高等数学课件上第42换元法55360
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高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
高等数学课件--D4_2换元积分法
1 dx dx ∴ 原式 = x a x a 2a
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
2013-8-9 同济高等数学课件
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( x 1) e x dx xe x dx e x dx
2013-8-9 同济高等数学课件
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例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
2013-8-9 同济高等数学课件
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2013-8-9 同济高等数学课件
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2. 求 提示:
法1 法2
法3
高等数学《换元法》课件
4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
《高等数学》第四章 4.2 换元积分法
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P193-6
dx
例8 求 a2 x2
解
dx a2 x2
1 a2
dx
1
x
2
a
1 a
1
1 x
2
a
d x a
1 arctan x C.
a
a
所以
dx 1
x
a2
x2
arctan a
a
C.
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(1) m为奇数时
I tanm1 x secn1 xd secx f secxd secx.
(2) n为偶数时
I tanm x secn2 xd tan x f tan xd tan x.
(m为偶数且n为奇数时，可用分部积分法)
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P197-19
2a(m 1)
一般地，有
xn f axn1 b dx 1
f axn1 b d axn1 b .
a(n 1)
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例5 求 ln 2 x dx ln2 xd ln x x 令u ln x
原式 u2du 1 u3 C 1 ln3 x C.
1 2a
x
1
a
x
1
a
.
所以
x2
1 a2
dx
1 2a
因式分解之换元法课件
因式分解在各个数学领域都有广泛的 应用，如代数方程求解、不等式证明、 函数性质研究等。
简化问题
通过因式分解，可以将复杂的多项式 简化成易于处理的形式，有助于解决 代数、几何和三角函数等问题。
换元法在数学中的地位与作用
解题策略
换元法是一种重要的代数解题策 略，通过引入新的变量或参数， 将复杂问题转化为简单问题，降
因式分解之换元法课件
contents
目录
• 引言 • 换元法的原理 • 换元法的实施步骤 • 换元法的应用实例 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
什么是因式分解
总结词
因式分解的定义
详细描述
因式分解是一种数学方法，用于将一个多项式表示为几个整式的积的形式。
因式分解的重要性
总结词
因式分解的意义
应用拓展
随着各个领域的数学需求 增加，因式分解的应用范 围将不断扩大，为解决实 际问题提供更多帮助。
技术结合
随着计算机技术的发展， 因式分解将与计算机技术 相结合，实现更高效、精 确的计算和求解。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于形如 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$ 的分式方程，设 $x = at$，则原方程转化为 $t^2 + frac{y^2}{b/a} = 1$。通过因式分解，可以得到 $(t+1)(t-1) = 0$，解得 $x = at = 1$ 或 $x = at = -1$。
-1$。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念
详细描述
提供一系列简单的因式分解题目， 涉及基本的换元法，目的是让学 生熟悉和理解因式分解的基本概 念和步骤。
高等数学高等数学高等数学42
总结
特征方程 特征根 通解
y erx
通解公式
利用常数变易法：设 y2 c( x)erx 是另一个线性无关的解
y2 c( x)erx c( x)rerx y2 c( x)erx 2rc( x)erx c( x)r 2erx 将 y, y, y 代入二阶常系数线性齐次方程中
c(x) 2r pc(x) r2 pr qc(x)erx 0
erx 0,2r p 0, r 2 pr q 0
通解公式
c( x) 0
积分两次得： c( x) Ax B
取 A 1, B 0 c( x) x
从而方程的另一个解为： y2 xerx
y1 , y2 是线性无关的两个解。
通解为：
y
c erx 1
c xerx 2
举例练习
例1：求方程 y 5 y 14 y 0 的通解
一般形式
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
y py qy 0
大胆猜想，方程具有 y erx 的解
y rerx , y r e2 rx 将它们代入一般形式中得
r 2erx prerx qe rx 0
特征方程
因为 erx 0 ，故必有 r 2 pr q 0
