福建自考2007年4月实变与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。
2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。
“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
三、课程教学内容第一章集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。
熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。
熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。
实变与泛函分析初步自学考试大纲
实变与泛函分析初步自学考试大纲第一章集合（一）重点集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel 集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
识记：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质；R n中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合和F集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
实变函数与泛函分析课件
微分学基本定理
导数的定义
介绍导数的定义及基本性质，如求导法则、高阶导数 等。
中值定理
介绍中值定理的内容及其证明方法，如拉格朗日中值 定理、柯西中值定理等。
极值定理
介绍极值定理的内容及其应用，如单调函数的极值、 最值等。
02 泛函分析
泛函分析的基本概念
投影定理：有界线性算子的投 影定理
紧算子与Fredholm算子
紧算子的定义
将紧集映射为紧集的算子
Fredholm性质
可逆、可计算、可逼近的性质
ABCD
Fredholm算子的定义
具有Fredholm性质的算子
Fredholm算子的应用
在微分方程、积分方程等领域有广泛应用
自伴算子与投影算子
自伴算子的定义
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
01
正交分解定理
02
Hilbert空间
03
Hilbert空间的定义
内积空间与Hilbert空间
正交基 Riesz表示定理
巴拿赫空间与连续线性映射
总结词：泛函分析是研究线性或非线性算子在某 种空间上的性质及其应用的学科，相关习题主要 考察学生对算子、空间及其性质的理解程度。
1. 空间上的算子与变换部分的习题主要涉及线性 算子、有界算子、紧算子等不同类型的算子的定 义、性质和计算方法，以及空间上的变换和约化 定理的应用。
实变函数与泛函分析基础 习题答案
n=0
n=0
xn+p ln
1 x
≥
0,
1 xp 1
∞
0
1 − x ln x dx = −
n=0
1 0
xn+p ln xdx
=
∞ n=0
(n +
1 p+
1)2
=
∞ n=1
1 (n + p)2 .
ßÎ 15. { fn} E
¨
¹ Ö lim
n→∞
fn(x)
=
f (x)a.e.
E,
¿ f (x) Î ¡ Æà ¶¸²³
E −
ǯ± ¡
ÝÌ [0, 1] ÙÄß ℄Ï ¨
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(x)
=
1, 0,
x x
[0,1] [0,1]
· ¨, ¨.
´
¨ ÙÄ n, [0,1]
¿ max 1≤i≤n
mEin
=
1 n
→
0(n
→
∞).
¾
Ó Dn = {Ein},
Ein =
i−1 n
,
i n
, i = 1, 2, · · · , n − 1, Enn =
0.
¨ª
mE[| f |= ∞] = 0.
1
¶¹ | f(x) | Î ¶ ¾ Ê´
´¹Ü° ¾ Ö ǫ > 0, δ > 0, e ⊂ E me < δ
´ ¾ ¡ δ > 0,
N,
n>N
| f (x) | dx < ǫ.
e
men < δ,
n · men ≤ | f (x) | dx < ǫ.
