不是最佳选择。
递归栈溢出解决方法
递归栈溢出解决方法递归是一种常见的解决问题的方法，但是它也容易引起栈溢出的问题，特别是当递归调用层次深或者问题规模较大时。
栈溢出通常发生在递归函数中，因为每次递归调用会将相关的数据存储在调用栈中，当递归调用层次过深时，栈的内存空间可能会耗尽，导致栈溢出的错误。
下面是一些解决递归栈溢出问题的方法：1.优化递归算法：在解决问题时，优先考虑优化递归算法，尽量减少递归调用次数和递归深度。
可以尝试使用迭代或其他非递归的方法来解决问题。
2.增加栈空间：如果递归调用确实无法避免，可以通过增加栈的大小来增加递归调用的容量。
一些编程语言或者编译器提供了设置栈大小的选项，可以在程序运行时调整栈的大小。
3.尾递归优化：尾递归是指递归函数中递归调用是函数最后一步操作的情况。
一些编译器或解释器支持尾递归优化，在优化过程中会将递归调用转化为迭代，从而避免栈溢出的问题。
4.分而治之：将大问题分解为多个小问题，在每个小问题中进行递归调用。
这样可以减少递归深度，缩小每个递归调用的规模，从而减少栈溢出的可能性。
5.动态规划：有些问题可以使用动态规划的方法解决，它通过保存中间结果来避免重复计算，从而减少递归调用的次数。
6.使用循环代替递归：在一些情况下，可以使用循环代替递归来解决问题。
循环通常比递归更高效，因为它不会占用大量的栈空间。
7.减少内存使用：除了减少递归调用的次数和递归深度外，还可以考虑减少每个递归调用所占用的内存空间。
可以通过优化数据结构的使用和算法的实现来减少内存使用。
总结起来，解决递归栈溢出问题的方法可以分为两类：一是通过优化递归算法和减少递归调用次数来避免栈溢出，二是通过增加栈空间、尾递归优化、分而治之、动态规划、使用循环代替递归和减少内存使用等方法来解决栈溢出的问题。
具体选择哪种方法取决于具体情况和问题的特点。
在实际应用中，我们可以综合考虑这些方法，根据具体情况选择适合的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
栈与递归的关系
一、引言
栈是一种重要的线性结构。
从数据结构角度看，栈也是线性表，其特殊性在于栈的基本操作是线性表操作的子集，它们是操作受限的线性表。
栈是限定仅在表尾进行插入或删除操作的线性表。
栈还有一个重要应用是在程序设计语言中实现递归。
一个直接调用自己或通过一系列的调用语句间接地调用直接的函数，称做递归函数。
二、栈与递归的关系：
递归在实现过程中是借助于栈来实现的。
高级语言的函数调用，每次调用，系统都要自动为该次调用分配一系列的栈空间用于存放此次调用的相关信息：返回地址，局部变量等。
这些信息被称为工作记录（或活动记录）。
而当函数调用完成时，就从栈空间内释放这些单元，但是，在该函数没有完成前，分配的这些单元将一直保存着不被释放。
递归函数的实现，也是通过栈来完成的。
在递归函数没有到达递归出口前，都要不停地执行递归体，每执行一次，就要在工作栈中分配一个工作记录的空间给该“层”调用存放相关数据，只有当到达递归出口时，即不再执行函数调用时，才从当前层返回，并释放栈中所占用的该“层”工作记录空间。
请大家注意，递归调用时，每次保存在栈中的是局部数据，即只在当前层有效的数据，到达下一层时上一层的数据对本层数据没有任
何影响，一切从当前调用时传过来的实在参数重新开始。
由此可见，从严老师P版教材中，利用栈将递归向非递归转化时所采用的方法，实质是用人工写的语句完成了本该系统程序完成的功能，即：栈空间中工作记录的保存和释放。
可以参照以上的分析来理解递归函数的运行过程。
三、对栈与递归的分析
1、栈的定义
栈（Stack）是限制仅在表的一端进行插入和删除运算的线性表。
(1)通常称插入、删除的这一端为栈顶（Top），另一端称为栈底（Bottom）。
(2)当表中没有元素时称为空栈。
(3)栈为后进先出（Last In First Out）的线性表，简称为LIFO表。
栈的修改是按后进先出的原则进行。
每次删除（退栈）的总是当前栈中"最新"的元素，即最后插入（进栈）的元素，而最先插入的是被放在栈的底部，要到最后才能删除。
2、栈的基本运算
（1）InitStack（S）
构造一个空栈S。
（2）StackEmpty（S）
判栈空。
若S为空栈，则返回TRUE，否则返回FALSE。
（3）StackFull（S）
判栈满。
若S为满栈，则返回TRUE，否则返回FALSE。
注意：
该运算只适用于栈的顺序存储结构。
（4）Push（S，x）
进栈。
若栈S不满，则将元素x插入S的栈顶。
（5）Pop（S）
退栈。
若栈S非空，则将S的栈顶元素删去，并返回该元素。
（6）StackTop（S）
取栈顶元素。
若栈S非空，则返回栈顶元素，但不改变栈的状态。
递归的概念及递归算法的结构
1、所谓的递归，是指函数在执行过程中自己调用了自己或者说某种数据结构在定义时又引用了自身。
这两种情况都可理解为递归。
比如：
void fun()
{
..
fun()
..