称为二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程。它 的根为特征根。
解：方程对应的特征方程为
r 2 5r 14 0
得到两个不相等的实根 r1 7, r2 2
通解为：
y
c1e7 x
c e2 x 2
举例练习
例2：求方程 y 4 y 4 y 0 的通解
解：方程对应的特征方程为
r 2 4r 4 0
得到两个相等的实根
r1 r2 2
通解为： y c1e2x c2 xe2x
高等数学(上册)-电子教案 D4.2 换元积分法(一)
第四章
第二节 换元积分法(一)
一、第一类换元积分法 二、应用举例
设
F (u) f (u),
可导, 则
d F[ ( x)] F ( ( x)) ( x)dx f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C
下面计算积分
＝
f (u) du
u ( x)
f (e ) e
x
x
dx
de x
(14) (sin x cos x)dx d(sin x cos x)
F[ ( x)] C
一、第一类换元法
凑微分法
定理1 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元 公式
f [ ( x)]d ( x)
如 ② ①
f (u)du u ( x)
④
cos 2 x (2 x)dx cos 2 x d(2 x)
du 1 u2
arcsin u C
解:
x d( a ) x 2 1 ( a )
例10
解:
求
1 1 1 1 ( x a) ( x a) 1 ( ) 2 2 2 a ( x a) ( x a) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 2a x a xa
例11
sin x dcos x dx cos x cos x
cos x dx d sin x sin x sin x
类似地
例12
sin 2 x sin x dx
dcos x
例13
sin x cos x cos x dx
第二节 换元积分法(一)
一、第一类换元积分法 二、应用举例
设
F (u) f (u),
可导, 则
d F[ ( x)] F ( ( x)) ( x)dx f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C
下面计算积分
＝
f (u) du
u ( x)
f (e ) e
x
x
dx
de x
(14) (sin x cos x)dx d(sin x cos x)
F[ ( x)] C
一、第一类换元法
凑微分法
定理1 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元 公式
f [ ( x)]d ( x)
如 ② ①
f (u)du u ( x)
④
cos 2 x (2 x)dx cos 2 x d(2 x)
du 1 u2
arcsin u C
解:
x d( a ) x 2 1 ( a )
例10
解:
求
1 1 1 1 ( x a) ( x a) 1 ( ) 2 2 2 a ( x a) ( x a) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 2a x a xa
例11
sin x dcos x dx cos x cos x
cos x dx d sin x sin x sin x
类似地
例12
sin 2 x sin x dx
dcos x
例13
sin x cos x cos x dx
高等数学精品课件-4-2换元法
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P198 例16 )
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
2a (x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
高等数学(上) 第3版教学课件4-2换元积分法
其中 C = C1 ln a
（3）
令 x = a sin t
p
（ 0 < t < ），则
2
x2 a2 = a2 (sec2 t 1) = a tan t ，
dx = da sect = a sect tan tdt
代入原式得：
1 dx = a sec t tan t dt = sec tdt = ln sec t + tan t + C
x)
dx
=
sec 2 x + sec x tan x dx
sec x + tan x
=
1
d (sec x + tan x)
sec x + tan x
= ln sec x + tan x + C
类似地，有 （6） csc xdx = ln csc x cot x + C
例 6
求
x2
1
a2
dx
由
x
=
a
sin
t
得，
sin
t
=
x a
，
t
( p
p ,
)
22
于是
t = arcsin x a
为了求 cos t ，可根据 sin t = x
a
用勾股定理求出第三边，于是
cos t = x 2 a 2 a
作辅助三角形（如图），然后
x
a
t
a2 x2
将它们代入上述的积分结果中得：
a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x + 1 x a 2 x 2 + C
x2 + a2
新编文档-D42换元法54753-精品文档
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2) f(xn)xn 1dx1 f (xn) d x n n
若所求积分 f (u)du难求， f[(x) ](x)dx易求,
则得第二类换元积分法 .
定理2 . 设 x(t)是单调可导函数 , 且 (t)0,
f[(t) ](t)具有原函数 , 则有换元公式
f(x )d x f[( t)] ( t)d tt 1 (x )
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
例16. 求 a2x2dx(a0).
