变化率与导数

变化率与导数、导数的运算

课前双击巩固

1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),

f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1

=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率

几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的

物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则Δy

Δx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度

(2)导数:

概念

点x 0处 lim

Δx→0Δy

Δx =lim

Δx→0

f(x 0+Δx)−f(x 0)

Δx

,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记

为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=lim

Δx→0

Δy

Δx

= lim Δx→0

f(x 0+Δx)−f(x 0)

Δx

区间 (a ,b )

当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0Δy

Δx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数

几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0

)就是函数图像在该点处切线的 .曲线

y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是

物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x

时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程

2.导数的运算 常用 导数 公式

原函数

导函数

特例或推广

常数函数 C'=0(C 为常数)

幂函数

(x n

)'= (n ∈Z )

1x

'=-1

x 2

三角函数(sin x)'=,

(cos x)'=

偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数

的导数是周期函数

指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x

对数函数(log a x)'=(a>0且

a≠1)

(ln x)'=1

x

,

(ln|x|)'=1

x

四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=

(∑

i=1

n

f i(x))'=

∑

i=1

n

f'i(x)

乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法

f(x)

g(x)

'=

(g(x)≠0)

1

g(x)

'=-g′(x)

[g(x)]2

复合

函数

导数

复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”

题组一常识题

1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.

2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为

c(x)=5284

100−x

(80

3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.

4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.

题组二常错题

◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.

5.函数f (x )=x 2

在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .

6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .

7.已知f (x )=x 2

+3xf'(2),则f (2)= .

8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .

课堂考点探究

探究点一 导数的运算

1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2

+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )

A.7

4 B.-7

4 C.9

4 D.-9

4

(2)已知f (x )=-sin x

2(1−2cos 2x

4),则f'(π

3

)= .

[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解

析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.

(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=

sinx x 的导数为y'= .

(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义

考向1 求切线方程

2 函数f (x )=e x

·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .

[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标