}//fun
以上函数fun就是一个递归函数。
而针对于各种数据结构中的递归结构就更多了，如单链表，广义表，树。
在这些递归结构中，具有一个相同的特征：其中的某个域的数据类型是其结点类型本身！
2、递归算法的大致结构为：
a、递归出口
b、递归体
一个递归算法，当其问题求解的规模越来越小时必定有一个递归出口，就是不再递归调用的语句。
递归体则是每次递归时执行的语句序列。
比如以下简要描述的递归函数中：
f(n)=1 (当n=0时)
f(n)=n*f(n-1) （当n>0时）
这个递归函数，实际是求n的阶乘。
当n=0时，不再递归调用，而当其值置为1；当n>0时，就执行n*f(n-1)，这是递归调用。
从整体上理解递归算法的大致结构有利于我们在设计递归算法时，从总体上把握算法的正确性。
3、适合于用递归实现的问题类型
必须具有两个条件的问题类型才能用递归方法求得：
1、规模较大的一个问题可以向下分解为若干个性质相同的规模较小的问题，而这些规模较小的问题仍然可以向下分解。
2、当规模分解到一定程度时，必须有一个终止条件，不得无限分解。
由此可见适合于递归实现的问题类型有：
1、函数定义是递归的。
如阶乘，FIB数列。
2、数据结构递归的相关算法。
如：树结构。
3、解法是递归的。
如：汉诺塔问题。
4、递归算法的设计
从递归算法的结构来分析，进行递归算法的设计时，无非要解决两个问题：递归出口和递归体。
即要确定何时到达递归出口，何时执行递归体，执行什么样的递归体。
递归算法算法设计的关键是保存每一层的局部变量并运用这些局部变量。
由此，递归算法的设计步骤可从以下三步来作：
1、分析问题，分解出小问题；
2、找出小问题与大问题之间的关系，确定递归出口；
3、用算法语言写出来。
四、通过实例理解栈与递归的关系：
很多实际递归定义的。
对于这些问题很容易写出求解它们的递归算法。
1.计算阶乘函数的递归算法如下：
f3
│↓r└①┌
┌
┈┘
┈┘
f2
→
┐
↓
②┌
┌
┈┘
┈┘
f1
→
┐
↓
③
┌
┌┈
┘
┈┘
f0
→┐
│
│
t└t└
r1┌
│
↓
←┐
└
┈┐
6⑥
└
t1
┌
↓
┈
┘
←┐
└
┈┐
2⑤
└
t1
┌
↓
┈
┘
←┐┈
┈
└┈
┐
1④
└
│
↓
┈┘
1
图3-5(a) f(3)执行递归调用─返回次序
top →调
用
f2
前
调
用
f2
后
调
用
f1
后
调
用
f0
后
返
回
f1
后
返
回
f2
后
top
→
返
回
f3
后图3-5(b) 相应的工作栈状态变化
递归调用——返回的控制与非递归过程的控制并无本质区别，同样可由一个工作栈实现。
对上述过程f，返回位置r应设在内、外层return语句这间。
为了区别返回到哪一级递归，可在返回位置进栈的同时将该次调用的参数一起保存。
图3-5(b)所示为与(a)相应的工作栈状态变化过程。
2.hanoi塔问题
当执行三个盘的时候：
第一次实现的过程
调用函数（通过递归实现），如下是栈的变化：
当三个盘的时候实现的过程
运行示意图（其中一部分）
3.迷宫问题
对应栈的变化：
还有八皇后问题和背包等问题都能够很好的解释栈与递归
的关系。
五、结论
递归在实现过程中是借助于栈来实现的。
高级语言的函数调用，每次调用，系统都要自动为该次调用分配一系列的栈空间用于存放此次调用的相关信息：返回地址，局部变量等。
这些信息被称为工作记录（或活动记录）。
而当函数调用完成时，就从栈空间内释放这些单元，但是，在该函数没有完成前，分配的这些单元将一直保存着不被释放。
递归函数的实现，也是通过栈来完成的。
在递归函数没有到达递归出口前，都要不停地执行递归体，每执行一次，就要在工作栈中分配一个工作记录的空间给该“层”调用存放相关数据，只有当到达递归出口时，即不再执行函数调用时，才从当前层返回，并释放栈中所占用的该“层”工作记录空间。
请大家注意，递归调用时，每次保存在栈中的是局部数据，即只在当前层有效的数据，到达下一层时上一层的数据对本层数据没有任何影响，一切从当前调用时传过来的实在参数重新开始。
六、参考文献：
1.数据结构（严蔚敏吴伟民）清华大学出版
2.c程序设计教程（谭浩强）清华大学出版。