群论的应用

群论的基础及应用

第二章群论的应用

2.1图论的结构群应用

在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式

的角度看，一个结构s 是在点集U 的一个construction r，它由一对点集组成。

图 2.1

通常说，U 是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个

e

有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，

x

U ），其中

U=｛a，b，c，d，e，f｝，

γ=（｛d｝，｛｛d，a｝，｛d，c｝，｛c，b｝，｛c，f｝，｛c，e｝｝）

出现在γ上第一部分的

根点｛d｝指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为

s=（γ， U），

其中

U=｛x ，4，y，a，7，8｝，

γ=｛（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）｝

U={a ，b， c，d，e，f}

图 2.2

考虑有根树s=（γ， U）它的底图集是U，通过图2.2 中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（，V），我们说树t 可以由树s通过变换σ得到。记作t=σ· s.则树s和树t是同构的，σ叫做s到t 的同构。

我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U，则它是自同构。此时树的变换σ· S 等价于树s，即s=σ· s.

我们已经知道结构s的定义，那么可以定义它在规则F下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F的结构

F[U]={f|f= （γ， U），γ [U]}

其中[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。

一个结构群满足规则F：

1.对任意一个有限集U，都存在一个有限集F[U]

2.对每一个变换：U→V，存在一个作用F[ ]:F[U]到F[V] 进一步

F[ ]满足下列函数性质：

1.对所有的变换：U→ V 和：V →W

F[ · ]=F[ ]· F[ ] ；

2.对恒等映射一个元素s数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[ ]称为F 结构在下的变换。

例：对所有的整数 n 0，指定S n是由[n] {1,2, ,n} 的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个 n 0 ，每个F-结构群，通过令 s F[ ]（ s）（对S n和s F[n]）诱导出群S n在集合F[n]上的一

个作用

S n F[n] F[n] （1）

证明：

设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令 F[n] {s|s （ ,（i1i2 i n））,[2][n]，对

任意s F[n]和S n 作用在s上等价于

（i1i2 i n）（ j1j2 j n）

即 s F[ ]（s） s' （ ,（ j

1 j

2

j

n

））

仍然属于F[n] ，因此得到群S n 在集合F[n]上的一个作用 S n F[n]

F[n] 同样的，任何集合作用族

S n F n F n （2）

满足一个F-结构群的定义，因为在（1）和（2）的作用族是同构的。

2.2群论在物理学中的应用

在物理学中，群论被广泛应用到固体物理，理论物理中，比如点群的数学理论用于分析晶体对称性，规范场论、弦理论的数学基础李群李代数，还有量子场论中有关对称性运用到的群理论。

群论在固体物理中的一个经典的应用就是对晶体对称性的研究。由于晶体具有平移不变性，通过群理论的方法，就可将晶体进行分类，并计算出晶体可能有11种固定点群、32种点群、7 种晶系、14 种布拉菲格子、73种简单空间群和230 种空间群。单从这方面看，群论对于晶体的研究就起到了不可或缺的作用。

在群论的基础知识中，我们曾经提到过，对于某些变换关系我们也可以构成群，如数域P 上的线性空间V 的全体可逆线性变换对于变换的乘法构成一个群。同样的，由于晶体的原子在三维空间有周期性列（晶格），晶格对三维空间一定的平移变换保持不变

r r T （ l ） r r l

这样的平移矢量 l 叫做晶格矢量。晶格的原胞是晶格最小的周期单元，其不共面的三条棱可作为晶格的基本矢量，称为晶格矢量，用a i表示。原始的晶格晶格基本矢量要求晶格矢量都可被基本矢量用整数线性组合表示

出来，即

3

l a1l1 a2l2 a3l 3 a i l i l i是整数

i1

保持晶体不变的平移变i换1 T（ l ）的集合构成群，称为晶体的平移群，简称平移群，记作T。

除了晶体的平移不变性外，晶体理论中晶体的对称操作平移、转动、

反演的协同变换也具有不变性，一般记作 g（ R，）

3

r r g（ R，） r Rr ，a i i

i1

i 1

其中，

R ：三维实正交变换（固有转动和非固有转动），它保持原点不变.

i ：实常数，描述原点的平移.

当R=E时，i必须取整数l i，g（E，l）T（l ）是平移变换。对称变换的乘

积定义为相继做两次对称变换

g （R ， ）g （R ， ）r g （R ， ）{R r } RR r

g （R ， ）g （R ， ） g （RR ， g （R ， ）-1 g （R -1，-R -1

） 对于给定的晶体， 在它的对称变换 g （ R ， 集合构成群，称为晶格点群，简称点群，记作 G

空间群是晶体对称变换的集合构成晶体对称群， 记作 S 。平移群 T 是空间群

S 的子群，而且是不变子群，因为平移变换的共轭元素仍然是平移变换， g

（R ， ）T （l ）g （R ， ）-1 g （E ， R （l -R -1

）） T （Rl ），

Rl l ，

设l i 是 i 的整数部分，则

i l i t i

， 0 t i 1， g （R ， ） T （l ）g （R ，t ） 现在我们来证明： 对于

给定的晶体和选定的晶格基矢， 在对称变换中， 每 个 R 只能对对应一个

t 。

用反证法，设 g （R ，t ）和g （R ，t ）都是晶体的对称变换，则

g （R ，t ）-1g （R ，t ） T （-R -1t R -1t ） T （l ） t -t Rl l 由于式 对t 的限制，只能 t t ，得证。 物理学中各个领域还有众多对

于群理论的应用， 群论对于系统对称性的研究 使得群论称为物理工作者必备的工具。

2.3 群论在化学中的应用

在化学研究中， 运用群论研究分子的对称性是一种常见的手段。 分子中， 原 子的空间排列是对称的， 且原子固定在平衡位置上， 运用群论研究其对成性， 进 一步解决分子的结构和性质问题，是人们认识分子的主要途径和方法。

分子、离子、原子簇所属的对称点群经常要在化学研究中确定。 由于群论原 理的制约，某个分子具有的对称元素和可能的对称操作是有限的。

例：简述苯分子点群类型并求其群的轨道 首先确定苯分子的点群：

一个是 C 6轴；六个 C 2 C 6；一个苯分子平面垂直于垂直于 C 6 轴的镜

面 e h ；

R ） ）中出现的所有实正交变换 R