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
2007实变函数与泛函分析初步试题
浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义 3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( )A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√ ”，错的打“×”。
4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
10.设A 2n-1=(0,sinn 1)，A 2n =(n 1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E=___________. 13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x Ex x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =∙∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x xx 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。
实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲统计学（非师范类）专业用一、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务本课程为统计学专业的专业限选课。
实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。
第一章集合与测度12学时第二章可测函数12学时第三章Lebesgue积分16学时第四章线性赋范空间24学时第五章内积空间16学时第六章有界线性算子与有界线性泛函10学时二、正文部分第一章集合与测度（一）教学的目的和要求1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合；2.掌握度量空间的概念和度量空间中的点集3.理解直线上的测度和可测集4.掌握Lebesgue测度及相关理论；（二）教学重点集族的交并关系（三）教学难点度量空间的概念和测度及可测集的概念。
福建自考实变与泛函分析初步2011年4_月份历年真题
2011年4月高等教育自学考试福建省统一命题考试
实变与泛函分析初步试卷
（课程代码 02012）
一、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均不得分。
二、定理证明题 (本大题共2小题，每小题10分，共20分)
三、证明题 (本大题共1小题。
共8分)
18．证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多是可数集。
四、证明题 (本大题共1小题。
共8分)
五、证明题 (本大题共1小题，共10分)
六、证明题 (本大题共1小题，共8分)
七、证明题 (本大题共l小题，共8分)
八、证明题 (本大题共1小题，共8分)。
2007实变函数与泛函分析初步试题
浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( ) A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
10.设A 2n-1=(0,sin n 1)，A 2n =(n1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E &=___________. 13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x E x x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？ 22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =•∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x x x 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。
实变函数与泛函分析-教学大纲
实变函数与泛函分析-教学大纲第一篇：实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4 课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue 积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章 Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann 可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时第四章L空间要求：1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：pLp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时 pp第五章 Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。
实变函数与泛函分析基础第五章习题答案
¶
f (x, t + hn) − f (x, t) hn
=
ft′(x, t + θhn) · hn hn
= | ft′(x, t + θhn)| ≤ K,
Ó ¶ ¨ 0 < θ < 1, a ≤ x ≤ b, t0 − δ < t + θhn < t0 + δ.
¦±
d dt
b
f (x, t)dt =
n=1
n=0
n=1
−∞
n=1
² ¤ En ¯Æ E
∞
∞
mEn = m( En) ≤ mE < ∞,
n=1
n=1
²∞ | n | mEn < ∞. −∞
½
¾ ¡Þ ¿ ∞ | n | mEn,
−∞
∞
−∞
∞
−∞
| f (x) | dx =
| f | dx +
| f | dx ≤ nmEn + | n − 1 | mEn
¤× º ¼¨ »Á©Í ¼ ¨ ¥ ÄÅ À Â
´¹ °± 1.
Lebesgue
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D : E1, E2, · · · , En, max mEi → 0
1≤i≤n
¯ S (D, f ) → f (x)dx, S (D, f ) → E f (x)dx.
¿ ¹ f (x) = 0 a.e. E. ÆÃ ´Ü° δ > 0,
f (x)ϕ(x)dx = 0,
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(新)曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f ，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,mm k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m k x k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=mm k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(，计算⎰1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq.证明：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中iEχ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤ni ni i E ni E ni E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n qmE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n q n n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f+也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m mS E E=，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22g f+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f g f+≤+，由（1）。
实变函数与泛函分析第1讲
备课第一章用集合纸§1 集合的表示由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识． 一、集合的概念及其表示 集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下 朴素的说法： “在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．” 一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合， 也常称为集族或集类． 以后常用大写字母 A , B , C , D , X , Y , Z 表示集合， 用小写字母 a , b , c , x , y 表示集合中的元素． 二、 集合的表示 1．穷举法： 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如： 只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为 { a } ． 由 n 个元素 a1 , a 2 a n 所组成的集合，可表示为 { a1 , a 2 a n } 由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为 {1, 2, , n , } ． 不含任何元素的集合称为空集，记作 ． 2．描述法 当集 A 是具有某性质 P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示 A ：A { x : x具 有 性 质 p }方程 x 21 0的解 x 的全体组成的数集是 { x | x 2 1 0}第页备课用纸f (x) f ( x ) a } 写成注：有时我们也把集 { x : x E , x 具有性质 p } 改写成 E [ x 具有性质 p ] ．例如，设 是定义在集合 E 上的一实函数， a 是一个实数，我们把集 { x | x E ,E[ f ( x) a] 或 E[ f a ] ．三、 集合与元素的关系 如果 a 是集合 A 的元素，则说 a 属于 A ，记作 a A ，或说 A 含有 a． 如果 a 不是集 A 的元素，则说 a 不属于 A ，记作 a A ，或说 A 不含有 a． 四、 集合与集合的关系 1． 包含：A是 B 的子集 AB Bx A x B若A 2． 相等且A B,就称 A 是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．第页。