解: 令 x a sti,t n ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 itn aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acostacotdsta2 co2tsdt
a2t sin 2t C
a2
3
)2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
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1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
14
万 能
凑
(3) f(xn)1dx1 xn
f
(xn)
1 x
n
dxn
幂 法
(4 )f(sx)icno xd xs f (sinx)dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x f(coxs) dcosx
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(6 )f(tx a )sn e 2xd c x f (tanx) dtanx
∴原式 =
1 4
dx 614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
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例14. 求
解: 原式= e x
ex
(x1 ex11xex)d(xex)
ln xex ln1xex C
xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
1
(1)f(axb)dxa
f(axb)
d(axb)
(2) f(xn)xn 1dx1 f (xn) d x n n
(x)dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f ( x)
12
f (x) f (x)
2
C
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
sexctaxn
d(sx etcax)n secxtanx
同样可证
ln se x c tax nC
cscxdx ln cs x co x C t 或 cscxdx ln tanx C (P196 例16 )
2
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
x2 a2
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例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
3 8
x
14sin2x312sin4x C
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例13. 求 si2n xco 23sxdx.
解: s2 ix c n2 o 3 x s [1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
1 xex xex xex(1 xex)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
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例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
f (x) f (x)
f2(x)f(x)f f2(x)
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例10. 求 secxdx.
解法1
secxdx ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
1ln1sinx ln 1 sx in C
2 1ln1sinx C
2 1sinx
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解法 2 secxdx sesxc(e x s x te c a ctx an xn )dx se2cxsexctaxndx
2020
高等数学课件上第42换元法55360
•
•
例3. 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)2
1
Hale Waihona Puke (x a)
2
arcsixnC a
想到
du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
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(7) f(ex)exdx f (ex) d e x
(8) f(lnx)1xdx f (lnx) dln x
例6.
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22llnxnx)
1ln12lnxC 2
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例7. 求
e3
x
dx.
例4. 求 tanxdx.
解:
tanxdx
sin xdx cos x
dcosx cosx
lncoxsC
类似
coxtdx? cossinxxdx
dsin x sin x
lnsixnC
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例5.
求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a ) 1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
14
万 能
凑
(3) f(xn)1dx1 xn
f
(xn)
1 x
n
dxn
幂 法
(4 )f(sx)icno xd xs f (sinx)dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x f(coxs) dcosx
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(6 )f(tx a )sn e 2xd c x f (tanx) dtanx
∴原式 =
1 4
dx 614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
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例14. 求
解: 原式= e x
ex
(x1 ex11xex)d(xex)
ln xex ln1xex C
xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
1
(1)f(axb)dxa
f(axb)
d(axb)
(2) f(xn)xn 1dx1 f (xn) d x n n
(x)dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f ( x)
12
f (x) f (x)
2
C
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
sexctaxn
d(sx etcax)n secxtanx
同样可证
ln se x c tax nC
cscxdx ln cs x co x C t 或 cscxdx ln tanx C (P196 例16 )
2
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
x2 a2
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例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
3 8
x
14sin2x312sin4x C
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例13. 求 si2n xco 23sxdx.
解: s2 ix c n2 o 3 x s [1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
1 xex xex xex(1 xex)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
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例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
f (x) f (x)
f2(x)f(x)f f2(x)
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例10. 求 secxdx.
解法1
secxdx ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
1ln1sinx ln 1 sx in C
2 1ln1sinx C
2 1sinx
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解法 2 secxdx sesxc(e x s x te c a ctx an xn )dx se2cxsexctaxndx
2020
高等数学课件上第42换元法55360
•
•
例3. 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)2
1
Hale Waihona Puke (x a)
2
arcsixnC a
想到
du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
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(7) f(ex)exdx f (ex) d e x
(8) f(lnx)1xdx f (lnx) dln x
例6.
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22llnxnx)
1ln12lnxC 2
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例7. 求
e3
x
dx.
例4. 求 tanxdx.
解:
tanxdx
sin xdx cos x
dcosx cosx
lncoxsC
类似
coxtdx? cossinxxdx
dsin x sin x
lnsixnC
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例5.
求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a ) 1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa