2017-2018年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一(上)期中数学试卷及参考答案
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}12A =，，{}12B =-，，则A B = ▲ ． 2．函数()lg(2)3f x x x =-+-的定义域为 ▲ ． 3．计算sin(330)-︒的值为 ▲ ．4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(8,2)，则(27)f 的值为 ▲ ． 5．不等式231x ->的解集为 ▲ ．6．若将函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．7．计算14816()log 281+的值为 ▲ ．8．已知函数πsin(2)3y x =-，π[0,]2x ∈，则它的单调递增区间为 ▲ ． 9．若π1sin()63α-=，其中7ππ6α<<，则2πsin()3α-的值为 ▲ ． 10．已知向量()()1,2,1,1=-=-a b ，若()()k -⊥+a b a b ，则实数k 的值为 ▲ ．11．若点(12)P ，在角α终边上，则2tan sin sin cos αααα-的值为 ▲ ．12．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mx x x +-的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12≠x x 时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ▲ ．14. 已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)设全集U =R ，集合{14}≤≤A x x =，{1}≤≤B x m x m =+，m ∈R ． （1）当3m =时，求U A B ð； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．(本小题满分14分)已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，它的部分图象如图所示. （1）求函数()f x 的解析式；（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.17．(本小题满分14分)如图所示，在ABCD中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒.（1）求AC的模； （2）若13AE AB = ，12BF BC = ，求AF DE ⋅的值.18．(本小题满分16分)近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE ，DAG 和ECF ，其中 DG、 EF 与 DE 分别相切于点D 、E ，且 DG 与 EF 无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD 长为x （单位：百米），草坪面积为S （单位：百米2）.（1）试用x 分别表示扇形DAG 和DBE 的面积，并写出x 的取值范围； （2）当x 为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.y212π 3π xO（第16题）C DFBE A（第17题）19．(本小题满分16分)已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知函数44()log (2)(0,)3x f x a a a a =⋅-≠∈R ，4()log (41)x g x =+． （1）设()()h x g x kx =-()k ∈R ，若()h x 是偶函数，求实数k 的值； （2）设24()(log )(log )F x f x g x =-，求函数()F x 在区间[2,3]上的值域；（3）若不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.高一数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． {-1,1,2}； 2．(2,3]； 3．12； 4．3； 5．(2,)+∞； 6．π6； 7．1； 8．5π(0,)12（区间写成半开半闭或闭区间都对）； 9．223-； 10．85；11．5； 12．(2,0)-； 13．()()101-∞- ，，； 14. 6513716[,)(]24823-- ，.二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定区域内作答．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）当3m =时，{|34}B x x =≤≤， ………………3分所以(,3)(4,)U B =-∞+∞ ð， ………………6分 故[)1,3U A B = ð； ………………8分（2）因为B A ⊆， 所以11 4.m m ⎧⎨+⎩≥，≤………………12分解得13m ≤≤. ………………14分16．（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， …………………3分 故()2sin(2)f x x ϕ=+.将点π,23⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，…………………5分则π2π()6k k ϕ=-∈Z ，πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()2sin(2)6f x x π=-. ………………………………7分（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2363x --≤≤ ， ………………………10分则3πsin(2)126x --≤≤，π32sin(2)26x --≤≤， 所以函数()f x 的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦. ………………………14分17（1）222||=|+|=(+)2AC AB AD AB AD AB AB AD AD =+⋅+ ……………2分=22||2||||cos ||AB AB AD BAD AD +⋅∠+ ……………4分=19232()472+⨯⨯⨯-+=； …………………7分（2）因为1=2AF AB BF AB AD +=+ ，13DE AE AD AB AD =-=-，………9分所以2211151=()()=23362AF DE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅+⋅--⋅-22151||||||cos ||362AB AB AD BAD AD =-⋅∠-………12分 1511=932()43622⨯-⨯⨯⨯--⨯ 57=3+222-=. ……………14分18（1）如图，BD x =，则BE x =，2AD AG EC FC x ====-,在扇形DBE 中，弧 DE长=π3x ， 所以221ππ=236BDE S x x =⨯扇形， ……………2分同理，221ππ(2)=(2)236S x x =⨯--扇形ADG ，4分 因为弧DG 与弧EF 无重叠，所以CF AG AC +≤，即222x x -+-≤，则1x ≥， 又三个扇形都在三角形内部，则3x ≤， 所以[1,3]x ∈. …………………6分 （2）因为3ABC S = ， …………………8分所以=ABC BDE S S S S S --- 阴影扇形扇形ADG 扇形CEF =22π3[2(2)]6x x -+- …………11分=2π483[3()]633x --+， ………………………………………13分所以当4[1,3]3x =∈时，S 阴影取得最大值为4π39-， …………………15分 答：当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大值为(4π39-)百米2.…16分19 (1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分 因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 2-x x 2-xAG D F CE B（第18题）……………………………………12分当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分（3）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈.同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞.方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=， 即22()()20f x f x m -+=. …………………12分 设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=.要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， …………14分则有211602021120m m m ⎧->⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16. ………………16分 20（1）因为4()log (41)x h x k x =+-是偶函数，所以44log (41)log (41)x x k x k x -++=+-，则4441412log log 14414x x x x xkx x-++===++恒成立，2分 所以21=k .…3分 （2）24444()(log )(log )=log ()log (1)3F x f x g x ax a x =---+444()73=log log [(1]13(1)a x a x x -=-++， …………………………5分 因为[2,3]x ∈，所以403x ->，所以0a >，则7251[,]3(1)912x -∈+，则725[1][,]3(1)912a aa x -∈+，…………7分 所以4425()[log ,log ]912a a F x ∈，即函数()F x 的值域为4425[log ,log ]912a a.…………9分 （3）由()()f x g x <，得444log (2)log (41)3x x a a ⋅-<+，设2x t =，则24103t at a -++>，设24()13t t at a ϕ=-++若0a >则43t >，由不等式24103t at a -++>对43t >恒成立，……11分 ①当423a ≤，即803a <≤时，此时425()039ϕ=>恒成立；②当423a >，即83a >时，由216=403a a ∆--<解得863a <<；所以06a <<； …………………………14分若0a <则403t <<，则由不等式24103t at a -++>对403t <<恒成立， 因为0a <，所以02a< ，只需4(0)103a ϕ=+≥，解得304a -<≤；故实数a 的取值范围是3[,0)(0,6)4- . …………………………16分。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 含解析
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合，，则=______．【答案】{-1,1,2}；【解析】=={-1,1,2}2. 函数的定义域为______．【答案】；【解析】因为 ,所以定义域为3. 计算的值为____．【答案】；【解析】4. 已知幂函数的图象经过点，则的值为______．【答案】3；【解析】因为 ,所以5. 不等式的解集为______．【答案】；【解析】 ,所以解集为6. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______．【答案】；【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到 ,所以的最小值为7. 计算的值为______．【答案】1；【解析】8. 已知函数，，则它的单调递增区间为______．【答案】（区间写成半开半闭或闭区间都对）；【解析】由得因为，所以单调递增区间为9. 若，其中，则的值为______．【答案】；【解析】因为，所以点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.10. 已知向量，若，则实数的值为______．【答案】；【解析】由题意得11. 若点在角终边上，则的值为_____．【答案】5；【解析】由三角函数定义得12. 已知函数若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是____．【答案】；【解析】作图可知:点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．【答案】；【解析】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.14. 已知函数，，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是________．【答案】.【解析】因为,所以即的取值范围是.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 设全集，集合，，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)...............试题解析：（1）当时，，所以，故；（2）因为，所以解得.16. 已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:（1）根据最值得A，根据四分之一个周期求，代入最值点求（2）先确定正弦函数定义区间：，再根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.17. 如图所示，在中，已知，,.（1）求的模；（2）若，，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:（1）根据向量数量积定义可得，再根据向量加法几何意义以及模的性质可得结果（2）先根据向量加减法则将化为，再根据向量数量积定义求值试题解析：（1）==；（2）因为，，所以.18. 近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中、与分别相切于点D、E，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）.（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.【答案】(1) (2) 当BD长为百米时，草坪面积最大，最大值为()百米2.【解析】试题分析:（1）根据扇形面积公式可得结果，根据条件可得，且BD长小于高，解得x的取值范围；（2）列出草坪面积函数关系式，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：（1）如图，，则，,在扇形中，弧长=，所以，同理，，因为弧DG与弧EF无重叠，所以，即，则，又三个扇形都在三角形内部，则，所以.（2）因为，所以==，所以当时，取得最大值为，答：当BD长为百米时，草坪面积最大，最大值为()百米2.19. 已知函数，且满足.（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）设函数，求在区间上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 时，. (3)试题解析：(1) 由，得或0.因为，所以，所以.当时，，任取，且，则，因为，则，，所以在上为增函数；（2），当时，，因为，所以当时，；当时，，因为时，所以，所以当时，；综上，当即时，.（3）由（1）可知，在上为增函数,当时，.同理可得在上为减函数，当时，.方程可化为，即.设,方程可化为.要使原方程有4个不同的正根，则方程在有两个不等的根，则有，解得，所以实数m的取值范围为.20. 已知函数，．（1）设，若是偶函数，求实数的值；（2）设，求函数在区间上的值域；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析:（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）因为是偶函数，所以，则恒成立，所以.（2），因为，所以，所以，则，则，所以，即函数的值域为.（3）由，得，设，则，设若则，由不等式对恒成立，①当，即时，此时恒成立；②当，即时，由解得；所以；若则，则由不等式对恒成立，因为，所以，只需，解得；故实数的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
江苏省宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷(考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1 •已知集合A』1 , , B -—12，则A U B=—▲_•2.函数f(x) =lg(x—2) •.匸X的定义域为_▲_.3 •计算sin( —330 )的值为_▲_.4. 已知幕函数f(x)=x〉的图象经过点(8,2)，则f(27)的值为_▲_.5. 不等式3xJ 1的解集为_▲_.n6. 若将函数f(x)二sin(2x )的图象向左平移：C 0)个单位长度，得到函数g(x)二sin2x的图象，贝y 「的最小值为—▲—.16 17•计算(一)4log8 2的值为▲.81n n&已知函数y二sin(2x-—) , x • [0,—]，则它的单调递增区间为—▲—.3 2「r. n 1 7 2 n9•若sin( ) ，其中n n,则sin( )的值为—▲—.6 3 6 310•已知向量a = 1,-2 ,b = -1,1 ,若a -b _ a k b，则实数k的值为_▲_.11.若点P(1,2)在角「终边上，则一tan的值为_▲_.sin a -sin a cos a| log2 x |, 0 ：：x w 2,12.已知函数f x 若函数g(x)二f (x)-m (m• R)有三个不同的' f匕+3 , x>2,零点x1, x2 , x3，且人::x2:: x3，贝y x,x2' 1\. -X3的取值范围是—▲______ .13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0，若对任意的x1,x^ ,0 ,当为=x2时，都有x1 f (xj —X2f (x2) 0成立，则不等式f(x) <0的解集为_▲_.乙一x214.已知函数f (x^ -x2 ax 1 , h(x) =2x,若不等式f (x) h(x)恰有两个整数解，则实数a的取值范围是_____ ▲___ .二.解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. 15.（本小题满分14分）设全集 U = R ，集合 A={x1 < x < 4}, B={xm < x < m+1} , R . （1） 当 m =3 时，求 ACle u B ； （2） 若B ^A ，求实数m 的取值范围.16.（本小题满分14分）（x ）=Asin （，x 」）（A .0,已知函数f「.0,卩卜n ，它的部分图象如图所示（1）求AC 的模;⑵若AE 」AB ，穿=】BC ，求AF DE 的值.3 218.（本小题满分16分）近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注•市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别 修建扇形广场，即扇形DBE DA ⑶ECF 其中DG 、EF 与DE 分别相切于点 D E,且DG 与EF 无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪 .设BD 长为x （单位：百米），草坪面积为S （单位： 百米2）.（1）求函数f （x ）的解析式；Ly2（2）当x J|应，％时求函数f （x ）的值域•A[[12 12/ A -- ——OJlx12 3（本小题满分14分）（第 16题）17.如图所示，在Q ABCD 中，已知 AB=3，AD=2 , . BAD=120 .B（1）试用x分别表示扇形DA&H DBE的面积，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积B E C(第18题〉19.(本小题满分16分)已知函数f(x^1^^-1 (a 0)，且满足f(［)=1.x 2(1)判断函数f(x)在(1,；)上的单调性，并用定义证明；(2)设函数g(x)二匚凶，求g(x)在区间［-,4］上的最大值；x 2(3)若存在实数m使得关于x的方程2(x—a)2「X | x—a「2mx2 = 0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.20.(本小题满分16分)x 4 _ x 已知函数f(x)=log4(a 2 a)(a = 0,a R)，g(x) =log4(4 1).3(1)设h(x) =g(x) -kx (k・R)，若h(x)是偶函数，求实数k的值；⑵设F(x)二f (log? x) -g(log4X)，求函数F(x)在区间［2,3］上的值域;(3)若不等式f(x) ：：：g(x)恒成立，求实数a的取值范围.高一数学参考答案与评分标准、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤• 15 • (1)当 m =3 时，B 二{x|3< x < 4} ,................... 3 分所以 e u B = (-口3) U (4, ；), ................... 6 分故 A n euB =〕1,3 ; .......... 8 分(2)因为BGA ,所以>1，.......... 12分 +1 < 4.解得K m < 3........... 14分n n 2 n 16 • (1)依题意， A=2,T=4n ,.=2,...................... 3 分「3 12丿国故 f (x) =2sin(2 x ： Q .J |I 2217 (1) | AC|=|AB+AD|= J(AB+AD) 八 AB 2AB AD AD=;|AB|2- 2^| |AD|cos BAD|2=、9 2 3 2 (一；)4 = 7 ;....—TT —(2)因为 AF = AB BF =ABAD , DE =AE —AD AB —AD ,2 -11 T —+ 〔I 所以 AF DE=(AB —AD) (—AB -AD)=—AB23 3 1 2 5 ,. | AB| | AB| |AD |cos BAD |AD | 3 6 2 1 5 1 1 =一 9 32( )4 3 6 2 232 5AB AD 6 1 2AD212分1I. {-1,1,2} ; 2• (2,3] ; 3 • - ; 4 • 3; 527. 1; 8. (0,5n)(区间写成半开半闭或闭区间都对)；912II.5;12 . (-2,0) ; 13-:: —1U 0，；14・• (2, ：：) ; 6n .—；6 8 . —; 52 2; 10 •365 13 | | 7 16 [,)U(；，-]. 24 8 2 316分，共计90分.请在答题2n将点的坐标代入函数的解析式可得叶+計1则® =2kn-n (M Z ),又甲6:::n 故匸一n ,6 TT 故函数解析式为f (x)二2sin(2 x -一).6 nn , 2 n< 2x <363IL 12 12则一一 < sin(2x — n) < 1 , - 3 < 2sin(2 x) < 2 ,2 6 6所以函数f(x)的值域为||-./3,2 .…10分Tt14分5 =3+ 2214分18 (1)如图，BD =x ，则 BE =x , AD =AG 二EC = FC =2_x . 在扇形DBE 中，弧DE 长=nx , 3 所以S 扇形BDEX = X , ............... 2分2 3 6 ... 同理，s 扇形ADG 」n (2—x)2 = n (2—x)2, 4 分 2 3 6 因为弧DG 与弧EF 无重叠， 所以 CF AG < AC ,即 2_x 2_x < 2，则 x >1, 又三个扇形都在三角形内部，则x < .3 , 所以 x [1,、.3]. ...................... 6 分 (2)因为 SABC 二 3 , ...................... 8 分 11分所以S 阴影=S ABC -S 扇形BDE -S 扇形 ADG - S 扇形 CEF ： =3 冗 --6[x22(2 -x)]所以当 1 19(1)由 y) 一 n 4 2 8^--[3(^-) 3], ............. 6 3 3 x • [1, •. 3]时，S 阴影取得最大值为• 3 3 BD 长为4百米时，草坪面积最大，最大值为 3 1十1 =1 2 =1，得 a =1 或 0. 13分4 n 9，(-3 -也)百米2•…16分915分因为a 0 , 所以 a =1，所以 f(x)二口x 当x 1时, f(x)丿]=1 -丄，任取 N ，X 2 (1, ；)，且 X 1 沐2 , X X x 1 -1 X ?…1 _(X 1 ■ j)X 2 …(X? ■ ■ 1)x^ _(X 1■ j)X 2 …(X 2 …1)为 _ X 1 …X? f(Xj-f(X 2) 2 2人 X 2 ^X 2 X 1 x 2因为 1 ：： x :: x 2，则 x 1 - x 2 <0, x 1x 2 0 , f (xj - f (x 2) ：： 0 , 所以f (X)在(1,：：)上为增函数； 沖,1< x < 4 X , 1 -X 1 ----- —W X V 1.x 2 ,2 X 1X —1 1 1当 1 W X W 4 时，g(x)二—二丄・ 1 X X因为1 W 丄W 1 ,所以当丄=丄时，4 x x_(1_1)22 ( ) x x 2g(X )max = ^ ； 4^x 2/ 」 1—X 1 1 1 1 2 1当；v x ：：：1 时，g(x) 22—=( )--,2 x x x x 2 4 1 1 1因为—v x ：d 时，所以 1 ：：： —v 2，所以当—=2 时，g(x)max =2 ;2 x x1 1综上，当一=2 即 x= 时，g(x)max =2 . ...................... 10 分x 2— — 1(3)由(1)可知，f (x)在(1,亦)上为增函数，当x € (1,七zi )时，f (x)=1—— 己(0,1).x1 同理可得f (x)在(0,1)上为减函数，当X. (0,1)时，f(x)= 1 (0,x2方程 2(x _1)2_x| x_1| 2mx^0可化为 2^^i 匹巳• 2m =0 ,xx即 2f 2(x) - f (x) 2m =0.设t 二f(x),方程可化为2t 2-t ・2m=0. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2 -t ・2m=0在(0,1)有两个不等的根t ,,t 2 ,....... 14分1 —16m 0 1 则有2m - 0 ，解得0 ：：： m —, 2162 12-1 2m .0所以实数m 的取值范围为(0,丄)............ 16分1620 (1)因为 h(x)=log 4(4x ・1)-kx 是偶函数，所以 log 4(4 *1) kx 二 log 4(4x 1) - kx ,4x +1 4x +1 1则2kx=log 4 —=log 4 — ； x 恒成立，2分 所以k .…3分4^+1 1 +4x 24x4⑵ F(x ^f(log2x)-g(log4x)=log4(a^4a) -log4(x 1)4盼-亍)7=log 4log 4【a(1 因为[2,3]，所以x -40，所以a 0 , 3nrt 7 _ 2 57_ 2a 5a八则 1[一，]，则 a[1] [ , ] , .............. 7 分 3(x +1) 9 123(x+1) 9 122a 5a2 a 5a所以 F (xV [log 4 ,log 4]，即函数 F (x)的值域为[log 4 ,log 4 ]. 912 912(3) 由 f(x) ：：g(x)，得 log 4 (a 2x a) ：： log 4(4x 1),3x 2 4 2 4设t =2 ,贝y t -at a 1 0，设:(t) =t -at a 13 312分3(x 1)]'4 2 4 4若a 0则t ，由不等式t - at a 1 0对t 恒成立， .... 11分3 3 3a 4 8 4 25①当一v —，即0 ：：：a v 时，此时」(一) 0恒成立；2 3 3 3 92 3 3 3 3所以 0 ：：： a ：：： 6 ; .............. 14 分4244若a ::: 0则0 ：：：t，则由不等式t -at a 1 0对0 ：：：t恒成立，333a4 3因为a ：：：0，所以 0，只需(0) a 1> 0 ,解得 < a ：：： 0 ;3 4故实数a 的取值范围是［一3 ,0) U (0,6) •.................. 16分a 48 16 8②当 ，即 a 时，由 3a 2 a_4：：：0解得一：::a ：：： 6 ；精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求11欢迎下载。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}12A =，，{}12B =-，，则A B = ▲ ． 2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为 ▲ ． 3．计算sin(330)-︒的值为 ▲ ．4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(8,2)，则(27)f 的值为 ▲ ． 5．不等式231x ->的解集为 ▲ ．6．若将函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．7．计算14816()log 281+的值为 ▲ ．8．已知函数πsin(2)3y x =-，π[0,]2x ∈，则它的单调递增区间为 ▲ ． 9．若π1sin()63α-=，其中7ππ6α<<，则2πsin()3α-的值为 ▲ ． 10．已知向量()()1,2,1,1=-=-a b ，若()()k -⊥+a b a b ，则实数k 的值为 ▲ ．11．若点(12)P ，在角α终边上，则2tan sin sin cos αααα-的值为 ▲ ．12．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mx x x +-的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12≠x x 时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ▲ ．14. 已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)设全集U =R ，集合{14}≤≤A x x =，{1}≤≤B x m x m =+，m ∈R ． （1）当3m =时，求U A B ð； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．(本小题满分14分)已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，它的部分图象如图所示. （1）求函数()f x 的解析式；（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.17．(本小题满分14分)如图所示，在ABCD中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒.（1）求AC的模；（2）若13AE AB = ，12BF BC = ，求AF DE ⋅的值.18．(本小题满分16分)近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE ，DAG 和ECF ，其中 DG、 EF 与 DE 分别相切于点D 、E ，且 DG与 EF 无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD 长为x （单位：百米），草坪面积为S （单位：百米2）.（1）试用x 分别表示扇形DAG 和DBE 的面积，并写出x 的取值范围； （2）当x 为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.（第16题）C DFBE （第17题）19．(本小题满分16分)已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知函数44()log (2)(0,)3x f x a a a a =⋅-≠∈R ，4()log (41)x g x =+． （1）设()()h x g x kx =-()k ∈R ，若()h x 是偶函数，求实数k 的值；（2）设24()(log )(log )F x f x g x =-，求函数()F x 在区间[2,3]上的值域； （3）若不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.高一数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． {-1,1,2}； 2．(2,3]； 3．12； 4．3； 5．(2,)+∞； 6．π6；7．1； 8．5π(0,)12（区间写成半开半闭或闭区间都对）； 9． 10．85； 11．5； 12．(2,0)-； 13．()()101-∞- ，，； 14. 6513716[,)(]24823-- ，. 二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）当3m =时，{|34}B x x =≤≤， ………………3分所以(,3)(4,)U B =-∞+∞ ð， ………………6分 故[)1,3U A B = ð； ………………8分（2）因为B A ⊆， 所以11 4.m m ⎧⎨+⎩≥，≤………………12分解得13m ≤≤. ………………14分16．（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， …………………3分 故()2sin(2)f x x ϕ=+.将点π,23⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，…………………5分则π2π()6k k ϕ=-∈Z ，πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()2sin(2)6f x x π=-. ………………………………7分（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2363x --≤≤ ， ………………………10分则πsin(2)16x -≤，π2sin(2)26x -≤，所以函数()f x的值域为⎡⎤⎣⎦. ………………………14分17（1）||=|+AC AB AD = ……………2分……………4分= …………………7分（2）因为1=2AF AB BF AB AD +=+ ，13DE AE AD AB AD =-=-，………9分所以2211151=()()=23362AF DE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅+⋅--⋅-22151||||||cos ||362AB AB AD BAD AD =-⋅∠-………12分 1511=932()43622⨯-⨯⨯⨯--⨯ 57=3+222-=. ……………14分18（1）如图，BD x =，则BE x =，2AD AG EC FC x ====-在扇形DBE 中，弧 DE长=π3x ， 所以221ππ=236BDE S x x =⨯扇形， ……………2分 同理，221ππ(2)=(2)236S x x =⨯--扇形ADG ，4分 因为弧DG 与弧EF 无重叠，所以CF AG AC +≤，即222x x -+-≤，则1x ≥， 又三个扇形都在三角形内部，则x 所以x ∈. …………………6分 （2）因为ABC S = …………………8分所以=ABC BDE S S S S S --- 阴影扇形扇形ADG 扇形CEF 22π[2(2)]6x x +- …………11分2π48[3()]633x -+， ………………………………………13分所以当43x =∈时，S 阴影4π9， …………………15分 2-xB（第18题）……答：当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大值为4π9)百米2.…16分 19 (1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分 当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分 （3）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈.同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞. 方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=， 即22()()20f x f x m -+=. …………………12分设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， …………14分则有211602021120m m m ⎧->⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16. ………………16分 20（1）因为4()log (41)x h x k x =+-是偶函数，所以44log (41)log (41)x x k x k x -++=+-，则4441412log log 14414x x xx xkx x -++===++恒成立，2分 所以21=k .…3分 （2）24444()(log )(log )=log ()log (1)3F x f x g x ax a x =---+444()73=log log [(1]13(1)a x a x x -=-++， …………………………5分 因为[2,3]x ∈，所以403x ->，所以0a >， 则7251[,]3(1)912x -∈+，则725[1][,]3(1)912a aa x -∈+，…………7分所以4425()[log ,log ]912a a F x ∈，即函数()F x 的值域为4425[log ,log ]912a a.…………9分（3）由()()f x g x <，得444log (2)log (41)3x x a a ⋅-<+，设2x t =，则24103t at a -++>，设24()13t t at a ϕ=-++若0a >则43t >，由不等式24103t at a -++>对43t >恒成立，……11分 ①当423a ≤，即803a <≤时，此时425()039ϕ=>恒成立； ②当423a >，即83a >时，由216=403a a ∆--<解得863a <<； 所以06a <<； …………………………14分若0a <则403t <<，则由不等式24103t at a -++>对403t <<恒成立， 因为0a <，所以02a < ，只需4(0)103a ϕ=+≥，解得304a -<≤；故实数a 的取值范围是3[,0)(0,6)4- . …………………………16分。
2017-2018学年江苏省宿迁市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，2}，则A∪B=______．2.函数f（x）=lg（x-2）+的定义域为______．3.计算sin（-330°）的值为______．4.已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（8，2），则f（27）的值为______．5.不等式3x-2＞1的解集为______．6.若将函数f（x）=sin（2x-）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin2x的图象，则φ的最小值为______．7.计算（）+log82的值为______．8.已知函数y=sin（2x-），x∈[0，]，则它的单调递增区间为______．9.若sin（）=，其中＜＜，则sin（）的值为______．10.已知向量=（1，-2），=（-1，1），若（）⊥（），则实数k的值为______．11.若点P（1，2）在角α终边上，则的值为______．12.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（x1x2+1）m-x3的取值范围是______．13.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，若对任意的x1，x2∈（-∞，0），当x1≠x2时，都有＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为______．14.已知函数f（x）=-x2+ax+1，h（x）=2x，若不等式f（x）＞h（x）恰有两个整数解，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设全集U=R，集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+1}，m∈R．（1）当m=3时，求A∩∁U B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），它的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．17.如图所示，在▱ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°．（1）求的模；（2）若=，=，求的值．18.近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注．市区现有一块近似正三角形土地ABC（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中、与分别相切于点D、E，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪．设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）．（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积．19.已知函数f（x）=（a＞0），且满足f（）=1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）=，求g（x）在区间[，]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x-a）2-x|x-a|+2mx2=0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．20.已知函数f（x）=log4（a•2x）（a≠0，a∈R），g（x）=log4（4x+1）．（1）设h（x）=g（x）-kx（k∈R），若h（x）是偶函数，求实数k的值；（2）设F（x）=（log2x）-g（log4x），求函数F（x）在区间[2，3]上的值域；（3）若不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】{-1，1，2}【解析】解：A∪B={1，2，-1}．故答案为：{1，2，-1}．进行并集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，并集的概念及运算．2.【答案】（2，3]【解析】解：由，解得2＜x≤3．∴函数f（x）=lg（x-2）+的定义域为（2，3]．故答案为：（2，3]．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】【解析】解：sin（-330°）=sin（-360°+30°）=sin30°=．故答案为：把所求式子中的角-330°变为-360°+30°后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4.【答案】3【解析】解：幂函数f（x）=x a的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为：3．根据题意求出α的值，写出函数解析式，再计算f（27）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．5.【答案】（2，+∞）【解析】解：根据指数函数的单调性知，不等式3x-2＞1可化为x-2＞0，解得x＞2，∴不等式的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．根据指数函数的单调性，把不等式化为x-2＞0，求解集即可．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6.【答案】【解析】解：将函数f（x）=sin（2x-）=sin2（x-）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin2x的图象，则φ的最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：=．故答案为：1．进行指数、对数的运算即可．考查指数和对数的运算，以及对数的换底公式．8.【答案】[0，【解析】解：令-，解得，令，则，因此，函数的单调递增区间为．故答案为：．先求出函数在R上的单调递增区间，然后与定义域取交集，即可求出答案．本题考查三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题．9.【答案】-【解析】解：∵sin（α-）=，其中，∴α-∈（，π），cos（α-）=-=-，则sin（）=sin（+α）=（cos-α）=-，故答案为：-．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos（α-）的值，再利用诱导公式求得sin（）=sin（+α）=（cos-α）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．10.【答案】【解析】解：向量=（1，-2），=（-1，1），若（）⊥（），则（-）•（+k）=+（k-1）•-k=0，∴（1+4）+（k-1）×（-1-2）-k×（1+1）=0，解得k=．故答案为：．根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出k的值．本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．11.【答案】5【解析】解：点P（1，2）在角α终边上，∴tanα==2，sinα==，cosα= =，则==5，故答案为：5．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα、sinα、cosα 的值，可得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12.【答案】（-2，0）【解析】解：函数g（x）=f（x）-m（m∈R）有三个不同的零点，即为g（x）=0，即f（x）=m有三个交点，由-log2x1=log2x2=3-x3=m，0＜m＜1，即有x1x2=1，x3=3-m，则（x1x2+1）m-x3=2m-3+m，由h（m）=2m-3+m在（0，1）递增，可得h（m）的值域为（-2，0）．故答案为：（-2，0）．由题意可得g（x）=0，即f（x）=m有三个交点，可得x1x2=1，x3=3-m，0＜m＜1，则（x1x2+1）m-x3=2m-3+m，由h（m）=2m-3+m的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的零点问题，注意运用数形结合思想和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】（-∞，-1）∪（0，1）【解析】解：根据题意，设g（x）=xf（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（-x）=-f（x），则g（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=g（x），则g（x）为R上的偶函数，若f（-1）=0，则g（-1）=g（1）=0，又由对任意的x1，x2∈（-∞，0），当x1≠x2时，都有＜0成立，则g（x）在（-∞，0）上为减函数，则在（-∞，-1）上，g（x）=xf（x）＞0，在（-1，0）上，g（x）=xf（x）＜0，又由x∈（-∞，0），则在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0），f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，在在（0，1），f（x）＜0，综合可得：f（x）的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．根据题意，设g（x）=xf（x），分析可得g（x）为偶函数且在（-∞，0）上为减函数，据此可得在（-∞，-1）上，g（x）=xf（x）＞0，在（-1，0）上，g（x）=xf（x）＜0，结合x 的范围可得在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0），f（x）＞0，结合函数f（x）的奇偶性，分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数g（x）=xf（x），属于基础题．14.【答案】[-，-）∪（，]【解析】解：由函数f（x）=-x2+ax+1，h（x）=2x可得f（x），g（x）的图象均过（0，1），且f（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由题意可得f（x）＞h（x）恰有1，2两个整数解，可得f（2）＞h（2），f（3）≤h（3），即有-3+2a＞4，-8+3a≤8，解得＜a≤；当当a＜0时，由题意可得f（x）＞h（x）恰有-1，-2两个整数解，可得f（-2）＞h（-2），f（-3）≤h（-3），即有-3-2a＞，-8-3a≤，解得-≤a＜-，综上可得a的范围是[-，-）∪（，]．故答案为：[-，-）∪（，]．由题意可得f（x），g（x）的图象均过（0，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞h（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，…（3分）∴C U B=（-∞，3）∪（4，+∞），…（6分）故A∩∁U B=[1，3）．…（8分）（2）∵B⊆A，∴ ，…（12分）解得1≤m≤3．…（14分）【解析】（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，由此能求出A∩∁U B．（2）由B⊆A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．本题考查交集、补集、不等式的取值范围的求法，考查补集、交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】解：（1）依题意，A=2，T=4（-）=π=，ω=2，故f（x）=2sin（2x+φ）将点（，2）的坐标代入函数的解析式可得sin（+φ）=1则φ=2kπ-（k∈Z），又|φ|＜π，故φ=-，故函数解析式为f（x）=2sin（2x-）（2）当x∈[-，]时，-≤2x-≤，则-≤sin（2x-）≤1，-≤2sin（2x-）≤2，所以函数f（x）的值域为[-，2]【解析】（1）由图观察得A，T，利用T求得ω，代最高点（，2）求φ；（2）利用正弦函数的图象求值域．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，属中档题．17.【答案】解：（1）在▱ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°．===，=，=．（2）由图形得，，所以：=，=，=，=．【解析】（1）直接利用向量的线性运算和余弦定理求出结果．（2）利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，向量的线性运算的应用，向量的模的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）如图，BD=x，则BE=x，AD=AG=EC=FC=2-x，在扇形DBE中，弧DE长=x，所以S扇形BDE=×x2=x2，同理，S扇形ADG=×（2-x）2=（2-x）2，因为弧DG与弧EF无重叠，所以CF+AG≤AC，即2-x+2-x≤2，则x≥1，又三个扇形都在三角形内部，则x≤，所以x∈[1，]；（2）因为S△ABC=，所以S阴影=S△ABC-S扇形BDE-S扇形ADG-S扇形CEF=-[x2+2（2-x）2]，=-[3（x-）2+]，所以当x=时，S阴影取得最大值为-，答：当BD长为百米时，草坪面积最大，最大值为（-）百米2．【解析】（1）根据扇形的面积公式可得结果，根据条件可得以CF+AG≤AC，且BD长的小于高，解得x的取值范围，（2）列出草坪面积的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出．本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了数学建模的思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）由f（）==1，得a=1或0．因为a＞0，所以a=1，所以f（x）=．当x＞1时，f（x）==1-为增函数，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1--1+=，因为1＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞0，f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）g（x）===，，＜，当1≤x≤4时，g（x）==-=-（-）2+，因为≤≤1，所以当=时，g（x）max=；当≤x＜1时，g（x）==（-）2-，因为≤x＜1时，所以1＜≤2，所以当=2时，g（x）max=2；综上，当x=时，g（x）max=2；（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）=1-∈（0，1）．同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）=-1∈（0，+∞）．方程2（x-1）2-x|x-1|+2mx2=0可化为2•-+2m=0，即2f2（x）-f（x）+2m=0，设t=f（x），方程可化为2t2-t+2m=0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2-t+2m=0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，则有＞＞＞，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围为（0，）．【解析】（1）由f（）=1，解方程可得a，再由单调性的定义，即可证得f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）运用分段函数写出g（x），讨论1≤x≤4，≤x＜1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；（3）由题意可得方程2（x-1）2-x|x-1|+2mx2=0可化为2•-+2m=0，即2f2（x）-f（x）+2m=0，设t=f（x），方程可化为2t2-t+2m=0，由题意可得方程2t2-t+2m=0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的解析式的求法，注意运用方程思想，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查存在性问题解法，注意运用换元法和转化思想，讨论二次方程实根分布，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，则a（1-）∈[a，a]，所以F（x）∈[log4a，log4a]；即函数F（x）的值域为[log4a，log4a]；（3）由f（x）＜g（x），得log4（a•2x）＜log4（4x+1），设t=2x，则t2-at+1+a＞0，设m（t）=t2-at+1+a，若a＞0则t＞，由不等式t2-at+1+a＞0对t＞恒成立，①当≤，即0＜a≤时，此时m（）=＞0恒成立；②当＞，即a＞时，由△=a2-4-a＜0解得＜a＜6；所以0＜a＜6；若a＜0则0＜t＜，则由不等式t2-at+1+a＞0对0＜t＜恒成立，因为a＜0，所以＜0，只需m（0）=1+a≥0，解得-≤a＜0；故实数a的取值范围是[-，0）∪（0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k的值；（2）求得F（x）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f（x）＜g（x），得log4（a•2x）＜log4（4x+1），设t=2x，则t2-at+1+a＞0，设m（t）=t2-at+1+a，讨论a＞0，a＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）不等式＞0的解集是．2．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n+1，则a3=．3．（5分）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=．4．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45°，B=60°，则b=．6．（5分）在等差数列{a n}中，a4=7，a8=15，则数列{a n}的前n项和S n=．7．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．8．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），则a=．9．（5分）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状为．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5+a8=π，则sina5=．11．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为．13．（5分）已知向量，，满足++=，且与的夹角等于120°，与的夹角等于15°，||=3，则||=．14．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，记S n=a12+a22+…+a n2，若S2n+1﹣S n≤对任意n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．16．（14分）在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°，AD+CD=10．求：（Ⅰ）AC的长及圆的半径R；（Ⅱ）四边形ABCD的面积．17．（14分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60．求：（Ⅰ）数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）++…+．18．（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．20．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）不等式＞0的解集是{x|x＞1或x＜﹣2}．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式＞0即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．解答：解：不等式＞0即为或，解得x＞1或x＜﹣2．则解集为{x|x＞1或x＜﹣2}．故答案为：{x|x＞1或x＜﹣2}．点评：本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．2．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n+1，则a3=4．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：S n=2n+1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理即可得出．解答：解：∵S n=2n+1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n+1）﹣（2n﹣1+1）=2n﹣1．则a3=23﹣1=4．故答案为：4．点评：本题考查了递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=32．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等比数列的通项公式求出公比q，再由等比数列的通项公式求出a6．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，∴公比q3==8，则q=2，∴a6=a5•q=16×2=32，故答案为：32．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理化简已知的比例式，得到a，b及c的比值，根据比例设出a，b及c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的三边长代入，即可求出cosC的值．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得cosC===﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45°，B=60°，则b=．考点：正弦定理．分析：由题意和正弦定理直接求出变b的值即可．解答：解：由题意知，a=，A=45°，B=60°，∴根据正弦定理得：，则b===，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）在等差数列{a n}中，a4=7，a8=15，则数列{a n}的前n项和S n=n2．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入求和公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则可得，解之可得，故S n==n2故答案为：n2点评：本题考查等差数列的前n项和，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理即可求值．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，∴由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7．∴BC=．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．8．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），则a=3．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由一元二次方程与不等式关系可知，不等式解集边界值就是对应的一元二次方程两根，进而有根与系数关系可以求得a．解答：解：不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），∴x2﹣ax+2=0有两个根1，2，∴1+2=a∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先根据题设条件求得cosC的表达式，进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式，二者相等化简整理求得b=c，进而判断出三角形为等腰三角形．解答：解：∵a=2bcosC，∴cosC=∵cosC=∴=，化简整理得b=c∴△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．点评：本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断．解题的关键是利用了cosC 这一桥梁完成了问题的转化，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5+a8=π，则sina5=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质化简a2+a5+a8=π，求出a5的值，代入sina5求值即可．解答：解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=π，∴a5=，∴sina5=，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．11．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=3+2．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案．解答：解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q=1+，∴==q2=3+2．故答案为：3+2点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．学生在求出q值后应根据等比数列的各项都为正数，舍去不合题意的公比q的值．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．解答：解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故a n =﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．点评：在等差数列中，当首项为正，公差为负时，其前n项和S n有最大值，是所有的正项相加最大；当首项为负，公差为正时，其前n项和S n有最小值，是所有的负项相加最小．13．（5分）已知向量，，满足++=，且与的夹角等于120°，与的夹角等于15°，||=3，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：把向量放在三角形中，根据向量的夹角与三角形的角的关系，转化为解三角形问题求解．解答：解：∵向量，，满足++=，∴令=，=，=，∵与的夹角等于120°，与的夹角等于15°∴∠A=180°﹣120°=60°，∠C=180°﹣150°=30°，∴三角形为直角三角形，=tan30°=，∵|BC|=||=3，∴|AB|=，故答案为：．点评：本题考查向量在几何中的应用、向量的模，数量积表示两个向量的夹角，解直角三角形，学生运用画图确定解决问题的方法，属于中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，记S n=a12+a22+…+a n2，若S2n+1﹣S n≤对任意n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是10．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，可得=4，利用等差数列的通项公式可得=．作差（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（S n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S2n+1）=﹣﹣=﹣﹣，即可得出数列{S2n+1﹣S n}单调性，进而得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，∴=4，∴数列是等差数列，首项为1，公差为4．∴．∴=．∵S n=a12+a22+…+a n2，∴（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（S n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S2n+1）=﹣﹣=﹣﹣=+＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}是单调递减数列，∴数列{S2n+1﹣S n}的最大项是S3﹣S1===．∵≤，∴．又m为正整数，∴m的最小值为10．故答案为：10．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，恒成立问题的等价转化方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．考点：等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的定义进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵S n=n2+2n，∴a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣=2n+1，则当n=1时，满足a n=2n+1，综上都有a n=2n+1．（Ⅱ）∵a n﹣a n﹣=2（n+1）+1﹣2n﹣1=2，为常数，∴{a n}是首项为3，公差为2的等差数列．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解和证明，比较基础．16．（14分）在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°，AD+CD=10．求：（Ⅰ）AC的长及圆的半径R；（Ⅱ）四边形ABCD的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可求AC的值，由正弦定理即可得解．（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，在△ACD中，由余弦定理得mn=24，则由三角形面积公式可求S△ACD，S△ABC，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC==，…4分由正弦定理得：2R=，R=…7分（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，在△ACD中，由余弦定理得，AC2=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn …9分即28=100﹣3mn，∴mn=24．…11分则S△ACD=mnsin60°=6，S△ABC=，…13分所以四边形ABCD的面积为8．…14分．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．17．（14分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60．求：（Ⅰ）数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）++…+．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由S n=n（n+2），可得==．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则d＞0，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1．∵b2S2=16，b3S3=60．∴，解得或（舍去）．故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）∵S n==n（n+2），∴==．∴++…+=++…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；（Ⅱ）在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC＞3时没有触礁危险．解答：解：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分从而MC=5sin60°=＞3，没有触礁危险．…8分（Ⅱ）设CM=x，在△ABM中由正弦定理得，，解得x=，…14分所以当＞3时没有触礁危险．…16分．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax2+（b﹣2）x+c=0的两根，且a＞0，运用韦达定理可得b，c，再由判别式为0，可得b，c，进而得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由题意，不等式x2﹣（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，讨论对称轴和区间的关系，即可m的范围；（Ⅲ）方程x2﹣（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）2﹣16，讨论判别式为0，大于0和小于0，即可得到不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax2+（b﹣2）x+c=0的两根，且a＞0，由韦达定理得，1+4=，1×4=，即有b=2﹣5a，c=4a，因为方程f（x）=x有两个相等的实数根，所以（b﹣1）2﹣4ac=0，消去b，c得a=1或（舍去），b=﹣3，c=4，所以f（x）=x2﹣3x+4；（Ⅱ）由题意，不等式x2﹣（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，设g（x）=x2﹣（m+3）x+4其图象的对称轴方程为x=，当＞1即m＞﹣1时，有g（）=＞0，得﹣1＜m＜1，当≤1即m≤﹣1时，有g（1）=2﹣m≥0，得m≤﹣1，综上，m＜1；（Ⅲ）方程x2﹣（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）2﹣16，当△＜0即﹣7＜m＜1时，不等式的解集为R；当△=0时：m=﹣7时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；m=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；当△＞0即m＜﹣7或m＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}．点评：本题考查二次函数、二次方程和二次不等式的关系，主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据图形关系，建立图形边长和周长之间的关系即可求出数列的通项公式．（2）根据归纳推理，求出两个图形的面积之间的关系，结合等比数列的通项公式进行求和即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）n﹣1，设第n个图形的边数为c n，因为第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，则c n=3×4n﹣1，因此，第n个图形的周长b n=a n×c n=（）n﹣1×3×4n﹣1=3×（）n﹣1，（Ⅱ）S1=，当n≥2时，S n=S n﹣1+c n×（×a n2）=S n﹣1+3×4n﹣2××2=S n﹣1+×（）n ﹣1，则S n=S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（S n﹣S n﹣1），=+，=+×，=﹣×（）n﹣1，∴S n＜．点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用，根据归纳推理建立数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．。
江苏省宿迁市高一数学上学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合，，则=______．【答案】{-1,1,2}；【解析】=={-1,1,2}2. 函数的定义域为______．【答案】；【解析】因为 ,所以定义域为3. 计算的值为____．【答案】；【解析】4. 已知幂函数的图象经过点，则的值为______．【答案】3；【解析】因为 ,所以5. 不等式的解集为______．【答案】；【解析】 ,所以解集为6. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______．【答案】；【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到,所以的最小值为7. 计算的值为______．【答案】1；【解析】8. 已知函数，，则它的单调递增区间为______．【答案】（区间写成半开半闭或闭区间都对）；【解析】由得因为，所以单调递增区间为9. 若，其中，则的值为______．【答案】；【解析】因为，所以点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X围，确定角.10. 已知向量，若，则实数的值为______．【答案】；【解析】由题意得11. 若点在角终边上，则的值为_____．【答案】5；【解析】由三角函数定义得12. 已知函数若函数有三个不同的零点，且，则的取值X围是____．【答案】；【解析】作图可知:点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值X围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．【答案】；【解析】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.14. 已知函数，，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值X围是________．【答案】.【解析】因为,所以即的取值X围是.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数X围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 设全集，集合，，．（1）当时，求；（2）若，某某数的取值X围.【答案】(1) (2)...............试题解析：（1）当时，，所以，故；（2）因为，所以解得.16. 已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:（1）根据最值得A，根据四分之一个周期求，代入最值点求（2）先确定正弦函数定义区间：，再根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.17. 如图所示，在中，已知，,.（1）求的模；（2）若，，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:（1）根据向量数量积定义可得，再根据向量加法几何意义以及模的性质可得结果（2）先根据向量加减法则将化为，再根据向量数量积定义求值试题解析：（1）==；（2）因为，，所以.18. 近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中、与分别相切于点D、E，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）.（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值X围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.【答案】(1) (2) 当BD长为百米时，草坪面积最大，最大值为()百米2.【解析】试题分析:（1）根据扇形面积公式可得结果，根据条件可得，且BD长小于高，解得x的取值X围；（2）列出草坪面积函数关系式，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：（1）如图，，则，,在扇形中，弧长=，所以，同理，，因为弧DG与弧EF无重叠，所以，即，则，又三个扇形都在三角形内部，则，所以.（2）因为，所以==，所以当时，取得最大值为，答：当BD长为百米时，草坪面积最大，最大值为()百米2.19. 已知函数，且满足.（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）设函数，求在区间上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，某某数m的取值X围.【答案】(1)见解析(2) 时，. (3)试题解析：(1) 由，得或0.因为，所以，所以.当时，，任取，且，则，因为，则，，所以在上为增函数；（2），当时，，因为，所以当时，；当时，，因为时，所以，所以当时，；综上，当即时，.（3）由（1）可知，在上为增函数,当时，.同理可得在上为减函数，当时，.方程可化为，即.设,方程可化为.要使原方程有4个不同的正根，则方程在有两个不等的根，则有，解得，所以实数m的取值X围为.20. 已知函数，．（1）设，若是偶函数，某某数的值；（2）设，求函数在区间上的值域；（3）若不等式恒成立，某某数的取值X围.【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析:（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值X 围.试题解析：（1）因为是偶函数，所以，则恒成立，所以.（2），因为，所以，所以，则，则，所以，即函数的值域为.（3）由，得，设，则，设若则，由不等式对恒成立，①当，即时，此时恒成立；②当，即时，由解得；所以；若则，则由不等式对恒成立，因为，所以，只需，解得；故实数的取值X围是.点睛：对于求不等式成立时的参数X围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
【优质文档】江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题含解析
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
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并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
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答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合，，则=______．【答案】{-1,1,2}；【解析】=={-1,1,2}2. 函数的定义域为______．【答案】；【解析】因为 ,所以定义域为3. 计算的值为____．【答案】；【解析】4. 已知幂函数的图象经过点，则的值为______．【答案】3；【解析】因为 ,所以5. 不等式的解集为______．【答案】；【解析】 ,所以解集为6. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______．【答案】；【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到 ,所以的最小值为7. 计算的值为______．【答案】1；【解析】8. 已知函数，，则它的单调递增区间为______．【答案】（区间写成半开半闭或闭区间都对）；【解析】由得因为，所以单调递增区间为9. 若，其中，则的值为______．【答案】；【解析】因为，所以点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.10. 已知向量，若，则实数的值为______．【答案】；【解析】由题意得11. 若点在角终边上，则的值为_____．【答案】5；【解析】由三角函数定义得12. 已知函数若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是____．【答案】；【解析】作图可知:点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．【答案】；。
2017-2018学年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一上学期期中数学试卷和解析
2017-2018学年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共70分.将答案填在答题纸上1．（4分）集合A={﹣1，0，1}子集的个数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．3．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为．4．（4分）已知f（x）=，则f（0）=．5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c大小顺序是．（用“＞”表示）6．（4分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=．7．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P 点的坐标为．8．（4分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．9．（4分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+x，则函数y=f（x）的解析式是．10．（4分）已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m 的取值范围是．11．（5分）有以下判断：①f（x）=与g（x）=表示同一函数；②函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点最多有1个；③f（x）=x2﹣2x+1与g（t）=t2﹣2t+1是同一函数；④若f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则f（f（））=0．其中正确判断的序号是．12．（5分）函数的值域为．13．（5分）设已知函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），则4m﹣3•+的最小值为．14．（5分）已知函数f9x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，且x1≠x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0的解集为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）计算：（1）×．16．（14分）设全集I=R，已知集合M={x|x2+6x+9≤0}，N={x|x2+x﹣6=0}．（1）求（∁I M）∩N；（2）记集合A=（∁I M）∩N，已知集合B={x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）的图象是如图所示的线段OA 与抛物线的一部分ABC，其中 A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4．（1）写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的解析式；（3）已知函数g（x）=（8﹣a）x+b﹣16．当x≥1时，记h（x）=3f（x）+g（x）．当a∈[1，2]时，不等式h（b+1）＞0恒成立，求实数b的取值范围．19．（16分）某市决定在其经济开发区一块区域进行商业地产开发，截止2015年底共投资100百万元用于餐饮业和服装业，2016年初正式营业，经过专业经济师预算，从2016年初至2019年底的四年间，在餐饮业利润为该业务投资额的20%，在服装业可获利该业务投资额的算术平方根．（1）该市投资资金应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？（2）假设自2017年起，该市决定对所投资的区域设施进行维护保养，同时发放员工奖金，方案如下：2017年维护保养费用0.5百万元，以后每年比上一年增加0.5百万元；2017年发放员工奖金共计1百万元，以后每年的奖金比上一年增加10%．若该市投资成功的标准是：从2016年初到2019的底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于总投资额的9%，问该市投资是否成功？20．（16分）已知函数f（x）=x﹣，x∈[2，4]．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F（x）=x2+﹣2a（x﹣），x∈[2，4]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若存在a∈（0，2）使不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共70分.将答案填在答题纸上1．（4分）集合A={﹣1，0，1}子集的个数是8．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}子集的个数是：23=8．故答案为：8．2．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．3．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为{x|x＞1且x≠2} ．【解答】解：函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0有意义，可得x﹣1＞0且x﹣2≠0，解得x＞1且x≠2，则定义域为{x|x＞1且x≠2}．故答案为：{x|x＞1且x≠2}．4．（4分）已知f（x）=，则f（0）=19．【解答】解：由分段函数的表达式得f（0）=f（1）=…=f（10）=f（11）=2×11﹣3=19，故答案为：19．5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c大小顺序是b＞c＞a．（用“＞”表示）【解答】解：a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.2∈（0，1），则a，b，c大小顺序是b＞c＞a．故答案为：b＞c＞a．6．（4分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．【解答】解：设f（x）=2x，g（x）=10﹣x，画图，观察交点在区间（2，3）上．故填2．7．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P 点的坐标为（﹣1，3）．【解答】解：令2x+3=1，可得x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．8．（4分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴其定义域关于原点对称，故a﹣1=﹣2a，又其奇次项系数必为0，故b=0解得，b=0∴a+b=故答案为：．9．（4分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+x，则函数y=f（x）的解析式是．【解答】解：由题意可得：设x＜0，则﹣x＞0；∵当x≥0时，f（x）=x2+x，∴f（﹣x）=x2﹣x，因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以x＜0时f（x）=﹣x2+x，故答案为：f（x）=．10．（4分）已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m 的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：①m=0时，函数为f（x）=x+2，在（﹣∞，2）是增函数满足题意；②m≠0时，要使已知函数在（﹣∞，2）上是增函数，只要，解得，∴实数m的取值范围是[，0]；故答案为：[﹣，0]．11．（5分）有以下判断：①f（x）=与g（x）=表示同一函数；②函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点最多有1个；③f（x）=x2﹣2x+1与g（t）=t2﹣2t+1是同一函数；④若f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则f（f（））=0．其中正确判断的序号是②③．【解答】解：对于①：y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=g（x）的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数，故①错误；对于②：根据函数的定义，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点是1个或0个，即交点最多有1个，故②正确；对于③：y=f（x）与y=g（x）定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，故③正确；对于④：因为f（）=，所以f（f（））=f（0）=1，故④错误．故答案为：②③12．（5分）函数的值域为（﹣1，2）．【解答】解：∵∴故x＞0时，函数为增函数由x=0时，f（0）=﹣1，x趋于+∞时，f（x）趋于2故函数的值域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）13．（5分）设已知函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），则4m﹣3•+的最小值为．【解答】解：函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），可得log z m=﹣log z n，即m=，那么：y=4m﹣3•+=，令2m=t，t＞0，可得：y==，∴当t=时，可得，故答案为：．14．（5分）已知函数f9x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，且x1≠x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0的解集为（﹣，1）．【解答】解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），即x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）在R上是增函数，再根据函数为奇函数，可得f（0）=0，若不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0，则，无解，或，﹣＜x＜1，故不等式的解集是（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）计算：（1）×．【解答】解：1）×=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3=lg5+lg2﹣lg0.1﹣2=1+﹣2=﹣．16．（14分）设全集I=R，已知集合M={x|x2+6x+9≤0}，N={x|x2+x﹣6=0}．（1）求（∁I M）∩N；（2）记集合A=（∁I M）∩N，已知集合B={x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵M={x|（x+3）2≤0}={﹣3}，N={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，∴∁I M={x|x∈R且x≠﹣3}，∴（∁I M）∩N={2}．（2）A=（∁I M）∩N={2}．由知B⊆A，所以B=∅或B={2}．若B=∅，则a﹣1＞5﹣a，解得a＞3；若B={2}，则，解得a=3，综上所述，所求实数a的取值范围是[3，+∞）．17．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）函数的定义域关于坐标原点对称，∵f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x）∴f（x）是奇函数．（3）若a＞1时，由f（x）＞0得log a（x+1）＞log a（1﹣x），则，求解关于实数x的不等式可得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）的图象是如图所示的线段OA 与抛物线的一部分ABC，其中 A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4．（1）写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的解析式；（3）已知函数g（x）=（8﹣a）x+b﹣16．当x≥1时，记h（x）=3f（x）+g（x）．当a∈[1，2]时，不等式h（b+1）＞0恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题知函数y=f（x）的定义域为区间[0，+∞），由A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点 B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4，结合函数的图象，所以函数y=f（x）的单调增区间为[0，1]和[4，+∞），单调减区间为[1，4]，（2）x∈[0，1）时，显然f（x）=3x，x≥1时，设函数的解析式得f（x）=a（x﹣4）2，则f（1）=a（1﹣4）2=3，解得：a=，故f（x）=；（3）对于任意a∈[1，2]，不等式﹣（b+1）a+b2+3b+1＞0恒成立．记h（a）=﹣（b+1）a+b2+3b+1，则，故b∈（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），又因为b+1≥1，故b＞．19．（16分）某市决定在其经济开发区一块区域进行商业地产开发，截止2015年底共投资100百万元用于餐饮业和服装业，2016年初正式营业，经过专业经济师预算，从2016年初至2019年底的四年间，在餐饮业利润为该业务投资额的20%，在服装业可获利该业务投资额的算术平方根．（1）该市投资资金应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？（2）假设自2017年起，该市决定对所投资的区域设施进行维护保养，同时发放员工奖金，方案如下：2017年维护保养费用0.5百万元，以后每年比上一年增加0.5百万元；2017年发放员工奖金共计1百万元，以后每年的奖金比上一年增加10%．若该市投资成功的标准是：从2016年初到2019的底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于总投资额的9%，问该市投资是否成功？【解答】解：（1）设在服装业投资额为x百万元，由题意得，化简得，x∈[0，100]，令，则，当时，即时，函数取得最大值．答：该市在服装业投资额百万元，在餐饮业投资额为百万元，才能使这四年总的预期利润最大．（2）由（1）得，若不考虑区域维护保养以及奖金发放，则当时，f（x）max=21.25；当t=10时，f（x）min=10．从2017年初到2019年底维护保养费为0.5+1+1.5=2百万元；从2017年初到2019年底发放员工奖金为1+1×（1+10%）+1×（1+10%）2=3.31百万元．∴这四年的预期利润中值为百万元，占总投资额的9.315%，大于总投资额的9%，符合该市投资成功的标准．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣，x∈[2，4]．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F（x）=x2+﹣2a（x﹣），x∈[2，4]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若存在a∈（0，2）使不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣，由函数y=x是递增函数，y=﹣在（0，+∞）也是递增函数，∴x∈[2，4]上时，可知函数f（x）=x﹣是递增函数．∴当x=2时，f（x）取得最小值为﹣2，当x=4时，f（x）取得最大值为2故得函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（2）由F（x）=x2+﹣2a（x﹣）=（x﹣）2﹣2a（x﹣）2+16，x∈[2，4]，a∈R，设x﹣=t，由（1）可知：﹣2≤t≤2那么F（x）转化为h（t）=t2﹣2at+16．（﹣2≤t≤2）其对称轴t=a，开口向上．当a＜﹣2时，可得t∈[﹣2，2]上单调递增，故g（a）=20+4a当a＞2时，可得t∈[﹣2，2]上单调递减，故g（a）=20﹣4a当﹣2≤a≤2时，可得t∈[﹣2，a]上单递减，t∈[a，2]上单调递增，故g（a）=16﹣a2函数F（x）的最小值g（a）=（3）由（2）知，当a∈（0，2）时，g（a）=16﹣a2，不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，即16﹣a2＜﹣2a2+at+15成立可得：在a∈（0，2）上有解．令φ（a）=≥=2，当且仅当a=1时取等号∴φ（a）min=2从而t＞2．所以，实数t的取值范围是（2，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题
2017～2018学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案一、填空题： 1、12 2、1 3、9 4、25、()0,36、87、60︒ 8、 9、1- 10、等腰三角形 11、4 12、80 13、2 14、145二、解答题：15、解 （1） 2n S n =……………………6分（2）由题知1231,3,5,a a a ===121, 2.b b ∴== …………8分 又数列{}n b 是等比数列，212,b q b ∴== …………………11分 1(1)(12)2 1.112n n n n b q T q --∴===--- …………………14分16、解()s i n (2)6fx x π=- …………4分（1）T π=，()x f 的最小正周期是π… ………………………………………7分 （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52--,666x πππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ …………………………10分所以 当3x π=时，max ()1f x =；当0x =时，min 1()2f x =-………………14分 17、解 (1) ∵cosB =45>0，且0<B <π，∴sinB35= …………2分 由正弦定理得a b sinA sinB =， 31sin 15sin 35a B A b ⨯=== ………………6分 (2) ∵S △ABC =12acsinB =3， ……………………………………………………8分13131025c c ∴⨯⨯⨯=∴= ……………………………………………………10分 由余弦定理得 2222c o s b a c a c B =+-85b∴……14分18、解：(1) 3年总费用为16.90.930.20.40.620.8+⨯+++=万元………4分（2）因为每年保养维修为成首项为0.2，公差为0.2的等差数列，所以第n年保养维修费为0.2n，………………………6分使用了n年的总费用(0.20.2)(10)()16.90.916.9210n n n nf n n++=++=+*()n N∈…………10分（3）设年平均费用为()g n，则()()f ng nn=所以(10)(16.9)116910()()110n ng n nn n++==++…………12分因为169926n nn n+≥=（当且仅当13n=时，取等号）所以m i n() 3.6g n=………………………………………………………………15分答：使用13年，年平均费用最少，最小值为3.6万元…………………………16分19、解（1）要使函数有意义：则有1020xx->⎧⎨+>⎩，解得－2＜x＜1∴函数的定义域D为(2,1)-…………………………………3分（2）219()log(1)(2)log()24a af x x x x⎡⎤=-+=-++⎢⎥⎣⎦因为21x-<<所以21990()244x<-++≤因为1a>，所以2199log(())log244a ax-++≤，即max9()log24af x==，……………………………6分由9log24a=，得32a=，………………………8分（3）由210x mx m-++>在(2,1)-恒成立，得21(1)x m x +>-因为(2,1)x ∈-，所以1(3,0)x -∈-所以211x m x +<-在(2,1)x ∈-恒成立 ………………………10分 设21()1x g x x +=-，令1(3,0)x t -=∈-则2(1)12()2t g t t t t++==++ ………………………12分 即2()()2()g t t t -=-+--，因为(0,3)t -∈，所以())22()g t t -≥-=-（当且仅当t =14分 所以()2g t ≤-所以2m >- ………………………16分 20、解：（1）因为数列{}n a 为等差数列，2343a a a ++=- 所以333a =- 即31a =- ………………………2分公差d =1(5)22---=，所以 5(1)227n a n n =-+-⨯=- ………………4分 （2）由（1）知，当3n ≤时，0n a <；当3n >时，0.n a >*72,3()27,4n n n a n N n n -≤⎧∴=∈⎨-≥⎩， ……………………6分设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21()(527)6,22n n n a a n n S n n +-+-===- 当3n >时，()22333()262(9)618n n n T S S S S S n n n n =-+-=-=--⨯-=-+………………………8分∴502218T = ………………………10分（3）12(27)(25),23k k k a a k k a k ++--=- 令23,k t -=（其中1t ≥-且t 是奇数），则12(4)(2)86.k k k a a t t t a t t++--==+- …12分故t 为8的约数，又t 是奇数，t ∴的可能取值为 1.±当1t =时，2342,3257a a k a ===⨯-是数列{}n a 中的第5项； …………14分 当1t =-时，1231,152(4)7a a k a ==-=⨯--不是数列{}n a 中的项. 所以存在，满足条件的正整数 2.k = …………16分。
2017-2018学年江苏省宿迁市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A = 1 ， 2 ，B = −1， 2 ，则A ∪B =______． 【答案】{-1,1,2}；【解析】A ∪B = 1 ， 2 ∪ −1， 2 ={-1,1,2}2. 函数f (x )=lg (x −2)+ x 的定义域为______． 【答案】(2,3]；【解析】因为x −2>03−x ≥0⇒2<x ≤3 ,所以定义域为(2,3] 3. 计算sin (−330°)的值为____． 【答案】12；【解析】sin (−330°)=sin 300=124. 已知幂函数f (x )=x α的图象经过点(8,2)，则f (27)的值为______． 【答案】3；【解析】因为8α=2⇒α=13 ,所以f (27)=2713=35. 不等式3x −2>1的解集为______． 【答案】(2,+∞)；【解析】3x −2>1⇒3x −2>30⇒x −2>0⇒x >2 ,所以解集为(2,+∞)6. 若将函数f (x )=sin (2x −π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位长度，得到函数g (x )=sin 2x 的图象，则φ 的最小值为______．【答案】π6 ；【解析】因为函数f (x )=sin (2x −π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位长度，得到y =sin (2x +2φ−π3),所以2φ−π3=2k π(k ∈Z )∴φ=π6+k π(k ∈Z )∵φ>0∴φ 的最小值为π67. 计算(1681)14+log 82的值为______．【答案】1；【解析】(1681)14+log 82(2434)14+log 232=23+13=18. 已知函数y =sin (2x −π3)，x ∈[0,π2]，则它的单调递增区间为______．【答案】(0,5π12)（区间写成半开半闭或闭区间都对）；【解析】由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π(k ∈Z )得−π12+k π≤x ≤5π12+k π(k ∈Z )因为x ∈[0,π2]，所以单调递增区间为[0,5π12]9. 若sin (α−π6)=13，其中π<α<76π，则sin (2π3−α)的值为______．【答案】−2 23；【解析】sin (2π3−α)=sin (π2+π6−α)=cos (α−π6)因为π<α<76π，所以α−π6∈(5π6,π)∴cos (α−π6)=− 1−sin 2(α−π6)=− 1−19=−2 23点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 10. 已知向量a = 1,−2 ,b = −1,1 ，若 a −b ⊥ a +k b ，则实数k 的值为______． 【答案】85；【解析】由题意得(a −b )⋅(a +k b )=0∴(2,−3)⋅(1−k ,−2+k )=0,2−2k +6−3k =0,k =8511. 若点P (1，2)在角α终边上，则tan αsin 2α−sin αcos α的值为_____． 【答案】5；[1,3)【解析】由三角函数定义得tan α=2,sin α= 5cos α= 5∴tan αsin 2α−sin αcos α245−25=112. 已知函数f x = |log 2x |, 0<x ≤2,−x +3 , x >2, 若函数g (x )=f (x )−m (m ∈R )有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，则 x 1x 2+1 m −x 3的取值范围是____． 【答案】(−2,0)；【解析】作图可知:−log 2x 1=log 2x 2⇒x 1x 2=1,−x 3+3=m ,0<m <1∴ x 1x 2+1 m −x 3=2m −x 3=2m −3+m ∈(−2,0)点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−1)=0，若对任意的x1,x2∈−∞,0，当x1≠x2时，都有x1⋅f(x1)−x2⋅f(x2)x1−x2<0成立，则不等式f(x)<0的解集为_____．【答案】 −∞，−1∪0，1；【解析】令g(x)=x f(x),则g(x)为偶函数,且g(−1)=0,当x<0时, g(x)为减函数所以当−1<x<1时, g(x)<0;当x>1或x<−1时, g(x)>0;因此当0<x<1时, f(x)<0;当x<−1时, f(x)<0,即不等式f(x)<0的解集为 −∞，−1∪0，1点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.14. 已知函数f(x)=−x2+a x+1， (x)=2x，若不等式f(x)> (x)恰有两个整数解，则实数的取值范围是________．【答案】[−6524,−138)∪(72，163].【解析】因为f(0)= (0),所以f(−2)> (−2)f(−3)≤ (−3)或f(2)> (2)f(3)≤ (3)即−2a−3>14−3a−8≤18或2a−3>43a−8≤8∴的取值范围是[−6524,−138)∪(72，163].点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 设全集U=R，集合A={x1≤x≤4}，B={x m≤x≤m+1}，m∈R．（1）当m=3时，求A∩∁ UB；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围.【答案】(1)[1,3)(2)[1,3]试题解析：（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，所以∁ UB=(−∞,3)∪(4,+∞)，故A∩∁ UB=1,3；（2）因为B⊆A，所以m≥1 ，m+1≤4.解得1≤m≤3.16. 已知函数f(x)=A si n(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ<π)，它的部分图象如图所示. （1）求函数f(x)的解析式；（2）当x∈ −π12,5π12时，求函数f(x)的值域.【答案】(1)f(x)=2sin(2x−π6)(2)[−3,2]【解析】试题分析:（1）根据最值得A，根据四分之一个周期求ω，代入最值点求φ（2）先确定正弦函数定义区间：−π3≤2x−π6≤2π3，再根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）依题意，A=2,T=4π3−π12=π=2πω,ω=2，故f(x)=2si n(2x+φ).将点π3,2的坐标代入函数的解析式可得sinφ+2π3=1，则φ=2kπ−π6(k∈Z)，又φ<π，故φ=−π6，故函数解析式为f(x)=2si n(2x−π6).（2）当x∈ −π12,5π12时，−π3≤2x−π6≤2π3，则−32≤sin(2x−π6)≤1，−3≤2sin(2x−π6)≤2，所以函数f(x)的值域为 −3,2.点睛：已知函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.17. 如图所示，在▱A B C D中，已知A B=3，A D=2,∠B A D=120°. （1）求A C的模；（2）若A E=13A B，B F=12B C，求A F⋅D E的值.【答案】(1)7(2)72【解析】试题分析:（1）根据向量数量积定义可得A B⋅A D，再根据向量加法几何意义以及模的性质可得结果（2）先根据向量加减法则将A F，D E化为A B，A D，再根据向量数量积定义求值试题解析：（1）|A C|=|A B+A D|=(A B+A D)2=A B2+2A B⋅A D+A D2=|A B|2+2|A B|⋅|A D|cos∠B A D+|A D|2=9+2×3×2×(−12)+4=7；（2）因为A F=A B+B F=A B+12A D，D E=A E−A D=13A B−A D，所以A F⋅D E=(A B+12A D)⋅(13A B−A D)=13A B2−56A B⋅A D−12A D2=13|A B|2−56|A B|⋅|A D|cos∠B A D−12|A D|2=13×9−56×3×2×(−12)−12×4=3+52−2=72.18. 近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中D G、E F与D E分别相切于点D、E，且D G与E F无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）.（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)S1=π6x2,S2=π6(2−x)2,x∈[1,3](2) 当BD长为43百米时，草坪面积最大，最大值为(3−4π9)百米2.【解析】试题分析:（1）根据扇形面积公式可得结果，根据条件可得C F+A G≤A C，且BD长小于高，解得x的取值范围；（2）列出草坪面积函数关系式，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：（1）如图，B D=x，则B E=x，A D=A G=E C=F C=2−x,在扇形D B E中，弧D E长=π3x，所以S扇形B D E=12×π3x2=π6x2，同理，S扇形A D G=12×π3(2−x)2=π6(2−x)2，因为弧DG与弧EF无重叠，所以C F+A G≤A C，即2−x+2−x≤2，则x≥1，又三个扇形都在三角形内部，则x≤3，所以x∈[1,.（2）因为S △A B C = 3，所以S 阴影=S △A B C −S 扇形B D E −S 扇形A D G −S 扇形C E F = 3−π6[x 2+2(2−x )2]= 3−π6[3(x −43)2+83]，所以当x =43∈[1, 3]时，S 阴影取得最大值为 3−4π9，答：当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大值为( 3−4π9)百米2. 19. 已知函数f (x )=|x −a |x(a >0)，且满足f (12)=1.（1）判断函数f (x )在(1,+∞)上的单调性，并用定义证明； （2）设函数g (x )=f (x )x，求g (x )在区间[12,4]上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程2(x −a )2−x |x −a |+2mx 2=0恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) x =12时，g (x )max =2. (3) (0,116)试题解析：(1) 由f (12)=|12−a |12=1，得a =1或0.因为a >0，所以a =1，所以f (x )=|x −1|x.当x >1时，f (x )=x −1x =1−1x，任取x 1,x 2∈(1,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1−1x 1−x 2−1x 2=(x 1−1)x 2−(x 2−1)x 1x 1x 2=(x 1−1)x 2−(x 2−1)x 1x 12x 22=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0, x 1x 2>0，f (x 1)−f (x 2)<0， 所以f (x )在(1,+∞)上为增函数； （2）g (x )=f (x )x =|x −1|x =x −1x ,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1，当1≤x≤4时，g(x)=x−1x =1x−1x=−(1x−12)2+14，因为14≤1x≤1，所以当1x=12时，g(x)max=14；当12≤x<1时，g(x)=1−xx2=1x2−1x=(1x−12)2−14，因为12≤x<1时，所以1<1x≤2，所以当1x=2时，g(x)max=2；综上，当1x=2即x=12时，g(x)max=2.（3）由（1）可知，f(x)在(1,+∞)上为增函数,当x∈(1,+∞)时，f(x)=1−1x∈(0,1).同理可得f(x)在(0,1)上为减函数，当x∈(0,1)时，f(x)=1x−1∈(0,+∞).方程2(x−1)2−x|x−1|+2mx2=0可化为2|x−1|2x2−|x−1|x+2m=0，即2f2(x)−f(x)+2m=0.设t=f(x),方程可化为2t2−t+2m=0.要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2−t+2m=0在(0,1)有两个不等的根t1,t2，则有1−16m>02m>02×12−1+2m>0，解得0<m<116，所以实数m的取值范围为(0,116).20. 已知函数f(x)=log4(a⋅2x−43a) (a≠0, a∈R)，g(x)=log4(4x+1)．（1）设 (x)=g(x)−k x(k∈R)，若 (x)是偶函数，求实数k的值；（2）设F(x)=f(log2x)−g(log4x)，求函数F(x)在区间[2,3]上的值域；（3）若不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) k=12(2) [log42a9,log45a12](3) [−34,0)∪(0,6)【解析】试题分析:（1）根据偶函数定义得log4(4−x+1)+k x=log4(4x+1)−k x，再根据对数运算性质解得实数k的值；（2）根据对数运算法则得F(x)=log4[a(1−73(x+1)]，再求分式函数值域，即得F(x)在区间[2,3]上的值域（3）设t=2x，将不等式化为t2−a t+43a+1>0，再分离变量得t>43,a<(t2+1t−43)min且0<t<43,a>(t2+1t−43)max，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）因为 (x )=log 4(4x +1)−k x 是偶函数，所以log 4(4−x +1)+k x =log 4(4x +1)−k x ， 则2k x =log 44x +14−x +1=log 44x +11+4x 4x=x 恒成立，所以k =12.（2）F (x )=f (log 2x )−g (log 4x )=log 4(a x −43a )−log 4(x +1)=log 4a (x −43)x +1=log 4[a (1−73(x +1)]，因为x ∈[2,3]，所以x −43>0，所以a >0， 则1−73(x +1)∈[29,512]，则a [1−73(x +1)]∈[2a 9,5a12]， 所以F (x )∈[log 42a 9,log 45a 12]，即函数F (x )的值域为[log 42a 9,log 45a12].（3）由f (x )<g (x )，得log 4(a ⋅2x −43a )<log 4(4x +1)，设t =2x ，则t 2−a t +43a +1>0，设φ(t )=t 2−a t +43a +1若a >0则t >43，由不等式t2−a t +43a +1>0对t >43恒成立，①当a2≤43，即0<a ≤83时，此时φ(43)=259>0恒成立；②当a2>43，即a >83时，由Δ=a 2−163a −4<0解得83<a <6；所以0<a <6；若a <0则0<t <43，则由不等式t 2−a t +43a +1>0对0<t <43恒成立， 因为a <0，所以a2<0 ，只需φ(0)=43a +1≥0，解得−34≤a <0； 故实数的取值范围是[−34,0)∪(0,6).点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}12A =，，{}12B =-，，则A B = ． 2．函数()lg(2)3f x x x =-+-的定义域为 ． 3．计算sin(330)-︒的值为 ．4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(8,2)，则(27)f 的值为 ． 5．不等式231x ->的解集为 ．6．若将函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为 ．7．计算14816()log 281+的值为 ．8．已知函数πsin(2)3y x =-，π[0,]2x ∈，则它的单调递增区间为 ．9．若π1sin()63α-=，其中7ππ6α<<，则2πsin()3α-的值为 ． 10．已知向量()()1,2,1,1=-=-a b ，若()()k -⊥+a b a b ，则实数k 的值为 ．11．若点(12)P ，在角α终边上，则2tan sin sin cos αααα-的值为 ．12．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mx x x +-的取值范围是 ．13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12≠x x 时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ．14. 已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．设全集U =R ，集合{14}≤≤A x x =，{1}≤≤B x m x m =+，m ∈R ． （1）当3m =时，求U AB ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．(本小题满分14分)已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.y2 12π 3π xO（第16题）如图所示，在ABCD 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒.（1）求AC 的模； （2）若13AE AB =，12BF BC =，求AF DE ⋅的值.18．(本小题满分16分)近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE ，DAG 和ECF ，其中DG 、EF 与DE 分别相切于点D 、E ，且DG 与EF 无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD 长为x （单位：百米），草坪面积为S （单位：百米2）.（1）试用x 分别表示扇形DAG 和DBE 的面积，并写出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.C D F B E A （第17题）已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知函数44()log (2)(0,)3x f x a a a a =⋅-≠∈R ，4()log (41)x g x =+． （1）设()()h x g x kx =-()k ∈R ，若()h x 是偶函数，求实数k 的值；（2）设24()(log )(log )F x f x g x =-，求函数()F x 在区间[2,3]上的值域； （3）若不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.高一数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． {-1,1,2}； 2．(2,3]； 3．12； 4．3； 5．(2,)+∞； 6．π6； 7．1； 8．5π(0,)12（区间写成半开半闭或闭区间都对）； 9．223-； 10．85；11．5； 12．(2,0)-； 13．()()101-∞-，，； 14. 6513716[,)(]24823--，.二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定区域内作答．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）当3m =时，{|34}B x x =≤≤， ………………3分所以(,3)(4,)U B =-∞+∞ð， ………………6分故[)1,3U A B =ð； ………………8分（2）因为B A ⊆， 所以11 4.m m ⎧⎨+⎩≥，≤………………12分解得13m ≤≤. ………………14分16．（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， …………………3分 故()2sin(2)f x x ϕ=+.将点π,23⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，…………………5分则π2π()6k k ϕ=-∈Z ，πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()2sin(2)6f x x π=-. ………………………………7分（2）当,1212x π5π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2363x --≤≤ ， ………………………10分则3πsin(2)126x --≤≤，π32sin(2)26x --≤≤， 所以函数()f x 的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦. ………………………14分17（1）222||=|+|=(+)2AC AB AD AB AD AB AB AD AD =+⋅+ ……………2分=22||2||||cos ||AB AB AD BAD AD +⋅∠+ ……………4分=19232()472+⨯⨯⨯-+=； …………………7分（2）因为1=2AF AB BF AB AD +=+，13DE AE AD AB AD =-=-，………9分 所以2211151=()()=23362AF DE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅+⋅--⋅-22151||||||cos ||362AB AB AD BAD AD =-⋅∠- ………12分 1511=932()43622⨯-⨯⨯⨯--⨯57=3+222-=. ……………14分18（1）如图，BD x =，则BE x =，2AD AG EC FC x ====-,在扇形DBE 中，弧DE 长=π3x ， 所以221ππ=236BDE S x x =⨯扇形， ……………2分同理，221ππ(2)=(2)236S x x =⨯--扇形ADG ，4分 因为弧DG 与弧EF 无重叠，所以CF AG AC +≤，即222x x -+-≤，则1x ≥， 又三个扇形都在三角形内部，则3x ≤， 所以[1,3]x ∈. …………………6分 （2）因为3ABCS=， …………………8分所以=ABCBDE S S S S S ---阴影扇形扇形ADG 扇形CEF =22π3[2(2)]6x x -+- …………11分=2π483[3()]633x --+， ………………………………………13分所以当4[1,3]3x =∈时，S 阴影取得最大值为4π39-， …………………15分 答：当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大值为(4π39-)百米2.…16分19 (1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分 因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分2-x x 2-xAG D F CE B（第18题）……………………………………12分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分（3）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈.同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞.方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=， 即22()()20f x f x m -+=. …………………12分 设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=.要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， …………14分则有211602021120m m m ⎧->⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16. ………………16分20（1）因为4()log (41)xh x k x =+-是偶函数，所以44log (41)log (41)x x k x k x -++=+-，则4441412log log 14414x x x x xkx x-++===++恒成立，2分 所以21=k .…3分 （2）24444()(log )(log )=log ()log (1)3F x f x g x ax a x =---+444()73=log log [(1]13(1)a x a x x -=-++， …………………………5分 因为[2,3]x ∈，所以403x ->，所以0a >，则7251[,]3(1)912x -∈+，则725[1][,]3(1)912a aa x -∈+，…………7分 所以4425()[log ,log ]912a a F x ∈，即函数()F x 的值域为4425[log ,log ]912a a.…………9分 （3）由()()f x g x <，得444log (2)log (41)3x x a a ⋅-<+，设2x t =，则24103t at a -++>，设24()13t t at a ϕ=-++若0a >则43t >，由不等式24103t at a -++>对43t >恒成立，……11分①当423a ≤，即803a <≤时，此时425()039ϕ=>恒成立；②当423a >，即83a >时，由216=403a a ∆--<解得863a <<； 所以06a <<； …………………………14分若0a <则403t <<，则由不等式24103t at a -++>对403t <<恒成立， 因为0a <，所以02a< ，只需4(0)103a ϕ=+≥，解得304a -<≤；故实数a 的取值范围是3[,0)(0,6)4-. …………………………16分。
江苏省宿迁市宿豫中学高一数学上学期期中试题(含解析)
2015-2016学年江苏省宿迁市宿豫中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是．3．满足的集合A的个数是．4．若函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数m的取值范围为．5．已知函数f（x）与g（x）分别由如表给出，那么g（f（2））= ．x 1 2 3 4 x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1 g（x）2 1 4 36．函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之差为3，则实数a的值为．7．函数的定义域为．8．已知函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]，则实数a的取值范围为．9．小强从学校放学回家，先跑步后步行，如果y表示小强离学校的距离，x表示从学校出发后的时间，则下列图象中最有可能符合小强走法的是（）A． B． C． D．10．已知，则a，b，c三个数用“＜”连接表示为．11．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．12．函数y=|log2x|的单调递减区间是．13．根据表，能够判断方程f（x）=g（x）在四个区间：①（﹣1，0）；②（0，1）；③（1，2）；④（2，3）中有实数解的是．（将正确的序号都填上）x ﹣1 0 1 2 3f（x）﹣0.6 3.1 5.4 5.9 7g（x）﹣0.5 3.4 4.8 5.2 614．已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．（1）求集合∁U A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．16．（1）已知=3，求a2+a﹣2的值；（2）求值：lg25+lg2•lg50+（lg2）2．17．已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．18．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数的单调性，并用函数的单调性定义证明；（3）求满足﹣的x的取值范围．19．某批发公司批发某商品，每个商品进价80元，批发价120元．该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价每个不能低于100元．（1）当一次订购量为多少个时，每个商品的实际批发价为100元？（2）当一次订购量为x（x∈N）个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．20．已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设函数，若对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h （x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省宿迁市宿豫中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B=[﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；数学模型法；集合．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：由全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1≤x≤3}∩{x|x＜2}=[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．3．满足的集合A的个数是 3 ．【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】集合A一定要含有1元素，且不能由3个元素，列举即可．【解答】解：∵，∴集合A一定要含有1元素，且不能由3个元素，即A={1}，{1，2}或{1，3}．共有3个，故答案为：3．【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．4．若函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数m的取值范围为m＜﹣1 ．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，可得f（1）＜0，解得实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，∴f（1）=1﹣m+2m＜0，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．5．已知函数f（x）与g（x）分别由如表给出，那么g（f（2））= 4 ．x 1 2 3 4 x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1 g（x）2 1 4 3【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用已知条件求解函数值即可．【解答】解：由题意可知f（2）=3，g（f（2））=g（3）=4．故答案为：4【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题．6．函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之差为3，则实数a的值为 4 ．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，再分别利用指数函数的单调性列出方程，求出a的值【解答】解：（1）当a＞1时，有题意可得a﹣a0=a﹣1=3，解得a=4；（2）当0＜a＜1时，有题意可得a0﹣a=3，解得a=﹣2，舍去．故a=4【点评】本题主要指数函数的图象与性质，属于基础题．7．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【解答】解：∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．8．已知函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]，则实数a的取值范围为﹣2≤a≤0．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】f（x）的对称轴为x=0，由f（x）的定义域，值域即可得到﹣2≤a≤0．【解答】解：∵函数f（x）=x2的图象是开口朝上，且以x=0为对称轴的抛物线，当且仅当x=0时，函数取最小值0，又由f（x）=x2=4时，x=±2，故函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]时，﹣2≤a≤0故答案为：﹣2≤a≤0【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．9．小强从学校放学回家，先跑步后步行，如果y表示小强离学校的距离，x表示从学校出发后的时间，则下列图象中最有可能符合小强走法的是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】小强离学校的距离越来越大，且先快后慢．【解答】解：由题意知，小强离学校的距离越来越大，且先快后慢，故选C．【点评】本题考查了函数的图象的应用，注意小强是放学回家，且先跑步后步行，从而化为函数的性质，从而得到图象特征．10．已知，则a，b，c三个数用“＜”连接表示为b＜a＜c ．【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜＜1，b=＜0，c=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合已知我们可分析出函数的单调性，进而根据f（1）＜f（lgx），可得1＜|lgx|，根据绝对值的定义及对数函数的单调性解不等式可得答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数且函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，若f（1）＜f（lgx），则1＜|lgx|即lgx＜﹣1，或lgx＞1解得x∈故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，对数函数的单调性，其中根据函数的性质分析出1＜|lgx|是解答本题的关键．12．函数y=|log2x|的单调递减区间是（0，1] ．【考点】对数函数的单调性与特殊点；带绝对值的函数．【专题】探究型．【分析】由题，函数y=|log2x|与函数y=log2x图象的关系是可由函数y=log2x的图象X轴下方的部分翻到X轴上面，X轴上面部分不变而得到，结合函数y=log2x的性质，即可得到函数y=|log2x|的单调递减区间【解答】解：由对数函数性质知，函数y=log2x是一个增函数，当x∈（0，1]时，函数值小于等于0函数y=|log2x|的图象可由函数y=log2x的图象X轴下方的部分翻到X轴上面，X轴上面部分不变而得到由此知，函数y=|log2x|的单调递减区间是（0，1]故答案为（0，1]【点评】本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数X轴上方的部分相同，X轴下午的部分关于X 轴对称，由此关系结合原函数的性质得出此绝对值函数的单调性递减区间13．根据表，能够判断方程f（x）=g（x）在四个区间：①（﹣1，0）；②（0，1）；③（1，2）；④（2，3）中有实数解的是②．（将正确的序号都填上）x ﹣1 0 1 2 3f（x）﹣0.6 3.1 5.4 5.9 7g（x）﹣0.5 3.4 4.8 5.2 6【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】首先，构造辅助函数h（x）=f（x）﹣g（x），然后，结合给定的表格，计算h（﹣1），h（0），h（1），h（2），h（3）的符号，结合零点存在定理进行判断．【解答】解：设函数h（x）=f（x）﹣g（x），则h（﹣1）=f（﹣1）﹣g（﹣1）=﹣0.6﹣（﹣0.5）=﹣0.1＜0，h（0）=f（0）﹣g（0）=3.1﹣3.4=﹣0.3＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=5.4﹣4.8=0.6＞0，h（2）=f（2）﹣g（2）=5.9﹣5.2=0.7＞0，h（3）=f（3）﹣g（3）=7﹣6=1＞0，∴h（0）•h（1）＜0，由零点存在定理，得函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点存在区间为（0，1），故答案为：②．【点评】本题重点考查零点存在定理，构造辅助函数是解题关键，属于中档题．14．已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．【考点】带绝对值的函数；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】通过对x﹣1≥0与x＜0的讨论，去掉f（x）=（x+1）•|x﹣1|的绝对值符号，并作出其图象，数形结合即可解决．【解答】解：由f（x）=（x+1）|x﹣1|=得函数y=f（x）的图象（如图）．由得x2+x+m﹣1=0，∴△=1﹣4（m﹣1）=5﹣4m，由△=0，得m=，∴由其图象可知f（x）=x+m有三个不同的实数解，就是直线y=x+m与抛物线f（x）=有三个交点，由图可知﹣1＜m＜，∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜．故答案为：﹣1＜m＜．【点评】本题考查带绝对值的函数，难点在于作f（x）=（x+1）•|x﹣1|与y=x+m的图象，突出转化思想与数形结合思想的考查，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．（1）求集合∁U A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；集合关系中的参数取值问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据对数函数有意义的条件可得关于x的不等关系，从而可求集合A，然后求A的补集；（2）利用A∪B=B得出A⊆B是解决本题的关键，再结合数轴得出字母a满足的不等式，进而求出取值范围．【解答】解：（1）因为集合A表示的定义域，所以，即A=（﹣2，3）…所以C U A=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（2）因为A∪B=B，所以A⊆B…∴a≥3 …【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解、集合关系中的参数取值问题及补集的求解，属于基础试题．16．（1）已知=3，求a2+a﹣2的值；（2）求值：lg25+lg2•lg50+（lg2）2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由，可得，a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2．（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【解答】解：（1）由，得，即：，．（2）原式=lg25+lg2（lg50+lg2）=lg25+2lg2=lg100=2．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可得函数的对称轴为x=1，结合已知函数在x轴上截得线段长为8，可得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），可设函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0），将（1，16）代入可求（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]，结合题意可得，代入可求【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），∴函数的对称轴为x=1∵在x轴上截得线段长为8，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…将（1，16）代入得a=﹣1，…∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15．…（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…即﹣2t+16＞0解得t＜8 …【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解题的关键是利用对称轴找出二次函数与x轴的交点坐标18．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数的单调性，并用函数的单调性定义证明；（3）求满足﹣的x的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m的值；（2）在R上为单调增函数，再利用函数的单调性定义证明；（3）﹣可化为f（﹣1）＜f（x﹣1）＜f（2），再结合单调性，求满足﹣的x的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以对x∈R恒成立，化简得（（m﹣2）（5x+1）=0，所以m=2…（2）在R上为单调增函数，…证明：任意取x1，x2∈R，且x1＜x2，则，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上为单调增函数．…（3）因为，所以f（﹣1）=﹣，所以﹣可化为f（﹣1）＜f（x﹣1）＜…因为f（x）在R上为单调增函数，所以﹣1＜x﹣1＜，所以0＜x＜…【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．19．某批发公司批发某商品，每个商品进价80元，批发价120元．该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价每个不能低于100元．（1）当一次订购量为多少个时，每个商品的实际批发价为100元？（2）当一次订购量为x（x∈N）个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）设出一次订购的数量，写出批发价函数，令其等于100，求出订购数量即可；（2）讨论订购量x的取值，求出对应的批发价函数f（x）的解析式，用分段函数表示出P=f （x）；（3）根据函数f（x），写出利润函数y的解析式，求出对应的最大值即可．【解答】解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），则批发价为120﹣0.04n，令120﹣0.04n=100，解得n=500；所以当一次订购量为600个时，每件商品的实际批发价为100元；…（2）当0≤x≤100时，f（x）=120，当100＜x≤600时，f（x）=120﹣0.04（x﹣100）=124﹣0.04x，所以函数P=f（x）=；…（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，根据题意知：当0≤x≤100时，y=40x，在x=100时，y取得最大值为4000；…当100＜x≤500时，y=[40﹣0.04（x﹣100）]•x=﹣0.04x2+44x=﹣0.04（x﹣550）2+12100；所以当x=500时，y取得最大值为12000；…答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…【点评】本题考查了一次函数与二次函数模型的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题目．20．已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设函数，若对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h （x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，则，解得a的取值范围；（2）分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析出各种情况下g（x）的表达式，综合讨论结果，可得答案；（3）不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，即f（x）min≥h（x）max，分类讨论各种情况下实数a 的取值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若f（x）在区间[1，2]为单调增函数则，解得：…（2）①当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1，2]上为增函数，此时g（a）=f（1）=3a﹣2…②当1≤≤2，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，在区间[，2]上为增函数，此时g（a）=f（）=…③当＞2，即0＜a＜时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，此时g（a）=f（2）=6a﹣3…综上所述：…（3）对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，即f（x）min≥h（x）max，由（2）知，f（x）min=g（a）又因为函数，所以函数h（x）在[1，2]上为单调减函数，所以，…①当时，由g（a）≥h（x）max得：，解得，（舍去）…②当时，由g（a）≥h（x）max得：，即8a2﹣2a﹣1≥0，∴（4a+1）（2a﹣1）≥0，解得所以…③当时，由g（a）≥h（x）max得：，解得，所以a综上所述：实数a的取值范围为…【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。
江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
江苏省宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷(考试时间120分钟，试卷满分160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．1．已知集合{}12A =，，{}12B =-，，则A B = ▲ ．2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为 ▲ ． 3．计算sin(330)-︒的值为 ▲ ．4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(8,2)，则(27)f 的值为 ▲ ． 5．不等式231x ->的解集为 ▲ ．6．若将函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．7．计算14816()log 281+的值为 ▲ ．8．已知函数πsin(2)3y x =-,π[0,]2x ∈,则它的单调递增区间为 ▲ ． 9．若π1sin()63α-=，其中7ππ6α<<，则2πsin()3α-的值为 ▲ ． 10．已知向量()()1,2,1,1=-=-a b ，若()()k -⊥+a b a b ，则实数k 的值为 ▲ ．11．若点(12)P ，在角α终边上，则2tan sin sin cos αααα-的值为 ▲ ．12．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mx x x +-的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12≠x x 时,都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立,则不等式()0f x <的解集为 ▲ ．14。
江苏省宿迁中学2017-2018学年高一上数学周练7
江苏省宿迁中学高一数学周练（7）班级： 姓名： 学号一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．函数1)2()(0--=x x x f 的定义域是 ． 2.若集合{}{}223,log (21)1M x x N x x =-<<=-<,则MN = . 3.已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈是奇函数，且在∞（-,0）上是减函数，则1()3f = ．4.若函数2()1f x ax x =++在1+∞（，）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ． 5.若α是第三象限角,则πα-是第 象限角．6.若角α与1069π的终边相同,且,0απ∈（-2）,则α= .7.终边落在直线y =上的角的集合是 .8.函数2y=lg 1x -的单调增区间是 .9.已知偶函数()f x 的定义域是0+∞∞（-,0）（，），若()f x 在0+∞（，）上单调递增且(1)0f =，则不等式(2)()0x f x +>的解集是 .10.已知2y f x =（）+x 是奇函数，且f （1）=1.若()()2g x f x =+，则(1)g -= .11.已知角α的终边上一点P 的坐标为(1,-,则与角α的终边相同的最大负角为 .12.定义在[2,2]-上的偶函数f （x ）在[0,2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，则实数m 的取值范围是 .13.若关于x 的方程2+10x ax +=在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围是 .14.若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = .二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知集合2{230}A x x x =--≤,{324,}B x m x m m R =+≤≤+∈. （1）若[]0,3AB =,求实数m 的值； (2)若AB A =,求实数m 的取值范围.16.（本小题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）（1）计算lg 2lg 5lg81lg 5lg 40+-+-； （2）已知角α的终边过点(2,3)(0)a a a -≠,求sin 2cos αα-.17.（本小题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某化学试剂厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是35+1x x-千元. （1）要使生产该产品2小时获得利润不低于30千元，求x 的取值范围.（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求此时的最大利润.18.（本小题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）定义在实数集R 上函数()y f x =是偶函数.当0x ≥时，2()43f x x x =-+.（1）求函数()y f x =在R 上的表达式；（2）讨论方程()m f x =的解的情况；（3）求函数()y f x =在区间[1,]a 上的最大值和最小值.19.（本小题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在区间[1,4]-上有最大值10和最小值1，函数()()f x g x x=. (1)求a ，b 的值；(2)求()g x 在[1,3]上最小值；(3)若不等式22(log )log 0g x k x -⨯≥在4]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）已知函数()2()xf x x R =∈.(1)解不等式()(2)1692x f x f x ->-⨯；（2）若函数()()(2)F x f x f x m =--在[1,1]-上有零点，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，若不等式2()(2)0ag x h x +≥对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。
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2017-2018学年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共70分.将答案填在答题纸上1．（4分）集合A={﹣1，0，1}子集的个数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．3．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为．4．（4分）已知f（x）=，则f（0）=．5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c大小顺序是．（用“＞”表示）6．（4分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=．7．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P 点的坐标为．8．（4分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．9．（4分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+x，则函数y=f（x）的解析式是．10．（4分）已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m 的取值范围是．11．（5分）有以下判断：①f（x）=与g（x）=表示同一函数；②函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点最多有1个；③f（x）=x2﹣2x+1与g（t）=t2﹣2t+1是同一函数；④若f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则f（f（））=0．其中正确判断的序号是．12．（5分）函数的值域为．13．（5分）设已知函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），则4m﹣3•+的最小值为．14．（5分）已知函数f9x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，且x1≠x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0的解集为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）计算：（1）×．16．（14分）设全集I=R，已知集合M={x|x2+6x+9≤0}，N={x|x2+x﹣6=0}．（1）求（∁I M）∩N；（2）记集合A=（∁I M）∩N，已知集合B={x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）的图象是如图所示的线段OA 与抛物线的一部分ABC，其中 A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4．（1）写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的解析式；（3）已知函数g（x）=（8﹣a）x+b﹣16．当x≥1时，记h（x）=3f（x）+g（x）．当a∈[1，2]时，不等式h（b+1）＞0恒成立，求实数b的取值范围．19．（16分）某市决定在其经济开发区一块区域进行商业地产开发，截止2015年底共投资100百万元用于餐饮业和服装业，2016年初正式营业，经过专业经济师预算，从2016年初至2019年底的四年间，在餐饮业利润为该业务投资额的20%，在服装业可获利该业务投资额的算术平方根．（1）该市投资资金应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？（2）假设自2017年起，该市决定对所投资的区域设施进行维护保养，同时发放员工奖金，方案如下：2017年维护保养费用0.5百万元，以后每年比上一年增加0.5百万元；2017年发放员工奖金共计1百万元，以后每年的奖金比上一年增加10%．若该市投资成功的标准是：从2016年初到2019的底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于总投资额的9%，问该市投资是否成功？20．（16分）已知函数f（x）=x﹣，x∈[2，4]．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F（x）=x2+﹣2a（x﹣），x∈[2，4]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若存在a∈（0，2）使不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年江苏省宿迁市宿豫中学奥赛班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共70分.将答案填在答题纸上1．（4分）集合A={﹣1，0，1}子集的个数是8．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}子集的个数是：23=8．故答案为：8．2．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．3．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为{x|x＞1且x≠2} ．【解答】解：函数f（x）=lg（x﹣1）+（x﹣2）0有意义，可得x﹣1＞0且x﹣2≠0，解得x＞1且x≠2，则定义域为{x|x＞1且x≠2}．故答案为：{x|x＞1且x≠2}．4．（4分）已知f（x）=，则f（0）=19．【解答】解：由分段函数的表达式得f（0）=f（1）=…=f（10）=f（11）=2×11﹣3=19，故答案为：19．5．（4分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c大小顺序是b＞c＞a．（用“＞”表示）【解答】解：a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.2∈（0，1），则a，b，c大小顺序是b＞c＞a．故答案为：b＞c＞a．6．（4分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．【解答】解：设f（x）=2x，g（x）=10﹣x，画图，观察交点在区间（2，3）上．故填2．7．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P 点的坐标为（﹣1，3）．【解答】解：令2x+3=1，可得x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．8．（4分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴其定义域关于原点对称，故a﹣1=﹣2a，又其奇次项系数必为0，故b=0解得，b=0∴a+b=故答案为：．9．（4分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+x，则函数y=f（x）的解析式是．【解答】解：由题意可得：设x＜0，则﹣x＞0；∵当x≥0时，f（x）=x2+x，∴f（﹣x）=x2﹣x，因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以x＜0时f（x）=﹣x2+x，故答案为：f（x）=．10．（4分）已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m 的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：①m=0时，函数为f（x）=x+2，在（﹣∞，2）是增函数满足题意；②m≠0时，要使已知函数在（﹣∞，2）上是增函数，只要，解得，∴实数m的取值范围是[，0]；故答案为：[﹣，0]．11．（5分）有以下判断：①f（x）=与g（x）=表示同一函数；②函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点最多有1个；③f（x）=x2﹣2x+1与g（t）=t2﹣2t+1是同一函数；④若f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则f（f（））=0．其中正确判断的序号是②③．【解答】解：对于①：y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=g（x）的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数，故①错误；对于②：根据函数的定义，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点是1个或0个，即交点最多有1个，故②正确；对于③：y=f（x）与y=g（x）定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，故③正确；对于④：因为f（）=，所以f（f（））=f（0）=1，故④错误．故答案为：②③12．（5分）函数的值域为（﹣1，2）．【解答】解：∵∴故x＞0时，函数为增函数由x=0时，f（0）=﹣1，x趋于+∞时，f（x）趋于2故函数的值域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）13．（5分）设已知函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），则4m﹣3•+的最小值为．【解答】解：函数f（x）=|log z x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），可得log z m=﹣log z n，即m=，那么：y=4m﹣3•+=，令2m=t，t＞0，可得：y==，∴当t=时，可得，故答案为：．14．（5分）已知函数f9x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，且x1≠x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0的解集为（﹣，1）．【解答】解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），即x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）在R上是增函数，再根据函数为奇函数，可得f（0）=0，若不等式（x﹣1）f（1+3x）＜0，则，无解，或，﹣＜x＜1，故不等式的解集是（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）计算：（1）×．【解答】解：1）×=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3=lg5+lg2﹣lg0.1﹣2=1+﹣2=﹣．16．（14分）设全集I=R，已知集合M={x|x2+6x+9≤0}，N={x|x2+x﹣6=0}．（1）求（∁I M）∩N；（2）记集合A=（∁I M）∩N，已知集合B={x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵M={x|（x+3）2≤0}={﹣3}，N={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，∴∁I M={x|x∈R且x≠﹣3}，∴（∁I M）∩N={2}．（2）A=（∁I M）∩N={2}．由知B⊆A，所以B=∅或B={2}．若B=∅，则a﹣1＞5﹣a，解得a＞3；若B={2}，则，解得a=3，综上所述，所求实数a的取值范围是[3，+∞）．17．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）函数的定义域关于坐标原点对称，∵f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x）∴f（x）是奇函数．（3）若a＞1时，由f（x）＞0得log a（x+1）＞log a（1﹣x），则，求解关于实数x的不等式可得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）的图象是如图所示的线段OA 与抛物线的一部分ABC，其中 A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4．（1）写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的解析式；（3）已知函数g（x）=（8﹣a）x+b﹣16．当x≥1时，记h（x）=3f（x）+g（x）．当a∈[1，2]时，不等式h（b+1）＞0恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题知函数y=f（x）的定义域为区间[0，+∞），由A 点的坐标为（1，3），抛物线的顶点 B 在x 轴上，开口向上，对称轴为直线x=4，结合函数的图象，所以函数y=f（x）的单调增区间为[0，1]和[4，+∞），单调减区间为[1，4]，（2）x∈[0，1）时，显然f（x）=3x，x≥1时，设函数的解析式得f（x）=a（x﹣4）2，则f（1）=a（1﹣4）2=3，解得：a=，故f（x）=；（3）对于任意a∈[1，2]，不等式﹣（b+1）a+b2+3b+1＞0恒成立．记h（a）=﹣（b+1）a+b2+3b+1，则，故b∈（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），又因为b+1≥1，故b＞．19．（16分）某市决定在其经济开发区一块区域进行商业地产开发，截止2015年底共投资100百万元用于餐饮业和服装业，2016年初正式营业，经过专业经济师预算，从2016年初至2019年底的四年间，在餐饮业利润为该业务投资额的20%，在服装业可获利该业务投资额的算术平方根．（1）该市投资资金应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？（2）假设自2017年起，该市决定对所投资的区域设施进行维护保养，同时发放员工奖金，方案如下：2017年维护保养费用0.5百万元，以后每年比上一年增加0.5百万元；2017年发放员工奖金共计1百万元，以后每年的奖金比上一年增加10%．若该市投资成功的标准是：从2016年初到2019的底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于总投资额的9%，问该市投资是否成功？【解答】解：（1）设在服装业投资额为x百万元，由题意得，化简得，x∈[0，100]，令，则，当时，即时，函数取得最大值．答：该市在服装业投资额百万元，在餐饮业投资额为百万元，才能使这四年总的预期利润最大．（2）由（1）得，若不考虑区域维护保养以及奖金发放，则当时，f（x）max=21.25；当t=10时，f（x）min=10．从2017年初到2019年底维护保养费为0.5+1+1.5=2百万元；从2017年初到2019年底发放员工奖金为1+1×（1+10%）+1×（1+10%）2=3.31百万元．∴这四年的预期利润中值为百万元，占总投资额的9.315%，大于总投资额的9%，符合该市投资成功的标准．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣，x∈[2，4]．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F（x）=x2+﹣2a（x﹣），x∈[2，4]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若存在a∈（0，2）使不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣，由函数y=x是递增函数，y=﹣在（0，+∞）也是递增函数，∴x∈[2，4]上时，可知函数f（x）=x﹣是递增函数．∴当x=2时，f（x）取得最小值为﹣2，当x=4时，f（x）取得最大值为2故得函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（2）由F（x）=x2+﹣2a（x﹣）=（x﹣）2﹣2a（x﹣）2+16，x∈[2，4]，a∈R，设x﹣=t，由（1）可知：﹣2≤t≤2那么F（x）转化为h（t）=t2﹣2at+16．（﹣2≤t≤2）其对称轴t=a，开口向上．当a＜﹣2时，可得t∈[﹣2，2]上单调递增，故g（a）=20+4a当a＞2时，可得t∈[﹣2，2]上单调递减，故g（a）=20﹣4a当﹣2≤a≤2时，可得t∈[﹣2，a]上单递减，t∈[a，2]上单调递增，故g（a）=16﹣a2函数F（x）的最小值g（a）=（3）由（2）知，当a∈（0，2）时，g（a）=16﹣a2，不等式g（a）＜﹣2a2+at+15成立，即16﹣a2＜﹣2a2+at+15成立可得：在a∈（0，2）上有解．令φ（a）=≥=2，当且仅当a=1时取等号∴φ（a）min=2从而t＞2．所以，实数t的取值范围是（2，+∞）．。